類項合併（編號 A_3-1-4 的學習困難），例如：2x、3x；由此可見，學生在剛從 算術思維要跨越至代數思維時，仍存有運算後會有個最簡化的答案，並不應該
表 4-3-1
新手教師班級學生在簡記類型題目的錯誤類型 學生作答情形與錯誤類型分析
A_S4。
除法簡記，只記得除號要改成乘號，卻忽略除數要變倒數的步驟。
A_S11。 A_S26。
除法簡記，並沒有作簡記的動作；S11 還做了前後對調的步驟。
A_S4。 A_S22。
不同類項合併，認為運算後會有個最簡化答案，不應該有運算符號的存在。
A_S4。
將文字符號與數字分開計算，因此有忽略四則運算規則的狀況。
A_S9。
簡記方式並不遵循係數在文字符號前的規則。
該名學生都直接將成號省略，保留係數；因此，若數字原先在後，他所書寫的 係數就會在後面。
而在「判斷 5x 與下列哪些式子等價」的類型題目，該班學生僅有 4 位學生 是全對。在這之中，有的是對除法的不熟悉，有的是將不同類項合併；值得一
提的是新手教師的預測，該班仍有 6 位學生在 x＋x＋x＋x＋x 與
x x x x x
的選擇中產生混淆（編號 A_3-1-1 的學習困難）。上述的學生作答情形，詳見表 4-3-2。表 4-3-2
新手教師班級學生在「判斷 5x 與下列哪些式子等價」的作答情形 學生作答情形與錯誤類型分析
A_S10。
1. 簡記省略符號的不清楚。 2. 不同類項合併。
A_S16。
不同類項合併。
A_S18。
x＋x＋x＋x＋x 與 x x x x x
的選擇混淆。A_S19。
1. 除法的簡記方式的不熟悉。
2. 不同類項合併。
3. x＋x＋x＋x＋x 與
x x x x x
的選擇混淆。備註：選項圈選為研究者的筆跡。
在面對更加抽象的轉譯問題，此時學生的空白作答的人數便越來越多，答 對人數也僅剩約受測學生的 1/2。而從較長的文字敘述的轉譯問題來看，由於學 生對時間關係的基模知識仍不夠完整，導致在面對與時間相關聯的文字轉譯上 會出現較多問題。
例如：KTV 歡唱的計費方式為每人歡唱 3 小時 240 元，接著續唱每人每小時 80 元。鋒哥與他的好朋友打算在一間包廂裡連續歡唱 6 小時，則需要花 費多少元（假設鋒哥一群人共 x 人）？
學生容易忽略續唱僅花了 3 小時這件事，因此會列出 x×80×6 ＋240×2 的 式子；也有學生的作答是直接忽略所花費的時間，直接列出 240＋80x（部分忽 略了人數）的式子；亦或是誤解題目意思，認為歡唱 3 小時 240 元，6 小時就 是需要 480 元，有續唱所以每人應再多收 80 元，而列出 480＋80x（部分忽略 了人數）或 480x＋80x＝560x 的式子。上述的學生作答情形，詳見表 4-3-3。
表 4-3-3
新手教師班級學生在以符號列式類型題目的錯誤類型 學生作答情形與錯誤類型分析
A_S5。
忽略續唱僅花了 3 小時，並部分忽略人數對價錢的影響。
A_S24。
誤解題目意思，並部分忽略人數對價錢的影響。
備註：圈選為研究者的筆跡。
表 4-3-3
新手教師班級學生在以符號列式類型題目的錯誤類型（續）
學生作答情形與錯誤類型分析
A_S25。
忽略續唱還有 3 小時，並部分忽略人數對價錢的影響。
備註：圈選為研究者的筆跡。
在化簡與代入求值的部分，在測驗的時候有 4 位學生向研究者提出不懂
「化簡」一詞意思的問題。施測結果則誠如教師的預測，學生在拆括號的時候 仍會忘了括號內的後面一項，以及面對負數的拆括號，後面那項也時常忘了變 號（編號 A_3-1-5 的學習困難）。例如：化簡
x 12 2 5 2 x
，學生在處理後 半部 2 5 2 x
分配律時，後面一項往往會忘了乘，導致答案變成
10
2x
。在 分式型的化簡，空白作答人數達受測人數的 1/2 以上，而班上數學程度較優的 1 位學生，也因為對化簡與等量公理的區分不清楚，而出現了同乘分母的作答情 形。上述的學生作答情形，詳見表 4-3-4。表 4-3-4
新手教師班級學生在化簡的錯誤類型 學生作答情形與錯誤類型分析
A_S14。
化簡與解方程式的區分不清楚，而出現了同乘分母的作答情形。
備註：1. 原題目敘述詳見附件。2. 圈選為研究者的筆跡。
表 4-3-4
新手教師班級學生在化簡的錯誤類型（續）
學生作答情形與錯誤類型分析
A_S15。
在拆括號時的運算使用加法，且忽略了括號內的後面一項。
A_S24。
在拆括號的時候仍會忘了括號內的後面一項也要作分配律的運算。
A_S24。
在面對負數的拆括號，括號內的後面那項忘了變號。
備註：1. 原題目敘述詳見附件。2. 圈選為研究者的筆跡。
在 3-2 的學生學習狀況測驗部分，在測驗的時候仍有 1 位學生向研究者提 出她不知道什麼是一元一次方程式。而在判別哪些是一元一次方程式，並針對 不是的選項說明理由的問題中，僅有 3 位學生的勾選是完全正確，其中僅有 1 位學生對於不是的選項理由說明完全正確。這裡也誠如資深教師的預測，學生 容易搞不清楚「式子」與「方程式」兩個名詞上的差異，該班仍有 6 位學生勾 選了 x＋2 的選項，其中還有 1 位是班上數學程度較優的學生。而施測結果也顯 示學生容易忽略「次」所代表的意思，因此有高達 10 位的受測學生勾選了
0 4
2
4x
x
。其餘分別看每一個選項的答對率，都還算高。上述的學生作答 情形，詳見表 4-3-5。表 4-3-5
新手教師班級學生對一元一次方程式的理解 學生作答情形與錯誤類型分析
A_S1。
1. x＋2 的選項，判斷理由錯誤。
2. 勾選
x
2 4 x 4 0
的選項，忽略「次」所代表的意。A_S8 勾選正確，理由也正確的作答。
表 4-3-5
新手教師班級學生對一元一次方程式的理解（續）
學生作答情形與錯誤類型分析
A_S14。
勾選 x＋2 的選項，對「式子」與「方程式」兩個名詞所代表意義不清楚。
針對等量公理概念所設計的天秤平衡問題，該班有 7 位學生的作答完全正 確，其餘學生大多是部分答對；我們可以從作答結果看出，當天秤兩端的物品 種類越多，學生答錯的人數就越多，例如：天秤平衡的條件是左邊兩個□，右 邊四個；選項為左邊三個和兩個，右邊一個、兩個、一個□。由此 可見，學生對於等量公理的運用仍待加強，值得教師們多注意。
而在解方程式的部分，多數學生仍用教師課堂上教的等量公理來作解題運 算，僅有 1-2 位學生在課後接受補習教育，所使用的解題方法才為移項法則。
也誠如該班教師預測，在面對較複雜化的方程式，學生的答對率則越來越低，
為空白作答的人數也相對提高（編號 A_3-2-4 的學習困難）。但並沒有教師在課 堂發現的將每一項皆移到等號一側的問題，反而是當學生解到－x＝2 時，等號 兩邊同除以－1 的時候會發生問題。學生在這部分的反應，研究者認為呼應了 新手教師在 3-2 的預測編號 A_3-2-3 的部分，未知數前多了一個負數，學生便 會覺得困難與不解。也有學生對於每一個步驟應該使用什麼樣的等量公理方法 來處理感到困惑。上述解方程式的學生作答情形，詳見表 4-3-6。
表 4-3-6
新手教師班級學生在解一元一次方程式的錯誤類型 學生作答情形與錯誤類型分析
A_S9。
每一個步驟都用等量處法公理。
A_S11。
在第二步驟使用等量乘法公理。
A_S18。
在第一步驟使用等量除法公理來消去等號右邊的 4x。
表 4-3-6
新手教師班級學生在解一元一次方程式的錯誤類型（續）
學生作答情形與錯誤類型分析
A_S18。
未拆括號直接做等量減法公理，並在第二步驟時犯了不同類項合併的狀況。
A_S22。
最後一個步驟同除以－1 時出現問題。
備註：圈選為研究者的筆跡。
在 3-3 應用問題的部分，學生對於文字敘述的條件與問題，從測驗結果上 來看是可以讀懂題目。但要進行將題目文字轉換成數學符號或式子的時候，卻 僅有 2-3 位學生能正確作出假設與列式，並求得其解（編號 A_3-3-1 的學習困 難）。雖然能做出正確轉譯的學生人數很少，但仍可以從學生們的作答反應中，
看到有 6 位學生利用湊數字的方式來解題。
從要求學生作出假設的問題中，我們可以發現學生會先假設一個未知數 x
（可能與問題有關，也可能與問題無關），但接下來他們便無法從題目敘述中的 關係去作相對應的假設。也有學生如同資深教師的預測一般，直覺利用兩個未 知數來作假設（編號 B_3-3-1 的學習困難），但在解方程式的部分時則發現，目 前還沒有學到如何解二元一次方程式的方法。上述的學生作答情形，詳見表 4-3-7。
表 4-3-7
新手教師班級學生在解應用問題時的作答狀況 學生作答情形分析
A_S17。
條件與問題的理解看似沒有問題，該名學生在假設與轉譯的部分出現困難。
但最後仍用湊數字的方式來進行解題。
A_S2、A_S5、A_S9、A_S12、A_S14、A_S17 皆利用湊數字的方式來進行該 應用問題的解題。
表 4-3-7
新手教師班級學生在解應用問題時的作答狀況（續）
學生作答情形分析
A_S26。
條件與問題的理解看似沒有問題，該名學生在進行假設時，直覺以二個未知數 來進行假設，但卻無法依照題目意思與其假設進行轉譯。
A_S17。
該名學生直接利用文字敘述做推論解題。
二、資深教師班級學生所遇到之學習困難
資深教師的班級學生在研究者的長期觀察與前測篩選後，扣除部分數學課 被抽離的 2 位學生，正是施測的學生樣本數為 23 人，以下分別敘述學生在各小 節上的學習狀況測驗表現：
在 3-1 式子簡記的部分，該班學生仍有 5 位受測學生對除法的簡記仍然不 熟悉，由作答的方式分析，學生只記得除號要改成乘號，容易忽略除數要變倒 數的步驟，例如：簡記
x 5
，學生會寫成
5x
。也有 6 位的學生在面對簡記
2x
這類問題時，將不同類項合併（編號 B_3-1-3 的學習困難），例如：2x；由此可見，學生在剛從算術思維要跨越至代數思維時，仍存有運算後會有個最 簡化的答案，並不應該有運算符號存在的概念。而且就如該班教師的預測，仍 有 8 位學生在做
x 4 3
這類的簡記問題時，會有忽略四則運算規則的狀況（編號 B_3-1-1 的學習困難）；以及 3 位學生將 2x＋4y 的答案化簡寫成 6xy，將
（編號 B_3-1-1 的學習困難）；以及 3 位學生將 2x＋4y 的答案化簡寫成 6xy，將