第四章 ：從非綫性動力學到混沌理論再返回分形
4.7 複數映射（complex maps）：從曼德博集合（Mandelbrot
從曼德博集合（Mandelbrot set）回到分形
上述微分方程和差分方程的變量（ x ）和參數（
）都只限 於實數，我們可以繪畫以
和 xs為橫直坐標的軌道圖，如圖 4.8和4.13等。但如果是複數的映射，變量與參數都有它們的 實數和虛數，無法一起被容納在一個平面圖內。圖 4.14
z
3 8 0. 黑點是方程的三個根，分別用不同顏色代 表其吸引區域，吸引區域之間的界限有類似分形的結構。影響動 力收斂的勢函數也很複雜，收斂的軌道視乎始初點的位置，圖中（有箭頭的線）畫出一個可能的軌道。
先舉一個例子，考慮以下方程：
z3 8 0, (4.19) 如果z是限於實數，只有一個實數根 z 2，就是一維勢函
數的最低點。但如果z是複數，圖4.14 描畫z的三個根，
2, 1 3i ， 在 複 平 面 上 ， 分 別 位 於 不 同 的吸引區域（basin of attraction），吸引區域的交界處有複雜 的分形結構，代表相應勢函數的複雜性。收斂的軌道視乎始 初點位置，圖中畫出一個可能的軌道。吸引區域顏色的色度 越深，收斂需要的迭代數越多。
有關描繪複映射的方法，我們只講述著名的曼德博集合這個 例子。它的映射是複二次多項式迭代：
(4.20) 這集合是由不同複數值 c組成的序列：
c, c2 c, c
2 c
2 c, c
2 c
2 c
2 c,.... (4.21)這序列的元素 zn（無論 n 有多大）只有兩個可能性：絕對值 發散到無限大，或者絕對值維持有界的數值。我們將後者的
c 繪畫在複平面上，這便是曼德博集合。例如： c 1
，(4.21) 成為
0,1,2,5,26,...
，所以1不屬於曼德博集合。c 1
則為
0,1,0,1,0,1,...
，所以1
屬於曼德博集合，見圖4.15。黑色部份就是有界 c 的分佈。但如果 c 點排成一直綫，因 為線沒有闊度，所以不容易看出來。例如往左沿著負實軸至-2的直綫，與主體相連。
圖 4.15 曼德博集合。
曼德博集合(4.20)在實數軸的動力變化正好符合(4.16)的差分 方程，回顧4.5節第6點說明這方程與邏輯斯諦差分方程(4.13) 的同胚關係，容許我們就曼德博集合和邏輯斯諦差分方程在 動力特徵作1對1 的比較。根據(4.18)，彼此參數的區域是
1,4
; Re c
2, 14 。圖4.16 比較邏輯斯諦差分方程的 軌道圖和曼德博集合在Re c
2, 14 的相應結構。可見曼德博集合的心形主體（Re c
34,14 ）是分歧出現前的漸近值區，左邊的圓是2週期的輪換區，然後4、8週期區加 上無序混沌般的軌道，還看到自相似的小圓相對與那小片穩 定空間等等。還有，圍繞心形和圓形外有無數樹枝形的支流
，那是在若干（例如20次）迭代還未發散掉的 zn點，以顯示 曼德博集合的動力狀態。
圖 4.16曼德博集合在實數軸與邏輯斯諦差分方程軌道的比較。（
https://en.wikipedia.org/wiki/File:Verhulst-Mandelbrot-Bifurcation.jpg
）
圖4.16 顯示曼德博集合豐富和漂亮的自相似性圖像。其中有 無盡的細緻結構，都是利用計算機和高分辨繪圖發現，仍是 現今研究的對象。曼德博集合與之前的朱利亞集合（Julia set
）50有一定的互補關係。
說到這裡，我們回顧第四章從分形的靜態幾何與及無規性結 構，介紹分形維數。接著本章進入非綫性動力系統的討論，
系統由微分和差分方程來代表。我們只談相當簡單的一維函 數方程，但已發現各種既有代表性而又複雜的動力屬性和混 沌理論。這些屬性的描述又將論點帶回分形的問題。再加上 第1-2章的尺度變異和冪定律的概念，讀者大概可以感覺到我 們一直用數學的石階鋪蓋分析自然現象的道路，因為這些石 階都是相輔相連的，而這路又是海闊天空的，正是意味著數 學在科學應用上的基礎性和廣義性。可是，在要邁進以後幾 章的應用課題之前，我們還有介紹兩個重要的函數，在下節 講述。
50 根據法國數學家 Gaston Maurice Julia (1893-1978) 的研究命名 。
圖 4.17 曼德博集合的自相似性。
(https://en.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot_set)