系統動力學基礎模型

繪製系統動力學模型的圖形我們稱為線流圖(Stock-Flow Diagram)是從控制 理論中的方塊圖演變而來，不過要比控制理論的方塊圖更簡單，構成系統動力學 模型的基本元件只有三種：積量(Level 或是 Stock)、率量(Rate 或是 Flow)還有輔 助變數(Auxiliary)，以下我們更進一步說明其意義。

(1) 線流圖(Stock-Flow Diagram)：系統動力學將真實世界中的運作模式，以線流 圖的方式來表示。在真實世界中，很多的現象都可用流動的觀念來表示，例 如資金的入帳與支出是一種金錢的流動，能量的傳遞是能量的流動，貨物的 運輸是物品的流動，企業員工的聘雇與離職是人員的流動。線流圖就可用來 描述這些物品、金錢、人員等不同流動的關係。

(2)積量(Level)：表示真實世界中可隨時間遞移而累積的事或物，在系統中是代表 系統的狀態，積量的種類除了實體可見的存量如貨物或金錢之外，無形不可 見的存量如滿意度也可以設為積量。通常我們在系統動力學建模時會將我們 有興趣的變數設為積量，透過模擬觀察積量的變化，在線流圖中積量是以方 塊來表示。習慣上，建模時我們優先考慮的變數是積量也就是先決定哪些變

數是積量，此外對於積量的初始值的設定，乃代表儲水槽一開始水量的多少。

(3)率量(Rate)：率量是決定積量狀態的控制點，表示流入或流出積量的流動速 率，在系統中是可視為用來改變系統狀態的一種行為，透過率量可以增加或 減少積量的數值，可將其視為單位時間內的流動量(單位量／單位時間)，在 線流圖中以水龍頭來表示。

一般組織中所具有的積量(Level)或流量(Flow)則包括有以下幾種，這只是基 本判斷方法，但使用者還是要依本身的建模目的來決定：

‧原料(material)：原料數量為 Level，原料輸入與輸出則為 Rate。

‧設備(equipment)：設備數量為 Level，買進設備或賣出設備則為 Rate。

‧訂單(order)：訂單數量為 Level，接到訂單或完成訂單則為 Rate。

‧人(people)：人的數量為 Level，應徵人員或人員離職則為 Rate。

‧錢(money)：錢的數量為 Level，收帳或付款則為 Rate。

‧資訊(information)：資訊和前面幾種情況有點不一樣，前面幾種可視為實體流，

因為是實際的東西在流動，數量會累積或減少，但是資訊的流入會增加資訊，

可是我們把資訊分享給別人時，自已的資訊不會減少，資訊數量為Level，資 訊流進或分享則為Rate，資訊流建模一般而言不同單位的資訊流動是不會在 同一個流動路線上。

(4)輔助變數(Auxiliary)：輔助變數的定義非常廣泛，在系統動力學中最難正確使 用的往往是輔助變數，可是有時輔助變數又很方便使用，主要在於使用者是 否對輔助變數有正確的了解。輔助變數在系統動力學中主要有三種涵意：第 一為表示資訊處理的過程，可以當做不同的積量(Level)或率量(Rate)之間資訊 傳遞的中介者。第二為某些特定的環境參數值，為一常數(constant)，比如調 整次數；或是某些單位的轉換值，比如人數和產品件數的轉換，透過輔助變 數，每人生產件數來轉換，第三為系統的輸入測試函數或數值，可以用常數 (constant)或是用 Function 表示，比如我們將公司外的景氣波動用國民生產毛 額隨時間變化的函數來表示，大部分系統動力學建模軟體都提供很多的 Function 給使用者利用。輔助變數在線流圖中以圓來表示。

(5)關係(Wire)：關係就是把前述的積量(Level)、率量(Rate)、輔助變數(Auxiliary) 關連在一起，在線流圖中以箭頭線(Wire)來表示，其意義就如同因果回饋圖中 的箭頭線，A→B 代表的是 A 會影響 B。

其中積量(Level)和率量(Rate)常常是放在一起的，如果我們要將我們有興趣 的變數，如員工滿意度設為積量時，我們必須要考慮到該積量的變化值也就是率 量是什麼？員工滿意度是透過什麼東西去提昇或減少的？

對於數學基礎較佳的讀者只要記得，積量代表是一個我們有興趣的變數，

設為Y，率量就是積量對時間的微分：dY／dt，也就是該變數 Y 隨著時間改變

的量，最後我們將系統動力學的基本元件與其代表的數學意義表示在下表

表 6 系統動力學元件及其數學意義

系統動力學元件 數學意義 符號

積量Level Y Lev el

率量Rate dY／dt

Rate

輔助變數Auxiliary C、X、F(Y)、F(t)、F(X)

Auxiliary

關係Wire

(資料來源：屠益民，上課講義)

經過以上描述系統動力學之基本單元後，我們透過一個生產作業系統中常 見的簡單存貨系統的控制，來闡釋系統動力學模式之建構、操作運算及觀察結果。

線流圖(Flow Wire Diagram)

POR PINV

PIG TPCA

圖 7 簡單存貨控制系統的線流圖

此存貨系統之系統動力學模式，其方程式系統(System of Equations)可表示 如下：

(1,L) PINV(t) = PINV(t - dt) + (POR) * dt (1.1,N) INIT PINV = 200

(2,R) POR = (PIG-PINV)/TPCA (2.1,C) TPCA = 5

(3,A) PIG = 10000

PINV=Parts inventory：零件庫存(單位：個) 2

1 3 2.1

INIT PINV：存貨初始值（單位：個）

POR= Parts on order rate：零件訂購率(單位：個/天) PIG=Parts inventory goal：零件庫存目標(單位：個)

TPCA=Time to parts corrective action：零件修正行動調整時間(單位：天) dt：單位時間（單位：天）

方程式系統中，方程式左邊的符號L、N、R、C、A 分別代表該方程式為 積量（L；Level）方程式、初始值（N；Initial value）方程式、率量方程式（R；

Rate）方程式、輔助變數（A；Auxiliary）方程式及常數（C；Constant），此外如 果另有符號T 表示圖表函數（T；Table function）。

方程式系統中(1,L)表示目前時刻 t 的 PINV，而目前 t 時候的存貨是由上一 時刻（t – dt）的 PINV 加上每單位時間（dt）的訂貨量（POR），即POR 乘上 dt。

而(1.1,N)表示目前存貨之初始值 200 個；(2,R)表示訂貨是由目標存貨(PIG)及目 前存貨的差除以訂貨的調整時間(TPCA)。而(2.1,C)表示調整時間為 5 天，(3,A) 表示目標存貨為10000 個零件數。

行為變化趨勢(Behavior Patterns)就是我們透過模擬的方法而觀察到隨時間 推移而產生的變化。透過這簡單的存貨控制模式我們可以發現系統中最重要的決 策函數「訂購量(POR)」，乃反映出決策者對於訂貨決策之考量。參考圖 8 即顯 現出存貨之變化。

06:02 ¤U¤Č 2007¦~12¤ė15¤é Page 1

1.00 12.00 23.00 34.00 45.00

Days 1:

1:

1:

2:

2:

2:

200 5100 10000

1: PIG 2: PINV

1 1 1 1

2

2

2 2

說明：【變數1】為目標存貨量(PIG) 【變數 2】為目前存貨量(PINV)

圖 8 存貨的行為變化趨勢圖

圖 9 是以不同訂購率的情況下，庫存水位增長的趨勢圖，以三種不同的零 件修正行動調整時間(TPCA)來模擬，可以明顯的看出調整天數越短，庫存水位 的增長越快，反之則越慢，然而究竟要以何種天數來進行決策，就視決策者考量

的問題是什麼？因為快速的庫存可以讓生產線不會有停工待料的情況發生，但是 確會使公司的應付帳款提早實現！

06:39 ¤U¤Č 2007¦~12¤ė15¤é Difference parts order rate

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1.00 8.25 15.50 22.75 30.00

Days 1:

1:

1:

200 5100 10000 PINV: 1 - 2 - 3 -

1

1 1 1

2

2

2 2

3

3

3

3

說明：PINV 1：TPCA=2 天，2：TPCA=5 天，3：TPCA=8 天，

圖 9 不同的零件修正行動調整時間(TPCA)之存貨行為變化趨勢圖