第四章 ：從非綫性動力學到混沌理論再返回分形
4.8 關聯函數（correlation function）和功率譜（power
4.8 關 聯 函 數 （ correlation function ） 和 功 率 譜 （
運轉規律。但是，不一定所有純數學的關聯函數都可以用實 驗方法量度。所以在數學的角度來看，設計適當的關聯函數 是重要的課題。這裡我們所謂的數學，也包括計算機程序和 模擬的結果。最後補充，除了時間性的演變，關聯函數還可 以加進空間變量（例如一對參加者的距離或一個參加者個人 走的均方路程），能夠刻劃系統的動靜態結構。
上述的關聯函數以時空為變量，讀者們可能會感覺陌生，我 們熟識的光電器材如電話、收音機、電視等，都能夠將信息 組織成不同波長和波強的音像，然後發送顯示到我們的感覺 器官。關聯函數記載複雜的動力過程，如發散或收斂軌道、
單週期或多週期性振動、無序不規則運動、甚至混沌或湍流 等現象，總覺得不容易領悟。沒問題！數學裡早已有一個有 效的方法，將時空關聯函數轉變成頻譜（spectrum）：
S
exp i
t C t
dt, (4.22) 這裡
是波頻（波長的反比），C t
是關聯函數（為求簡單只 表 示 時 間 變 量 ） 。(4.22) 稱 為 傅 立 葉 變 換 （ Fourier transform）51，供實驗測量的是功率譜：
P
S
2. (4.23) 無論讀者對傅立葉變換的不同熟悉程度，我們可以將它看成 一個過濾器，如果動力軌道收斂成單週期振動，功率譜就顯 示一個強峰在該週期的頻度位置；如果多週期振動則在相應 頻度顯示多個強峰；如果是無序甚或混沌情況，功率譜便出51 為紀念法國數學物理學家 Joseph Fourier (1768-1830) 的研究命名。
現無明顯波峰較寬闊的分佈。換言之，從功率譜在波頻範疇 的分佈寬度和強弱，就能定量地分析動力反應的行為。以後 幾章談到數學應用於各種自然界和社會現象的分析，我們在 第七章將簡略介紹關聯函數和功率譜的性能。
4.9 小結
前面說到的Robert McCredie May教授，他出生在澳大利亞的 悉尼市，1959年在悉尼大學獲取理論物理學博士。他1974和 1976 年的文章大大啓發了人們對差分方程代表的動力系統 的興趣。但他認為，從定義明確的命題，通過完整的邏輯論 證，最後達成的數學結論，例如指出從簡單而且確定性的差 分方程出發，只要滲入足夠的非綫性成份，便可以導致無法 預測的混沌結果，這是無可否認的“數學真理”（包括那些 若干年前數學家提出，既不能推翻但卻無人能證明的數學定 理）。可是數學真理要和“科學真理”聯手，才能發揮它的 真正意義。這裡的“科學”可視為“有組織的懷疑論 （ organized skepticism）”。這些懷疑要經過實驗去排除和去 蕪存菁，科學真理永遠不會是絕對的，有待考驗和優化，使 之強固而更接近真相。數學在這強固的過程扮演一個重要的 基礎角色52。所以，May的兩篇文章雖從數學出發，卻強調 在人口學和生態學的應用。1979年他入選英國皇家學會（後 來2000-2005年成為皇家學會會長），1988至1995年間擔任牛
52 見 “Biological Sciences – Biodiversity – Sustainability”, in Balzan Symposium 2008, Ed. N. Mout and W. Stauffacher (Springer, 2010) p. 65.
頓大學和倫敦大學帝國學院教授，繼而（1996-2000）出任英 國政府首席科學顧問。他從研究生態學又轉向免疫學和生物 學，著作包括“Infectious Diseases of Humans (1991, 和Roy Anderson 合 著 ) 與 及 “ Virus Dynamics, The Mathematical Foundations of Immunology and Virology (2000, 和 Martin Nowak合著)。這說明數學應用對促進社會發展的力量。在以 下各章的數學應用例子，我們將談談怎樣將數學概念延伸到 科學的課題和社會現象。