ERT在地工調查應用之問題評析與空間解析度探討

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(1)國立交通大學土木工程學系碩士班碩士論文. ERT 在地工調查應用之問題評析與空間解析度探討 Evaluation and Spatial Resolution of ERT for Geotechnical Investigation 研究生：楊証傑指導教授：林志平博士. 中華民國九十四年七月.

(2) ERT 在地工調查應用之問題評析與空間解析度探討 Evaluation and Spatial Resolution of ERT for Geotechnical Investigation. 研究生：楊証傑. Student： Cheng-Chien Yang. 指導教授：林志平博士. Advisor： Dr. Chih-Ping Lin. 國立交通大學土木工程系碩士班碩士論文. A Thesis Submitted to Department of Civil Engineering College of Engineering National Chiao Tung University in partial Fulfillment of the Requirements for the Degree of Master in Civil Engineering July 2005. Hsinchu, Taiwan, Republic of China. 中華民國九十四年七月.

(3) ERT 在地工調查應用之問題評析與空間解析度探討研究生：楊証傑. 指導教授：林志平博士國立交通大學土木工程學系碩士班中文摘要. 直流電阻法在過去幾年來，由於地電阻儀器設備改進與反算方法發展成熟，探測方式從一維度進入二維與三維度，施測快速有效率。ERT 施測可獲得大範圍二維電阻率影像剖面，呈現地層電阻率變化情形，因水的電阻率值與地質材料電阻率質差異甚大，而時常應用在環境水文之方面調查，例如地下水位與土壤污染探測，近年來 ERT 在地工調查案例也逐漸增加，如斷層調查、崩塌區調查、土壩滲漏調查與垃圾掩埋場滲漏監，但 ERT 之空間解析度仍存在許多疑慮，調查資料反算所得到之電阻率影像剖面受到雜訊與空間靈敏度之影響，常為真實電阻率剖面經某種程度模糊化之結果。本研究在不同地質構造條件下進行 ERT 施測調查地質構造，探討 ERT 之潛在問題，案例分析結果指出，ERT 影像之色階呈現會影響資料判識，深層解析度較不理想，且邊界條件與三維效應也可能影響施測結果。本研究進而以 Res2dmod 軟體模擬五種地層模型之電探資料，以探討一維垂直解析度、一維側向解析度與二維空間解析度，由模擬結果可以定性暸解空間解析度如何受到深度、幾何變化與電阻率變化之影響。關鍵字：地電阻影像法、視電阻率、空間解析度. i.

(4) Evaluation and Spatial Resolution of ERT for Geotechnical Investigation Student：Cheng-Cheng Yang. Advisor：Dr. Chih-Ping Lin. Department of Civil Engineering National Chaio Tung University Abstract In the last few years, the measurements from 1-D to 2-D or 3-D have been more rapid and effective due to the improvement of electrical instrument, and the development of inversion method is getting maturity. ERT provides the continuous image of the subsurface in 2-D and it gives an overview of the variations of the ground resistivity. As water is low resistivity material and the resistivity difference between water and soil material is large, ERT has been using in detecting ground water and environmental pollution. It also applies in finding fault, landslide zone, dam leakage and landfill leakage monitoring. However, the spatial resolution of ERT still has a lot of doubts. The inversion of the measurement data usually shows some cloudy true-resistivity affected by noise and spatial sensitivity. Four ERT investigating cases are studied to discuss the potential problem, as the results shows, the different color map of ERT results will affect the judgments. The deeper the depth is, the worse the sensitivity performing the change of the subsurface is. The boundary condition and 3D effect also affect the measurement data. So we use Res2dmod as the software to simulate five numerical earth models and study the relations between the earth model and 1D vertical, lateral resolution and 2D spatial resolution. It shows that spatial resolution qualitative change due to depth, geometry size and different resistivity. Key words: ERT, apparent resistivity, spatial resolution. ii.

(5) 誌謝承蒙指導教授林志平博士於研究所求學期間悉心指導，使本論文得以順利完成，除了在論文研究、專業知識上的教誨及指導，幫助學生突破研究的瓶頸及獲得學識的增長，在求學的方法及平常待人處世的態度上也給予學生許多深刻的啟發，讓學生得以在研究所兩年的求學過程中更加成長、茁壯，在此致上最誠摯的敬意及感謝。於求學期間，承蒙廖志中教授、潘以文教授、黃安斌教授、單信瑜教授以及方永壽教授在學識上的指導，在此致上萬分謝意。口試期間，良受蔡光榮教授、陳昭旭教授及古志生教授撥冗審閱本論文並提供許多寶貴的意見及建議，使本文得以更加完善，於此表示由衷感謝。研究期間，幸蒙宗盛、志中、士弘、瑛鈞等博士班學長，育嘉、仁弘學弟等，以及同窗好友和翰、俊宏、秀隆、瑞廷、志偉等諸多同學給予研究上的協助及經驗分享，僅以此謝文獻上致謝意。好友永瑞、師毅、桐樺、博鈞等，交大土木系壘的學長學弟妹們，很高興在交大的六年裡有你們的陪伴。最後，感謝家人對我的栽培，ㄧ路走來若沒有你們的包容及關心，就沒有今日的我，僅以此文獻給我最親愛的家人。. iii.

(6) 目錄中文摘要 ................................................................................................................ i 英文摘要 ............................................................................................................... ii 誌謝 ......................................................................................................................iii 目錄 ...................................................................................................................... iv 表目錄 .................................................................................................................vii 圖目錄 ................................................................................................................viii 一、緒論 ............................................................................................................... 1 1.1 研究動機................................................................................................. 1 1.2 研究目的................................................................................................. 2 二、文獻回顧....................................................................................................... 3 2.1 電學性質................................................................................................. 3 2.2 地質材料導電特性............................................................................... 11 2.3 直流地電阻法原理............................................................................... 17 2.3.1 電位場於均質均向物質分佈.................................................... 18 2.3.2 非均質地層影響....................................................................... 25 2.3.3 電極排列施測方法.................................................................... 31 2.4 地電阻影像剖面法............................................................................... 36 2.4.1 擬似深度.................................................................................... 36 2.4.2 擬似地電阻率剖面.................................................................... 39 2.4.3 電極排列方式優缺點................................................................ 41 2.5 正算模擬理論發展............................................................................... 51 2.6 反算分析理論....................................................................................... 52 2.6.1 最佳化最小平方法(least-squares optimization) ....................... 53 2.6.2 平滑束制最小平方法................................................................ 54 2.6.3 重複再加權最小平方法............................................................ 55 三、案例研究..................................................................................................... 57 3.1 寶山二號水庫-交大試驗場址 ............................................................. 58 3.1.1 試驗儀器介紹............................................................................ 58 3.1.2 寶山二號水庫地質狀況............................................................ 59 3.1.3 測線位置與施測參數................................................................ 65. iv.

(7) 3.1.4 試驗結果.................................................................................... 67 3.1.5 試驗討論.................................................................................... 71 3.2 國立交通大學博愛校區....................................................................... 73 3.2.1 交通大學博愛校區地質狀況.................................................... 73 3.2.2 測線位置與施測參數................................................................ 74 3.2.3 試驗結果.................................................................................... 79 3.2.4 試驗討論.................................................................................... 86 3.3 恆春赤牛嶺東門溪............................................................................... 90 3.3.1 赤牛嶺地質狀況........................................................................ 90 3.3.2 測線位置與施測參數................................................................ 92 3.3.3 試驗結果.................................................................................... 96 3.3.4 試驗討論.................................................................................. 100 3.4 三姓橋................................................................................................. 101 3.4.1 香山區地質背景...................................................................... 101 3.4.2 測線位置與施測參數.............................................................. 102 3.4.3 試驗結果.................................................................................. 105 3.4.4 試驗討論.................................................................................. 107 3.5 地電阻影像剖面法問題評析............................................................. 108 3.5.1 影像色階不同對於判識影響.................................................. 108 3.5.2 層面位置辨識問題.................................................................. 109 3.5.3 側向涵蓋範圍不全.................................................................. 109 3.5.4 現地情況不符二維假設.......................................................... 110 四、地電阻影像解析度探討............................................................................111 4.1 正算模型參數..................................................................................... 113 4.2 垂直解析度探討................................................................................. 115 4.2.1 單一水平界面構造模型.......................................................... 115 4.2.2 水平夾層界面構造模型.......................................................... 131 4.3 側向解析度探討................................................................................. 144 4.3.1 垂直界面構造模型.................................................................. 144 4.3.2 垂直夾層界面構造模型.......................................................... 146 4.4 二維解析度探討................................................................................. 150 4.4.1 模型參數.................................................................................. 150 4.4.2 二維度模型反算結果探討...................................................... 150 五、結論與建議............................................................................................... 153 v.

(8) 5.1 結論 ..................................................................................................... 153 5.2 建議 ..................................................................................................... 158 參考文獻 ........................................................................................................... 159 附錄A-資料反算分析流程............................................................................... 164 附錄B-試驗場址鑽孔柱狀圖........................................................................... 168 附錄C-單一水平界面靈敏度分析 .................................................................. 183 附錄D-單一水平界面Wenner反算結果......................................................... 191 附錄E-單一水平界面Pole-Pole反算結果....................................................... 197 附錄F-水平夾層界面靈敏度探討 ................................................................... 203 附錄G-水平夾層界面最大靈敏度影像圖 ...................................................... 227 附錄H-水平夾層界面反算結果 ...................................................................... 241 附錄I-垂直界面解析度探討............................................................................ 249 附錄J-垂直夾層界面解析度探討 ................................................................... 255 附錄K-二維解析度探討 .................................................................................. 271. vi.

(9) 表目錄表 2.1. 材料介電係數(修改自Keller,1966) ..................................................... 5. 表 2.2. 相對導磁係數表(修改自Keller,1996、Cheng,1989).......................... 8. 表 2.3. 一些常見的離子移動率(Keller,1966) ............................................... 10. 表 2.4 不同電極排列的擬似深度參數(Edwards 1977)。............................. 38 表 2.5. 電極排列法之橫向資料涵蓋範圍比較(最小單位電極間距等於a) 48. 表 2.6. 電極排列幾何參數............................................................................. 50. 表 3.1 SYSCAL Pro Switch 48 儀器功能規格............................................. 60 表 3.2. 地質剖面線A-A’的側向岩層變化..................................................... 62. 表 3.3. 地質剖面線B-B’的垂直岩層變化..................................................... 62. 表 3.4. 寶山二號水庫試驗場址施測參數..................................................... 65. 表 3.5. 交大博愛校區測線 1 施測參數......................................................... 78. 表 3.6. 交大博愛校區測線 2 施測參數......................................................... 78. 表 3.7. 恆春東門溪赤牛嶺水位監測資料..................................................... 93. 表 3.8. 恆春東門溪場址施測參數................................................................. 93. 表 3. 9. 新竹市三姓公溪北岸階地鑽探內容列表(中央地質調查所，2003). ........................................................................................................................ 103 表 3.10 三姓橋地電阻測線參數................................................................... 104 表 4.1. 模型網格深度值............................................................................... 114. 表 4.2. 反射係數與電阻率參數表............................................................... 116. 表 4.3. 施測模型Wenner與Pole-Pole擬似深度值....................................... 118. 表 4.4. 反算模型層數之深度位置............................................................... 119. 表 4.5. 夾層中心位置與厚度參數表........................................................... 132. vii.

(10) 圖目錄圖 2.1. 外加電場造成電荷重新排列產生表面電荷(Cheng,1989) ................ 6. 圖 2.2. 電流頻率對導電度與介電常數影響簡圖(Keller,1966 ) .................... 6. 圖 2.3. 影響電阻的幾何因子(Burger, 1992) ................................................. 11. 圖 2.4. 地質材料電阻率值範圍(摘自Loke, 2003)........................................ 12. 圖 2.5. 飛白石中黃鐵礦含量對電阻率的關係(Keller,1966 ) ...................... 13. 圖 2.6. 多孔隙介質電流傳遞路徑示意圖..................................................... 14. 圖 2.7 (a)未飽和但高於臨界飽和度之土壤；(b)未飽和且低於臨界飽和度之土壤，減少孔隙水連接通路(Keller,1966 )。 ........................................... 16 圖 2.8. 溫度對電阻率影響圖(Keller, 1966) .................................................. 17. 圖 2.9. 點電流源於地表產生的電位分布與電流方向(Telford, 1990) ........ 20. 圖 2.10 地表佈設雙電流極與雙電位極示意圖(Telford, 1990) .................... 22 圖 2.11 雙電流極產生的電位變化(Telford, 1990) ........................................ 22 圖 2.12 決定水平方向電流密度空間參數(Telford, 1990) ............................ 23 圖 2.13 水平電流密度與電流極間距和深度變化關係(Telford, 1990) ........ 24 圖 2.14 通過z1 以下之電流百分比(Telford, 1990)......................................... 25 圖 2.15 介質ρ1 大於ρ2，電流在邊界上的方向改變 ................................... 26 圖 2.16 電位受邊界影響的計算參數............................................................. 27 圖 2.17 假設電源於A位置上，在三種不同介質下，(a)求M位置的參數與(b) 反射路徑(Keller, 1966) ................................................................................... 28 圖 2.18 計算M位置電位考慮的其他四種反射路徑(Keller ,1966) .............. 29 圖 2.19 電流百分比在單一水平界面下的變化，電流百分比與反射係數、界面位置的關係圖(Burger, 1992) .................................................................. 31. viii.

(11) 圖 2.20 常見地表施測電極排列法................................................................. 35 圖 2.21 靈敏度方程式推導的參數，以Pole-Pole電極排列推導。(Loke 2003) .......................................................................................................................... 37 圖 2.22 一維靈敏度曲線，(a)Pole-Pole電極排列(b)Wenner電極排列(Loke 2003)................................................................................................................. 37 圖 2.23 Wenner電極排列施測流程 ................................................................. 40 圖 2.24 Pole-Pole電極排列施測方法(游峻一 2003) ..................................... 41 圖 2.25 Wenner 2D-靈敏度剖面(Loke, 2003) ................................................. 43 圖 2.26 Pole-Pole 2D-靈敏度剖面(Loke, 2003) .............................................. 43 圖 2.27 Wenner-Schlumberger 2D-靈敏度剖面(Loke, 2003) ......................... 44 圖 2.28 順、反Pole-Dipole施測示意圖(Loke, 2003) .................................... 45 圖 2.29 Pole-Dipole 2D-靈敏度剖面(Loke, 2003) .......................................... 46 圖 2.30 Dipole-Dipole 2D-靈敏度剖面(Loke, 2003) ...................................... 47 圖 2.31 Dipole-Dipole 不同n，a參數，展距相同(Loke, 2003).................... 51 圖 3.1. 寶山二號水庫交大試驗場址位置..................................................... 63. 圖 3.2. 寶二水庫交大試驗場址地質圖......................................................... 64. 圖 3.3. 地質剖面圖A-A’和B-B’..................................................................... 64. 圖 3.4. 地電阻測線與鑽探孔位置................................................................. 66. 圖 3.5. 寶山二號水庫測線 1 電阻率影像剖面............................................. 69. 圖 3.6. 寶山水庫測線 2 電阻率影像剖面..................................................... 70. 圖 3.7. 交大博愛校區區域地質圖(中央地質調查所-地質資料整合查詢系. 統)..................................................................................................................... 76 圖 3.8. 交大博愛校區測線位置圖................................................................. 77. 圖 3.9. 交大博愛校區測線 1-1 電阻率影像剖面 ......................................... 82. ix.

(12) 圖 3.10 交大博愛校區測線 1-2 電阻率影像剖面 ......................................... 83 圖 3.11 交大博愛校區測線 2-1 電阻率影像剖面 ......................................... 84 圖 3.12 交大博愛校區測線 2-2 電阻率影像剖面 ......................................... 85 圖 3.13 測深參數n從 10 降為 7(單位電極間距等於 5 公尺)....................... 89 圖 3.14 恆春東門溪區域地質圖(中央地質調查所)...................................... 90 圖 3.15 東門溪場址測線和鑽孔位置圖(水利規劃試驗所, 2004)................ 94 圖 3.16 東門溪調查區域柵狀地質示意圖(水利規劃試驗所, 2004)............ 94 圖 3.17 恆春赤牛領地質剖面圖 (a) A-A’ (b) B-B’ (c) C-C’ (水利規劃試驗所, 2004)................................................................................................................. 95 圖 3.18 恆春赤牛嶺測線 1 電阻率影像剖面................................................. 98 圖 3.19 恆春赤牛嶺測線 2 電阻率影像剖面................................................. 98 圖 3.20 測線 3 電阻率影像剖面..................................................................... 99 圖 3.21 測線 4 電阻率影像剖面..................................................................... 99 圖 3.22 香山區域地質圖與新竹斷層位置(中央地質調查所，2003)........ 103 圖 3.23 三姓公溪谷口於FT1 台階處之鑽孔與測線位置圖(中央地質調查所) ........................................................................................................................ 104 圖 3.24 三姓橋Wenner電阻率影像剖面圖 .................................................. 106 圖 3.25 三姓橋Pole-Pole電阻率影像剖面圖 ............................................... 106 圖 4.1. 空間解析度探討流程圖................................................................... 112. 圖 4.2. 正算模型網格示意圖....................................................................... 114. 圖 4.3. 單一水平界面構造示意圖............................................................... 116. 圖 4.4. 界面於深度 10 公尺之Wenner靈敏度與擬似深度曲線圖 ............ 123. 圖 4.5. 界面於深度 20 公尺之Wenner靈敏度與擬似深度曲線圖 ............ 123. 圖 4.6. Wenner最大靈敏度影像圖 .............................................................. 124. x.

(13) 圖 4.7. Wenner最大正規化靈敏度影像圖 .................................................. 124. 圖 4.8. Wenner最大靈敏度隨深度降低趨勢圖(k=0.6,0.9,-0.6,-0.9).......... 125. 圖 4.9. Wenner最大靈敏度隨反射係數變化(Zi=2,5,10,15,20m)............... 125. 圖 4.10 Wenner最大正規化靈敏度與反射係數關係 ................................... 126 圖 4.11 界面位於深度 10 公尺，Wenner反算模型結果 ............................ 129 圖 4.12 界面位於深度 20 公尺，Wenner反算模型結果 ............................ 130 圖 4.13 水平夾層構造模型示意圖............................................................... 131 圖 4.14 Wenner靈敏度曲線(夾層中心等於 25 公尺，厚度等於 12 公尺) 136 圖 4.15 Wenner最大正規化靈敏度影像圖(t=12m) ...................................... 137 圖 4.16 Wenner最大正規化靈敏度影像圖(Zc=25m) ................................... 137 圖 4.17 Wenner夾層反算分析結果(Zc等於 10 公尺，t等於 8 公尺) ......... 141 圖 4.18 Wenner夾層反算分析結果(與圖 4.17 比較在相同k值之下，改變Zc 或t參數之差異) ............................................................................................. 142 圖 4.19 Wenner靈敏度分析，當反射係數等於 0.6 ..................................... 143 圖 4.20 垂直界面示意圖............................................................................... 144 圖 4.21 垂直界面反算結果(k=0.6)............................................................... 145 圖 4.22 垂直夾層界面................................................................................... 146 圖 4.23 垂直夾層界面反算分析側向變化圖............................................... 149 圖 4.24 ρ2 方形介質於均勻介質ρ1 中示意圖........................................... 150 圖 4.25 方形介質與水平夾層及垂直夾層反算結果比較........................... 152. xi.

(14) 一、緒論 1.1 研究動機數十年以來，直流電阻法之發展從一維度探測開始，應用在調查地下水位、探礦等問題上，隨著科技迅速進步，儀器上改良使得量測更有效率之外，電腦運算速度大幅提升，造就二維度探測(或稱地電阻影像法, ERT)為目前常見於探查大地工程問題上之方法，例如斷層、崩塌地、礦坑、土石壩滲漏、現地透水係數等，此外環境汙染調查、垃圾掩埋場滲漏、海水入侵等環境工程課題上也常用電探方法進行調查或監測。傳統地工調查上以鑽孔方式獲取地質真實資訊，其缺點為獲得資訊為點資訊，且價格昂貴，反觀地球物理探勘方法多屬非破壞性，用不同探測原理與方法，能快速而且經濟地獲得線或面之地層物理特性，如震測法得到地質材料力學參數，電探法獲得地質電學性質分佈，但其空間解析度有某種程度上的限制。各取兩者優點，以鑽探點資料輔助解釋地球物理探勘方法所得地質材料性質，獲取大範圍資訊進而提供工程問題上所需解決方案。電阻率值受多種因素影響，變化範圍廣，無法以單一參數定量描述電阻率值變化行為，也致使 ERT 施測結果之地電阻率影像剖面圖在未知地質構造與性質之下，無法明確獲知空間解析能力受何種因素影響。有鑑於此，本研究將探討 ERT 於地工調查上空間解析度受不同地質構造、電阻率參數影響產生的問題。. 1.

(15) 1.2 研究目的本研究首先藉由四種不同地層條件下以五種不等進行 ERT 施測，從其電阻率剖面結果發現在判識電阻率變化界面上，產生對空間解析度能力受何種因素影響為主之問題。藉由改變反射係數、界面位置與夾層厚度等參數，進行正算模擬及反算分析步驟，暸解以 Wenner 與 Pole-Pole 兩種電極排列法之垂直空間解析度與側向解析度隨電阻率值大小、電阻率變化界面及電阻率夾層厚度參數變化行為，並在探討垂直空間解析度時加入靈敏度分析；進而再以方形介質模型探討其二維度空間解析能力。. 2.

(16) 二、文獻回顧地球物理探測可應用於工程地質調查之地層構造探測、岩盤探測、地下埋設物探測及地下水調查各方面，依其探測物質性質不同可分為電探法、震測法與重力法等；電探法為探測地質材料電學性質，其中地電阻影像剖面法乃量測電阻率性質的電探方法之一。. 2.1 電學性質物質的電學性質包含三大類，分別為介電常數或電容率 (dielectric constant)、導磁係數(permeability)以及導電度(conductivity)。以下分別介紹其特性: (1)介電常數: 理想介電質不存在自由電荷(free charge)，當外加一電場 E 於理想電介質，內部電荷不移動至表面產生自由電荷，也就是不改變電荷密度。一般介質電荷受到邊界束制，電場使內部電荷產生位移量，導致正負電荷重新排列，於表面形成表面電荷(bound charges)，形成極化現象(polarization)。電荷位移量 D 稱為電通密度(electric flux density)或電位移(electric displacement)，與電場相關式為 D = ε 0ε r E. (2-1). 其中真空狀態下介電係數ε0(permittivity)等於 8.85×10-12F/m，單位為法拉第(Farad)每公尺；一般物質的介電係數與ε0 之比稱為介電常數或相對介. 3.

(17) 電係數εr(Relative permittivity)。一般常見的造岩礦物矽酸鹽類之介電常數範圍(如表 2.1)通常在 1~10 之間；純水介電常數則達 80，而含有金屬礦物材料例如鉛、鐵、錫等因含有多價數離子金屬，造成的電位移量大於低價離子電荷，多數的介電常數大於 10。圖 2.1 表示電位移現象，於巨觀角度此電介質雖視為電中性，但受到外在電場影響，造成極化現象，形成一相反方向的內部電場，在微觀上對電介質內部和外部的電場會有所影響。 Abu-Hassanein 等(1996)認為直流電源會產生電勢能(electrokinetic)現象，進而改變土壤結構、含水量，以及孔隙水化學性質。電荷極化現象之外，以離子鍵形成的材料，亦會產生離子極化；外加電場，使陽離子朝向負極移動，陰離子往正極移動。大部分造岩礦物主要以離子鍵結組成，例如矽酸鹽類礦物的石英、雲母、輝石等，因此地質材料所產生的電位移以離子極化現象為主(Keller and Frischknecht, 1966)。介電常數與外加電流頻率的關係成反比。當頻率非常低時，可視為物質的表面呈現極化現象；頻率增加到高頻時，只剩下內部電子極化情形如圖 2.2 表示於不同頻率下物質之極化現象，由高頻率到低頻率包含以下四種極化現象，分別為電荷極化、離子極化、分子極化以及介面極化，其介電常數隨電流頻率增加而降低。因為在高頻率下之極化作用無法使電荷分離完全，並使電荷來回快速移動，進而增加導電度。. 4.

(18) 表 2.1. 材料介電係數(修改自 Keller,1966). 材料名稱. 化學成分. 介電常數 1.0. 空氣純水. H2O. 81. 方鉛礦(Galena). PbS. 17.85. 閃鋅礦(Sphalerite). ZnS. 7.88. 剛石(Corundum). Al2O3. 10.98~13.22. 錫石(cassiterite). SnO2. 23.39~23.95. 赤鐵礦(Hematite). Fe2O3. 24.97. 白雲石(Dolomite). CaMg(CO3)2. 6.78~7.98. 磷灰石(Apatite). Ca5(F,Cl)(PO4)3. 7.40~10.49 72.77~497.18. 硫酸鉛礦(Anglesite) PbSO4 石膏(Gypsum). CaSO4‧2H2O. 5.39~11.97. 輝石(Augite). Ca(Mg,Fe,Al)(Al,Si)2O6. 6.89~8.59. 黑雲母(Biotite). K(Mg,Fe)3AlSi3O10(OH)2 6.19~9.30. 白雲母(Muscovite). KAl3Si3O10(OH)2. 6.19~7.99. 正長石(Orthoclase). KAlSi3O8. 4.50~5.80. 斜長石(Plagioclase). (Ca,Na)(Al,Si)AlSi2O8. 5.45~7.23. 石英(Quartz). SiO2. 4.11~4.27. 5.

(19) 圖 2.1. 外加電場造成電荷重新排列產生表面電荷(Cheng,1989). 圖 2.2. 電流頻率對導電度與介電常數影響簡圖(Keller,1966 ). 6.

(20) (2)導磁係數: 導磁係數μ的定義是磁通密度 B(magnetic flux density)與磁場強度 H(magnetic field intensity)之比。2-2 式代表磁性材料被磁化的容易程度. μ=. B H. ; μ = μ0μr. (2-2). 其中真空導磁係數μ0 等於 4π×10-7 (H/m)單位為亨利(Henry)每公尺。相對導磁係數μr之值可將磁性材料分為以下三類；包含反磁性 (diamagnetic)、順磁性(paramagnetic)以及強磁性(ferromagnetic)(如表 2.2)。當物質與外在磁場產生相反方向磁場稱為反磁性；若為相同方向則為順磁性。通常原子由於冷次效應(Lenz’s Law)都具有反磁性，反磁性材料不存在永久磁性之特性，磁場移去同時則誘導磁場便消失。但部份材料因無完全消磁，於外加電場時產生微弱反磁效應(diamagnetic effect)而使分子磁偶極距(magnetic dipole moment)排列方向與外加磁場相同，呈現順磁效果，例如鋁、鈦金屬。順磁性與反磁性的感應磁場通常為外加磁場的萬分之一。強磁性材料具有永有磁性特性，如磁鐵。. 7.

(21) 表 2.2. 相對導磁係數表(修改自 Keller,1996、Cheng,1989) 相對導磁係數. 純鐵(Iron). 4000. 鎳(Nickel). 250. 磁鐵礦(Magnetite). 5. 磁黃鐵礦(Pyrrhotite). 2.25. 鈦鐵礦(Ilmenite). 1.55. 赤鐵礦(Hematite). 1.053. 黃鐵礦(Pyrite). 1.0015. 鋁(Aluminum). 1.000021. 鎂(Magnesium). 1.000012. 鈦(Titanium). 1.00018. 輝石(Augite). 1.00167. 角閃石(Hornblende). 1.00015. 金(Gold). 0.99996. 反. 銅(Copper). 0.99999. 磁性. 銀(Silver). 0.99998. 石英(Quartz). 0.999985. 鉀鹽(Sylvite). 0.999986. 方解石(Calcite). 0.999987. 強. 材料名稱. 磁性順磁性. 8.

(22) (3)導電度: 傳遞電流的能力以導電度σ定義之，單位為 S/m；電阻率ρ為導電度的倒數，單位為 ohm-m；物質能夠具有導電特性是由於自由電荷的移動，產生電流。依照電流形成方式不同分為傳導電流(Conduction currents)，以電子移動產生電流，此類材料稱為導體，而以電子與電洞形成之傳導電流，稱為半導體。另一種稱為電解電流(Electrolytic currents)，由離子鍵結合的化合物於溶液中，經由電解作用，以陰陽離子的移動形成電流傳導。在真空或惰性氣體下電子或離子的漂移運動形成電流之現象為對流電流(Convection currents)。導體的導電度與電子移動率μe 之相關性可以(2-3)式表示，μe 依材料不同而有所差異；例如銅的電子移動率等於 3.2×10-3(m2/V·s)；鋁為 1.4× 10-4(m2/V·s)，單位是公尺平方每伏特秒。 σ = -ρ e μ e. (2-3). 其中ρe 為電子體積電荷密度；半導體材料的導電度需要考慮電洞移動率與電子移動率。影響離子移動率的因素為溫度與離子濃度。溫度上升降低液體的黏滯係數(viscosity)，在相同電位差之下離子移動率上升；在高離子濃度時因離子之間互相碰撞而降低離子移動率。(2-4)式表示由不同離子所貢獻的離子移動率與離子濃度形成之總和。 σ = F (c1 μ1 + c 2 μ 2 + c3 μ 3 + ......). 9. (2-4).

(23) 其中F為法拉第常數等於 96500 庫倫電子量，ci等於i離子濃度，μi為i 離子移動率。導電度溫度 25°C下低濃度離子的移動率如表 2.3 所示。電阻率(resistivity)不隨著物質的幾何形狀而變異，電阻(resistance)則隨物質幾何形狀改變；圖 2.3 代表一長度為l，與電流方向垂直之表面積A，電阻率為ρ的物質，其電阻率與電阻的關係式如(2-4)式。 R=ρ. l A. (2-4). 其中電阻 R 之單位為歐姆(ohm)，其值與面積成反比，而與電流路徑成正比。表 2.3. 一些常見的離子移動率(Keller,1966). 離子. 離子移動率 (m2/V·s). H+. 36.2×10-8. －. 20.5×10-8. SO4. －. 8.3×10-8. Na+. 5.2×10-8. －. 7.9×10-8. OH. Cl. 7.6×10-8. K+. 7.4×10-8. －. NO3. 10.

(24) 電阻率ρ. 圖 2.3. 影響電阻的幾何因子(Burger, 1992). 2.2 地質材料導電特性地質材料構成的基本元素為造岩礦物(rock-forming minerals)，構成元素主要為氧及矽，因此百分之九十以上之地質材料由矽氧四面體為基本單位所構成的矽酸鹽類造岩礦物，不到百分之十的非矽酸鹽類造岩礦物包含碳酸類礦物、氧化物、硫化物等，非矽酸鹽類又可分為金屬礦物與非金屬分矽酸鹽類兩大類。常見地質材料電阻率值如圖 2.4，可知同一種地質材料因乾濕程度不同，電阻率值分布範圍甚廣。地質材料的導電性是透過孔隙水的導電性提供，除非地質材料含足夠的金屬造岩礦物，如磁鐵礦、鏡鐵礦、石墨、黃鐵礦等，才使得地質材料具備有高導電能力；金屬造岩礦物常以樹突狀的方式存在岩石中，以至於含有少量的金屬礦物造成電阻率大幅降低。圖 2.5 以飛白石中含有的黃鐵礦含量為例，當黃銅礦含量大於百分之五以上，其電阻率大幅降低。. 11.

(25) 圖 2.4. 地質材料電阻率值範圍(摘自 Loke, 2003). 12.

(26) 圖 2.5. 飛白石中黃鐵礦含量對電阻率的關係(Keller,1966 ). 地質材料的孔隙形狀可以分為三類:間粒狀(intergranular)孔隙、晶形狀 (vugular)孔隙與節理孔隙。因顆粒與顆粒之間被壓緊後遺留下的空隙為間粒狀孔隙，沉積岩多為間粒狀孔隙；晶形狀孔隙包含較大且不規則形狀的空隙，如石灰岩、火山岩；火成岩的孔隙常為節理與間粒狀孔隙，地質材料孔隙與孔隙之間相連稱為連接孔隙(connecting pore)。 Sauer(1955)提出電流在非均質之多孔隙介質傳導，包含三種電流路徑導電模式；土壤顆粒與土壤之間孔隙溶液交錯而成的路徑 1、土壤顆粒之間相互接觸構成的路徑 2，以及孔隙溶液所構成之路徑 3，如圖 2.6 表示於 1 立. 13.

(27) 方公分正立方土體內，電流可能傳導之路徑。Arulanandan與Smith於 1973 年提出路徑 2 之導電路徑對於整體導電度之影響不大；因土壤顆粒相互接觸的面積極小，電流主要是依連接孔隙溶液路徑傳導。無細粒料砂土與礫石導電路徑是以孔隙水傳導(Jackson 1975)，黏土土壤與含細粒料砂土、岩石的導電路徑以孔隙水與粘土礦物表面電荷傳導(Rhodes 等 1976; Urish 1981)。. 路徑 2. 路徑 1. 圖 2.6. 路徑 3. 多孔隙介質電流傳遞路徑示意圖. Archie(1942)提出飽和狀態下，岩石電阻率與孔隙率、孔隙水電阻率的關係式， ρ = aρ w n − m. (2-5). ρw 為孔隙水的電阻率，n 為孔隙率；a、m 為待定係數，取決於岩石孔隙種類與含細料成分(Parkhomenko, 1967)。間粒狀孔隙的岩石，其 a 小於 1；. 14.

(28) 節理狀孔隙岩石，其 a 值大於 1。孔隙間細粒料含量多的岩石，m 大於 2；細粒料含量少者，m 小於 2。通常孔隙率在 10%~30%之間岩石 a 等於 1，m 等於 2；(2-5)式稱為 Archie’s Law，由此式可得知電阻率與孔隙率約略成平反比關係。孔隙水的電阻率受到含鹽類成分影響之外，黏土礦物和水之間的離子交換作用，其電阻率之降低程度達 10 ohm-m 以下。非飽和狀態下的電阻率ρ與飽和狀態下的電阻率ρsat 關係式為(Keller 與 Frischknecht, 1966;McNeill, 1990) ρ. = S. − n1. ρ sat ρ = asS ρ sat. ； S > S cr − n2. ； S < S cr. (2-6). 其中為S飽和度，Scr為臨界飽和度，n1、n2 為經驗係數；飽和度S大於臨界飽和度，n1 值接近 2；小於臨界飽和度，n2 值 4~5。砂岩到火成岩，as值從 0.05 增加到 0.5。對砂岩與滲透性高岩石，Scr等於 25%；對火成岩，Scr 等於 70%~80%。(2-6)式顯示飽和度一但低於臨界飽和度，孔隙水通路減少 (如圖 2.7)，電阻率值迅速增大。 McCarter(1984)以赤郡黏土(Cheshire)和倫敦黏土(London Clay)為試驗土樣，以土樣飽和度、孔隙比與含水量為實驗之控制變數，進行電阻率之量測。McCarter 試驗結果將這三種變數以一個含水體積量(fraction volume of water)參數表示，含水體積量定義為水體積與試體總體積之比值。當含水體積值在 30%(飽和度約為 70%)時，電阻率值趨於穩定，變化不大。. 15.

(29) Screedeep, Reshma and Singh(2004)利用 ERB(Electrical Resistivity Box) 和 ERP(Electrical Resistivity Probe)兩種方式量測土壤電阻率；試驗以粉土 (Silty Soil)和白黏土(White clay)為試體，並得到電阻率與飽和度為對數反比關係。其中飽和度小於 15%的電阻率無法量取，飽和度大於 60%電阻率則趨於穩定。. (a). (b). 圖 2.7 (a)未飽和但高於臨界飽和度之土壤；(b)未飽和且低於臨界飽和度之土壤，減少孔隙水連接通路(Keller,1966 )。. 溫度影響到離子的移動速度與液體黏滯係數，因而電阻率也會受到溫度影響。Keller and Frischknecht (1966)提出孔隙水或電解溶液會因溫度改變導電度，可以(2-7)式表示之。. ρt =. ρ18. o. 1 + α t (T - 18 o ). (2-7). 其中ρ18°是 18℃之下的電阻率做為參考值，T為溫度，αt等於 0.025，此式不適用於岩石產生熱熔狀態和孔隙水結冰之情形。孔隙水冰凍狀態下，電阻率因無孔隙水離子的傳導，電阻率上升為ρ18°的 10~100 倍，如圖. 16.

(30) 2.8，分別表示粗顆粒與細顆粒岩石受到低溫影響，電阻率增高現象。. 圖 2.8. 溫度對電阻率影響圖(Keller, 1966). 2.3 直流地電阻法原理量測地質材料電阻率、導磁率與電容率三種電學性質係利用電磁場或電場對於地質材料的電學性質不同，產生的反應資料加以分析得到。量測地電阻率方法包含直流電法、電磁法方式與透地雷達。直流電地電阻法的施測方法是將電極插入地表，傳導直流電或非常低頻交流電進入地底產生人為電場，經由額外電位極量測電位差，依據電極排列方式不同，對應到不同的空間幾何因子，得到的電阻率稱為視電阻率(apparent resistivity)，經由反算分析獲得接近實際的電阻率值。電磁法與透地雷達則是利用電磁波原. 17.

(31) 理，利用不同頻率以探測不同深度土層。電磁法使用的電磁波頻率在幾赫茲(Hz)到幾千赫茲(kHz)；透地雷達的電磁波頻率則高於百萬赫茲(MHz)，用於淺層探測。直流電地電阻法依探測方式有一維、二維、三維形式，一維探測可分為垂直探測(vertical sounding)與橫向探測(profiling)；二維探測或稱為地電阻影像剖面法(electrical resistivity tomography, ERT)是綜合一維探測的垂直與橫向探測結果組成擬似剖面(pseudo-depth)；三維探測是佈設一矩型陣列的電極，得到 3D 似電阻剖面。地表施測於深層解析度上有所限制，井測或跨孔施測可以加深層解析度。. 2.3.1 電位場於均質均向物質分佈 (1)單電流極電位場假設輸出電流極在無窮遠處，於輸入電流極以一個直流電注入(視為點電源)在均質均向物質傳導，符合歐姆定律(Ohm’s Law)(2-8)式，電流密度與電場強度比值為導電度值。 J = σE. (2-8). (2-9)式為電荷連續方程式(equation of continuity)，在穩態電流(steady current)狀態，電荷密度不隨時間改變，(2-9)式等號右邊與時間無關，改寫成(2-10)式 ∇•J =. 18. ∂q ∂t. (2-9).

(32) ∇•J = 0. (2-10). 其中 q 為電荷密度，J 為電流密度，σ為導電率，E 為電場強度。(2-11) 式為電位與電場的關係。由(2-10)式與(2-11)式可推導出電位的 Laplace 控制方程式，(2-12)式，其中 V 為電場。 E = −∇V. (2-11). ∇ 2V = 0. (2-12). 於單電流極之電場分佈為輻射狀，具有對稱性，其等電位線與電場垂直。在球座標系統之下，不考慮θ、ψ方向，(2-12)式可以寫成(2-13)式求解得到(2-14)式，假設在無窮遠處電位為零，則(2-14)式中的常數 B=0，改寫成(2-15)式 2 ∂V ∂V + =0 2 R ∂R ∂R −A V = +B R V =. −A R. (2-13) (2-14) (2-15). 其中 R 等於球半徑，A、B 為常數項。若入電流極注入外加電流強度為 I，I 等於垂直電流方向之表面積與電流密度的乘積。入電流極位於地表處，視為點電流源，以該點為球體中心，假設空氣的電阻率無限大，則電流以徑射方向所通過的半球體面積為 2πR2；電流強度與電流密度的關係式如(2-16)式。(2-8)式帶入(2-11)式得到 (2-17)式，從(2-17)和(2-16)式，得到(2-18)式 I = 2πR 2 J. 19. (2-16).

(33) J = −σ∇V. I = −2πR 2σ. ∂V ∂R. (2-17) (2-18). 將(2-13)式乘上 R2 之後對 R 積分一次得到(2-19)式，帶入(2-18)式，求解得到 A 值(2-20)式。由(2-15)式和(2-20)式得到單一電極位於地表之電位分佈如 (2-21)式所示 ∂V A = 2 ∂R R ρI A=− 2π V =. ρI 2πR. (2-19) (2-20) (2-21). 圖 2.9 表示(2-21)式的電位分布，C1 為入電流極，C2 在無窮遠處為出電流極，電位大小與距離R為反比關係。. 圖 2.9. 點電流源於地表產生的電位分布與電流方向(Telford, 1990). (2)雙電流極電位場. 20.

(34) 圖 2.10 中電位極(P1、P2)位於電流極之間，P1 電位極位置上由C1 電流極產生的電位為VC1，由C2 電流極產生的電位為VC2，假設輸入電流極之電流為正，輸出電流極之電流為負。(2-22)式表示VC1 、VC2 與距離成反比關係， VC1 = VC 2. Iρ 2πR1. Iρ =− 2πR2. (2-22). 根據靜電學原理，多個電荷對某一點產生的電位大小，等於將每一個電荷對該點的電位加總；將 VC1 與 VC2 電位相加得到 P1 的電位 VP1，P2 的電位 VP2 受到 C1、C2，算法與 VP1 相同。(2-23)式表示 VP1 與 VP2 大小；VP1 與 VP2 相減成為電位極(P1、P2)量測到的電位差值ΔV，如(2-24)式 ⎛ 1 1 ⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ ⎝ R1 R2 ⎠ Iρ ⎛ 1 1 ⎞ ⎜⎜ ⎟ = − 2π ⎝ R3 R4 ⎟⎠. (2-23). ⎛ 1 1 1 1 ⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ − + ⎝ R1 R2 R3 R4 ⎠. (2-24). V P1 = VP 2. ΔV =. ρI 2π. Iρ 2π. 其中R1 等於C1 與P1 距離、R2 等於C2 與P1 距離、R3 等於C1 與P2 距離、R4 等於C2 與P2 距離，此雙電流極所產生的扭曲等電位線如圖 2.11 所示，實線為等電位線，虛線代表電流線，兩者保持正交，(2-25)式為扭曲等電位線 1 1 − = Constant r1 r2 r1 + r2 − 2r1 r2 cosθ = 4 L2 2. 2. 21. (2-25).

(35) 圖 2.10 地表佈設雙電流極與雙電位極示意圖(Telford, 1990). r1. r2. 圖 2.11 雙電流極產生的電位變化(Telford, 1990) (3)電流分佈情形考慮圖 2.12 中的參數，L等於電流極間距，x表示C1 到p點水平距離， r1 等於C1 到p點距離，r2 等於C2 到p點距離；水平方向電流密度Jx可以(2-26) 式表示之，當r1=r2，則(2-26)式可簡化成(2-27)式。. 22.

(36) 1 ∂V I ∂ ⎛1 1⎞ ⎜ − ⎟ =− ρ ∂X 2π ∂x ⎜⎝ r1 r2 ⎟⎠ I ⎡ x ( x − L) ⎤ = ⎥ ⎢ − 3 2π ⎣ r13 r2 ⎦. Jx = −. Jx =. I L 2π ⎛ 2 L2 ⎞ 3 / 2 ⎜⎜ z + ⎟⎟ 4⎠ ⎝. (2-26). (2-27). 圖 2.13 為水平電流密度Jx和電流極間距L與深度z之比關係圖。圖中虛線代表固定於某一個深度z，改變電流極間距對應Jx的改變，隨著電流間距變大，Jx漸漸增加，Jx最大值出現在電流極間距 L = 2 z 。實線表示電流極間距固定，當深度增加，則Jx遞減。. 圖 2.12 決定水平方向電流密度空間參數(Telford, 1990). 23.

(37) 圖 2.13 水平電流密度與電流極間距和深度變化關係(Telford, 1990) (2-28)式可計算雙電流極中心位置在深度 z1 與 z2 之間通過的電流量，所佔全部電流之百分比。，當深度 z2 趨近無窮深，(2-28)式可以簡化成為(2-29) 式，表示通過 z1 深度以下電流百分比(Van Norstrand and Cook, 1966)，. Ix L = I 2π. ∫. z2. z1. dz ∫. ∞. −∞. [(. dy L. 2. )2 + y 2 + z 2. 2z 2z ⎞ 2⎛ = ⎜ tan −1 2 − tan −1 1 ⎟ π⎝ L L ⎠ Ix 2z 2 = 1 − tan −1 1 I π L. ]. 3/ 2. (2-28). (2-29). 如圖 2.14 顯示當L等於 2z1 時，有百分之五十電流量在z1 以上；L=z1 時，百分之七十電流量在z1 以上。. 24.

(38) L L/2. 50%. L/2. 70%. 圖 2.14 通過 z1 以下之電流百分比(Telford, 1990). 2.3.2 非均質地層影響 (1)電流於邊界之變化界面上電流與電位變化需符合兩邊界條件，一是與界面平行方向的電場需要相同，符合電場 curl-free 定理，如(2-30)式所示；另一是與界面垂直方向上的電流密度需要相同，符合電流連續定理(divergence-less)，如(2-31)式所示。 ⎛J⎞ ∇ × ⎜ ⎟ = 0 or ∇ × E = 0 ⎝σ ⎠. (2-30). ∇•J =0. (2-31). 假設二均勻介質，其電阻率分別為ρ1 與ρ2，電流從ρ1 流進ρ2 介質，. 25.

(39) 從介質ρ1 電流流進界面方向與界面法線夾角為θ1，電流流出界面方向與界面法線夾角為θ2，則(2-30)式由邊界上下所圍成的封閉路徑，經積分得到與界面水平方向電場大小相同，如(2-32)式；由(2-31)式從邊界的封閉區面積分得到與界面法線方向平行的電流密度相同，如(2-33)式。綜合(2-32)及(2-33) 可以(2-34)式表示邊界條件，如圖 2.15 所示，表示在ρ1>ρ2 條件下，邊界上Jn1 等於Jn2，Jt2 大於Jt1。 Et1 = Et 2. Jn1. J t1 σ 1 ρ 2 = = J t 2 σ 2 ρ1. or. (2-32). J n1 = J n 2. (2-33). tan θ 1 σ 1 ρ 2 = = tan θ 2 σ 2 ρ1. (2-34). ρ1. Jt1. ρ2. Jt2. θ1. θ2 J2. Jn2. 圖 2.15 介質ρ1 大於ρ2，電流在邊界上的方向改變 (2)電位場於平面邊界之變化電流場在通過平面邊界後產生改變，相對上電位場也會受到影響，平面邊界示意圖如圖 2.16 的C1 為點電流，強度為I，位於介質ρ1 上，介質一與介質二的界面類比於光學上一面半穿透性鏡子，反射係數為k(reflection. 26.

(40) factor)，穿透係數為 1－k；C1'為C1 鏡像，強度為kI；P位置上的電位強度為受到點電源C1 與鏡像點電源C1'產生電位之總和。P'位置上的電位強度，只有點電源C1 經由邊界透射之後的強度(1-k)I所產生。P與P'可以(2-35)式表示。若P點位於邊界上，則R1=R2=R3，VP等於VP'，反射係數k為(2-36)式。 VP =. ρ1I ⎛ 1 k ⎞ ⎜ + ⎟ 4π ⎜⎝ R1 R2 ⎟⎠. (2-35). ρ I ⎛1− k ⎞ ⎟ VP ' = 2 ⎜⎜ 4π ⎝ R3 ⎟⎠ k=. ρ 2 − ρ1 ; -1 < k < 1 ρ 2 + ρ1. 介質一. C1. k. R1. h h. (2-36). P. ρ1. R3. ρ2. P'. R2. 介質二 C1' 圖 2.16 電位受邊界影響的計算參數. 若考慮三種不同介質其電阻率分別為ρ0、ρ1、ρ2，其中A為位於ρ0 與ρ1 界面下距離h之點電流源，假設ρ1 層厚度等於t，ρ0 與ρ2 層之厚度無窮大，A與測點M距離為a，見圖 2.17。當測點M受到主電流A，令A鏡像於 ρ0 之電流強度A1(0)，A鏡像於ρ2 之電流強度為A1(2)，則電流源於M點產生的電位由公式(2-37)描述之，其中V0 為點電流源A在介質ρ1 之內位於M點之. 27.

(41) 電位差，Ik1,0 為A1(0)於第一次出現在ρ0 介質內的鏡像電流源強度，Ik1,2 為 A1(2)第一次出現在ρ2 介質內的鏡像電流源強度。. ρ0 ρ1. h. a. A. t. M. ρ2 (b). (a). 圖 2.17 假設電源於 A 位置上，在三種不同介質下，(a)求 M 位置的參數與 (b)反射路徑(Keller, 1966). V0 =. ρ1 I 4π a. V 1( 0 ) = V 1( 2 ) =. ρ 1 I k 1, 0. 4π ( a + 4 h ) 2. 2 1/ 2. ρ 1 I k 1, 2 4π [ a + 4 (t − h ) ] 2. 2 1/ 2. ;. k 1, 0 =. ρ 0 − ρ1 ρ 0 + ρ1. ;. k 1, 2 =. ρ 2 − ρ1 ρ 2 + ρ1. (2-37). 界面猶如鏡子一般，具有光於兩面平行鏡中有無窮多的路徑，電流路徑亦是如此；以下列四種情形來描述所有組合，如圖 2.18 所示；(I)第一個反射從下邊界出發，最後一次反射在上邊界，(II)第一次與最後一次反射在下邊界，(III)第一個反射從上邊界出發，最後一次反射在上邊界，(IV)第一次與最後一次反射在上邊界。四種反射路徑計算的電位級數總和如(2-38)式。. 28.

(42) (I). (II). (III). (IV). 圖 2.18 計算 M 位置電位考慮的其他四種反射路徑(Keller ,1966). VI =. ρ 1 I k 1n, 2 k 1n, 0. ∞. ∑ 4π [ a n =1. V II = V III = V IV =. 2. + (2 nt ) 2 ]1/2. ρ 1 I k 1n, 2+1 k 1n, 0. ∞. ∑ 4π { a n =1 ∞. n =1. ∑ 4π [ a n =1. + [2 nt + 2( t-h )] 2 }1/2. ρ 1 I k 1n, 2 k 1n, 0. ∑ 4π [ a ∞. 2. 2. + (2 nt ) 2 ]1/2. ρ 1 I k 1n, 2 k 1n, 0+1 2. + ( 2 nt + 2 h ) 2 ]1/2. 則測點 M 上的電位 VM 為(2-37)式與(2-38)式的總和. 29. (2-38).

(43) VM =. k1, 0 k1, 2 ρ1 I + {1 + 2 1/ 2 4πa [1 + (2h / a) ] {1 + [2(t − h) / a] 2 }1 / 2 ∞. +∑ n =1 ∞. +∑ n =1. k1n, 2 k1n,0. k1n, 2+1 k1n,0. ∞. [1 + (2nt / a) 2 ]1/2 k1n, 2 k1n,0. +∑ n =1. {1 + [2nt / a + 2(t-h)/a] 2 }1/2 k1n,12 k1n, 0+1. ∞. [1 + (2nt / a) 2 ]1/2. +∑ n =1. [1 + (2nt / a + 2h/a) 2 ]1/2. (2-39). }. 若 A 與 M 位於上邊界，也就是 h 等於 0 的位置，等同於在地表的情形， ρ0 視為空氣，電阻率無限大，k1,0 趨近於 1，因此(2-39)式可簡化成(2-40) 式。其中(2-40)式等號右半邊，1 值代表在均質均向半無限域物質中的電位函數，稱為正規電位(normal potential)；第二項無窮級數稱為擾動電位 (disturbing potential)。. VM =. ∞ k1, 2 ⎤ ρ1 I ⎡ + 1 2 ∑ ⎢ 2 1/ 2 ⎥ 2πa ⎣ n =1 [1 + ( 2nt / a ) ] ⎦. (2-40). (3)電流分布於平面邊界之變化電流通過界面因介質電阻率大小影響其分布行為，其以下所佔的總電流量百分比可由 Van Nostrand 與 Cook 於 1966 年之關係式得知，. IF =. 2 ρ1. ∞ ⎡ 2(2n + 1)t ⎤ ⎫ n ⎧π (1 + k1, 2 )∑ k1, 2 ⎨ − tan −1 ⎢ ⎥⎬ d πρ 2 ⎣ ⎦⎭ n =0 ⎩2. (2-41). 根據(2-41)式，圖 2.19 為電流於二層結構，其電流所佔百分比之示意圖。圖中L等於電流極間距，a表示單位電極間距，Zi為界面位置；曲線說明當反射係數k大於 0，下層介質電阻率比上層大，電流選擇上層電阻率低的路徑；反之，k小於 0，電流則往下層集中，其行為與電學的電阻並聯類似，. 30.

(44) 例如當層面深度位於測線展距 3a，k=0.6 時其電流位於界面下佔全部比例約為 15%，倘若k=-0.6 時，IF則為 40%。. Zi. Zi=a. Zi=3a/2. Zi=3a. 圖 2.19 電流百分比在單一水平界面下的變化，電流百分比與反射係數、界面位置的關係圖(Burger, 1992). 2.3.3 電極排列施測方法在均質均向的物質中通常以四極法施測量測電組率，如圖 2.10 的佈設方法，所得到的電阻率為；. 31.

(45) ρ=K K=. ΔV I. ΔV = V P1 − VP 2. ;. 2π. (2.42). ⎛ 1 1 1 1 ⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ − + ⎝ R1 R2 R3 R4 ⎠. 其中 K 電極排列的幾何參數，ΔV 等於電位極量測的電位差，I 等於輸入電流強度，電阻率與材料幾何形狀無關。若於均質材料施測，以不同電極排列方法量測，得到電阻率值會相同。然而地層常為非均質材料，量測之電阻率含有許多不同電阻率材料的綜合效應；以不同電極排列方法或在同一種電極排列方法，改變電極間距，量測的電阻率會改變，並不能代表實際電阻率值，這非真實電阻率稱為視電阻率(apparent resistivity)，資料需透過反算分析得到代表地質非均質材料的電阻率及厚度分布(Koefoed, 1979)。常見的地表電極排列方法如圖 2.20，固定一種電極排列方式以中心點為基準，改變單位電極間距a或測線展距，以增加探測深度，稱為垂直探測，量測結果以視電阻資料和電極間距的關係圖表示；固定電極間距或測線展距，橫向移動量測側向變化，稱為橫向探測，以視電阻率資料和展距中心位置關係圖表示施測結果。這兩種方法得到的視電阻率曲線，經由反算得到一維地電阻率分布(Keller and Frischknecht, 1966; Telford et. al., 1990; Burger 1992; Robinson and Coruh, 1998; Dahlin, 2001; Takahashi, 2004)。 Wenner alpha電極排列常以Wenner簡稱，電流極在外側，電位極在內側，單位電極距離皆等於a，測線展距等於 3a，如圖 2.20a。當電極間距增. 32.

(46) 加n倍，測線展距變成 3na。Wenner-Schlumberger電極排列與Wenner相似，測深參數n定義為電流極C1 與電位極P1 以及C2 與P2 兩間距與電位極(P1、P2) 間距a(最小單位電極間距)之比值，若n等於 1 時，Wenner可視為Schlumberger 的特例，因此稱為Wenner-Schlumberger，如圖 2.20d。 Dipole-Dipole電極排列方式的電極順序分別為C2、C1、P1、P2，如圖 2.20e，測深參數n為內側電流極與電位極間距和電流極間距(或電位極間距) 之比值；n等於 1 時，為Wenner Bata電極排列(如圖 2.20b)。 Pole-Dipole 電極排列法又稱三極法，假設電流極 C2 位於無窮遠處；測深參數為電流極 C1 與鄰近電位極 P1 間距和電位極間距之比值。一般在現地施測不可能達到 C2 於無窮遠之理想狀況，Loke(2003)與 Takahashi(2004) 認為只能盡量使 C2 與 C1 間距以及 C2 與 P1 間距，大於 10 倍(理想為 20 倍) 的測深展距(C1 與 P1 間距,na)。 Pole-Pole 電極排列法又稱雙極法，假設電流極 C2 和電位極 P2 位於無窮遠，電極間距增加 n 倍，展距變為 na。與 Pole-Dipole 相同遇到無理想遠電極之限制，因此 C2、P2 分別和 C1、P1 間距大於 10 倍(理想為 20 倍)的 C1P1 間距(na)之外，C2 與 P2 距離最少為 2.5 倍(理想為 3 倍)的 C1P1 間距。避免有負值或零值錯誤出現。(Loke ,2003、Robian et al. 1997) Takahashi(2004)認為垂直探測常以 Wenner 或 Schlumberger 電極排列法施測；橫向探測常以 Wenner、Pole-Pole、Pole-Dipole、Dipole-Dipole 電極排列法施測；電極若與地面接觸電阻大，可以多加幾根電極，電極貫入深. 33.

(47) 度加深，或加鹽水方式改進。提供測線選擇概要如下: (1)選擇地勢平坦或是略為緩坡地形，使地形效應降低(Tsourles et al., 1999)。 (2)遠離地下管線、金屬導電物質等，減少造成的雜訊。 (3)選擇測線與層面走向或斷層方向垂直為主。 (5)考慮測深和測線展距比例關係，與橫向涵蓋範圍。 (6)測線盡量避免彎曲，最好保持直線。 Zhou and Dahlin(2003)認為影響施測資料品質兩個主要因素分別為(a)電極間距的誤差， (b) 電位誤差 (potential error) 與 (c) 正測 (normal) 與反測 (reciprocity)兩次之間量測電位誤差，其中若正測是從測線起點至測線終點進行施測，則反測為測線終點至測線起點進行施測。Dipole-Dipole 電極排列施測受 x 方向電極間距(in-line spacing)誤差影響最大，電極間距 10%差值，影響視電阻率值 20%，受 y,z 方向偏移誤差(off-line)只有 2%；電位誤差和電勢能值成常數次方反比關係，意即量得之電位差值小，電位誤差大。. 34.

(48) C1. P1. a. P2. a. C2. a. (a) Wenner Alpha Array. C2. C1. a. P1. a. P2. a. (b) Wenner Beta Array. C1. P1. a. C2. a. P2. a. (c) Wenner Gamma Array. C1. P1 na. a. P2. C2. na. (d) Wenner-Schlumberger Array. C2. C1 a. P1 na. a. P2. (e) Dipole-Dipole Array. C2(∞). C1. P1 na. a. P2. (f) Pole-Dipole Array. C2(∞). C1. P1 a (g) Pole-Pole Array. 圖 2.20 常見地表施測電極排列法. 35. P2(∞).

(49) 2.4 地電阻影像剖面法測線上佈設等間距(最小單位間距,a)多數電極棒，改變測深參數 n，獲得代表不同深度位置的視電阻資料，且進行橫向施測；隨電極排列方法不同，視電阻率資料點深度位置不同，稱為中等靈敏測深(median depth of investigation )或擬似深度(pseudo-depth)。此結合一維的垂直與橫向探測方法所構成的視電阻率剖面，為擬似電阻剖面(pseudo-section)；經由反算分析，可得到地電阻影像剖面。. 2.4.1 擬似深度不同電極排列方法及測線展距對於影響深度範圍不同，擬似深度的參數是以Frechet derivative靈敏度方程式決定，如(2.43)式，並非以外側電極傾角 45°斜線交點為測深位置。Frechet derivative靈敏度方程式推導假設為均質均向介質的半無限域內，電流極C1 位在(0,0,0)，電位極P1(a,0,0)，電流極C2 與電位極P2 在無窮遠處，任意一個點(x,y,z)上dτ小體積內的電阻率做微量的改變δρ，如圖 2.21。產生的電位變化δV與電阻率變化的比值定義為靈敏度方程式(Roy and Apparao,1971、McGillivary and Oldenburg , 1990、Loke and Barker, 1995)。. x( x − a ) + y 2 + z 2 δV 1 dxdydz = δρ ∫ v 4π 2 [x 2 + y 2 + z 2 ]1.5 [( x − a) 2 + y 2 + z 2 ]1.5. (2.43). Edward(1977)提出於特定深度之上，在一維的靈敏度曲線下所包含的面. 36.

(50) 積佔整體的一半，見圖 2.22，稱為有效深度或擬似深度(pseudo-depth)；不同電極排列的擬似深度值如表 2.4，其中a為電極間距，L為測線展距。以 Dipole-Dipole電極排列為例，a等於 1 公尺，n等於 5，L測線展距等於 7 公尺，其量測有效之深度在 1.476 公尺。. 圖 2.21 靈敏度方程式推導的參數，以 Pole-Pole 電極排列推導。(Loke 2003). 圖 2.22 一維靈敏度曲線，(a)Pole-Pole 電極排列(b)Wenner 電極排列(Loke 2003). 37.

(51) 表 2.4 不同電極排列的擬似深度參數(Edwards 1977)。 Array type. Ze/a. Ze/L. Wenner. 0.519. 0.173. Pole-Pole. 0.867. Dipole-Dipole n=1. 0.416. 0.139. n=2. 0.697. 0.174. n=3. 0.962. 0.192. n=4. 1.220. 0.203. n=5. 1.476. 0.211. n=6. 1.730. 0.216. n=7. 1.983. 0.220. n=8. 2.236. 0.224. Pole-Dipole n=1. 0.519. n=2. 0.925. n=3. 1.318. n=4. 1.706. n=5. 2.093. n=6. 2.478. n=7. 2.863. n=8. 3.247. Wenner-Schlumberger n=1. 0.519. 0.173. n=2. 0.925. 0.186. n=3. 1.318. 0.189. n=4. 1.706. 0.190. n=5. 2.093. 0.190. n=6. 2.478. 0.191. n=7. 2.863. 0.191. 38.

(52) 2.4.2 擬似地電阻率剖面擬似電阻率剖面的施測流程以Wenner與Pole-Pole電極排列方法說明之。首先在地表面佈設m隻電極棒，電極之間距離相等，最小單位間距a。施測步驟一，以第一根電極為電流極C1，電極(P1、P2、C2)等間距增加到第 (3n+1)的電極為電流極C2(n為測深參數)，其探測深度由淺至深。步驟二，以第二根當為電流極C1，電極(P1、P2、C2)等間距增加到第(3n+2)支電極為電流極C2，重複步驟一，直到第m-3 支電極為電流極C1。重覆上述步驟，完成施測，如圖 2.23。以Pole-Pole電極排列法施測為例，以第 1 支做C1 電流極，第 2 支、第 3 支…，第n+1 支逐次切換做P1 電位極（n為設定之目標測深參數），就可測得第 1 支C1 電流極，由淺至深地層訊號；接著，以第 2 支做C1 電流極，第 3 支，第 4 支…，第n+2 支逐次切換做P1 電位極，就可測得第 2 支C1 電流極，由淺至深之量測訊號。接遞操作，即可獲得由淺至深二維地層剖面資料，如圖 2.24。其他三種電極排列(Dipole-Dipole、Wenner-Schlumberger、Pole-Dipole) 施測流程與上述方法差異不大，差別在於測深參數 n 值定義不同，量測一資料點時，所用的電極數也不同。. 39.

(53) Wenner 施測步驟一 C1. P1. 3a. 3a. P2. C2…..n=3. 3a. C1 2a P1 2a P2 2a C2…..n=2 data C1 P1 P2 C2…..n=1 1. level a n=1 n=2 n=3 n=4 ….. n. 2. a. 3. a. 4. 5. 6 7. 8 9. 10. 11 12. 13. 14. m-1 m. Wenner 施測步驟二 C1 3a P1 3a P2 3a C2…..n=3 C1 2a P1 2a P2 2a C2…..n=2 C1 P1 P2 C2…..n=1. data 1 2 3 4 level a a a n=1 n=2 n=3 n=4 …. n data 1 level n=1 n=2 n=3 n=4 ….. …… n. 2. 3. 4. 5. 5. 6 7. 6. 7. 8 9. 10. 11 12. 13. 14. 8 9. 10. 11 12. 13. 14. 圖 2.23 Wenner 電極排列施測流程. 40. m-1 m. m-2 m-1 m.

(54) 圖 2.24 Pole-Pole 電極排列施測方法(游峻一 2003). 2.4.3 電極排列方式優缺點選擇測線的施測方法，從不同電極排列方法優缺點從四個因素討論:(1) 探測深度(2)垂直與橫向解析度(3)橫向涵蓋範圍(4)訊號強度。 (1)探測深度(Edwards,1977)所定的測深參數比較，係在等長的測線展距. 41.

(55) 之下，Pole-Pole 探測最深深度約為 0.86 倍的測線展距，資料層數(data level) 的間格固定為 0.86 倍的電極間距；其次為 Pole-Dipole 測深深度為 0.36 倍展距，Pole-Dipole 的 Ze/a 比值隨 n 值增加而增加，實際上 n 值增加代表展距增加，但資料層愈深其厚度遞減，從 n 等於 8 與 Ze/a 等於 3.247，計算測深約近似 0.36 倍的測線展距(Ze/L=0.36)。接著為 Dipole-Dipole 的 0.22 倍;最後為 Wenner、Wenner-Schlumberger，約為 0.17 倍。 (2)垂直與側向解析度 Loke 與 Baker(1995)以(2-43)式的二維方程式 F(x,z)，求其解析解，討論各種電極排列的靈敏度；測線展距正規化為 1 公尺，深度由 0.025 公尺到 1 公尺。 (a) Wenner電極排列法的 2D-靈敏度剖面如圖 2.25 所示，方框內的黑點為擬似深度(0.179)，靈敏度值為 128%。負靈敏度值出現在C1 與P1 之間及C2 與P2 之間，其負靈敏度值表示量測之視電阻率將會下降；測線中心點深度以下的靈敏度變化為垂直方向遞減，其變化程度大於水平方向。因此Wenner的垂直解析度比測向解析度佳，適用於探測水平層狀構造。 (b) Pole-Pole電極排列法雖有最深探測的優點，但擬似深度(0.89 公尺) 靈敏度值只有 2%，垂直和測向解析度皆是最差，見圖 2.26。 (c) Wenner-Schlumberger電極排列法之量測靈敏度如圖 2.27，當n等於 1 時和Wenner的靈敏度剖面相同，n增加到 6 時，中心高靈敏度區域與C1、. 42.

(56) C2 分離，集中在P1P2 以下，方框中的擬似深度位置在 0.19 公尺，零敏度值從 128%降到 32%。結果表示n值小時，對垂直方向變化感受大；值大時，對水平方向變化感受大。. 圖 2.25 Wenner 2D-靈敏度剖面(Loke, 2003). 圖 2.26 Pole-Pole 2D-靈敏度剖面(Loke, 2003). 43.

(57) n=1. n=2. n =4. n =6. 圖 2.27 Wenner-Schlumberger 2D-靈敏度剖面(Loke, 2003). 44.

(58) (d) Pole-Dipole電極排列法屬非對稱性量測系統，由靈敏度剖面圖亦可以看出，為了消除非對稱性，常以順、反Pole-Dipole電極排列施測，如圖 2.28，兩種差別在順測為原先C1 起點位於右側，反測的C1 起點在左側。圖 2.29 靈敏度剖面圖當n等於 1，擬似深度(0.259 公尺)處的靈敏度為 64%，n增加到 6，擬似深度(0.36 公尺) 處的靈敏度降低為 2%，與 Dipole-Dipole類似的是高靈敏度位於電位極之間，因此Pole-Dipole也對水平方向變化較敏感。 (e) Dipole-Dipole電極排列法之量測靈敏度如圖 2.30。當n等於 1 時，最大值出現在電流極C1 與C2 之間及電位極P1 與P2 之間，擬似深度(0.139 公尺)處的靈敏度等於 64%。n值增加到 6，其擬似深度等於 0.22 公尺，靈敏度值等於 2%。高靈敏度集中在電流極之間及電位極之間，代表對於水平方向變化容易感受，而垂直方向變化幾乎不能感受到，因此當n 大於 2 的量測深度資料比較不具備有代表性。. 圖 2.28 順、反 Pole-Dipole 施測示意圖(Loke, 2003). 45.

(59) n=1. n =2. n =4. n =6. 圖 2.29 Pole-Dipole 2D-靈敏度剖面(Loke, 2003). 46.

(60) n=1. n =2. n =4. n =6. 圖 2.30 Dipole-Dipole 2D-靈敏度剖面(Loke, 2003). 47.

(61) (3)橫向涵蓋範圍依照各電極排列在相同電極數目(Ne)資料點數函蓋範圍討論，整理成表 2.5，其中第一層資料點數是指測深參數n等於 1 時的資料點數。結果顯示以橫向量測區域最廣的為Pole-Pole，最小為Wenner排列法。於野外做施測的時候，常因為佈設測線空間有限，無法獲得測線邊緣兩側的資料；若施測空間足夠，可利用橫向平移(Roll-along)，補足邊緣資料。表 2.5. 電極排列法之橫向資料涵蓋範圍比較(最小單位電極間距等於 a). 電極排列法. 使用電極數. 每層減少點數. 第一層資料點. Wenner. 4. 3. Ne－3. Wenner-Schlumberger. 4. 2. Ne－3. Dipole-Dipole. 4. 1. Ne－3. Pole-Dipole. 3. 1. Ne－2. Pole-Pole. 2. 1. Ne－1. (4)訊號強度訊號強度除了受週遭雜訊影響外，如地球自然電位、地層下的金屬導體與高電阻率絕緣體、地形效應等，還與電極排列的幾何參數(K)成反比關係。若固定最小單位電極間距a，視電阻率ρa，電流強度為I，則由(2.42)式的電位差訊號大小與幾何參數成反比關係，如表 2.6 所示。不考慮遠電極方法， Wenner 的訊號強度減弱係數為常數 (1/Kw) ， Wenner-Schlumberger 約為 (1/n2)，訊號衰減最快為Dipole-Dipole，衰減係數約為(1/n3)(Zhou與Dahlin,. 48.

(62) 2003)。 Pole-Pole 和 Pole-Dipole 的訊號受到遠電極到測線之間雜訊以及遠電極的非理想狀態而造成訊號的衰減(Dahlin 與 Zhou, 2004; Zhou 與 Dahlin, 2003)；Pole-Dipole 的幾何衰減係數約為(1/n2)，且和 C1P1 與 C2P1 比值(C1P1/ C2P1 小於 1)成平方關係；Pole-Pole 衰減係數雖然和 Wenner 相同為常數關係，但是遠電位極和遠電流極到測線間的雜訊涵蓋了較多的地球自然電流，且和 C1P1 與 C2P1 比值成正比關係，因此訊號比 Pole-Dipole 還弱。 Dahlin and Zhou(2004)以幾種特定之地質條件情況，探討不同電極排列方法的雜訊比值以及施測的異常反應效果(anomaly effect)。異常反應效果是指以非均質條件的資料和均質條件資料平均差異值，表示電極排列對不同地質條件的反應能力。結果顯示 Pole-Pole 對於傾斜構造地層反應大，但 Pole-Pole 雜訊比值與異常反應效果隨著地層構造不同，會出現較高或較低之值，空間解析能力仍為之中最差。Pole-Dipole 屬於高雜訊比和中等異常反應效果，空間解析度卻比 Pole-Pole、Schlumberger 與 Wenner 佳。 Wenner 與 Schlumberger 兩種電極排列方法之垂直解析度皆是優於其他方法，從幾何參數上比較 Pole-Pole、Wenner 以及 Schlumberger 之電位訊號強度，訊號較 Dipole-dipole 與 Pole-Dipole 電極排列法佳(Zhou and Dahlin, 2003)，但 Pole-Pole 空間解析度卻比不上 Schlumberger、Pole-Dipole、 Dipole-Dipole 與 Wenner。 Dipole-Dipole 相對上具有高異常反應效果，但容易受到雜訊影響，空間. 49.

(63) 解析度與 Pole-Dipole 相同；對於垂直或傾斜構造物的水平位置解析能力非常高，但深度位置解析不是最佳；測深常數 n 建議最大等於 6。整體上，Wenner因具有高電勢能差訊號強度，最適合在背景雜訊大的區域施測，以最小單位電極間距a施測之n值增加到某一個程度時(6~10 之間)，靈敏度低且訊號很小，其中提高靈敏度施測方法為單位間距(D)以’2a’ 施測，可以增加深層靈敏度因 n 過大而降低 (Loke, 2003) 。以圖 2.31Dipole-Dipole為例，展距 7 公尺，以D等於a，n等於 7 和D等於 3a，n等於 1 的訊號強度比較，後者訊號強度比前者大。表 2.6. 電極排列幾何參數. 電極排列法. 展距 L. 幾何參數 K. Wenner. 3na. 2πa. Wenner-Schlumberger (2n+1)a. πn(n + 1)a. Dipole-Dipole. (n+2)a. πn(n + 1)(n + 2)a. Pole-Dipole. (n+1)a. 2πn(n + 1)a. Pole-Pole. na. 2πa. 50.

(64) 圖 2.31 Dipole-Dipole 不同 n，a 參數，展距相同(Loke, 2003) 因此當測深需要較深時， Wenner-Schlumberger 、 Dipole-Dipole 、 Pole-Dipole首先可以由最小單位電極間距a，n等於 1~5，接著大於n等於 5 時之測深展距，其單位電極間距D等於兩倍最小單位間距(2a)，n等於 1~5，然後D等於 3a，n等於 1~5 之方式施測，以得到不同單位電極間距和測深參數所形成的似電阻率剖面。因資料層數的間距與測線展距有關(表 2.4)，而這三種電極排列之測線展距與單位電極間距相關(表 2.6)，因此在單位電極間距D增加，對於較深層資料點的間距相對提高，進而降低空間解析度，但此施測方式具有降低周遭雜訊、提高靈敏度之優點(Sasaki, 1992; Loke, 2003)。本研究於現地施測時，採用此法提高測深且兼備資料訊號品質。. 2.5 正算模擬理論發展 Apparao(1969), Van Nostand and Cook(1966), McPhar Geophysics(1967), Dey(1967)等人以漸近行為類比於簡單二維、三維非均質模型來模擬電阻率變化，這些模擬的方法只適合在某些電組率對比高的物理量。. 51.

(65) Jepsen(1969), Aiken(1973), Coggon(1971), Madden(1967, 1971)用數值方法模擬一般電阻率比與不同幾何形狀。 Dey and Morrison(1979)模擬點電流源在地表，地表以上的電位為 0 以及無窮遠處電位等於 0 的邊界條件，以顯性有限差分法求解在任意二維、三維電阻率形狀的電位分布。Loke(1994)改進 Dey and Morrison(1979)方法，使得正算視電阻率更正確；並加入有限元素法模擬。. 2.6 反算分析理論反算方法包含四大元素:量測的資料(observed data)，y、預設的模型 (model)、模型參數(model parameter) , q、模型反應函數(model response), f；反應函數是模型參數的變數，模型參數等於模型電阻率之對數值(logρa)，其反算結果並非只有唯一解之下，比對經由反應函數計算的電阻率值和量測電阻率值，計算其最小均方根誤差(root-mean-square)；改變模型，重複疊代計算，獲得收斂值得到最佳化解(Lines and Treitel, 1984)，應用在地球物理之反算方法包含最小平方法 (least-squares)(Inman, 1975)，共軛梯度法(conjugate-gradient)(Rodi and Mackie, 2001)，最大熵法 (maximum entropy)(Bassrei and Quezada, 2001) 、模擬控溫 (simulated annealing)(Sharma and Kaikkonen, 1998)，人工類神經網路(artificial neural networks)(Zhang and Zhou, 2002) ，奇異值分解法 (singular value decomposition)(Muiuane and Pedersen，2001)等多種方法。常使用於二維、三維地電阻率反算方法為正規最佳化最小平方法(regularized least-squares 52.