第六章 ：從數學模式到跨學科研究
6.6 滯後–能量釋放的控制和利用
圖 6.17 (a) 兩種鐵電體（實線和虛線）的P-E loop，實線代表的有 較大的實用價值，因為較接近長方形（淺色
線）的理想回綫，詳見 (Idemoto et al. 2006)78。(b) 常見的鐵電隨機存取存儲器的 應用硬件。
黏彈性（viscoelasticity）是混合綫性彈簧（胡克定律，見方 程(1.4)）與非綫性減震器（dashpot，F t
cv t
cdx t
dt
，應力和速度成反向正比， c是阻尼系數=damping coefficient
）的實用物性。其應力（單位面積的作用力， F A）–
應變（形變， L L ）關係呈現滯後回綫。圖6.18 是四種 鋪墊材料的應力–應變滯後回綫。回綫內的面積等於鋪墊從 受壓、收縮以至鬆弛過程所吸收的能量，這是設計防撞安全 裝置（例如頭盔）的重要因素之一。
78 Y. Idemoto, T. Takahashi, N. Koura, and C.-K. Loong (2006), “Crystal structure and ferrolectric properties of Si added SrBi2Ta2O9”, Jap. J. Appl.
Phys. 45, 5091-7.
圖 6.18 (a) 四種鋪墊材料的應力–壓縮形變滯後回綫，詳見 (Newman 2002)79。 適用於防撞安全裝置， 如頭盔 (b)。
有關生理學的滯後現象也不少，從細胞分裂到凋亡過程、神 經細胞與周圍膠質細胞的動力反饋、眼角膜的扁平與壓力調 節等等。我們呼吸時肺體積（
V
）受橫膈膜和肋間肌的壓力（
P
）週期改變呈現V P
的滯後回綫，見圖6.19。各樣肺病 會導致對肺組織柔量、肺體積和氣道阻力不同的影響，所以 這V P
關係對診斷呼吸系統疾病十分重要。
79 J. A. Newman (2002), “Biomechanics of head trauma: Head protection”, in Accidental Injury, 2nd Ed., A. M. Nahum and J. W. Melvin (Eds.), Springer.
圖 6.19 呼吸週期肺的
V P
滯後回綫 (a)。胸膜腔內壓力來自橫 膈膜和肋間肌的張縮 (b)。Haken 提出人類視覺認知也有滯後效應。圖6.20 是他舉的一 個例子。沿上排左至右到下排左至右觀察圖案，一般人會在 下排倒數第三個（左二）圖案產生由臉孔轉變成女像的意識
，但如果沿反方向回看，女像變臉孔的認知不發生在下排左 二位置，而發生在上排左三。Haken假設此滯後現象可以用 勢函數解釋，正如圖 4.10，上述兩個過渡點分別發生於勢函 數的中性點 c。滯後現象可能是由於神經細胞感應的時間 尺度（～毫秒）和大腦認知的時間尺度（～0.1秒）不同與及 神經網絡信息轉遞結構所致。
圖 6.20 Haken提出的視覺認知滯後作用的圖案。見 (Haken 2008)80
(http://www.scholarpedia.org/article/Self-organization_of_brain_function)
在微觀經濟學範疇，一間公司的業務會出現生產–價格的滯 後回綫。 如果公司從未出產過某商品，假設商品的成本價 是 ci，當賣價開始超過 ci時，公司仍不願意投產，因為除了 成本，還要投資一筆開業的沉沒成本（sunk cost） fi。所以 等到賣價達到 ci fi 後，才開業投產，即循著圖6.21(a)的A-B-C線進行。但如果公司已在生產此商品，以前投入的 fi已 得回報，雖然賣價低於 ci fi還繼續生產，直至賣價低於 ci 後才停產，即循著C-D-A線走。宏觀經濟由所有公司業務的 集成，產量和市價很可能出現類似圖6.21(b)的滯後回綫，經
80 H. Haken (2008), “Self-organization of brain function”, Scholarpedia, 3(4), 2555.
過時間 t1 t2 t3 t4，產額會隨著價格徘徊漲落。類似的數 學方法也可以應用到貨幣匯率、經濟增長–就業率走勢和國 際交易等問題。
圖 6.21 (a) 公司決定投產和停產商品的生產–價格的滯後回綫。(b) 宏觀經濟可能出現的產量–市價滯後進程，
t
1 t2 t3 t4。我們介紹了滯後效應在不同領域的例子，各個系統有明顯不 同的複雜結構和屬性，但它們的滯後回綫都表現類似的式樣
，這意味著可以通過相關的數學模式進行分析。雖然這小冊 子無法將深奧的數學模式解說，希望讀者能被這些例子引起 興趣和領會到數學強大的功能。