(一) 四邊形圖形的繪製
研究者請小文先在 A4 紙上逐一畫出不一樣的四邊形，過程當中可以使用 尺、三角板、圓規與量角器等工具來做繪製，畫好第一及第二個四邊形後，便 開始詢問小文所畫的兩個圖形之間有何不同，之後的第三、第四個…一直重複 相同的步驟，詢問小文這些繪製出來的四邊形之間有何不同之處，直到小文畫 出不下一個四邊形為止，依序小文一共畫出 12 個他認為不同的四邊形（如圖 4-16）。
圖 4-16 小文所畫的四邊形
1、、、、小文認為四邊形都是由小文認為四邊形都是由小文認為四邊形都是由小文認為四邊形都是由「「「四個邊和四個角「四個邊和四個角四個邊和四個角」四個邊和四個角」」所構成的」所構成的所構成的。所構成的。。。
小文畫出編號 1 的四邊形後，研究者詢問小文「為什麼認為這個圖形是四 邊形」，小文立即說出「四個邊和四個角」的條件；小文畫完第二個四邊形後，
也問類似的問題，小文的回答仍包含第一次的結果，原案記錄如下：
原案 31 2012.11.13
G511Q005師:第一個問題,請你先畫出一個四邊形,並在圖形中間 標示號碼 1 來表示它
G511Q006師:為什麼你會認為這個圖形是四邊形呢?
G511Q007生:因為它有四個邊,四個角
G511Q008師:所以你認為有四個邊,四個角就是四邊形了嗎?
G511Q009生:(遲疑~思考)恩~對!
G511Q010師:請你再接著畫出一個和圖 1 不一樣的四邊形, 並在圖形中間標示號碼 2 來表示它
‧
G511Q026師:請問你認為編號 1、2 都是四邊形嗎?有共同的條件嗎?
G511Q027生:是,有 4 個邊和 4 個角;有 2 組平行邊 G511Q028師:恩
由原案 31 可知，小文認為四邊形以「四個邊和四個角」為基本條件，所 構成的，在小文的認知概念中，四邊形的邊長和角度的數量都是固定，不容許 有任何更改，四邊形由四個直線的邊相互聯接起來，且邊與邊連在一起的地方 會產生共四個夾角所構成的四邊形。
2、、、、小文繪製的四邊形具有小文繪製的四邊形具有小文繪製的四邊形具有小文繪製的四邊形具有「「「封閉性「封閉性封閉性」封閉性」」的特質」的特質的特質。的特質。。 。
訪談過程中，小文會利用尺、三角板做為他繪製時的輔助工具，量角器則 適時的協助小文測量角度。小文畫出編號 1 的四邊形，觀看這個四邊形的邊與 邊可以看到小文很仔細的將邊與邊相互連在一起，沒有任何空隙，是屬於一個 封閉圖形；研究者再請小文畫出編號 2 的四邊形，這個四邊形邊的長度和前一 個不盡相同，形狀也不盡相同，但唯一的共同點就是邊與邊仍是相連，是個完 整的封閉圖形；而後小晨依序又再畫出的多個不相同的四邊形，不論小文繪製 多少的四邊形，皆可看出每個圖形彼此的邊都是緊緊相連，故從小文所繪製的 四邊形來看，均具有「封閉性」的特質。
3、、、、小文以小文以小文以小文以「「「改變圖形的角度「改變圖形的角度改變圖形的角度」改變圖形的角度」」造出不同的四邊形」造出不同的四邊形造出不同的四邊形。造出不同的四邊形。。 。
小文從繪製編號 1 的四邊形開始，皆使用尺、三角板…等輔助工具來作 畫，這一個四邊形，小文認為是長方形，是屬於一個封閉圖形；接著再請小文 畫出一個不同的四邊形，畫完後詢問小文：「編號 1 和編號 2 有何不同呢?」， 小文回答：「1 號是直角」，原案記錄如下：
原案 32 2012.11.13
G511Q005師:第一個問題,請你先畫出一個四邊形,並在圖形中間標示 號碼 1 來表示它
‧
G511Q010師:請你再接著畫出一個和圖 1 不一樣的四邊形,並在圖形中間 標示號碼 2 來表示它
‧
G511Q012師:如果好了,請問一下你畫的編號 2 的圖形和編號 1 的圖形, 有什麼不一樣呢?
G511Q013生:它其中兩條邊是斜的,角度不一樣 ‧
G511Q016師:請問編號 2 的角和編號 1 的角有什麼不一樣呢?
G511Q017生:編號 1 的角是 90 度的垂直角,編號 2 的角是鈍角或銳角 G511Q018師:你說 90 度的垂直角,請問鈍角和銳角可以用數字來表示嗎?
G511Q019生:小於 90 度的是銳角,大於 90 度的是鈍角
在小文畫完第三個和第四個與前者不同的四邊形後，研究者繼續詢問小文
案記錄如下：
小文他和編號 1 的不同時，小文肯定回答「對」的答案。原案記錄如下：
G511Q128生:有 2 組平行邊且等長
G511Q241師:為什麼?
G511Q242生:因為沒有改變,形狀大小一樣,邊一樣長,角度也是直角 G511Q243師:(將圖形旋轉 60 度)請問編號 13 的四邊形和
原來編號 1 的圖形是一樣的圖形嗎?
G511Q244生:是一樣的圖形 G511Q245師:為什麼呢?
G511Q246生:還是同一個圖形
G511Q247師:(將圖形旋轉 90 度)請問再旋轉的編號 13 的四邊形和 原來編號 1 的圖形是同一個圖形嗎?
G511Q248生:(猶豫一下)對
G511Q249師:感覺起來你好像在考慮什麼,有嗎?
G511Q250生:這樣看起來外觀上不太一樣,邊的位置改變了, 但因為它是同一個的東西,所以…
G511Q251師:所以你認為不管圖形怎麼旋轉,圖形仍是同一個嗎?
G511Q252生:是同一個,但位置改變的話,邊的位置也會改變, 所以四邊形會改變它的型態,又似乎不是同一個圖形 G511Q253師:所以你認為本質上編號 13 和編號 1 是同一個長方形,
但旋轉後長方形的外觀會改變,圖形也就不同了,是嗎?
G511Q254生:對
圖 4-17 小文複製編號 1 四邊形的圖形
由原案 36 中，複製的四邊形轉成 60 度時，小文認為編號 13 的圖形仍和 原來編號 1 是同一個的圖形，但是當複製的四邊形轉成 90 度的時候，小文的 臉上出現疑惑思考的神情，研究者立即詢問小文這個觀察發現，小文也將他的 想法反應給研究者瞭解，小文認為圖形轉成 90 度時，它的邊長位置也跟著換 到另一個位置，例如：原來上下的邊會變成左右的邊，這樣的話它的外觀型態 就有所不同，因此小文雖然清楚知道它們是同一個圖形，但經過旋轉後外觀樣 貌已經改變，所以是不同類型的圖形。由此可以看出小文對於同一個四邊形經 過旋轉之後，因為原圖形的「方向、位置」已經改變，在外觀上產生變化，所
(二) 四邊形圖形的辨識
在此活動的測驗訪談中，研究者給予小文一張四邊形圖形辨識測驗之圖形 紙（詳如附錄 4-2-2），請小文在這張圖形紙上依照研究者的指示，逐一將自己 認為是「正方形」的圖形用英文符號「S」、「長方形」的圖形用英文符號「R」、
「平行四邊形」的圖形用英文符號「P」、「菱形」的圖形用英文符號「B」作 上記號，等小文作答完畢後，依辨識測驗之訪談大綱進行晤談並記錄，得到結 果如下：（如圖 4-18）
圖 4-18 小文的四邊形圖形辨識測驗圖形紙
1、、、、小文認為沒有小文認為沒有小文認為沒有小文認為沒有「「「封閉性「封閉性封閉性」封閉性」」就不是四邊形」就不是四邊形就不是四邊形。就不是四邊形。。 。
從小文的辨識測驗圖形紙上沒有做上「S」、「R」、「P」、「B」記號的有：編 號 2、4、10、14、15、16、17、18 號，共 8 個圖形；其中編號 4、10、18 號 圖形是接近四邊形的非封閉性圖形，原案記錄如下：
原案 37 2012.11.27
G512Q164師:下一個問題：為什麼紙上圖形中有很多圖形,你都沒有標上 記號,可否請你逐一的說明為何它們不是我們要標示的那四 種圖形呢?
‧
G512Q187師:編號 4 的圖形呢?
G512Q188生:沒有連起來
G512Q189師:什麼東西沒有連起來 G512Q190生:邊沒有完全連起來
G512Q191師:邊沒有完全連起來不可以算是那四種圖形,
那可以算是四邊形嗎?
G512Q164師:下一個問題：為什麼紙上圖形中有很多圖形,你都沒有標上 記號,可否請你逐一的說明為何它們不是我們要標示的那四
的四種圖形，接著研究者詢問小文：「這樣的圖形仍是四邊形嗎」，小文清楚 回答說：「是」。原案記錄如下：
原案 39 2012.11.27
G512Q164師:下一個問題：為什麼紙上圖形中有很多圖形,你都沒有標上 記號,可否請你逐一的說明為何它們不是我們要標示的那四
原案 40 2012.11.27
G512Q009師:請問你標示為「S」的圖形有那些呢?
G512Q010生:有編號 1、7、20 號 G512Q021師:請問你標示為「R」的圖形有那些呢?
G512Q022生:有編號 9 和 19 號
G512Q042生:編號 19 看起來比較長,它們形狀大小、面積、 G512Q051師:請問你標示為「P」的圖形有那些呢?
G512Q052生:有編號 5、6、11、12 號
G512Q071生:對
G512Q111生:也會一樣長
原案 44 2012.12.04
G513Q004師:你所挑出來的”不是”四邊形的圖卡一共有 3 個, 可以請你將號碼念出來嗎?
G513Q005生:有 14 號、17 號和 11 號
G513Q006師:請你分別對編號 17 號、11 號和 14 號這三個圖形, 說明一下它為什麼不是四邊形?
G513Q007師:請問 14 號為什麼不是四邊形,理由呢?
G513Q008生:因為它有一邊是圓弧型的,沒有頂點也沒有角,
整個圖形看起來只有三個邊和兩個角,所以不是四邊形 G513Q009師:請問 17 號為什麼不是四邊形,理由呢?
G513Q010生:它沒有頂點也沒有角,在圖形的角落地方呈現圓弧型的狀態;
雖然它有四個邊,但因為沒有角,因此不能說 17 號是四邊形 G513Q011師:請問 11 號為什麼不是四邊形,理由呢?
G513Q012生:它其中一邊長的比較像樓梯,總邊數不是四個邊, 所以 11 號也不是四邊形
G513Q013師:好,所以你認為上述的三個圖卡都不是四邊形嗎?
G513Q014生:是
圖 4-19 小文認為不是四邊形的圖形卡
2 2 2
2、、、、小文認為應該要有小文認為應該要有小文認為應該要有小文認為應該要有「「「四個邊「四個邊四個邊，四個邊，，四個角，四個角四個角」四個角」」的圖形」的圖形的圖形，的圖形，，才能稱作四邊形，才能稱作四邊形才能稱作四邊形，才能稱作四邊形，，，未未未未 符合者符合者
符合者符合者，，，，皆不算之皆不算之皆不算之。皆不算之。。 。
在進行四邊形分類活動時，研究者先請小文將自己認為不是四邊形的圖形 挑選出來，並逐一詢問不是四邊形的理由；接著再利用非 A 即 B 的方法，確認 小文是否認為未被挑選出的圖形就全部都是四邊形，並請小文說出四邊形的辨 別條件，原案記錄如下：
原案 45 2012.12.04
G513Q003師:請你挑出你認為不屬於四邊形的圖卡, 把這些圖卡放在桌子的右邊
可以請你將號碼念出來嗎?
G513Q005生:有 14 號、17 號和 11 號
G513Q005生:有 14 號、17 號和 11 號