「邊」和「角」的分類完成後，小文花了點時間審視群組堆裡的所 有四邊形圖形，且會逐一拿起來仔細端詳，讓他發現一個除了「邊」和
「角」以外的分類條件－「對角線垂直」 ，原案記錄如下：
原案 53 2012.12.04
G513Q126師:請問你的第八種分類要怎麼分類呢?
G513Q127生:(花了不少時間審視)我找到編號 6、8、10、1、3、13 G513Q128師:請問理由是什麼呢?
G513Q129生:它們的對角線交錯的地方是 90 度 G513Q130師:對角線交錯的地方
G513Q131生:(用手空畫出線段,且比在剛剛交錯的地方)
G513Q132師:恩~沒錯~但有更準確的說法嗎?
G513Q133生:應該是說兩條對角線會互相垂直 G513Q134師:恩~那編號 12 呢?
G513Q135生:因為將圖形的對角相連的話,其中一條的對角線是斜的, 所以對角線交錯的地方就不會是垂直的
G513Q136師:恩~那編號 16 呢?
G513Q137生:它也一樣,兩個對角所連起來的對角線, 交錯的地方並不是 90 度ㄟ
圖 4-27 小文的第八種四邊形分類
此分類進行時，小文會用手指在圖形卡上比畫著，來判斷是否正確。由此 可知小文能發現原本不在圖形上的線段－「對角線」，並透過操作來知道對角 線會交錯於一點且交錯的位置會是垂直。
4、、、、二個條件的分類二個條件的分類二個條件的分類二個條件的分類：：：有對角一樣大：有對角一樣大有對角一樣大，有對角一樣大，，一組是銳角，一組是銳角一組是銳角、一組是銳角、、另一組是銳角、另一組是銳角另一組是銳角，另一組是銳角，，，且對且對且對且對 邊一樣長邊一樣長
邊一樣長邊一樣長的四邊形的四邊形的四邊形 的四邊形
此次分類所挑選出的圖形，分別是編號 1 號、2 號、8 號、12 號、13 號、
15 號，共 6 個圖形(如圖 4-28)。
小文在這次分類中，先拿出編號 8 的圖形卡放置在準備區中，之後再陸續 的從群組堆中拿出更多的圖形卡並說明理由。原案記錄如下：
原案 54 2012.12.04
G513Q085師:請問你的第五種分類要怎麼分類呢?
G513Q086生:(仔細尋找)我找出編號 8、13、1、12 G513Q087師:請問理由是什麼呢?
G513Q088生:它們的對角都一樣大,有 2 個銳角和 2 個鈍角,和對邊一樣長 G513Q089師:以這個理由的話,還有其他符合的圖形嗎,再找看看?
生:(尋找)還找到編號 15、2
G513Q097師:請問你覺得編號 3 有符合你的這次分類標準嗎?
G513Q098生:編號 3 的其中一組對角不一樣大 G513Q099師:請問是哪一組,可以比出來嗎?
G513Q100生:上面和下面的角雖然是銳角,
但它們兩個銳角感覺起來不像是同一個的 G513Q101師:恩,所以你認為它沒有符合那個理由 G513Q102生:沒有符合對角一樣大的條件
圖 4-28 小文的第九種四邊形分類
小文利用「對角都一樣大」和「對邊一樣長」的條件作為分類標準，顯見 小文對於圖形條件的掌控、結合已有相當程度的瞭解，會思考所提條件的交集 部分是否有成立。
5、、、、名稱上的分類名稱上的分類名稱上的分類名稱上的分類：：： ：
(1) 正方形正方形正方形正方形
小文將編號 6 號、10 號(如圖 4-29)分成同一類，用「正方形」來稱呼這 類的圖形，晤談中亦能清楚說出「正方形」有四個垂直角、四個邊等長、對 角線互相垂直、有 2 雙平行邊、對邊等長、對角一樣大…等特徵。原案記錄 如下：
原案 55 2012.12.04
G513Q021師:現在請你找出正方形的圖形?
G513Q022生:好了
G513Q023師:請你將找到的圖形號碼念出來嗎?
G513Q024生:我找出編號 6 和編號 10
G513Q025師:請問你認為它們是正方形的理由是什麼呢?
G513Q026生:因為它們有四個垂直角,四個邊等長 G513Q027師:還有嗎?
G513Q028生:對角線呈現垂直,有 2 雙平行邊,對邊等長,對角一樣大
圖 4-29 小文的第十種四邊形分類
(2) 長方形長方形長方形長方形
小文將編號 16 號、4 號(如圖 4-30)分成同一類，用「長方形」來稱呼這 類的圖形，晤談中亦能說出「長方形」有四
個角是垂直的
、有二雙平行邊
、各有一雙短邊和長邊
…等特徵。原案記錄如下：原案 56 2012.12.04
G513Q032師:現在請你找出長方形的圖形並說明理由?
G513Q033生:我找出編號 16 和編號 4
G513Q034生:它們各有一雙短邊和長邊,四個邊互相平行 G513Q035師:四個邊互相平行
G513Q036生:不是,是有 2 雙平行邊,長邊和短邊交於一個頂點上 而形成角,4 個角是垂直的
圖 4-30 小文的第十一種四邊形分類
(3) 平行四邊形平行四邊形平行四邊形平行四邊形
小文將編號 1 號、2 號、8 號、12 號、13 號、15 號(如圖 4-31)分成同一 類，用「平行四邊形」來稱呼這類的圖形，晤談中亦能說出「平行四邊形」
有對角一樣大、有一組銳角和一組鈍角、對邊等長、有二雙平行邊…等特徵。
原案記錄如下：
原案 57 2012.12.04
G513Q162師:現在請你找出平行四邊形的圖形?
G513Q163生:我找到編號 2、8、15、1、12、13 G513Q164師:請問理由是什麼呢?
G513Q165生:它們的對角一樣大,有一組銳角和一組鈍角,對邊等長, 有 2 雙平行邊,
圖 4-31 小文的第十二種四邊形分類
(4) 菱形菱形菱形菱形
小文將編號 1 號、8 號、13 號(如圖 4-32)分成同一類，用「菱形」來稱 呼這類的圖形，晤談中亦能說出「菱形」有四個邊等長、有二雙平行邊、對 角相等、有一組銳角和一組鈍角、對角線互相垂直…等特徵。原案記錄如下：
原案 58 2012.12.04
G513Q168師:現在請你找出菱形的圖形並說明理由?
G513Q169生:我找到編號 8、1、13 G513Q170師:請問理由是什麼呢?
G513Q171生:它們有四個邊等長,有 2 雙平行邊,對角相等, 有一組銳角和一組鈍角,對角線互相垂直
圖 4-32 小文的第十三種四邊形分類
說出名稱讓小文去找出他認為的四邊形，一方面可以發現小文對圖形輪廓 特徵和名稱的連結是否正確；另一方面從說明的理由瞭解到小文對各名稱的圖 形條件是否清楚明白。從原案記錄中可以發現小文對於各名稱須找到的圖形卡 和針對圖形卡所說明的條件理由，大多正確且符合圖形的概念特質，僅有菱形 圖形的特質分析不夠完備清楚，可見得小文在四邊形的分類能力上已初步具備 歸納與分析的能力，若依 Fuys 提出 van Hiele 層次論中各層次表現之特質，小 文已能依據圖形的條件統整圖形間的異同之處，且能加以辨識四邊形的各組特 質並說明之，只有少數特定圖形仍待加強，因此可知小文已有層次二的水準，
朝層次三邁進，但未達完全具備的程度。
(四) 四邊形圖形的觸覺感知
在這項活動中，小文須在未看見圖形卡的前提下，將手伸入測驗板內，由 研究者隨機將圖形卡放在小文的手上，小文可以任意的把圖形卡旋轉翻弄，完 全依靠手觸摸圖形板周圍的感覺來回答研究者所提出的相關問題，每完成一個 圖形卡就請小文脫下眼罩在記錄單上用文字記錄下剛剛所觸摸的感覺。等到整 個觸覺活動結束後，讓小文看到所有的圖形卡，請小文找出符合自己剛才觸摸 的圖形卡，將編號填入記錄表（如表 4-3）中，作為比對視覺觀察與觸覺判斷 間是否相符的依據。
表 4-3
表 4-3
表 4-3
原案 59 2012.12.11
形會回答的較為詳細，之後的圖形晤談中，小文多以數量、長度、大小來進行
G514Q072生:恩
編號 4 的凹四邊形中間的那一個角，小文認為是外面的銳角是它其中的一 個角而不是裡面的角，但這觀念和小文原先認為角的觀念是互相矛盾的，但從 原案中可以發現，小文最後選擇自己原先對角的概念，而判斷編號 4 是「非四 邊形」的圖形。
(3) 邊有外凸或圓滑的邊有外凸或圓滑的邊有外凸或圓滑的邊有外凸或圓滑的、、、非直線的、非直線的非直線的，非直線的，，就不是四邊形，就不是四邊形就不是四邊形。就不是四邊形。。 。
者就此答案進一步詢問小文怎麼知道的，小文也能清楚說出他的想法，原案記 錄如下：
原案 62 2012.12.11
G514Q003師:請問你,第一個圖形(編號 13)有沒有邊呢?
G514Q004生:有 ‧
G514Q015師:邊還有給你其他的感覺嗎,除了長或短之外?
G514Q016生:它只有一雙平行邊 G514Q017師:理由呢,為什麼你知道呢?
G514Q018生:在短邊這裡有兩個角,摸起來像直角,這兩個角又剛好相鄰, 所以和這短邊相連的另外兩邊會是平行的
G514Q019師:你的意思是說,有一個邊分別垂直於另外兩邊, 所以另外這兩邊會是平行邊嗎?
G514Q020生:(想了一下)是的
從原案中可以發現，小文說出編號 13 圖形具有一雙平行邊後，亦能利用 垂直概念對平行進行解釋，可見得小文已有形成並使用某定義的能力，對照 van Hiele 幾何認知發展層次，應該有達到層次三的水準。
3、、、、圖形有固定性圖形有固定性圖形有固定性圖形有固定性，，，喜歡以長邊作為底線，喜歡以長邊作為底線喜歡以長邊作為底線。喜歡以長邊作為底線。。 。
小文在觸摸圖形時，對於研究者第一時間拿給他的圖形狀態會先予以保 留，利用雙手延著周圍摸過一遍後，再開始旋轉或翻轉圖形；各次活動結束後，
小文放下圖形會習慣將圖形的最長邊擺在靠近自己身體的方向，且在記錄單上 亦是將最長邊畫在圖形的最底下。但在編號 4 號、8 號、12 號的觸摸活動與記 錄單填寫上，就不會有前者狀況的產生，小文會以圖形某一頂點為基準將圖形 放好和繪製完成，而不是用「邊」。
從上述的觀察可以猜測，小文對於圖形的擺放位置，在心中應該有固定的
「原形圖」來做為小文在繪製觸摸圖形時的依據。
4、、、、針對圖形的性質可以清楚描述針對圖形的性質可以清楚描述針對圖形的性質可以清楚描述針對圖形的性質可以清楚描述，，，但不會主動與圖形名稱連結，但不會主動與圖形名稱連結但不會主動與圖形名稱連結。但不會主動與圖形名稱連結。。。
小文在整個活動過程中，對於圖形條件的論述說明十分清楚，但晤談過程 中，小文就僅對研究者的發問問題進行回答，不會在對話當中將這些性質和符
合這些性質的圖形名稱進行連結，原案記錄擇一如下：
原案 63 2012.12.11
G514Q403師:請問你,第十一個圖形(編號 14)有沒有邊呢?
G514Q404生:有
G514Q405師:請問有幾個邊呢?
G514Q406生:四個邊
G514Q407師:請問這個圖形的邊摸起來,你有什麼感覺呢?
G514Q408生:兩條長邊和兩條短邊
G514Q409師:長邊的位置和有無特別之處嗎?
G514Q410生:長邊分別在圖形上的上面和下面,會互相平行且等長 G514Q411師:那短邊呢?
G514Q412生:短邊在圖形的左邊和右邊,也會互相平行且等長 G514Q413師:長邊和短邊在長度上有差異嗎?
G514Q412生:短邊在圖形的左邊和右邊,也會互相平行且等長 G514Q413師:長邊和短邊在長度上有差異嗎?