第一節 新手與資深教師對學生學習困難的預測
本節將分四部分闡述。第一部分說明新手教師認為學生在學習一元一次方 程式各個單元會面臨到的學習困難有哪些；第二部分說明資深教師認為學生在 學習一元一次方程式各個單元會面臨到的學習困難有哪些；第三部分比較雙方 教師看法上的差異，並與文獻對照作敘述；第四部分小結本節，並敘述研究者 反思。
一、新手教師認為學生學習一元一次方程式會面臨到的學習困難
在 3-1 式子的運算，A 師認為學生在判斷 5x 與 x＋x＋x＋x＋x 還是
x
x x x
x
相等時，會有混淆或不清楚的狀況發生，她認為其原因是因為學 生將乘法與指數搞混，如圖 4-1-1 所示；以及對 x 與－x 簡記的不清楚，學生容 易將 x 與－x 的係數視為 0，而這樣的錯誤概念我們也容易在學生做化簡與解方 程式的過程中發現，如圖 4-1-2 所示。圖 4-1-2 A 師預測學生 3-1 的學習困難，編號 A_3-1-2
圖 4-1-4 A 師預測學生 3-1 的學習困難，編號 A_3-1-4
表 4-1-1
圖 4-1-7 A 師預測學生 3-2 的學習困難，編號 A_3-2-1
圖 4-1-8 A 師預測學生 3-2 的學習困難，編號 A_3-2-2
在遇到與負數相關之解方程式的問題，A 師也提及去年實習時的發現，學 生在解 3x＝－24 時有辦法順利求得其解，但當題目換成負號在未知數的一方，
意即－3x＝24，多數學生就卡住了，她無法解釋為什麼學生會有這樣的問題存 在，如圖 4-1-9 所示。該師也提到學生在解較複雜的方程式時，可能會不知道 要如何下手，例如：26＋3x＝50－9x 這類兩邊皆有未知數的問題。如圖 4-1-10 所示。
圖 4-1-9 A 師預測學生 3-2 的學習困難，編號 A_3-2-3
圖 4-1-10 A 師預測學生 3-2 的學習困難，編號 A_3-2-4
而當題目又結合前面單元所學，去括號、同類項合併、分式型運算等問題 時，李師認為當需要注意的步驟越多、越繁雜，學生在學習如何解該方程式的 困難就越高，而且班上的學生幾乎全軍覆沒，學習慾望也變得低落。A 師預測 之學習困難如表 4-1-2 的編號 A_3-2-5、A_3-2-6 所敘述。
上述新手教師在 3-2 預測的學生學習困難整理如表 4-1-2 所示。
在 3-3 的應用問題部分，A 師認為學生的閱讀理解能力有待加強，因此常 常不知如何列式，甚至不知道該如何進行假設，詳見表 4-1-3 的編號 A_3-3-1 所 敘述。
表 4-1-3
新手教師預測學生在 3-3 的學習困難與造成之原因總表
編號 預測之學習困難敘述 A 師認為造成之原因
A_3-3-1
不知道該如何假設未知數，以及列出關係式。
既使有辦法假設其中一個，另一個也無法根據 題意而做出正確假設。
1. 學生閱讀理解能力 不夠好。
2. 學生在 3-1 列式的 能力沒有培養好。
二、資深教師認為學生學習一元一次方程式會面臨到的學習困難
在 3-1 式子的運算，B 師認為學生容易在
x
3
2的式子化簡運算中，將數 字先做運算，而忽略了先乘除後加簡的運算規則，導致該題答案會誤寫成 5x。如圖 4-1-11 所示。
圖 4-1-11 B 師預測學生 3-1 的學習困難，編號 B_3-1-1
而在同類項合併的概念上，B 師認為學生在遇到減法時會誤以為 x 會被減 去，因此答案會只剩下數字，例如：7x－(－5x)的答案會寫成 12；或者將不同 類項以自創之規則做合併，例如：2x＋3y 的答案會寫成 5xy。如圖 4-1-12、4-1-13 所示。
圖 4-1-12 B 師預測學生 3-1 的學習困難，編號 B_3-1-2
圖 4-1-13 B 師預測學生 3-1 的學習困難，編號 B_3-1-3
在分式型的化簡運算上，B 師也預期學生會容易犯錯，尤其是在減法的狀 況下更是容易發生問題；B 師認為學生在這部分容易犯錯，是因為在減去的部 分容易少寫了括號，以至於在做分配律的時候，後方的數字並沒有變號。而 B 師也在上到 3-2 的部分時補給研究者經驗上的資料，他提及學生分不清楚化簡 與方程式在通分與同乘上的意義差異，導致分式型的化簡題型到後來都會變成 只有分子的答案，如圖 4-1-14、4-1-15 所示。從 70B_15.12.21_(3-1-4)的教學影 帶中，我們也可以看到 B 師主動預告學生在學到 3-2 時可能會有的混淆，但這 部分的書面資料是在課後才補給研究者；但基於教學影帶內容為教師主動提出 澄清，故將這點放在預測的部分。
圖 4-1-14 B 師預測學生 3-1 的學習困難，編號 B_3-1-4
圖 4-1-15 B 師預測學生 3-1 的學習困難，編號 B_3-1-5
上述資深教師在 3-1 預測的學生學習困難整理如表 4-1-4 所示。 化簡式子，直到最後等號才出現，並解出錯誤答案。舉例來說 9x＋7＝6x－4，
學生會將 9x 與 6x 相加，7 和－4 相加，最後得出 15x＝3，
5
＝1
x
，如圖 4-1-16圖 4-1-16 B 師預測學生 3-2 的學習困難，編號 B_3-2-1
或者，在解分式型的問題時，在同乘分母的公因數時，學生可能誤認為每 項都要同乘，而造成運算上的謬誤；B 師認為學生應該是分不清楚每一個分式 所表示就是某一項，而不是分開的個體。舉例來說 2
6 4 4
1
2
x x
，學生知道 左右兩邊應該同乘 12，但卻誤認為每個數字或符號都要乘 12，因此求得等式為
24 12 2 12 48 24
3 x x
，如圖 4-1-17 所示。而在分式型的解方程式，B 師 也在課後補上學生對於數學式子與方程式兩個名詞常常會混淆的資料，這兩個 名詞的混淆會造成學生在進行式子化簡問題時，操作同乘分母的步驟，使得最 後的答案僅剩分子而已，如表 4-1-4 的編號 B_3-1-5 所敘述。圖 4-1-17 B 師預測學生 3-2 的學習困難，編號 B_3-2-2
而 B 師也預測了學生在拆括號時的錯誤，認為他們常常只乘了第一個而忽 略了後面還有一項，或者遇到乘以一個負數的拆括號，學生往往在後面那項會 忽略了需要變號的問題。舉例來說 2(x－4)－3(x＋4)＝－2，學生在做拆括號的 時候可能會寫出 2x －4－3x ＋4＝－2 這樣的式子，－4 的部分是沒有乘以 2，
＋4 的部分是忘了是乘以－3。如圖 4-1-18 所示。
圖 4-1-18 B 師預測學生 3-2 的學習困難，編號 B_3-2-3
在 3-3 的應用問題部分，B 師認為學生在假設時直覺會想使用兩個未知數 來進行假設，但在七上的課程中並未教學生如何列或解與二元一次相關的式子 問題，如圖 4-1-19 所示。B 師覺得學生在閱讀文本時，往往是不清楚題目要問 些什麼，以及某些名詞上的不清楚（例如：定價、售價、成本之間的關係）
等，造成學生不知道該如何進行假設或列式，如圖 4-1-20 所示。
圖 4-1-19 B 師預測學生 3-3 的學習困難，編號 B_3-3-1
圖 4-1-20 B 師預測學生 3-3 的學習困難，編號 B_3-3-2
上述資深教師在 3-3 預測的學生學習困難整理如表 4-1-6 所示。
表 4-1-6
資深教師預測學生在 3-3 的學習困難與造成之原因總表
編號 預測之學習困難敘述 B 師認為造成之原因
B_3-3-1
學生直覺容易想要用二個未知數來做假設，但 在七上的課程中並未教如何解二元一次方程式 的方法。
例如：意即文獻所提及的移項法則方法上的誤 用，移項而未變號。
學生直覺，覺得比較 好列出式子。
表 4-1-6
表 4-1-7 現。而我們也可以從 70A_15.12.23_2(3-1-2)的影片知道，A 師在該堂課快結束 時提到了代入求值的概念，並利用幾個問題讓學生們自行回答；隔日，我們也 可以從 70A_15.12.24_2(3-1-3)的影片看到 A 師在課堂一開始先作代入求值的隨 堂測驗。在測驗開始前，A 師作了一格的示範，並說明昨天所講過的概念；此 時班上的 A_S24（代表 A 班 24 號學生，A 班即新手教師班級）同學則提出了 x 是否還要保留的疑問，這說明了學生在學習代入求值的概念時，可能會存在的
疑惑。而這樣的問題在 70B 的學生成就測驗上也有發現這樣的問題，B_S10
（代表 B 班 10 號學生，B 班即資深教師班級）在作代入求值的時候，數字代入 後 x 仍保留，導致答案仍有 x 的存在。
此外，A 師也提到學生在判斷 5x 與 x＋x＋x＋x＋x 還是
x x x x x
等價 時會有混淆的狀況，但課堂上教師詢問學生：「5 和 x 中間省略了什麼樣的運算 符號？」，學生都會回答：「乘號」，因此她認為這是學生將乘法與指數律搞混而 造成的原因。B 師則提到，學生在做化簡運算時容易出現先將數字作運算，再與有符號 的項合併化簡。預測表單上書寫的原因則是學生容易忘記先乘除後加減的運算 規則，但研究者認為 B 師在課堂上不時提及「未知數仍是一個數字」，其背後 原因是該師認為學生會將符號與數字視為不同的物件，因此在作運算時會先選 擇其熟悉的數字先作運算，再與符號作進一步的運算，進而導致了忽略四則運 算規則的狀況。而這樣的狀況在 70A 與 70B 兩班的學生成就測驗上，也都有學 生在這部分的作答出現如 B 師所提及的問題。
在 3-2 的部份，新手與資深教師的教學主軸並不相同，因此在預測上面則 有方法上的差異。新手教師以等量公理為教學主體，其間幾乎沒有說明移項法 則的作法與由來；資深教師則有對等量公理作講解，也有說明移項法則只是在 作等量公理時省略了某些步驟，但在之後的解方程式教學都用移項法則來作處 理。
A 師認為學生在學習等量除法公理的時候會遭遇到學習困難，尤其是在答 案並非整數時，此狀況更為明顯。而造成這樣的原因，A 師認為是學生仍停留 在小學利用九九乘法在作未知數的運算，因此當未知數是整數時，學生容易利 用九九乘法表成功解題，但當答案並非一個整數時，學生則會卡題。追根究柢 之下，A 師認為學生對於等量公理的意義並未真的理解。
B 師則認為學生在解兩邊都有未知數的方程式時，會自行衍生錯誤的計算 方式，類似將等號先忽略的式子化簡，直到含符號的項與數字項分開後，等號 才又在出現。而 B 師這樣的說法，其實就是張景媛（1994）與謝和秀（2001）
的研究中皆提及過的移項法則誤用，學生僅記得要移項，但卻忽略了移項後需 要變號的步驟。而在 70B 的學生成就測驗上也發現，確實有許多學生有這樣的 狀況發生。
在 3-3 的部份，雖然新手與資深教師一致認為學生的閱讀理解能力不夠好 是造成學習應用問題的原因之一，但仍有些微的差異值得我們去探討。
A 師認為既使學生有辦法假設其中一個未知數，另一個也無法根據題目意 思作出適當的假設。誠如文獻所敘述，學生常見的固定假設模式，題目問什麼 就假設什麼（張景媛，1994；謝和秀，2001）。但另一個對立的假設是需要了解
A 師認為既使學生有辦法假設其中一個未知數，另一個也無法根據題目意 思作出適當的假設。誠如文獻所敘述，學生常見的固定假設模式，題目問什麼 就假設什麼（張景媛，1994；謝和秀，2001）。但另一個對立的假設是需要了解