一、Duval 理論：（關於知覺性、操弄性、作圖性、論說性了解）
幾何圖形在幾何問題的情境中，對於該情境內之物件所構成的關係可提供 強烈的幾何直觀，不過在實際的教學活動中，卻發現幾何直觀常常無法幫助學 生對問題的解答獲得一些關鍵性的啟發（Duval, 1995）。為了探究上述之現象，
Duval (1995)提出對幾何圖形的四種關於幾何認知之「了解」，包括：知覺性 了解、操弄性了解、作圖性了解、論說性了解。
（一）知覺性了解（perceptual apprehension）
知覺性了解指的是兒童透過視覺、觸覺等感官對一個幾何圖形的直接體驗 和辨識，而後產生心像的一種認知歷程。一個幾何圖形被提出後，必然喚起知 覺性了解和其餘三個了解中至少一個其他的了解，然而被察覺的圖形和視覺所
可以因其需要而選擇對原既有圖形的某個部份進行辨識，此即為子圖形（如長 方形被對角線分割出的兩個直角三角形）的辨識。
（二）操弄性了解（operative apprehension）
操弄性了解是個體修改心智中或實體圖像的一種認知歷程。當個體觀察一 個圖形時，可以透過操弄圖形得到解題的靈感，以不同的方式將圖形進行更改 之後而獲得解釋，然而變更圖形的方式則大致分為下列幾種：1.平移旋轉圖 形；2.放大縮小圖形;3.分解組合圖形等，這三種方式能在個體的心智中操作，
也可以在實體圖像上實際的變動它，這些操弄可使圖形具有啟發性的功能，故 可以在操弄的過程中，突顯出圖形的變化而得到某個證明步驟或解題的靈感。
在進行四邊形的分類活動時，兒童要將一堆圖形中分出那些圖形是那一類 時，他可以在心中進行操作的動作，將符合他心中的原型圖形挑選出來，也可 以透過實體操弄的方式來將有相同特質的圖形放至一類，故此藉由心智的比對 和實體的操作所得的結果，就是操弄性了解。
（三）作圖性了解（sequential apprehension）
作圖性了解，意指建構一個幾何圖形或描述幾何圖形結構的一種認知歷 程。在構圖性瞭解中有以下幾個重點：
1.在構圖過程中，構成圖形的不同單位元件會明確且依序的浮現出來。
2.這種理解對於圖形的基本單位組織，並非只依賴視覺的法則，而是對繪 圖工具（如尺、圓規）的限制，與圖形本身的數學性質的理解。
3.若是因為繪圖工具的侷限或受到先備知識與經驗不足之影響，而無法表 達出圖形性質間的關係，圖形則無法被瞭解。
若欲瞭解兒童對四邊形的作圖性了解，可以透過錄音錄影的方式記錄下兒 童的造圖過程，再者請兒童描述自己是如何造出四邊形的過程，由此可知兒童
在建構圖形時，圖形元件是有次序且清楚的呈現，但若未使用工具或未注意到 該圖形的數學特質時，則畫出的圖形可能會無法被瞭解。
（四）論說性了解（discursive apprehension）
論說性了解即是個體透過語言或文字等論述的方式，描述一個圖形所具有 的性質或是進行推理（reasoning）的活動。一個圖形所呈現的數學性質（如對 圖形的命名和一些假設），單單靠知覺性的了解來判定，並不能使所有人對圖 形的幾何性質達到共同的理解。因此對於同一個圖形而言，不是每個人都可以 看見相同的脈絡與性質，然後經過一個演繹的過程來決定這個圖形表現了什 麼，論說性了解可以在知覺性了解不變的情況下而改變。
論說性了解包括兒童對圖形的命名、定義和推論的活動。例如兒童會如何 定義正方形、長方形…等不同的的四邊形，以及兒童對這群圖形的歸類、兒童 應用不同圖形的的數學特質所進行的推論活動，都能表現出兒童的論說性了 解。
而在學生學習幾何知識來說，Duval (1998)則認為應該有三種認知過程，
分述如下：
1.視覺(visualization)過程：對於圖形空間表徵的認知，可能只是單純表象 圖形（線條與形狀的組織體），也可以是幾何意義（角、平行、垂直、
等距、等面積）的洞察，也可以是根據文字敘述所進行的圖形再現。
2.構圖(construction)：根據作圖工具對圖形的在製過程，通常這個過程有 助於學生去發現圖形中的幾何意義。
3.推理(reasoning)：進行論說的過程，例如說明、證明等。
然而在幾何認知的教學方面，Duval (1998)則主張
1.視覺、構圖、推理的幾何認知過程應該獨立發展。
2.不同視覺過程的區分及不同推理過程的區分是教學不可或缺的。
3.三種認知過程的整合只有在這些區分活動趨於成熟後才有可能。
解題與論證在數學中是重要的一個核心，學生要什麼樣的經驗才能有較好 的圖形論證與解題呢？ Duval (2002)認為一般的幾何教學學生有充分的操弄 圖形經驗，學生才有可能發展出圖形論證能力。