國小美術班視覺型與觸覺型兒童四邊形概念瞭解之探究－從Duval及van Hiele理論的觀點

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(1)國立臺中教育大學數學教育學系國小教師在職進修教學碩士班碩士論文. 指導教授：吳德邦博士. 國小美術班視覺型與觸覺型兒童四邊形概念瞭解之探究－從 Duval 及 van Hiele 理論的觀點. 研究生：何宗璿撰. 中華民國一 ○ 二年六月.

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(3) 謝. 誌. 與臺中教育大學結緣的契機，於修習「教師在職進修特殊教育資賦優異師資職前教育課程學分班」而種下的。也因為有這等學術進修的機會，使我覺得學海無涯，應更加精進自身的學識涵養，故再報考數教系碩士班的學程，以期學之所用，在教學現場上成為一位專業、稱職的教育工作人員。本論文的寫作，對我是個全新且極富挑戰的任務，它督促著我在這學術殿堂上不斷地探索著，然而追求學問的道路並非全然是康莊大道，總會遇上顛簸或分歧之處，但此時有賴論文指導教授吳德邦教授，總能適時給予許多良善的建議，讓我能穩健的逐步完成，再者也教導了我做學問的方法與為人處世的智慧哲理，令我獲益良多，也因為吳德邦教授的真誠的付出與無私的關懷，使我順利孕育出這本論文。感謝口試委員馬秀蘭教授及游自達教授在百忙中仍抽空費心的閱讀本篇論文，且在論文的完成階段給予許多的寶貴意見，令我得以再思索、再反省和再學習，最後使這篇論文更臻完善，特此致上萬分謝意。感謝系上全體師長的諄諄善誘及同班兩年的同學們互相鼓勵與打氣，讓我的求學生涯有著一番不同的風景，相信這等情景一定會長存我心頭難以忘懷；其中特別感謝同學武諺、永欽的無私協助，一同討論彼此論文間的種種問題與心得，也因如此讓我獲得許多原先未注意的細節小事，在此一併致上謝意。感謝本校洪文鍊校長的支持進修、行政單位的配合，以及美術班的玉惠師、雅萍師、輝坪師、賓鴻師和毓蓓師協助研究對象之判定，再者亦感謝美術班教師群的大力鼎助，讓我在學業及工作上能得心順手，無須蠟燭兩頭燒，忙壞了！最後要感謝我的父母與家人，尤其是我的女朋友，從準備考試、學位研讀、到論文的研究與撰寫，都是我持續前進之能量來源，感謝妳陪我度過這兩年研究所光陰，相信在不久的未來，我們的關係會更加緊密與靠近。謹以此論文的成果和個人的成長，獻給所有關心我的人。宗璿謹誌于國立臺中教育大學數學教育學系 2013.06..

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(5) 摘. 要. 本研究之目的，旨在探究國小階段美術班中不同創造類型之兒童：視覺型與觸覺型兒童，在幾何領域中四邊形概念的瞭解情形。本碩士論文係吳德邦（2003）所主持行政院國家科學委員會專案計畫（計畫名稱：國小學生在形概念知覺性、操弄性、作圖性、論說性了解之後續研究。編號： NSC92-2521-S-142-004-）中的部分成果。本研究先依據 Lowenfeld 和 Brittain 理論(1987)，並參考藍同利（2005）所編製關於兩種創造類型兒童特質的篩檢表來加以修正，再請擔任美術班的教師推薦且蒐集相關資料，篩選出符合視覺型、觸覺型發展特徵的兒童，最後經具有美術專長之教師與專家進一步評估，選出本研究的樣本共計三位。分別為兩位視覺型兒童：就讀六年級的小晨和五年級的小文；一位觸覺型兒童：就讀六年級的小如。本研究有四次的實物操弄與晤談、每次都全程錄音錄影記錄，並將資料編碼轉譯整理為訪談原案；另以紙筆方式施測「吳-薛氏 van Hiele 幾何認知發展測驗」用來比對訪談結果，最後以 Duval 理論中對幾何圖形的四個瞭解：知覺性、操弄性、作圖性、論說性等四個了解，分析本研究的視覺型、觸覺型兒童在四邊形概念的瞭解情形。歸納結果發現： 1. 視覺型、觸覺型兒童在四邊形概念瞭解的表現，與 Lowenfeld 和 Brittain (1987) 提出兩種類型兒童在造型能力的特徵吻合：視覺型兒童較可順利將觸覺感知轉化為視覺經驗，而觸覺型兒童在接觸事物時經常只能以片段、主觀的的方式表達。 2. 在四邊形的知覺性、操弄性、作圖性、論說性了解情形：視覺型兒童較能熟悉並使用圖形的數學性質來說明及推論；觸覺型兒童則較依賴圖形的外觀形貌進行說明，對定義較容易混淆不清，而導致推論時的錯誤。 3. 紙筆測驗的部分：視覺型兒童的四邊形概念發展對照 van Hiele 幾何層次理論，均接近層次三理論的層次；而觸覺型兒童的四邊形概念發展則符合層次二描述的層次。 I.

(6) 由研究結果顯示：視覺型、觸覺型兒童在學習平面幾何課程時，確實呈現出不同的概念瞭解情形。. 關鍵詞：美術班、視覺型、觸覺型、四邊形、Duval 理論. II.

(7) The cognitive apprehension of haptic-type and visual-type of the art-talented Children on quadrilateral conception in geometry --- analysis with Duavl Theory and van Hiele geometric thinking Tsung-Hsuan Ho. Abstract The purpose of this research is to study the difference of creative between the haptic-type and the visual-type children in art-talented class. To know the way how they understand the concept of quadrilateral in geometry field. This study presents partial results from the project “A Study of perceptual apprehensive, operative apprehensive, sequential apprehensive and discursive apprehensive for elementary school students (POSD)”, funded by National Science Council of Taiwan (NSCTW, Grand No. NSC92-2521-S-142-004), principal investigator (co-PI): Der-Bang Wu.(2003). This research is firstly based on Lowenfeld & Brittain (1987) Theory and then reference Tung-li-Lan’s(2005) research to develop two kinds of sieve-table for sieving creative-type children. According to the Arts & Cultures teachers’ recommendation, we select the children who have the haptic-type and visual-type traits have been accessed and confirmed by experts for picking three samples: Sheau-Chen (sixth grade), Sheau-Wen(fifth grade) these two students belong to visual-type children; Sheau-Ru (sixth grade) is haptic-type children. After four rounds of interview, practical training, and recording, data has been collected on how children solving quadrilateral questions, and coding data has been transformed into the interviewing projects. In addition, children have been examined with pencil and paper test (Wu-Shey, Van Hiele geometry cognitive development test), verifying the result of interviewes. Finally, according to the Duval Theory, We learned about four characteristics in geometry field: perceptual, sequential, discursive and operative III.

(8) apprehension. We analyzed haptic-type and visual-type children about their developing situation in quadrilateral conception of geometry field.. Summarized the results found: 1. The visual-type and haptic-type children show understanding in quadrilateral conceptions of geometry field and also matched with Lawenfeld Theory in two types of children’s modeling ability traits. The visual-type children can transform the tactile perception into visual experiences, and the haptic-type children only show their accepting messages with fragment, subjective concepts. 2. In quadrilateral’s four characteristics of cognitive, perceptual, sequential, discursive and operative apprehension: the visual-type children are more familiar with and use the mathematical properties of the graph to illustrate and inferences; whereas, the haptic-type children more dependent on the appearance of the graph will be described and math definition and inference is easily confused. 3. Pencil and paper test: the visual-type children are close to the third-layer of van Hiele geometry theory. The haptic-type children conform the second- layer of van Hiele geometry theory. The results of this research display, the visual-type and the haptic-type children have different concepts to understand the situation in learning geometry’s curriculum.. Keywords: the art-talented class, visual-type, haptic-type, quadrilateral, Duval Theory. IV.

(9) 目摘. 次. 要.......................................................................................................... I. Abstract .........................................................................................................III 目. 次......................................................................................................... V. 表. 次...................................................................................................... VII. 圖. 次....................................................................................................... IX. 第一章緒論.................................................................................................. 1 緒論第一節. 研究背景與動機 ................................................................................ 1. 第二節. 研究目的、研究問題與名詞釋義 .................................................... 5. 第三節. 論文組織 ............................................................................................ 7. 第二章文獻探討 .........................................................................................9 第一節. 關於兒童兩種創造類型發展之理論 ................................................ 9. 第二節. 兒童幾何概念發展的相關理論探究 ...............................................11. 第三節. 兒童幾何概念發展的相關研究 ...................................................... 19. 第三章研究方法與實施過程 ...................................................................25 第一節. 研究架構 .......................................................................................... 25. 第二節. 研究對象 .......................................................................................... 26. 第三節. 研究工具 .......................................................................................... 32. 第四節. 研究流程 .......................................................................................... 38. 第四章結果與討論 ...................................................................................41 第一節. 視覺型兒童小晨在訪談、紙筆測驗與四個了解的分析結果 ...... 41. 第二節. 視覺型兒童小文在訪談、紙筆測驗與四個了解的分析結果 ...... 83. 第三節. 觸覺型兒童小如在訪談、紙筆測驗與四個瞭解的分析結果 .... 125. 第四節. 視覺型與觸覺型兒童訪談結果的比較 ........................................ 159. 第五節. 視覺型與觸覺型兒童紙筆測驗結果部分的比較 ........................ 175. 第六節視覺型與觸覺型兒童在知覺性、操弄性、作圖性、論說性了解的比較 .......................................................................................... 182. V.

(10) 第五章結論與建議 .................................................................................191 第一節. 結論 ................................................................................................ 191. 第二節. 省思與建議 .................................................................................... 202. 參考書目......................................................................................................207 中文部分 .......................................................................................................... 207 英文部分 .......................................................................................................... 212. 附錄..........................................................................................................215 附錄 1：吳-何氏視覺型、觸覺型兒童特徵篩選表 ...................................... 216 附錄 2：吳-何氏視覺型、觸覺型兒童特徵專家評選表 .............................. 217 附錄 3：視覺型、觸覺型兒童受訪之家長同意書 ....................................... 218 附錄 4-1-1：四邊形圖形繪製測驗之訪談大綱 ............................................ 219 附錄 4-2-1：四邊形圖形辨識測驗之訪談大綱 ............................................ 219 附錄 4-2-2：四邊形圖形辨識測驗之圖形紙 ................................................ 220 附錄 4-3-1：四邊形圖形分類測驗之之訪談大綱 ........................................ 221 附錄 4-4-1：四邊形圖形觸覺感知測驗之訪談大綱 .................................... 221 附錄 4-4-2：四邊形圖形觸覺感知測驗之活動記錄單 ................................ 222 附錄 5-1：六年級視覺型兒童小晨的藝術表現 ............................................ 223 附錄 5-2：五年級視覺型兒童小文的藝術表現 ............................................ 224 附錄 5-3：六年級觸覺型兒童小如的藝術表現 ............................................ 224 附錄 6-1：「吳－薛氏 van Hiele 平面幾何概念測驗」簽署同意書 .......... 225 附錄 6-2：「吳氏幾何圖形繪製、辨識、分類訪談大綱」簽署同意書...... 226 附錄 6-3：「藍氏觸覺感知測驗之操作工具」簽署同意書 .......................... 227 附錄 7-1：六年級視覺型兒童小晨的活動晤談逐字稿 ................................ 228 附錄 7-2：五年級視覺型兒童小文的活動晤談逐字稿 ................................ 252 附錄 7-3：六年級觸覺型兒童小如的活動晤談逐字稿 ................................ 276 指導教授簡歷 .................................................................................................. 295 作者簡歷 .......................................................................................................... 297. VI.

(11) 表. 次. 表 3-1 小晨的[數學領域]與[藝術與人文領域－視覺藝術]成績一覽表 ..........30 表 3-2 小文的[數學領域]與[藝術與人文領域－視覺藝術]成績一覽表 ..........31 表 3-3 小如的[數學領域]與[藝術與人文領域－視覺藝術]成績一覽表 ..........32 表 3-4 視覺型、觸覺型兒童紙筆測驗與訪談活動實施日程表 ......................39 表 4-1 小晨幾何圖形觸覺感知測驗晤談觀察記錄表 .....................................66 表 4-2 小晨在「van Hiele 平面幾何概念測驗」通過率統計表 .....................76 表 4-3 小文幾何圖形觸覺感知測驗晤談觀察記錄表 ...................................110 表 4-4 小文在「van Hiele 平面幾何概念測驗」通過率統計表 ...................118 表 4-5 小如幾何圖形觸覺感知測驗晤談觀察記錄表 ...................................145 表 4-6 小如在「van Hiele 平面幾何概念測驗」通過率統計表 ...................152 表 4-7 視覺型、觸覺型兒童在四邊形繪製活動類型對照表 ........................162 表 4-8 視覺型、觸覺型兒童在四邊形辨識活動類型對照表 ........................165 表 4-9 視覺型、觸覺型兒童在四邊形分類活動類型對照表 ........................169 表 4-10 視覺型、觸覺型兒童在四邊形觸覺感知活動類型對照表................174 表 4-11 視覺型、觸覺型兒童在 van Hiele 平面幾何概念測驗通過率統計表175 表 4-12 視覺型、觸覺型兒童在四邊形操弄性了解對照表 ...........................185 表 5-1 視覺型、觸覺型兒童在四邊形繪製活動的表現對照表 ....................192 表 5-2 視覺型、觸覺型兒童在四邊形辨識活動的表現對照表 ....................194 表 5-3 視覺型、觸覺型兒童在四邊形分類活動的表現對照表 ....................195 表 5-4 視覺型、觸覺型兒童在四邊形觸覺感知活動的表現對照表 .............197 表 5-5 視覺型、觸覺型兒童在 van Hiele 平面幾何概念測驗對照表 ..........198. VII.

(12) VIII.

(13) 圖. 次. 圖 3-1. 四邊形之辨識活動的圖形卷 .............................................................36. 圖 3-2. 四邊形之分類活動的圖形片 .............................................................36. 圖 4-1. 小晨所畫的四邊形 ............................................................................42. 圖 4-2. 小晨複製編號 1 四邊形的圖形 ..........................................................45. 圖 4-3. 小晨的四邊形圖形辨識測驗圖形紙 ..................................................48. 圖 4-4. 小晨認為不是四邊形的圖形卡 ..........................................................54. 圖 4-5. 小晨的第一種四邊形分類 .................................................................56. 圖 4-6. 小晨的第二種四邊形分類 .................................................................57. 圖 4-7. 小晨的第三種四邊形分類 .................................................................59. 圖 4-8. 小晨的第四種四邊形分類 .................................................................60. 圖 4-9. 小晨的第五種四邊形分類 .................................................................62. 圖 4-10 小晨的第六種四邊形分類 .................................................................63 圖 4-11 小晨的第七種四邊形分類 .................................................................64 圖 4-12 小晨的第八種四邊形分類 .................................................................65 圖 4-13 小晨判定是四邊形的圖形 .................................................................69 圖 4-14 小晨判定為不是四邊形的圖形 ..........................................................70 圖 4-15 小晨在幾何概念測驗的答錯題目 05 .................................................78 圖 4-16 小文所畫的四邊形 ............................................................................84 圖 4-17 小文複製編號 1 四邊形的圖形 ..........................................................89 圖 4-18 小文的四邊形圖形辨識測驗圖形紙 ..................................................90 圖 4-19 小文認為不是四邊形的圖形卡 ..........................................................97 圖 4-20 小文的第一種四邊形分類 .................................................................99 圖 4-21 小文的第二種四邊形分類 ...............................................................100 圖 4-22 小文的第三種四邊形分類 ...............................................................101 IX.

(14) 圖 4-23 小文的第四種四邊形分類 ...............................................................101 圖 4-24 小文的第五種四邊形分類 ...............................................................102 圖 4-25 小文的第六種四邊形分類 ...............................................................103 圖 4-26 小文的第七種四邊形分類 ...............................................................104 圖 4-27 小文的第八種四邊形分類 ...............................................................105 圖 4-28 小文的第九種四邊形分類 ...............................................................106 圖 4-29 小文的第十種四邊形分類 ...............................................................107 圖 4-30 小文的第十一種四邊形分類 ...........................................................107 圖 4-31 小文的第十二種四邊形分類 ...........................................................108 圖 4-32 小文的第十三種四邊形分類 ...........................................................108 圖 4-33 小文在幾何概念測驗的答錯題目 05 ...............................................119 圖 4-34 小文在幾何概念測驗的答錯題目 50 ...............................................120 圖 4-35 小文在幾何概念測驗的答錯題目 65 ...............................................120 圖 4-36 小文在幾何概念測驗的答錯題目 56 ...............................................121 圖 4-37 小文在幾何概念測驗的答錯題目 68 ...............................................121 圖 4-38 小如所畫的四邊形 ..........................................................................125 圖 4-39 小如複製編號 1 四邊形的圖形 ........................................................126 圖 4-40 小如四邊形圖形辨識測驗圖形紙 ....................................................130 圖 4-41 小如認為不是四邊形的圖形卡 ........................................................135 圖 4-42 小如的第一種四邊形分類 ...............................................................137 圖 4-43 小如的第二種四邊形分類 ...............................................................138 圖 4-44 小如的第三種四邊形分類 ...............................................................140 圖 4-45 小如的第四種四邊形分類 ...............................................................141 圖 4-46 小如的第五種四邊形分類 ...............................................................142 圖 4-47 小如的第六種四邊形分類 ...............................................................143 X.

(15) 圖 4-48 小如的第七種四邊形分類 ...............................................................144 圖 4-49 小如在幾何概念測驗的答錯題目 05 ...............................................153 圖 4-50 小如在幾何概念測驗的答錯題目 11 ...............................................154 圖 4-51 小如在幾何概念測驗的答錯題目 39 ...............................................154 圖 4-52 小如在幾何概念測驗的答錯題目 50 ...............................................155 圖 4-53 小如在幾何概念測驗的答錯題目 53 ...............................................155 圖 4-54 小如在幾何概念測驗的答錯題目 59 ...............................................155 圖 4-55 小如在幾何概念測驗的答錯題目 65 ...............................................156 圖 4-56 小如在幾何概念測驗的答錯題目 68 ...............................................156. XI.

(16) XII.

(17) 第一章緒論本章共分為三節，第一節論述本研究的背景與動機，第二節說明研究目的、研究問題與名詞釋義，第三節則說明本研究寫作的架構。. 第一節. 研究背景與動機. 幾何知識的發展，距今約五千多年前就已經開始。從埃及人所建造的金字塔建築中可以看出當時的人已懂得不少的天文和幾何的知識，例如基底直角的誤差與底面正方形兩邊偏差都相去不多；而中國新石器時期彩陶文化上的陶罐花紋多為線紋、錐刺紋和弦紋，圖案則以人面、魚、鹿、植物等象徵圖騰和三角形、圓點組成的幾何圖飾為主；另外《史記．夏本記》中說夏禹治水時已使用了規、矩、准、繩等作圖和測量工具，以及戰國時期齊人所著《考工記》中也清楚記錄當時的手工業技術，其中包含的測量內容方法，並涉及到一些幾何知識，例如角的概念（薛建成， 2003）。諸如以上所述，可以發現到不同民族因日常生活上的實際需要，而發展出各具特色的幾何知識。再者，隨著人類的文明發展，計量長度、角度、面積和體積的知識更加熟備，讓人們越來越精準的掌握幾何的相關知識，進而更廣泛的運用在我們所生活的世界當中。依我國國民小學的數學課程之發展，在 1975 年以前的數學課程著重於數、計算與實測的內容，至於幾何的內容與教材則散布在計算與實測這二類之中，且課程中對於幾何圖形概念的分析與解釋亦不多見；然而在 1975 年的數學課程修訂後，幾何方面的教材逐漸受到重視，且將此一教材內容自成一類，至此數學課程走向數、量、形三個領域；1975 年的數學課程實施近二十個年頭後，於 1993 年數學課程修訂改版中，將原先的數、量、形等概念分改為數與計算、量與實測、圖形與空間、統計圖表、數量關係、術語與符號共六個主題，其中屬於幾何方面的教材仍以「圖形與空間」單獨成為一個主題，但已細分成平面圖形與立體圖形兩部分來進行教學；而後的數年間，我國數學課程又歷經 90 暫綱、92 課綱和 97 課綱的修訂與微調，數學學習領域被分為數與量、幾何(90 暫綱中將之稱為圖形與空間)、代數、統計與機率、 1.

(18) 連結。由上述細數我國數學課程與教材之發展，可以看出數學學習領域正式用「幾何」作為主題的名稱是近年來才開始的；然而亦能發現從 1975 年後，幾何在數學教育上是一門重要課題（教育部，1968、1975、1993、2001、2003、2008）。因此，數學課程的幾何部分是值得關切與研究的，這也是研究者感興趣的部分。數學領域的幾何課程，自 1993 年教育部公布實施的國民小學標準，以至現今的國民中小學九年一貫課程綱要，主要是以 van Hiele 夫婦所發展的幾何思考模式與層次理論為基礎來編寫（吳德邦、謝翠玲，1998；劉好，1993；van Hiele, 1986； Wu, 1994）；從其理論中可以了解，在國小每個階段中對於幾何概念的學習有著不同的歷程：第一階段（國小一年級到二年級）的學習，著重於簡單幾何形體的仿製、辨認、描述與分類；第二階段（國小三年級到四年級）的學習，將透過操作來認識簡單平面圖形的性質以及全等的關係，並能掌握幾何平面圖形構成的要素，另外與數、量相關的幾何量(包括角度、邊長和面積)，則漸漸成為教學上的另一重點；而到第三階段（國小五年級到六年級）的學習，以認識簡單的平面與立體形體的幾何性質，且透過形體的切割、湊補、重組和放大、縮小等變換方式操作，來理解形體的面積或體積之計算以及比例上的變化，進一步瞭解形體的特質（教育部，2008）。在各階段的學習歷程中，常因為學生幾何學習認知發展狀況的差異，而造成學生有著不同的學習架構，關於這方面的研究多以不同類型的迷思概念來表述之，且有相關的資料（沈佩芳，2002；郭育宓，2003；謝金助，2003），然而這些資料當中，研究者偏重於以學生為何有這類型的迷思概念認知發展為研究方向，對於兒童在認知發展的探究瞭解上則少有著墨。因此在這些學習過程中，是否會因為學習者幾何認知發展的差異性，而造成學習者會產生不同的認知架構類型，再者如何幫助不同的認知架構類型的學生學習這些既定的幾何教材，還需要更進一步的去研究與釐清。在國民中小學九年一貫課程綱要數學領域的「幾何」主題說明中，清楚指出在國小階段幾何形體的理解包含察覺、操作、構造、推理證明等諸面向（教育部，2008）。因此進行教學時應該要依據兒童學習發展階段，讓兒童透過實地操作而認識幾何圖形的要素與性質，最後再加入一些簡單的推理性質，讓學生瞭解各種幾何形體間的. 2.

(19) 關係，以利銜接國中的幾何學習。國小階段對幾何形體的理解，其理論主要是依據 Duval 對幾何圖形瞭解的認知理論而來；Duval (1995)提出的四個瞭解的幾何圖形認知理論是以 14 歲的青少年兒童作為施測對象所得之結果，至於國內對該理論的研究，資料顯示多半也以國中生為研究對象（陳創義，2003；Wu, 1994），以國小兒童的相關研究並不多見，因此興起欲以此理論作為本研究的立論理論。依據 Lowenfeld 和 Brittain (1987)所提出的兒童階段性造型發展理論，兩人認為兒童的造型發展過程必須經過前一個的階段才能進入下一個階段，若將該理論對照 van Hiele 的幾何思考層次實有不謀而合之處（吳德邦、馬秀蘭、藍同利，2006a、 2006b；藍同利，2005)。再者，在Lowenfeld 和 Brittain 理論（1987）中亦說到，兒童邁入青春期之造型發展依兒童所創作之作品特徵可分為視覺型（the visual type）、觸覺型（the haptic type）和非視覺型與觸覺型等三類，其比率大約為47％、 23％和30％；視覺型的兒童會透過視覺客觀的觀察周遭環境，會利用視覺的分析來穿透物質的本質，其作品較有具象的表徵；觸覺型的兒童利用自身的接觸、感覺與經驗來表達自我與外界的關聯，其作品表現是高度主觀的，且圖畫上的比例是自己內在的價值所決定的。因此對於這二種不同的造型類型的兒童，是否會在兒童幾何概念的認知發展上呈現出不同的學習狀況，歷年來的文獻資料僅有數筆，可見的此一領域的探究有頗大的研究空間。張英傑（2001）的研究是藉由在北部縣市中熟識的幼稚園或國小一至三年級的教師推薦班上中上程度學生參加晤談，共計 40 名研究對象。晤談方式採實作進行，活動有操作、辨識和描繪等。該研究結果顯示，其一是此次受測兒童在說明圖形的性質時，大多都是以整理性的知覺思考，常以舉例的方式來比擬說明圖形，僅有少數人可以說出圖形的部分特徵；另外兒童對於任何基本圖形，無論在視覺的察看、觸覺的觸摸或做分類活動時，對於圖形的特徵都不能全數說出必要充分的相關屬性。其二為在視覺辨認活動時，兒童知覺外在周遭的環境，常以舉例說明哪些物件像某種圖形，來瞭解這些物件和圖形部分屬性有所關聯；在觸覺辨識活動上，發現兒童對於某些圖形的特徵，在視覺察視下無法清楚描述，但在觸覺摸索時能感受而. 3.

(20) 知；在釘板上造圖的活動中，大部分的兒童都使圖形成為正置狀況(意即有水平的底線)來完成活動。這項研究之結果若拿來對照 Lowenfeld 和 Brittain 理論，是否可以通盤解釋二種類型的兒童在學習平面幾何的概念瞭解情形亦有同樣的情況發生，這值得進一步的加以探究。謝貞秀（2002）的研究為探討國小中年級兒童平面幾何圖形的概念，研究方法採紙筆測驗和個別晤談。該研究結果顯示：中年級兒童多以「邊的性質」來描述正方形、長方形和菱形，但描述平行四邊形、梯形、箏形時，則多以舉出日常生活實例來描述之；另外，他們在辨識圖形會受圖形的大小、方位、邊數角數、邊的曲直、邊的長短、邊角的性質、封閉性等影響，而產生一些迷思概念。這研究的結果，對於即將邁入視覺型、觸覺型的高年級兒童是否亦會呈現出相同的表現情形，尚待進一步的檢證。 Wu & Ma (2005)以量化的研究法，利用「吳-薛氏 van Hiele 平面幾何概念測驗」研究國小階段學生在 van Hiele 幾何思考層次中層次一的幾何概念發展情形，此項研究結果顯示：視覺辨識圖形的邊為直線和曲線，對學生是容易的；圖形經過旋轉後的位置與方向，學生在判斷上會感到困難。然而這項研究結果為大樣本的量化數據結果，並未對個別學生的差異性進行瞭解，因此研究結果在不同認知風格的兒童身上是否會產生同樣的表現，值得進一步的探究。藍同利（2005）以探索不同的創作類型：視覺型與觸覺型的兒童在三角形幾何概念瞭解的差異，研究結果顯示：視覺型兒童能精準的判斷三角形的各項特徵；而觸覺型兒童容易誤判圖形或無法說出三角形的幾何特質。關於利用美術創作的特質來進行數學幾何概念的瞭解探究之跨領域研究似嫌不多，再者平面幾何圖形除了三角形外，仍有四邊形、多邊形與圓形等圖形尚未探究，因此本研究以「國小美術班視覺型與觸覺型兒童四邊形概念瞭解之探究」為題，以四邊形概念瞭解作為研究主題，來探討國小美術班不同創造類型的學生，在認知概念上的異同。. 4.

(21) 第二節. 研究目的、研究問題與名詞釋義. 一、研究目的依據上述的研究背景與動機，本研究的研究目的有： (一) 探討國小美術班視覺型與觸覺型兒童在四邊形圖形繪製活動的表現。 (二) 探討國小美術班視覺型與觸覺型兒童在四邊形圖形辨識活動的表現。 (三) 探討國小美術班視覺型與觸覺型兒童在四邊形圖形分類活動的表現。 (四) 探討國小美術班視覺型與觸覺型兒童在四邊形圖形觸覺感知活動的表現。 (五) 探討國小美術班視覺型與觸覺型兒童在 van Hiele 幾何思考層次發展測驗的表現。 (六) 依據 Duval 理論及四個個案的訪談、紙筆測驗記錄，探究並比較國小美術班視覺型與觸覺型兒童的四邊形認知發展，在知覺性、操弄性、作圖性、論說性了解的發展狀況。. 二、研究問題基於上述的研究目的，本研究須探索的研究問題有： (一) 國小美術班六年級視覺型兒童小晨，在四邊形繪製、辨識、分類、觸覺感知的四段訪談活動及 van Hiele 幾何思考層次發展之測驗的表現為何？小晨的四邊形概念在 Duval 理論中知覺性、操弄性、作圖性、論說性了解的概念發展呈現何種的瞭解狀況呢？ (二) 國小美術班五年級視覺型兒童小文，在四邊形繪製、辨識、分類、觸覺感知的四段訪談活動及 van Hiele 幾何思考層次發展之測驗的表現為何？小文的四邊形概念在 Duval 理論中知覺性、操弄性、作圖性、論說性了解的概念發展呈現何種的瞭解狀況呢？ 5.

(22) (三) 國小美術班六年級觸覺型兒童小如，在四邊形繪製、辨識、分類、觸覺感知的四段訪談活動及 van Hiele 幾何思考層次發展之測驗的表現為何？小如的四邊形概念在 Duval 理論中知覺性、操弄性、作圖性、論說性了解的概念發展呈現何種的瞭解狀況呢？ (四) 國小美術班視覺型與觸覺型兒童在四邊形繪製、辨識、分類、觸覺感知的四段訪談表現上有何異同之處？ (五) 國小美術班視覺型與觸覺型兒童在 van Hiele 幾何思考層次發展測驗之紙筆測驗上的表現有何異同之處？ (六) 國小美術班視覺型與觸覺型兒童的四邊形認知發展，在 Duval 理論中知覺性、操弄性、作圖性、論說性了解的概念呈現出怎樣的瞭解情形？. 三、名詞解釋 (一) 國小美術班我國於 1981 年設立「美術教育實驗班」，施予有計畫、有系統的課程教育，以發展學生的美術創作能力、培養美術情操與健全人格。而後依實施的成效，於 1987 年 3 月依「特殊教育法」施行細則，正名為「美術特殊才能資賦優異班」，簡稱為「美術班」，至此將「實驗」二字去掉。「特殊教育法」（教育部，2004）歷經 1997 年、2001 年、2004 年三次修訂後，所指稱的資賦優異亦仍包括藝術才能優異，但實施方式僅能採分散式資源班、巡迴輔導班、特殊教育方案辦理之。若依據上述法令規定，「美術班」將無法集中成班。因此本研究所言之國小美術班，係為教育部「藝術教育法」（教育部，2000）修正公布所指藝術才能班的型態之一。其甄選方式首先由家長提出申請與報名，再通過各縣市政府所辦理的入學鑑定考試，將國小三年級以上美術表現優異的學童集結且單獨成班，招收對象不限學區且以 30 名為限。美術班的課程安排仍與普通班一樣接受相同的學科課程，僅將藝術與人文領域的學習時數調整為每周六至十節的學習課程，以培養具有優異的美術成就能力之學生。 6.

(23) (二) 視覺型、觸覺型藉由學生創作完成的作品以及學生處理經驗的態度，來分辨藝術表現的兩種類型－視覺型與觸覺型。視覺型的學童具有觀察性向的心理因素，經常從事物的外貌來觀察，通常會從物體的外在輪廓開始表現，然後才以細節來充實形體，將這些部分綜合起來產生一個新的整體印象，且有能把運動感與觸覺經驗轉變為視覺經驗的傾向；觸覺型的學童主要依據身體的感應、運動感經驗、接觸的印象以及自我與外在世界的價值關係經驗來體驗事物，不會主動的把運動感與觸覺經驗轉變為視覺經驗並加以綜合，對於所接觸的事物印象是片斷的、非整體性的；因此視覺型與觸覺型學童可以從他們作品中人物、空間、色彩與設計等表現特徵看出。 (三) 四邊形概念概念一詞在數學學習的意義上，指的是學童歷經「經驗」、「察覺」、「瞭解」三階段逐步完成後，所形成的內蘊化的解題活動類型（甯自強，1996）。然而本研究則是欲透過學童在四邊形的繪製、辨識、分類、觸覺感知與紙筆測驗等不同的活動，瞭解學童所表現出的四邊形概念，概念包含對圖形輪廓的瞭解、描述、判定、分類，以及從觸覺、視覺的感知判斷而形成的類型。. 第三節. 論文組織. 本研究由五個部分所組織而成。第一章為緒論，說明本研究的背景與動機，以及研究目的與研究問題；第二章文獻探討包含：依據 Lowenfeld 和 Brittain 的理論來探究視覺型與觸覺型兒童發展類型、瞭解兒童幾何概念的相關理論以及討論兒童幾何概念發展的相關學術研究；第三章說明本研究的架構、述說研究對象的相關背景與學習表現、說明本研究的研究工具和針對研究實施的過程進行說明；第四章結果與討論，以訪談施測的結果來分析三個個案：視覺型的小晨、小文；觸覺型的小如，以呈現學童在四邊形概念的瞭解情形；第五章結論與建議，整理並提出研究結果，並回顧反思整個研究過程，依研究結果提出對未來或後續研究的相關建議。 7.

(24) 8.

(25) 第二章文獻探討本章共分三節，第一節依據 Lowenfeld 和 Brittain 的理論，說明本研究欲探討的視覺型與觸覺型兒童創造類型上的發展與特徵；第二節探究兒童幾何概念的相關理論；第三節則討論兒童幾何概念發展之相關研究。. 第一節. 關於兒童兩種創造類型發展之理論. Lowenfeld 和 Brittain (1987)認為可以藉由兒童完成的作品和創作作品時的經驗態度，清楚分辨藝術表現的兩種不同創造的類型：視覺型和觸覺型。這兩種創造類型的兒童是以不同的方式與外在世界產生關聯並從中獲得經驗：視覺型兒童經常從事物的外貌來看待它們，往往覺得自己是從一位旁觀者來觀看這個世界，再者兒童會將自身視覺所看到的印象與經驗轉化表現在作品上，展現出正確的比例和量度；觸覺型兒童主要是透過身體的本身，如：肌肉感應、接觸的印象、運動的經驗以及自我與外界世界的價值關係經驗，以主觀表達自我的方式來呈現兒童對這個世界的認知與體認。透過 Viktor Lowenfeld 在一項為調整視覺或觸覺性向而特別設計的測驗，使用 1128 道測驗題進行調查，其結果顯示 47%是屬於視覺型、23%是屬於觸覺型，另外有 30%低於可辨識界限為不可辨識的對象，這樣的比例與 W. Grey Walter 的獨立研究結果相符合。（王德育，1991）依據 Lowenfeld 的研究，可發現視覺型和觸覺型的兒童比例約為 2：1，然而視覺型和觸覺型的創造類型特質，經由研究者將其與幾何能力造型特徵分析與整理，發現的特徵分述如下：. 一、視覺型的特徵 1. 視覺印象主要的媒介是眼睛，但觀察的能力並非完全依賴眼睛的生理情況。 2. 具有觀察性向的心理特徵是具有決定性的重要因素。 9.

(26) 3. 自認為是一位旁觀者，以客觀的方式來表達所見之事物。 4. 具有看到整體卻不忽略細節的能力。 5. 將整體印象分析成部分印象，再將部分綜合成一個新個體。 6. 從外在輪廓開始表現，再以細節充實整個形體。 7. 視覺的穿透是來自物體形狀和結構特徵的分析，以及由光線、陰影、色彩、空氣及距離所決定的形狀或結構的改變效果。 8. 具有將運動感及觸覺經驗轉化為視覺經驗的傾向。. 二、觸覺型的特徵 1. 主要媒介來自身體的本身，如：肌肉感應、運動感經驗、接觸的印象、自我與外在世界的價值關係體驗。 2. 對形狀和形體所產出身體的、感情的、接觸的瞭解，綜合成形體的特徵，換言之就是其表現為自我投射的結果。 3. 不會把運動感或觸覺經驗轉化為視覺經驗，而是滿足在觸覺或運動感本身。 4. 繪畫表現是一種高度主觀的創作類型。 5. 觸覺的印象是片斷的，且兒童要對物體本身產生興趣時，才會將這些片斷的印象綜合成一個新的個體。 6. 其作品的圖像比例是個人自我價值的比例，而不是客觀的比例。依據上述 Lowenfeld 和 Brittain (1987)對視覺型和觸覺型兒童特徵的分析，可以看出兩者是以不同的方式來體驗他們所生活的世界，產生專屬他們的認知風格。經由 Sigel 和 Coop 的研究（1974），已經可以確認視覺型與觸覺型在藝術方面認知風格的幾個向度，分述如下： 1. 注意的面相：整體的特色 vs. 只注意刺激的末節，是片斷的。 2. 外在的刺激：大且全面性 vs. 小而局部部分。 3. 分類的方式：直接觀察 vs. 個人心像投射。 10.

(27) 4. 解決問題的類型：快速、有效率 vs. 緩慢、欲解決問題時才行動。 5. 思考的方式：直覺、歸納 vs. 自我投射、展現自我價值。 6. 組織知覺：客觀 vs. 主觀。因此視覺型和觸覺型兒童的分類在本研究上的意義，即在探究這兩種不同認知風格的兒童在學習四邊形的概念上，對於四邊形的概念瞭解會呈現出那些不同的發展情形，以及他們如何來經驗這些概念，這將是本研究所要深入探討的目的與重點。. 第二節. 兒童幾何概念發展的相關理論探究. 本研究是視覺型和觸覺型兒童對四邊形概念瞭解之探究，因此幾何圖形的理論基礎就顯得十分重要，故本研究以 Duval (1995)提出四個關於幾何認知的「瞭解」和 van Hiele 的幾何思考層次理論（thought levels of geometry）作為理論基礎。. 一、Duval 理論：（關於知覺性、操弄性、作圖性、論說性了解）幾何圖形在幾何問題的情境中，對於該情境內之物件所構成的關係可提供強烈的幾何直觀，不過在實際的教學活動中，卻發現幾何直觀常常無法幫助學生對問題的解答獲得一些關鍵性的啟發（Duval, 1995）。為了探究上述之現象， Duval (1995)提出對幾何圖形的四種關於幾何認知之「了解」，包括：知覺性了解、操弄性了解、作圖性了解、論說性了解。（一）知覺性了解（perceptual apprehension）知覺性了解指的是兒童透過視覺、觸覺等感官對一個幾何圖形的直接體驗和辨識，而後產生心像的一種認知歷程。一個幾何圖形被提出後，必然喚起知覺性了解和其餘三個了解中至少一個其他的了解，然而被察覺的圖形和視覺所見到的圖形最大的差別，在於圖形組織的原則以及圖形本身的提示，另外兒童 11.

(28) 可以因其需要而選擇對原既有圖形的某個部份進行辨識，此即為子圖形（如長方形被對角線分割出的兩個直角三角形）的辨識。（二）操弄性了解（operative apprehension）操弄性了解是個體修改心智中或實體圖像的一種認知歷程。當個體觀察一個圖形時，可以透過操弄圖形得到解題的靈感，以不同的方式將圖形進行更改之後而獲得解釋，然而變更圖形的方式則大致分為下列幾種：1.平移旋轉圖形；2.放大縮小圖形;3.分解組合圖形等，這三種方式能在個體的心智中操作，也可以在實體圖像上實際的變動它，這些操弄可使圖形具有啟發性的功能，故可以在操弄的過程中，突顯出圖形的變化而得到某個證明步驟或解題的靈感。在進行四邊形的分類活動時，兒童要將一堆圖形中分出那些圖形是那一類時，他可以在心中進行操作的動作，將符合他心中的原型圖形挑選出來，也可以透過實體操弄的方式來將有相同特質的圖形放至一類，故此藉由心智的比對和實體的操作所得的結果，就是操弄性了解。（三）作圖性了解（sequential apprehension）作圖性了解，意指建構一個幾何圖形或描述幾何圖形結構的一種認知歷程。在構圖性瞭解中有以下幾個重點： 1.在構圖過程中，構成圖形的不同單位元件會明確且依序的浮現出來。 2.這種理解對於圖形的基本單位組織，並非只依賴視覺的法則，而是對繪圖工具（如尺、圓規）的限制，與圖形本身的數學性質的理解。 3.若是因為繪圖工具的侷限或受到先備知識與經驗不足之影響，而無法表達出圖形性質間的關係，圖形則無法被瞭解。若欲瞭解兒童對四邊形的作圖性了解，可以透過錄音錄影的方式記錄下兒童的造圖過程，再者請兒童描述自己是如何造出四邊形的過程，由此可知兒童 12.

(29) 在建構圖形時，圖形元件是有次序且清楚的呈現，但若未使用工具或未注意到該圖形的數學特質時，則畫出的圖形可能會無法被瞭解。（四）論說性了解（discursive apprehension）論說性了解即是個體透過語言或文字等論述的方式，描述一個圖形所具有的性質或是進行推理（reasoning）的活動。一個圖形所呈現的數學性質（如對圖形的命名和一些假設），單單靠知覺性的了解來判定，並不能使所有人對圖形的幾何性質達到共同的理解。因此對於同一個圖形而言，不是每個人都可以看見相同的脈絡與性質，然後經過一個演繹的過程來決定這個圖形表現了什麼，論說性了解可以在知覺性了解不變的情況下而改變。論說性了解包括兒童對圖形的命名、定義和推論的活動。例如兒童會如何定義正方形、長方形…等不同的的四邊形，以及兒童對這群圖形的歸類、兒童應用不同圖形的的數學特質所進行的推論活動，都能表現出兒童的論說性了解。而在學生學習幾何知識來說，Duval (1998)則認為應該有三種認知過程，分述如下： 1.視覺(visualization)過程：對於圖形空間表徵的認知，可能只是單純表象圖形（線條與形狀的組織體），也可以是幾何意義（角、平行、垂直、等距、等面積）的洞察，也可以是根據文字敘述所進行的圖形再現。 2.構圖(construction)：根據作圖工具對圖形的在製過程，通常這個過程有助於學生去發現圖形中的幾何意義。 3.推理(reasoning)：進行論說的過程，例如說明、證明等。. 13.

(30) 然而在幾何認知的教學方面，Duval (1998)則主張 1.視覺、構圖、推理的幾何認知過程應該獨立發展。 2.不同視覺過程的區分及不同推理過程的區分是教學不可或缺的。 3.三種認知過程的整合只有在這些區分活動趨於成熟後才有可能。解題與論證在數學中是重要的一個核心，學生要什麼樣的經驗才能有較好的圖形論證與解題呢？ Duval (2002)認為一般的幾何教學學生有充分的操弄圖形經驗，學生才有可能發展出圖形論證能力。. 二、van Hiele 幾何思考層次理論（thought levels of geometry）實際從事教育工作的荷蘭數學教育家 van Hiele 夫婦，依據完形心理學（Gestalt psychology）的結構論及皮亞傑（J. Piaget）的認知發展理論，提出以物件導向的幾何思考層次理論。（Hoffer, 1983；Moline, 1990）本研究採用 van Hiele (1986)對層次的說法，分別為層次一：視覺的（visual）層次、層次二：描述的（descriptive）層次、層次三：理論的（theoretical）層次、層次四：形式邏輯的（formal logic）層次、層次五：邏輯法則本質的（the nature of logical laws）層次。這些層次是循序漸進，經由教師的適當引導，兒童之思考能力到達某一層次之後，才可以依序發展提升到較高的層次。以下分別描述各層次的內容：（一）層次一：視覺的（visual）層次兒童在此層次，主要是藉由視覺觀察各種實際物體，從這些物體的外在輪廓來辨認圖形，例如：教室門的形狀，兒童會認為是長方形；「◇」的形狀看起來不像正方形，因此這個層次的兒童會認為這不是正方形。此階段兒童的思考推理，受到視覺外觀的影響很大，雖然可以透過移動或旋轉的方式來加以辨別圖形間的異同之處，或者是利用非數學的術語來說明各種圖形，但是兒童無法瞭解這些圖形的真正意義。 14.

(31) （二）層次二：描述的（descriptive）層次兒童在此層次已具有豐富的視覺辨識經驗，且也具有辨別圖形特徵的能力，更可以依據視覺所觀測的結果，進一步來分析圖形的基本要素及這些圖形彼此間的關係。因此，兒童會知道長方形有四個直角；正方形有四個一樣長的邊，但他們還不能夠透過推理來瞭解圖形特徵之間有何關係存在，亦無法說明不同類圖形間的關係，例如：兒童知道正方形與長方形都有四個邊，但當這兩個圖形邊長不相等時，面積卻可能會相等，此時兒童是無法經由推理而知其道理。（三）層次三：理論的（theoretical）層次兒童已經很清楚各種圖形的構成要素，並且能夠進一步探求各種幾何圖形的內在屬性以及各個圖形之間的包含關係。例如：菱形四個邊等長且有兩雙平行的對邊，而正方形是菱形的一種，當菱形的其中一個角為 90 度時，此時的四邊形就是正方形。兒童能夠依據先前發現的圖形性質，整理成公式或使用定義，進行非正式的推演，但是還不能進行有系統的證明。（四）層次四：形式邏輯的（formal logic）層次兒童能夠經由抽象推理的過程，來證明出各種幾何問題及相互間的關係，且同時知悉這些定理證明的方法並非只有一種而已（如：能證明三角形的內角和是 180∘）。另外兒童能夠理解幾何問題之解決，必須具備的充分或必要條件，並使用邏輯推理的方法，來證明幾何的性質。（五）層次五：邏輯法則本質的（the nature of logical laws）層次這個層次是屬於最高層次，達到這個層次的兒童，可以在不同的公設體系中，學習不同的幾何公設系統且建立定理，瞭解抽象的推理幾何，並能進行分析或比較各種不同的公設系統。 15.

(32) van Hiele (1986)指出：幾何思考層次具有某些基本且固有的特性存在，而根據Crowley (1987)對於van Hiele 幾何思考層次的特性也提出了五個特性，分別為次序性（sequential）、提升性（advancement）、內因性與外因性（intrinsic and extrinsic）、語言性（linguistics）、不配合性（mismatch）。各項特性分述如下：（一）次序性（sequential）兒童幾何思考層次的發展是循序漸進的，下一個層次的概念一定是來自於上一個層次的概念，例如：層次二的兒童知道長方形有兩個長邊和短邊，此概念來自於他們在層次一透過視覺瞭解到長方形是瘦瘦長長的。另外，學生必須充分的學習所在層次的各種概念，才能順利進到下一個層次的學習。（二）提升性（advancement）兒童層次間的提升，年齡成長的影響並非是唯一且最重要的，其重點在於教師適當的教學和引導，方能提昇兒童的幾何思考概念。van Hiele (1986)曾經說：「學童幾何思考層次的進展，主要是依賴教學而不是兒童的年齡成長或成熟度的增加」。因此兒童要從一個層次到另一個層次，並非自然而然就會進行轉變，而是須透過在教與學課程計畫的影響下方能達成。（三）內因性與外因性（intrinsic and extrinsic）在某一層次的性質是屬於內在的性質，但到了下一個層次，此一性質就有可能會成為外顯的性質。例如：在層次一，長方形的「長和寬」概念可能不明顯，因此它是屬於層次一長方形的內在性質；但到了層次二的階段，「長和寬」就成為長方形的外顯性質。Clements 和 Battista（1992）也指出，對某些概念的瞭解，雖然在目前的層次可能不明顯，但在下個層次卻是明確可知的。. 16.

(33) （四）語言性（linguistics）在每一個層次中，都有屬於該層次自己獨特的語言、符號，以及這些符號之間的關聯系統。既然是各層次間獨特的語言，勢必在別的層次階段中，就不見得適用，所以就必須經過修正才能符合下一層次的語言特性。例如：層次一的兒童使用「長方形是瘦瘦長長的」語言，其必須經過多方修正，才能符合層次二的「長方形是由長和寬組成」的語言。（五）不配合性（mismatch）依據 van Hiele 幾何思考層次的特性之一：語言獨特性，每個層次有它獨特的語言、符號，因此屬於不同層次的人，彼此間常常會發生誤解或無法溝通的情況。例如：兒童是屬於層次一，但老師在教學時所運用的語言符號卻是層次二或三才懂的語言符號，如此學生無法完全理解教學內容，老師的教學效果亦會低落。因此，老師在教學過程、教材內容、教具的選擇和語言的運用均要特別注意。 Fuys (1985）以 van Hiele 幾何思考層次理論為基礎，深入探究在每一個思考層次中，學生能達到的水準究竟為何，進而提出對應 van Hiele 幾何思考層次發展，學生能表現或達到的具體行為能力：層次一：視覺層次(visualization) 1.能依據幾何圖形的整體外貌辨識形狀。 2.能作圖、繪製(draw)或複製(copy)一個圖形。 3.依據標準或非標準的形式。 4.能依據圖形整體外貌，進行比較和分類活動，並能用語言描述幾何圖形。. 17.

(34) 層次二︰描述層次(descriptive) 1.能確認並檢驗圖形組成元素之間的關係。 2.能說出組成元素的名稱，並使用適當的語彙描述之間的關係。 3.能依據組成元素之間的關係，比較兩圖之異同。 4.能經由實驗發現特殊圖形之性質，並能歸納之；能利用圖形的已知性質或洞察隱含的性質去解決幾何問題。層次三︰理論的層次(theoretical) 1.能辨認某類圖形的各組性質，並檢驗這些性質充分性。 2.形成並使用某類圖形之定義。 3.能提出非形式化的論證。 4.能非形式的辨識出敘述及逆敘述之間的不同。 5.不了解定義及基本假設的需要。 6.尚未建立定理網路間的內在關係。層次四︰形式邏輯的層次(formal logic) 1.能辨識出正式定義的特性和等價的定義。 2.在公設系統下，證明在層次二所說明的定理。 3.學生在一公設系統下，建立定理和定理間的關係，了解公設、公理、定義、定理、未定義名詞及證明的相互關係和角色，了解定理與逆定理的區別和證明的必要與充分條件，可寫出邏輯證明。層次五︰邏輯法則本質的層次（the nature of logical laws） 1.學生能嚴格地在不同的公設系統下建立定理，並分析比較之。 2.找出解決一組問題的一般性方法。 3.比較公設系統，並自動地探討公設的變動對結果的影響。 18.

(35) 第三節. 兒童幾何概念發展的相關研究. 何森豪（2001）試圖結合無母數試題反應理論及模糊理論，將 van Hiele 幾何思考模式量尺化。研究對象為國小中高年級學生，素材則以幾何概念中之四邊形概念為實例，根據實例研究的結果發現，國小中高年級學生對四邊形概念的幾何思考發展層次，有二成五落於層次一；四成屬於層次二；三成五在層次三。吳德邦（2000a）針對台灣中部地區十二所學校的國小一、三、五年級學生，透過隨機抽樣的方式選出 1480 位學生，依據 van Hiele 的幾何思考層次理論所發展而出的紙筆測驗進行施測，結果發現國小兒童的幾何發展多屬於層次一或層次二的階段，僅有少數的兒童可以達到層次三。吳德邦（2000b）使用 van Hiele 所發展出來的幾何思考層次理論，藉由晤談台灣中部地區十二所學校的國小一、三、五年級學生共 41 人，來了解國小學生 van Hiele 幾何思考層次的發展情形，其結果發現為：1.教育對於兒童在幾何思考層次發展上是有幫助的；2.依年級分，多數一年級學生已達到層次一；多數三年級學生亦也達到層次二；但五年級學生分布相當的分歧，層次一至層次三皆有之；3.民國八十二年的「國民小學數學課程標準」教材綱要中．關於四邊形的安排，是先讓學生學習正方形、長方形，而後再安排四邊形的教材，如此先特殊化，再一般化，造成日後兒童很難接受「正方形是長方形的一種」之概念，而不易達到層次三。吳德邦（2002）融合 Duval (1995)和 van Hiele (1986)的理論，發展出國小學童平面幾何圖形概念測量工具-自編的「吳－薛氏幾何思考層次測驗」，再依據此工具對台灣中部地區接受九年一貫制課程的國小學童，共計 2651 名進行施測，欲瞭解國小各年級兒童在幾何思考層次的分布情形，和 Duval (1995)所提的知覺性、構圖性、論述性、操弄性瞭解間互動情形。結果發現：1.在基本幾何圖形概念上，多數的受測學童可以落於 van Hiele 幾何思考層次的層次一～三；2.四邊 19.

(36) 形概念，可分派至某一 van Hiele 幾何思考層次的學生人數，其分布情形隨著「年級」、「城鄉」因素作卡方考驗，顯示在四邊形概念，其 van Hiele 幾何思考層次分布都有顯著（p<.05）的差異；而「性別」則沒有顯著的差異；3.接受九年一貫數學課程或民國八十二年版課程學生，與接受民國六十四年版課程的學生，其 van Hiele 幾何思考層次分布之差異情形是一致的。薛建成（2003）依據 van Hiele 理論發展出的測驗工具來研究臺灣中部地區隨機取樣之 722 名國小學童的 van Hiele 幾何思考層次。紙筆測驗的結果以描述統計及推論統計的方法來發現 van Hiele 幾何思考層次的分佈情形，進而探討其對幾何圖形所呈現的特徵。分析可知：1.受測學生對圖形直線與曲線的判別較易達成，而對於旋轉圖形的判別是有困難的；2.高年級的表現優於中年級和低年級，這與 van Hiele 的理論中學童的幾何層次表現是經由「學習的過程」相符合； 3.「性別」方面在 van Hiele 幾何層次的表現是沒有顯著的差異，但「城鄉」方面是有差異的。林玉琦（2003）研究國小高年級學童之梯形認知辨識表現，佐以 van Hiele 幾何思考層次理論，分析探討兩者間之相關性。以國小五、六年級兒童合計 721 名，利用自編的紙筆測驗獲得資料，再將資料依性質與目的進行量化分析，結果顯示：1.多數順階層類型受試兒童的梯形幾何層次分布符合 van Hiele 幾何思考層次理論的特性，但仍有 6.7%的逆階層類型受試兒童違反相關特性；2.兒童在圖形旋轉的辨識比改變高度或上下底比例的辨識，受不同的梯形類型影響較大；3. 梯形認知中逆階層類型 F 的兒童，在各類型中錯誤率最低；逆階層類型 E 的兒童，在各類型中錯誤率最高。謝貞秀、張英傑（2003）研究國小中年級兒童平面幾何圖形的概念，研究方法採取紙筆測驗和個別晤談的方式。研究對象選擇台北縣、市各一所小學的三、四年級，各抽取兩班，共 266 名兒童進行「紙筆測驗」；然後從前者依各年級成績高、低分組的學生中選出各 4 名(男女生各 2 名)，共計 16 名予以個別晤談。 20.

(37) 結果發現：1.描述圖形上，國小中年級兒童在描述正方形、長方形、菱形都是以「邊的性質」作為答案，至於平行四邊形、梯形、箏形則是以舉出日常生活實例來描述之；2.識圖形上可能受圖形的大小、方位、邊數角數、邊的曲直或長短、邊角的性質、封閉性等影響，而產生一些迷思概念，如：受方位影響，認為正方形一定是正正的，菱形一定是斜斜的。3.對於圖形「邊」的性質之瞭解多於「角」的性質。4.以徒手畫出平行四邊形、菱形較困難，畫得不很精準，畫的圖形大部分有一邊是水平或垂直的圖形，在方位上較少變化。5.三、四年級兒童在紙筆測驗之表現沒有顯著差異。王文正（2005）以三種不同通過率準則及模糊分類法來分析學生四邊形概念之發展。透過北部十四所學校四、五、六年級學童共 1167 人進行紙筆測驗，依學生作答結果再抽樣做個別晤談，進一步瞭解學生的四邊形迷思概念。分析發現學生在四邊形整體概念表現上，在級別表現上則有顯著差異，而在性別上則沒有顯著差異；另外透過晤談所發現的迷思概念有 1.凹四邊形不認為是四邊形的一種。2.有特定名稱（長方形、正方形、菱形）的四邊形不認為是平行四邊形的一種。3.當正方形擺放成菱形的標準式後，學童就認為是菱形而非正方形。4.認為虛線所構成的圖形是四邊形，沒有封閉的概念。 Wu & Ma （2005）以量化的研究法，利用「吳-薛氏 van Hiele 平面幾何概念測驗」研究國小階段學生在 van Hiele 幾何思考層次中層次一的幾何概念發展情形，此項研究結果顯示：視覺辨識圖形的邊為直線和曲線，對學生是容易的；圖形經過旋轉後的位置與方向，學生在判斷上會感到困難。然而這項研究結果為大樣本的量化數據結果，並未對個別學生的差異性進行瞭解，因此研究結果在不同認知風格的兒童身上是否會產生同樣的表現，值得進一步的探究。游世斌（2007）透過發展平行四邊形概念試題，且藉由試題關聯結構分析法（IRS）及 IRSP 電腦程式對施測結果進行分析，以探究國小五年級學童在平行四邊形概念的知識結構。以台中縣一所學校的五年級某一班級全體學生作為施策 21.

(38) 對象，分析結果發現；1.角概念中內角和及外角和皆為 360 度、對角相等且鄰角互補；2.邊長概念瞭解兩雙對邊分別等長和平行；3.學生對平行四邊形的角概念、邊長概念發展，似乎無較為明顯的關聯。曾怡嘉（2008）探討國小四、五年級學生四邊形概念學習情形及所呈現之迷思概念，研究對象為台北市三所學校的四、五年級學童，共 379 名，研究者將所蒐集到的資料以描述統計的方法敘述各類四邊形圖形的答對率。結果顯示：四、五年級學生在四邊形圖形辨認上，能清楚分辨出正方形、長方形及平行四邊形；形體組成要素上學生皆有具備該能力；形體性質之察覺上則以察覺出正方形的性質之答對率為最高。藍同利（2005）研究國小階段不同創造類型的兒童：視覺型與觸覺型兒童，在幾何領域中三角形概念的瞭解情形。研究對象透過自行研發的篩選表，和專家進一步評估確認而檢選出四名（各類型 2 人）；研究方法則採四段深入訪談與實物操弄和紙筆測驗，然後將蒐集之資料編碼轉譯整理為訪談原案，最後以 Duval 理論分析受測兒童在三角形概念的發展情形。研究發現：1.視覺型、觸覺型兒童在三角形概念瞭解的表現與 Lowenfeld 和 Brittain 理論(1987)在造型能力的特徵吻合；2.視覺型兒童較能熟悉並使用圖形的數學性質，觸覺型兒童則較依賴圖形的外型及典型例進行活動；3.紙筆測驗的部分：二位視覺型兒童的概念發展，均達到 van Hiele 幾何層次理論層次三/理論的層次，觸覺型兒童則分別在層次一/ 視覺的層次及層次二/描述的層次。另外吳德邦、藍同利（2004）針對觸覺型兒童對三角形概念瞭解，以晤談方式進行後，依 Duval 理論來提出相關成果；以及吳德邦、馬秀蘭、藍同利（2006a、2006b）的兩篇研究，針對視覺型和觸覺型兒童在三角形概念瞭解上，利用實物操作和晤談所得結果，依 Duval 理論來提出初步的結果分析。. 22.

(39) 小結：小結：從以上的文獻的研究結果來看，可以發現關於兒童平面幾何圖形概念瞭解或認知發展的研究，多數以量的研究為主，而僅有數篇會以個別晤談的方式來瞭解平面幾何圖形之概念；然而質性研究部分採 Duval 理論進行研究者，所挑選的受測對象雖小學、國中和高中皆有紀錄，但國小部分的學生人數明顯略少於國、高中學生；再者搜尋檢視大多的文獻資料後，發現甚少有從兒童不同的創作類型或認知風格，來進行該類型的數學幾何概念的瞭解探究；僅有藍同利（2005）和吳德邦、馬秀蘭、藍同利（2006a、2006b）以 Lowenfeld 理論中的視覺型與觸覺型兒童，探討三角形概念瞭解的情形，並以質性研究的方式進行實物操作和晤談，最後提出初步的研究結果。依據上述的研究可以發現這二類不同創作類型的兒童，在學習三角形概念時確實有不同的發展，但這二種類型的兒童在學習其他幾何圖形概念，如：四邊形、圓形、立體圖形（柱體、錐體），會產生如何不同的概念瞭解呢？尚待進一部以質性研究的方式，進行探究與檢證。. 23.

(40) 24.

(41) 第三章研究方法與實施過程此章依據研究背景與動機、研究目的與相關文獻資料，來進行研究方法與實施過程的設計，共有四節：第一節說明本研究的架構；第二節述說研究對象的相關背景與學習表現、第三節說明本研究的研究工具、第四節則針對研究實施的過程進行說明。本研究乃是吳德邦（2003）所主持行政院國家科學委員會專案計畫（計畫名稱：國小學生在形概念知覺性、操弄性、作圖性、論說性了解之後續研究。編號：NSC92-2521-S-142-004-）中的部分成果。. 第一節. 研究架構. 本研究的架構，首先為確立研究對象是否符合視覺型、觸覺型兒童的特質。研究者參考 Lowenfled (1957)和 Lowenfeld 和 Brittain (1987)的著作以及康軒版（周淑卿，2009）、翰林版（劉啟新，2010）國小藝術與人文教師手冊，並參酌「吳藍氏視覺型、觸覺型兒童特徵篩檢表」（藍同利，2005），修正編定出「吳-何氏視覺型、觸覺型兒童特徵篩檢表」，然後以此表篩選符合視覺型、觸覺型兒童特徵的兒童，進一步收集研究對象的資料與作品後，商請具有美術教學專長的教師與專家依據「吳-何氏視覺型、觸覺型兒童特徵專家評選表」，來協助判定確認研究對象是否符合視覺型或觸覺型的兒童特徵。再者研究者參考「吳氏幾何圖形繪製、辨識、分類測驗與訪談大綱」和「吳 -藍氏觸覺感知測驗之操作工具」修正編定出四組半結構性訪談工具，當中包含四邊形圖形的繪製、辨識、分類和觸覺感知等四組實物操作和半結構性訪談的研究歷程，探究研究對象對於四邊形概念的認知發展情形，另外採用「吳-薛氏 van Hiele 幾何認知發展測驗」之紙筆測驗做為對照資料。最後將訪談和紙筆測驗的結果資料皆加以轉譯且進行編碼處理，並依據 van Hiele 及 Duval 理論的觀點，來完成本研究的結果，以提出視覺型、觸覺型兒. 25.

(42) 童在四邊形概念的瞭解情形。本研究架構的特徵分述如下： 1.本研究之對象－視覺型與觸覺型兒童均以相同的工具採嚴格認定標準所篩選出來，並以相同的訪談大綱內容以及相同的訪談工具進行相同的研究歷程。 2.三位兒童所接受的四段半結構性訪談均為單獨訪談，每次約四十分鐘至一小時左右，每次訪談結束後至下次訪談時間盡量以一周為原則，但仍會配合學校活動如：運動會、戶外教學等，進行時間上的調整，另外每次的訪談過程皆全程錄音錄影，以求資料的完整性。 3.本研究之結果，依據訪談內容、van Hiele 及 Duval 理論的觀點分析詮釋後提出。. 第二節. 研究對象. 在確定整個研究架構之後，研究者依據研究架構的設定，來尋找適合的研究對象。. 一、視覺型、觸覺型兒童作品之特質評選方向視覺型、觸覺型兒童的特徵在作品中所表現出來的特質，主要可以從下列幾點加以評斷：（藍同利，2005） 1.人物造形：視覺型兒童能依客觀的視覺經驗作畫，能夠注意到比例與姿態，並掌握細節的描繪，較接近寫實的表現風格；觸覺型兒童則依主觀的經驗及情緒作畫，常有誇張、變形的表現，不太注意比例的關係，對有興趣的部份特別強調，其餘則以較簡略的方式表現，較接近表現主義的風格。 2.空間表現：視覺型兒童能注意到明暗、陰影、地平線的現象，畫面的景物呈現較符合透視原理近大遠小的比例，以旁觀者的角度觀察與描繪主題；觸 26.

(43) 覺型兒童常以圖示期基底線表達空間的概念，除非主題需要表現空間，否則會忽略空間的深度。 3.色彩表現：視覺型兒童使用的色彩較接近自然的色彩，同時會注意到色彩在不同環境與光線下的變化；觸覺型兒童則使用主觀感情的的色彩，不太注意自然界中色彩與光線的變化。 4.設計工藝的表現：視覺型兒童較注意視覺與美的效果；觸覺型兒童則較注意材料與使用的效果。除了依據上述的特質分析外，再確認研究對象時還可以從以下的方向面來加以考量評估： 1.本研究在於探討視覺型、觸覺型兩種認知風格不同的兒童在四邊形概念的瞭解和表現，因此各階段被推薦之兒童將會採以嚴格篩選的認定方式，以確定出最終的研究對象。 2.依 Burger (1986)的研究顯示：年齡並不是判斷學生如何學習思考幾何的主要標準，經驗才是影響學生的重要因素。然而挑選研究對象要有一個標準可供相關人等有所依循，因此從九年一貫課程（教育部，2008）中，可以發現數學學習領域的教學目標將五、六年級列為同一階段，再者國小的幾何教學要點說明中則將四至六年級劃為一類說明之；因此若欲符合以上之理由，本研究預設的年級別就以五、六年級為本研究的主要研究樣本。 3.本研究是以藝術才能班-美術才能班中的五、六年級的學生為主要研究對象，若各有視覺型與觸覺型兩種認知風格的對象達一位以上之樣本時，就可以探究五、六年級間研究對象在四邊形概念的瞭解與表現所呈現出的發展情形。. 27.

(44) 二、研究對象之取樣範圍與限制一開始研究者任職學校設有藝術才能班-美術才能的班級（後續說明簡稱為美術班），符合本研究的研究對象之搜尋方向，故不須前往鄰近的學校尋找適合之人選；依據 Lowenfeld 和 Brittain 理論（1987），視覺型與觸覺型兒童的特徵約在擬似寫實階段會開始逐漸清晰明顯，若對照兒童的年齡發展大約是在 11 歲左右開始，且數學學習領域的幾何教學要點說明亦將四至六年級劃為一類，因此本研究的研究對象初步設定在國小五~六年級的學童。適合的研究對象應設定在就讀國小五~六年級的學童，但本研究在擬定研究方向時業已接近學期之尾聲，若從現在仍就讀國小五~六年級的學童進行篩選的話，深怕六年級學童在實物操作和訪談上，無法在學童畢業前完成，故決定將國小四、五年級且年滿 11 歲的學童作為取樣的樣本，從中挑選出適合的研究對象。. 三、研究對象之評選過程首先請本校擔任美術班的級任教師，分別是四年級的王姓級任老師和五年級的黃姓級任老師利用「吳-何氏視覺型、觸覺型兒童特徵篩檢表」（附錄 1）來推薦符合視覺型、觸覺型特徵的兒童，並且將被推薦兒童之作品加以蒐集整理，以利後續之用，透過兩位級任教師對於學童的美術創作類型特徵之評估後，四年級送出三位學童，五年級送出四位學生，作為本研究第一階段的研究對象候選人。在兩位老師將疑似符合的學童的表格和相關作品送交後，研究者再請當時該班的美術老師，分別是四年級呂姓美術老師與五年級邱姓美術老師，請他們利用「吳-何氏視覺型、觸覺型兒童特徵篩檢表」再進行複審，確任級任老師送出的七位學生的美術創作類型特徵是否符合，經兩位美術老師的協助評估後，四年級的三位研究對象之特徵皆符合提出的類型，至於五年級的四位研究對象中有一位被美術老師認為提交之作品未能多數符合類型之特徵，且根據教師在課堂間的觀. 28.