淺談協同學

organization）。不同系統–包括跨領域系統–內部粒子或元 素 作 用 固 然 不 同 ， 但 都 出 現 類 似 的 臨 界 現 象 （critical phenomenon），這叫做普適性（universality）。如果能有一 個基於數學為主導的方法有系統性地分析這些既是複雜而又 圍繞著我們的事物和現象，這便是協同學，目的是要了解事 物和現象背後的規律。

界限：

(5.12)

為求簡化，我們只保留不穩定的部份⁶¹，將q寫成 q  q₀  _u

  t

u



^vu ... , (5.13) 於 是 定 下 系 統 從 遠 離 平 衡 以 至 臨 界 出 現 的 序 參 量 （order parameter）



_u. 這序參量扮演聯繫微觀態和宏觀變量的關鍵 角色。更重要的是



_u服從冪定律：



_u 

  

_u ^,

^

^{ 0.} (5.14) 最後，協同理論能概念性地推斷在臨界間序參數的兩大特性

：1）勢函數和序參數的相互影響；與及2）序參數的時間演 變，用圖5.2 和 5.3表示。

61 實際上，q的演變須要結合穩定和不穩定模式 ，是(5.13)未寫完的部

份。

圖 5.2 示意勢函數隨著序參數在臨界前後的變化。假設一 圓球滑向勢函數的最低點。遠離臨界時（例如 T  T_c，溫 度高過臨界點）勢函數是一條曲率高向上的拋物線，球穩 定在谷底。正當臨界點（ T  T_c）勢函數的曲率大幅度降低

，球受漲落影響變成不穩定， 臨界後（ T  T_c）勢函數變 成雙谷，球落在右面的低谷，序參數改變它的數值。

圖5.2是一個示意圖。在未達到但接近臨界時勢函數是一個左 右對稱的雙谷，系統的粒子就好像位於勢鞍點的圓球，處於 極不穩定狀態。如果一切保持絕對恆久，系統雖然不穩定也 不會發生變化，可是這一刻系統微觀態的漲落特別厲害，不 單是粒子各自獨立波動，而是所有粒子聯手起來造成自發性 的波動，將整個系統作性質上的改變。一旦臨界，粒子在勢 函 數 的 分 佈 打 破 了 臨 界 前 的 對 稱 性 ， 這 叫 對 稱 破 缺 （ symmetry breaking）。臨界後系統達到新的結構。試想，系 統有 這麼多的粒子（或自由度），在臨界那一刻同時 聯合起來，服從支配系統的物理、化學、生理、或經濟等原 理去進行改變，是何等微妙的現象。Haken稱之為勞役原理

（slaving principle），比喻微觀粒子像奴隸般的服從驅使，

這用詞當然沒有映射人類的行為。但在當今對人權敏感的社 會，我們姑且用‘命令機動原理’來代替吧。

序參數在臨界前後的變化是表徵臨界現象和確定普適性的重 要尺度。圖5.3 表示序參數過渡臨界點的時間性演變。

圖5.3 序參數從臨界前（ t₀）至臨界後（ t t₂）的變化。

序參數是一個宏觀的變量，舉個例子，一個系統從氣態變成 液態時，溫度（

T

）是控制臨界過程的因子，臨界溫度和臨 界密度（液氣併存）分別為 T_C及_C，序參數可以定義為氣 態密度（_G）和液態密度（_L）的差分，在合併(5.14)：

 _L_G _C

^T

^{C T}

T

_C











, (5.15)



就是臨界指數。怎樣將宏觀的序參數聯繫到系統的微觀變 量？這要利用關聯函數（見第4.8節）。氣態的關聯函數可以

表達成

G r

 

^{ er,} (5.16)

r 是 系 統 內 一 雙 原 子 或 分 子 的 距 離 ，

 稱 為 關 聯 長 度 （ correlation length）或相干長度（coherence length）。氣態在 動力平衡時的很短，大概等於一雙原子或分子的平均最短 距離，



r。所以r, G r

 

^{ 0}。但當接近臨界點時，系 統遠離熱力平衡，漲落加劇，增長以至散發，表現與方程 (5.15)的冪定律行為，即



T

 T_C

T

_C











. (5.17) 前面說過，系統趨向動力平衡則增加無序性（和熵）。遠離 動力平衡再加上非綫性作用和與外界感應，系統發生自組織 的臨界現象，無序的對稱破缺，系統呈現新的有組結構。圖 5.4 示意這個從無序到有序的過程，(5.9)的_{dSe dt}  0，以致 總熵值減少。

圖 5.4 通過臨界現象（

t

₀  t₂^{）系統從無序到產生有} 序結構。

t

₀的漲落沒有固定的週期或幅度，

t

₂^後系統呈 現由粒子集體聯貫成的有序模式，這裡用一週期的正弦 波來代表。

在文檔中 宇宙的尺度變異定律 (頁 108-114)