自然而不自在的冪定律分佈

圖 6.2 根據Forbes data，世界排名最富有500人於2002年個人

收入的log-log plot. 改自Patelli (2006)⁶³

第1.1節介紹的冪定律，方程(1.8)： f x

 

^{ kx, 卻往往與自}

然和人為的狀態十分相似，如圖6.2 標出2002年世界最富有 的500 人 當 年 收 入 ， 數 據 與   1 頗為接近。可是，

limx0 f x

 

^{ } 的發散行為是不合理的，所以冪定律一般應 用時要求 x 大於某最低值， x_min。

所以，如果  1，冪定律可以改寫為：

P

_PL

  x

^{ 1}

x

_min

x x

_min











, if   1. (6.2) 再者，冪定律分佈拖著一條長‘重’的尾巴，這叫 ‘heavy-tail phenomena’。它代表偏差極大的重值既罕見但存在，這 不可以用差分來表徵，因為冪定律分佈沒有第二矩的定義。

圖 6.3 將正態分佈，方程(6.1)和冪定律分佈，方程(6.2)繪出 的比較，可見它們分別很大。

63 P. Patelli (2006) “Nonlinear dynamical systems in Economics”, in Universality of Nonclassical Nonlinearity, Ed. P. P. Delsanto, (Springer).

圖 6.3 冪定律分佈與正態分佈的比較。

前面多次提到，自然界和人類社會的現象就偏偏傾向於冪定 律分佈，主流的個體都集中在低值的位置，但總有很少數個 體處於極高位。這念頭可能已成為人們潛意識默認的一部份

，所以人會冒險，企圖僥倖，會覺得幸運兒雖少，但總有可 能是自己！圖 6.4 集合12 項跨領域的調查數據 log-log plots

，除了局部 x x_min範圍，數據都呈現冪定律分佈。其中(a)關 於書籍裡各個字出現的次數依從冪定律分佈，最早由美國語 言學家George Kingsley Zipf提出：任何字出現的次數與它排 名成反比，例如 ‘the’, ‘and’ 等字，次數最多，排名最前。

一本巨著其中一半的篇幅往往只包含一百多個生字。這屬性 亦通用於其他言語和書籍，被稱為Zipf’s Law 。全球地震次 數與強度的關係–圖 6.4 (f)， 亦即第1.3節的古登堡－黎克 特定律。 x x_min區的地震次數既多且強度很低，很可能數據 不完全準確。至於 (j) 是有關個人收入或資產的冪定律分佈

，最早由經濟學家及工程師Vilfredo Pareto 於1896年發現，

故稱Pareto law.

圖 6.4 (a)-(l) 是的12項不同的調查數據，都呈現不同程度的冪定 律分佈。斜線區即

x

 x_min的數據不納進計算冪定律分佈指數。改 自Newman (2006).⁶⁴ （arXiv:cond-mat/0412004 [cond-mat.stat-mech]

）

64M. E. J. Newman (2006), “Power laws, Pareto distributions and Zipf’s law”.

Pareto law和財富分配

自從Pareto提出社會財富的冪式定律分佈後，無數的社會經 濟學家分析世界上各時代地區的社會財富分配，發現Pareto law基本符合現實數據（例如美國、日本的私人和公司財產 或收入）。不禁引起很多經濟學家質疑：Pareto law是不是一 條自然的經濟規律？我們在這裡介紹部份簡單的分析。

我們的數學模式源自物理熱力學。系統是由

N

^{個成員組成的}

團體。假設每個成員的資產是 x_i, x



_i  0; i  1,2,...N



^，整個團

體的總資產，X x_i

i



^{，和平均單成員資產， x  X N，保}

持不變。在某一刻（t^）成員

i

^{無規地和另一成員} j交易，但 是 所 有 成 員 都 有 一 個 同 樣 的 儲 蓄 習 慣 ， 即 留 下 一 部 份 （

 

0



1



）的資產不在交易之內，兩者的無規交易則用一 個無規變量,



_ij, 代表。如此，這兩成員在交易後下一刻（

t 1

）的資產是

x

_i

 t

1



^

x

_i

  t

^_ij



1

  ^x

i

  t

^{ x}j

  t 

_,

x

_j

 t

1



^

x

_j

  t

^{ 1}



_ij



_

^

^1

^  ^x

ⁱ

^{  t}

^{ xj}

^{  t} 

_, ^(6.3)

而交易額是

x  1

  

_

^

ij



x_i

 

t ^{ x}j

 

t



^{ xi}

^{ }

^t _ (6.4)

圖 6.5 根據方程(6.3)和(6.4)的交易和儲蓄規則，個人資產平均值 不變，

X N

 1。100成員組成的團體形成個人資產分配的結果

。見 (Patriarca and Chakraborti 2013)⁶⁵

圖 6.5 是由一百成員（

N  100

）團體根據上述交易和儲蓄 規則的結果。從方程(6.4)可見，交易活動與儲蓄份量有直接 關係，如果每人儲蓄多（



 1），交易少，個人資產都集 中於平均值， X N  1，分佈幅度很窄。但減少儲蓄，鼓勵 交易，個人資產分佈則自發地變成不對稱（不平等），大部 份人資產較少，很小部份人特高資產的‘重尾’分佈，如



 0所示。

以上的模式限制每成員的儲蓄率一致，不合現實。我們讓儲

65 M. Patriarca and A. Chakraborti, “Kinetic exchange models: From molecular physics to social science”, Am. J. Phys. 81, 618-623, 2013.

蓄率隨成員改變，



0_i  1, i  1,..., N



，(6.4) 變成為 x _ij



1_j

 ^x

^j

^{  t}

^{ 1}

^

^i

^ 

^1ij

 ^x

ⁱ

^{  t}

(6.5) 但成員的個人儲蓄率不能隨交易時間或次數而改變。根據這 樣情況用計算機模擬一個

N  1000

的團體經過一段時間交易 的結果，然後重複多次的模擬，再將所有結果平均起來，最 後 的 個 人 資 產 分 佈 以 圖 6.6 表 示 。 可 見 資 產 分 佈 從

min 10

 x

x 開始，很精確地表現Perato 的冪定律分佈，

Perato指數2。我們還未有定義交易的經濟形式、資本回報

、物價浮動等因素，但冪定律分佈以自發性地形成。所以，

財富不平等分佈很可能如歷史所記載，是一個必然的社會現 象。當然，要真正判斷和預測現實情況，須要注入高深的社 會經濟因素和數學理論，這都是目前社會經濟學家的研究對 象。

圖 6.6 計算機模擬一千名成員的團體在分佈性儲蓄率環境下交易 的個人資產分佈結果。個人資產平均值仍保持是

X N

 1。改自

(Chakraborti et al. 2015) ⁶⁶

看過無所不在的冪定律分佈和它那費解的重尾巴現象，以 下幾節簡單地談談冪定律分佈的成因， 先從物理學入手。

6.3 物理學的相變（phase transition）–序參數和

在文檔中 宇宙的尺度變異定律 (頁 117-124)