4 4
4、 、 、 、小如認為要有 小如認為要有 小如認為要有「 小如認為要有 「 「 「四個邊 四個邊 四個邊 四個邊、 、 、 、四個角 四個角 四個角 四個角」 」 」 」的圖形 的圖形 的圖形， 的圖形 ， ， ，才是四邊形 才是四邊形 才是四邊形。 才是四邊形 。 。 。
讓小如從整組圖卡中找出非四邊形的圖卡並說明理由，最後透過反 證的過程來確認小如是否瞭解形成四邊形的條件。
原案 77 2012.10.04
G623Q002師:請你將你認為不屬於四邊形的圖板挑出來,放在桌子的右邊 G623Q003師:請你分別對 17、14、11 這三個圖形,
說明一下它為什麼不是四邊形?
G623Q004生:編號 17,它四個角的位置都是圓弧的,不是尖尖的 G623Q005生:編號 11,它已經超過四個邊了
G623Q006生:編號 14,它這邊(右下角)是圓弧的,沒有明確的一個角 ‧
G623Q009師:請問這裡有幾個邊呢?
G623Q010生:(數了一下)有 7 個邊
G623Q011師:編號 11 的邊已經超過 4 個邊,所以它不是四邊形,對嗎?
G623Q012生:對的
G623Q013師:編號 17 和編號 14,你都有說到角的部分是圓弧的, 這是不能算是角嗎?
G623Q014生:角要是尖尖的,這兩個圖形的角沒有全部都是 G623Q015師:所以你認為編號 11、14、17 都不是四邊形嗎?
G623Q016生:恩
G623Q017師:這樣剩下未選到的圖板都會是四邊形嗎?
G623Q018生:對
G623Q019師:請問為什麼你會認為這些圖形是四邊形呢?
G623Q020生:它們都要有四個邊,四個角,
G623Q021師:所以基本上只要有四個邊和四個角，就可以稱作四邊形嗎?
G623Q022生:是
圖 4-42 小如的第一種四邊形分類
瞭解小如對「非」四邊形圖形的想法後，延續著前述的訪談互動，進一步 詢問小如，「其餘未被挑選出的圖卡都是四邊形圖形」這個問題時，小如很快 的以肯定的語氣回答之；且能說出「有四個邊、四個角」的圖形就可以稱作四
邊形（如圖 4-42）。研究者以此作為一種分類範例的說明，再者也讓小如清楚 知道等會接下來要如何將這 16 個圖卡進行多次的分類，整個活動分析結果如 下：
1 1 1
1、、、、第一種分類第一種分類第一種分類第一種分類－「－「－「兩組不同的對邊－「兩組不同的對邊兩組不同的對邊、兩組不同的對邊、、對邊等長、對邊等長對邊等長、對邊等長、、有、有有 4 個直角有 個直角個直角」個直角」」」。。。。
此次分類所挑選出的圖卡，分別是編號 4 號和 16 號(如圖 4-43)。小如挑 選出第一組分類圖卡後，研究者詢問小如所認定的理由時，小如未能一次完全 的把條件說出，須要逐步引導才能將自己知道的條件說完，這一組所挑選到的 四邊形，共有 2 個，原案記錄如下：
原案 78 2012.10.04
G623Q027師:請問你的第一種分類要怎麼分類呢?
G623Q028生:我找出編號 4、編號 16 G623Q029師:請問理由是什麼呢?
G623Q030生:它們的這兩個邊會比另外兩個邊要短 G623Q031師:兩個邊的位置可以隨便擺嗎?
G623Q032生:不行,兩個一樣的邊一定要在對面,
G623Q033師:但其他的圖形也有這樣的情況啊~還有更明確的條件嗎?
G623Q034生:都是瘦瘦長長的
G623Q035師:像編號 13 也是瘦瘦長長的~你怎麼沒有選呢?
G623Q036生:它們(指的是編號 4、16)長的邊和短的邊會垂直 G623Q038師:垂直的話,請問那個角是幾度呢?全部的角都一樣嗎?
G623Q039生:是 90 度,而且四個角都一樣大 G623Q040師:請問你知道它們的名稱嗎?
G623Q041生:長方形
G623Q042師:統整一下,你認為編號 4、編號 16 有兩組的邊,一組長, 另一組短;兩個長或短的邊彼此要在對面;
看起來瘦瘦長長的;邊和邊會垂直,是 90 度,有 4 個.對嗎?
G623Q043生:對!
圖 4-43 小如的第二種四邊形分類
由原案記錄發現，小如大多以視覺所得到的訊息，如：有兩組的邊，一組
圖 4-44 小如的第三種四邊形分類
小如對於圖形切割後變成另一個圖形的判斷，回答「看起來可以啊」，顯 示小如視覺上覺得可以就能成立，不須經過實際的測量與驗證；另外小如發現 這些圖形有對稱的概念，但小如在這項分類上，「邊互相垂直」的圖形如：長 方形、正方形，可以輕易的分辨出；但像菱形、凹四邊形這類的圖形卻消失在 這次分類，由此顯示小如是先挑選圖卡後，再思考被挑中圖卡的條件；而不是 先設定好條件，再開始挑擇適合的圖卡。
3、、、、第三種分類第三種分類第三種分類第三種分類－「－「－「四個邊等長－「四個邊等長四個邊等長、四個邊等長、、四個直角、四個直角四個直角、四個直角、、對稱圖形、對稱圖形對稱圖形」對稱圖形」」。」。。。
此次分類所挑選出的圖卡，分別是編號 6 號、10 號 (如圖 4-45)。小如將 第一次分類的編號 4、16 放回群體，獨留編號 6、10，便回答說已找到下一組 分類，回答理由時，小如很清楚快速的表達這兩個圖卡的名稱與條件，原案記 錄如下：
原案 80 2012.10.04
G623Q064師:好,再請你把第三種分類找出來?
G623Q065生:(將編號 4 和 16 放回群體)我找到編號 6、編號 10 G623Q066師:請問理由是什麼呢?
G623Q067生:兩個都是正方形 G623Q068師:正方形的條件呢?
G623Q069生:它們四個邊一樣長,有四個直角,是對稱圖形 G623Q070師:還有嗎?
G623Q071生:沒有
G623Q072師:統整一下,你覺得編號 6、10 是正方形,它的四個邊一樣長, 有四個直角,是對稱圖形.是嗎?
G623Q073生:是
圖 4-45 小如的第四種四邊形分類
經過三輪的分類，發現小如會從同中有異、異中有同的概念來尋找有相同 條件特質的圖卡，而且能越來越快速的把理由說明清楚；由此可見，小如在反 複的練習下，能提升統整的能力。
4、、、、第四種分類第四種分類第四種分類第四種分類－「－「－「斜邊一致－「斜邊一致斜邊一致、斜邊一致、、對邊等長、對邊等長對邊等長」對邊等長」」」。。 。。
此次分類所挑選出的圖卡，分別是編號 1 號、2 號、3 號、8 號、12 號、
13 號，共 6 個圖形(如圖 4-46)。訪談過程中，小如多用形容性語詞來說明條件，
原案記錄如下：
原案 81 2012.10.04
G623Q074師:請你把第四種分類找出來?
G623Q075生:我找出編號 1、2、3、8、12、13 G623Q076師:請問理由是什麼呢?
G623Q077生:它們都長得很像
G623Q078師:這個理由沒有指向性~就是說不夠明確啦;
可以請你說出更清楚的條件嗎?
G623Q079生:它們是平行四邊形
G623Q080師:你認為是平行四邊形,請問你知道平行四邊形 有什麼特徵嗎?
G623Q081生:(移動圖形)(將圖形的其中一個短邊排成一水平線) 它們左右兩個的邊會斜斜的
G623Q082師:恩~你這樣說的話,編號 7 這樣看的話, 左右兩邊也是斜斜的啊!
G623Q083生:但他不是斜同一邊啊
G623Q084師:所以你說得斜斜的,是要向同一邊傾斜嗎?
G623Q085生:恩
G623Q086師:還有其他理由嗎?
G623Q087生:上下的邊和左右的邊會一樣長 G623Q088師:又是用看的~有實際量嗎?
G623Q091生:沒有
G623Q092師:統整一下,你認為它們是平行四邊形,邊斜斜的, 朝同一邊傾斜;上下的、左右的邊會一樣長.是嗎?
G623Q093生:恩
圖 4-46 小如的第五種四邊形分類
由原案記錄發現，小如常用形容性語詞來形容圖形的特徵，但無法明確說 出四邊形的構成要素條件，可見小如對各類型四邊形的定義並未掌握清楚；小 如也會將圖形以基底線是水平的方式來做為心中的原形圖，依此作為判定的標 準。
5、、、、第五種分類第五種分類第五種分類第五種分類－「－「－「上面比下面的邊要短－「上面比下面的邊要短上面比下面的邊要短，上面比下面的邊要短，，左右兩個邊至少有一條邊是斜，左右兩個邊至少有一條邊是斜左右兩個邊至少有一條邊是斜左右兩個邊至少有一條邊是斜 斜的
斜的 斜的 斜的」」」」。。。。
此次分類所挑選出的圖卡，分別是編號 5 號、7 號、18 號(如圖 4-47)。小 如能找出梯形圖形，但無法說出梯形的構成要素條件，原案記錄如下：
原案 82 2012.10.04
G623Q094師:請問你的第五種分類要怎麼分類呢?
G623Q095生:我找出編號 5、7、18 G623Q096師:請問理由是什麼呢?
G623Q097生:它們都是梯形
G623Q098師:請問梯形的條件有那些呢?
G623Q099生:上面的邊會比下面的邊要短 G623Q100師:還有嗎?
G623Q101生:至少有一條邊是斜斜的 ‧
G623Q105生:可能是斜的,也可能是垂直的 G623Q106師:為什麼會這樣呢?
G623Q107生:(想了很久)回答不出來
G623Q108師:沒關係,還有想到關於梯形的條件理由嗎?
G623Q109生:沒有了
圖 4-47 小如的第六種四邊形分類
小如可以找出梯形是那幾個圖形，但詢問理由時，只能說出「上面的邊會 比下面的邊要短」，但無法說出正確的梯形構成要素條件，可見小如是採取四 邊形的外觀條件來判斷。
6、、、、第六種分類第六種分類第六種分類第六種分類－「－「－「對角線垂直－「對角線垂直對角線垂直」對角線垂直」」」。。 。。
此次分類所挑選出的圖卡，分別是編號 1 號、8 號、13 號(如圖 4-48)。小 如分類類型僅找出上述五類，此類是研究者非特定性的找出圖卡後，再一次詢 問小如這些圖形是否有相同之處，小如在思考後亦能說明分類條件，原案記錄 如下：
原案 83 2012.10.04
G623Q127師:這樣老師找幾個圖形讓你來說說是要如何分類的~好嗎?
‧
G623Q129師:你覺得編號 1、8、13,如何呢?
G623Q130生:(將圖形擺正)編號 13 放大會變成編號 1, 編號 1 再放大會變成編號 8
G623Q131師:你覺得他們三個是類似的四邊形,只是變大變小而已嗎?
G623Q132生:沒錯
G623Q133師:除了這個理由外,還有其他理由嗎?
‧
G623Q142生:恩…對角線會垂直
G623Q143師:恩~確定嗎?它們的對角線有垂直嗎?
G623Q144生:有
圖 4-48 小如的第七種四邊形分類
由原案記錄發現，圖形的放大或縮小並不會影響小如判斷圖形的標準；且 能從別人挑選的圖形中，判斷出是否有適合的條件，可知小如在圖形分類上比 較無法仔細思考尋找，並非分類能力不足。綜合分類活動的表現，小如多以依 據圖形的整體外觀特徵來進行判斷，對照 van Hiele 發展層次，符合 van Hiele 層次一視覺層次的表現特質，有往層次二描述層次發展中。
(四) 四邊形圖形的觸覺感知
在這項活動中，小如須在未看見圖形卡的前提下，將手伸入測驗板內，由 研究者隨機將圖形卡放在小如的手上，小如可以任意的把圖形卡旋轉翻弄，完 全依靠手觸摸圖形板周圍的感覺來回答研究者所提出的相關問題，每完成一個 圖形卡就請小如脫下眼罩在記錄單上用文字記錄下剛剛所觸摸的感覺。等到整 個觸覺活動結束後，讓小如看到所有的圖形卡，請小如找出符合自己剛才觸摸 的圖形卡，將編號填入記錄表（如表 4-5）中，作為比對視覺觀察與觸覺判斷 間是否相符的依據。
表 4-5
表 4-5
表 4-5
原案 84 2012.10.18
重要的條件，且不論邊的長短、邊是否往內凹或外斜的，只要是直線，都算是 一個邊，由此可知邊的長短、方向並非是小如考慮的要項之一。
(3) 要有四個角要有四個角要有四個角要有四個角，，，，角度可以是銳角角度可以是銳角角度可以是銳角角度可以是銳角、、、鈍角或直角、鈍角或直角鈍角或直角。鈍角或直角。。 。
(3) 要有四個角要有四個角要有四個角要有四個角，，，，角度可以是銳角角度可以是銳角角度可以是銳角角度可以是銳角、、、鈍角或直角、鈍角或直角鈍角或直角。鈍角或直角。。 。