物理學的相變（phase transition）–序參數和臨界指數

(Chakraborti et al. 2015) ⁶⁶

看過無所不在的冪定律分佈和它那費解的重尾巴現象，以 下幾節簡單地談談冪定律分佈的成因， 先從物理學入手。

6.3 物理學的相變（phase transition）–序參數和

液化和固化–沒有相變！同樣地，一個固體磁性系統，每個 原子的電子軌道都帶著磁矩（好像一桿納米大小有南北極的 磁鐵），為了簡單，我們將原子的磁矩視為氣體分子，磁矩 互不相干，這‘氣體’在沒有磁場的環境下，原子的磁矩南 北 極 都 各 自 朝 著 隨 意 方 向 ， 總 和 起 來 磁 化 強 度 （ magnetization, 

M）是零，（此所謂順磁性，paramagnetism

）但一旦外界輸進設定南北方向的磁場（ 

H），所有原子的 磁矩都會看齊朝著此南北方向排列 。系統的平均磁化強度 便與磁場強度成正比，根據以下冪定律（Curie law）：

M  C

HT^1 ， (6.7)

C

是Curie constant。正因為忽略磁矩的相互作用，系統沒有 相變。我們都知道，這都與事實不符，在低溫下磁矩的相互 作 用 增 強 （ 通 過 帶 磁 性 的 基 態 或 低 能 級 波 函 數 （wave function ） ） ， 一 般 會 在 某 溫 度 發 生 自 發 性 的 磁 有 序 （ magnetic order）。

圖 6.7 密度–溫度相圖。曲線是液氣共存綫，分開液態、氣態、

液氣混合兩相、和流體單相。如果流體沿虛線箭頭通過

L

點進 入兩相區，屬於一級相變，進入兩相區時（

T

₀^{）出現液滴和氣泡}

，各有不同的密度（

L

和

G

點），熱力變量（例如

P

^，

V

^）

發生不連續的躍變。倘若沿實綫箭頭通過臨界點（

C

^{）進入兩相}

區，液氣的密度一致，熱力變量保持連續性的變化，屬於二級相 變。臨界點

C

也是分歧點，此相圖可與圖4.16 （邏輯斯諦差分 方程軌道）表示產生分歧的上方長方形區比較。

前面5.3 節已提到氣體 液體的相變，圖6.7 繪出概念性的



 T相圖（phase diagram）。曲線是液態和氣態的界面（液 氣併存），

C

是臨界點，也是液氣和流體共存點。通過

C

點的相變屬於二級相變（second-order phase transition），熱 力變量如

P

,

V

, 等保持連續性的變化，但這些變量的第一 導數，如壓縮率（compressibility），則出現不連續的發散。

沿著其他，如通過

L

^或

G

點，的相變是一級相變（first-order phase transition ） ， 熱 力 變 量 發 生 不 連 續 的 躍 變 。

T

 T_C 是無序性高和液氣對稱的流體態， T  T_C分子結成液 體和氣體，無序性降低，對稱亦破缺。其中數學基礎和動力 分差方程一週期分歧到兩週期的現象相似，見圖6.7 。 以上的相圖，其基本形式和概念–臨界點、分歧現象等，不 限於液氣，其他系統如二元液體或合金、磁性、鐵電體、超 導體等也有類似的相圖，只是相對的熱力電磁變量不同而已

。至於計算臨界行為，首先要建立系統粒子的相互作用模式

，這是一個典型的多體問題（many-body problem），在數學 上無法完整解答（見第四章），統計力學（包括計算機模擬

）只能用平均場理論（mean-field theory）的近似方法。在分 析實驗數據方面，首先準確地測量序參數於臨界階段的數值

，假設依隨冪定律轉化，方程 (5.15) 和 (5.16) 便是其中例 子， 通過擬合優度去獲得臨界指數。表 6.1 列出液氣和鐵 磁相變兩個系統的臨界指數。首先，實驗測出的指數精確度 很高。第二，雖然是兩個性質不同的系統，但彼此相對的臨 界指數十分接近，這就是第五章講到的臨界時系統粒子互不 相干的自由度被命令機動原理牽制而出現普適性的臨界行為

。第三，理論，包括Ising模式和平均場理論對指數的計算結 果不如理想。其實平均場論不能推斷臨界指數的冪定律，真 正證明冪定律臨界行為要到70 年代 Wilson⁶⁷ 和合作者提出 重正化群理論（renormalization group method），是目前最成 功理解物理相變的理論。

表6.1 比較從實驗測出的和從理論估計的臨界指數。⁶⁸

理論 實驗

屬性

二維 Ising模 式指數

平均場

指數 液－氣相變 鐵磁相變 比熱 0 0 0.113±0.005 -0.03±0.12 密度差/磁

化強度差 1/8 1/2 0.322±0.002 0.37±0.01

67 Kenneth Wilson (1936-2013), 美國理論物理學家，1982 年以他研究的 相變理論獲諾貝爾物理學獎。

68 A. Lesne and M. Laguës (2012), “Scale Invariance” (Springer).

壓縮率／

磁化率 7/4 1 1.239±0.002 1.33±0.15 關聯函數 1/4 0 0.017±0.015 0.07±0.04 相干長度 1 1/2 0.625±0.006 0.69±0.02

Haken用協同學理念，例如勢函數和序參數在臨界前後的關 係 (見圖5.2)，認定一組主方程（master equations），可以廣 義地應用到不同的物理系統，例如激光、超導、鐵磁等。再 進一步從跨學科的步驟入手，他認為其他科學系統也有臨界 的場合，可以訂立相對的序參數，然後採用協同學方法進行 分析處理。這些序參數可能是分子數（在化學或生物學方面

）、跳動率（神經網絡）、動植物種類數（生態學）、投資 回報（市場經濟）、持意見人口（社會學）等等。

在文檔中 宇宙的尺度變異定律 (頁 124-128)