第六章 ：從數學模式到跨學科研究
6.7 網絡（network）–自然規律和人類文明的命脈？
6.7 網絡（network）–自然規律和人類文明的命
平面網代表，如圖6.22 。每一成員屬於一結點， x （node）
，連接兩結點的直綫叫邊（edge），連接到一結點的邊的數 目稱為該結點的度，k x
（degree）。專研究網絡問題的數 學支流是圖論（graph theory）。圖 6.22 一個結點群的接連例子。
講到網絡，最易領會的例子要算是社交網。在社交圈內，每 人和他的朋友各是一結點，兩者朋友關係是連接這兩結點的 邊。深交的謂強連接（strong link），淡交謂弱連接（weak link）。交遊廣的人的結點度高，陌生者的結點度低。社交 活動既複雜而非綫性，網絡交通充滿高頻、高動力性的運作
。因為網絡幅度大和結點多，只適合用統計方法去量度網絡 的功能和成績, 由於近廿年來計算機、智能手機和互聯網的 發展，大量的數據支持和鞏固這統計路徑的可行性。例如，
匈牙利數學家保羅•埃爾德什（Paul Erdős, 1913-1996）曾提 出所謂‘流言問題（gossip problem）’：如果某成員在社交 網上發放一流言，甚麽是網絡的起碼連接條件才能讓流言散 播到所有成員？照統計的意義，答案是網絡邊的數目（即度
）平均值至少要1， k x
1，即平均每成員有至少一個連 接。再者，某些連接可能發生斷折，正如互聯網每刻平均有約3%的服務器或網址失去聯接。網絡也受到外界的衝擊和干 擾，信息以外有各樣的噪音，不時引起波動。那麽我們問：
當今成千上萬的超巨型網絡聯繫結構和運作經驗，它們有否 進化成某些普適性的結構和運作特徵？答案是有，而且有點 意想不到！
圖 6.23 隨機圖設定泊松分佈的，(a) & (b)，和冪定 律式設定的，(c) & (d)，交通網。見 (Barabási 2005)81 (http://21st.century.phil-inst.hu/eng_volumes.htm)
首先再來一個比喻，假設我們要設計一個聯繫美國城市的交 通網，有人會提議類似高速公路網的聯繫，如圖6.23 (a)。可
81 A.-L. Barabási (2005), “Science of network from society to the Web”, in A Sense of Place: The Global and the Local in Mobile Communication, K.
Nyiri (Ed.), p.415.
行的方法之一是Erdős–Rényi model82，或稱隨機圖（random graph）。假設有N個城市（結點），邊的設立是無序地和獨 立地根據某既定不變的概率，p，來連接兩點，結果是一系 列的隨機圖，以分佈函數G N, p
代表， 其中一個可能類似 圖6.23 (a)。我們特別感興趣的是隨機圖的度分佈，X k
，即有 k 個連接的結點的相對數目。數學計算告訴我們X k
應該合乎泊松分佈，見註58。泊松分佈有像正態分佈的鐘形輪 廓，但沒有理想鐘形的左右對稱，右邊（高 k 值）的尾巴根 據指數函數衰降，沒有重尾巴。它的 k 平均值與連接概率成 正比， k p，差分 p。換言之，連接每城市公路的數 目基本相同，網絡的聯繫尺度取決於概率 p。
可是， 隨機圖模式不是符合在現實世界的網絡結構。真實 的答案是與航空網相似，見圖6.23 (c)。它的度分佈服從我們 一再提起的冪定律：
X k
k, (6.29) 是冪定律指數83。圖6.23 (d)表示大部份的結點只有少個連 接。因為冪定律有一條重尾巴，網絡有很少量的結點具有特 多的連接，這名叫轉發站（hub）。
為甚麽隨機圖不符合實際？原因很多，一是隨機圖假設統一 性的概率 p 用於所有結點，忽略局部環境存在的差異（例如 某城市可能獨備作轉發站的天時地利條件），二是假設加減
82 由保羅•埃爾德什和另一匈牙利數學家 Alfréd Rényl (1921-1970)於
1959 年提出。
83 冪定律指數 一般介乎1 至 4 之間。
任何兩結點的接連都與其它接連獨立，這往往和群體交際意 向並不一致。假如圖6.22中剛加了連接AB的邊，可能會引致 下一步是GC的連接，因為GC分別是AB的接鄰，會因AB加 邊而受到影響，還可能有更迂迴的連鎖效應84。總之，隨機 圖沒有顧及網絡的複雜動態反應和結點個別的特性。果然事 實證明，有冪定律表徵的網絡能夠達到較高的操作效率和穩 定性。例如由於轉發站的密集連接，這些網絡能夠連接的結 點比隨機圖高出兩倍以上85。在一系列的優點裡面，其中有 兩個特色值得一提。
1 ‘這個世界小小小’（small-worldness）：現今社會網絡 發達和效率高，世界仿佛變得小了很多！其實，不只是今天
。1967年美國社會心理學家斯坦利•米爾格拉姆（Stanley Milgram, 1933-1984）進行一個‘小世界’實驗，他要求在 Omaha, Nebraska 隨機選出的160人各自將一郵件轉遞到波斯 頓地址的人，但發信者只能交給一個以名字（first name）相 稱的熟朋友，然後一個接一個同樣地轉送，直至成功地抵達 目的者。他發現結果只需要經過平均6次轉遞。之後人們重 覆這實驗無數次，結果保持一致。
2 弱連接不甘示弱：前面說弱連接用於不大相熟的朋友。
廣義的弱連接是指那些連接如被加進網絡或從網絡抽走都不 致影響網絡的統計屬性。現在證實，擁有大量弱連接的網絡
84 為了補救過分強調結交的獨立性，數學家設計所謂‘偏向附屬’
（preferential attachment）機制，以輔助網絡的伸延。
85 其中 Almaas & Barabási (2006) 研究的一個方案是 60:27 的比例。
有很多好處。它們幫助貫通網絡的長程轉遞，促進噪音的擴 散 和 吸 收 ， 過 濾 錯 誤 ， 從 而 增 加 網 絡 的 穩 定 性 。Péter Csermely 專為弱連接寫了一本書，趣味性和可讀性很高，值 得推薦86
在自然界和現實世界呈現冪定律的網絡何止上述交通網的例 子。此現象廣泛地遍佈原子／分子網絡（如蛋白–蛋白作用 網、基因功能網），生態網絡（如食物網、微生物代謝網）
，社會網絡（電郵、電話、異性接觸、學術交流網等），資 信網絡（WWW, Web of Science），科技網絡（數碼電子線 路、互聯網、電力網等）和其它網絡。當然，在生態圈和社 會環境裡，這些網絡都不是獨立的，而是在它們各自的約束 下聯成十分複雜的網絡體系。Almaas & Barabási (2006) 提出 一個根據生物級系合成而又依照冪定律進行的聯網87。這個 研究方向仍待進一步的開展。
86 Péter Csemely (2009), “Weak Links – The Universal key to the stability of networks and complex systems”, (Springer-Verlag Berlin Heidelberg).
87 Eivind Almaas and Albert-László Barabási (2006), “Power laws in biological networks”, in Power Laws, Scale-Free Networks and Genome Biology, Ed. E. V. Koonin, Y. I. Wolf, and G. P. Karev (Eurekah.com and Springer)