以建築活動做為體育班課後數學輔導活動之行動研究

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(1)國立臺灣師範大學數學系碩士班碩士論文. 指導教授：楊凱琳博士. 以建築活動做為體育班課後數學輔導活動之行動研究. 研究生：陳佳陽. 撰. 中華民國一 ○ 七年六月.

(2) 謝誌由衷感謝老媽扛起很多辛苦的事，因為事情太多了，也不知從何說起，總之就是萬分感謝。感謝我的指導教授楊凱琳老師，不只是學術上的導師，也同時是人生的導師，如果沒有跟著老師學習，我可能對「教數學」的定義會非常狹隘，也很抱歉計畫的工作常常拖拖拉拉的，自己的論文也拖拖拉拉的，讓你擔心了。感謝口試委員李源順教授及曹博盛教授願意花時間替我口試，也在過程中給了我很多寶貴的建議與鼓勵。感謝熊道天學長、楊士正老師讓我有機會帶到這群體育班的孩子，也感謝體育班的孩子願意投入這趟旅程。感謝佑萱的陪伴，許多事可以感到安心與力量。最後，因為需要感謝的人太多了，就感謝天吧！. I.

(3) 摘要本研究是研究者以建築活動做為體育班課後數學輔導活動的行動研究歷程，研究者本身即為行動教師，研究目的在於了解教師在此歷程中的教學改變與考量，以提供將建築活動運用於課後輔導的教學方針。研究對象為台北市某公立國中體育班學生，班級內同時包含七年級與八年級學生，上課的次數每周一次共歷時一學年，每次的課程時間長度 90 分鐘。研究結果依照行動教師在課程規劃的改變劃分成四個行動循環，主要關注行動教師在這四個行動循環中對於「課程與建築活動的規畫與進行」以及「評量工具的目的與設計」兩個面向的改變與演進情況。行動教師對於課程與建築活動的規畫與進行之改變歷經第一行動循環以基本學習內容為導向，第二行動循環以建築活動學習目標為導向，第三行動循環增加對學生的先備知識的注重，第四行動循環增加閱讀活動。隨著課程規畫的調整以及課堂學生反應，行動教師對於評量工具的目的與設計也有三階段的調整歷程，第一行動循環行動教師依據基本學習內容設計評量，第二行動循環依據建築活動內容設計評量並改變評量目的成為教學的一環，第三與第四行動循環依據建築活動內容與學生的先備知識設計評量。最後研究者由活動理論的觀點反思整個教學行動歷程，課程的重心由客體知識逐漸轉移至教學工具所要帶來的教學內容，並開始關注主體學生的先備知識狀況，最後考量主體學生平日課堂的學習以及其自主學習能力，進而拓展教學工具的內容。本研究將依照研究結果提供將建築活動運用於課後數學輔導的的教學建議。. 關鍵字：建築活動、行動研究、課後輔導、體育班. II.

(4) 目錄謝誌........................................................................................................................ I 摘要....................................................................................................................... II 目錄...................................................................................................................... III 表目錄................................................................................................................... V 圖目錄..................................................................................................................VI 第一章. 緒論.................................................................................................... 1. 第一節. 研究動機........................................................................................ 1. 第二節. 研究目的與研究問題.................................................................... 4. 第三節. 研究限制........................................................................................ 5. 第二章. 文獻探討............................................................................................ 6. 第一節. 建築活動........................................................................................ 6. 第二節. 活動理論...................................................................................... 14. 第三章. 研究方法.......................................................................................... 15. 第一節. 教學行動背景.............................................................................. 15. 第二節. 研究設計...................................................................................... 19. 第三節. 研究工具...................................................................................... 23. 第四節. 資料蒐集與分析.......................................................................... 25. 第四章. 研究結果.......................................................................................... 31. 第一節. 四個行動循環.............................................................................. 31. 第二節. 教師對於課程與建築活動的規畫與進行之改變...................... 63. 第三節. 教師對於評量工具的目的與設計之改變.................................. 71. 第四節. 由活動理論反思四個行動循環.................................................. 75. 第五章. 結論與建議...................................................................................... 81. 第一節. 研究結論...................................................................................... 81. 第二節. 研究建議...................................................................................... 82 III.

(5) 參考文獻.............................................................................................................. 83 一、英文部分.............................................................................................. 83 二、中文部分.............................................................................................. 83 三、網路資源.............................................................................................. 84 附錄一. 加減法遊戲.................................................................................. 85. 附錄二. 四則運算猜一猜.......................................................................... 90. 附錄三. 因數誰最多.................................................................................. 94. 附錄四. 阿拉丁神燈.................................................................................. 98. 附錄五. 早餐店的數學............................................................................ 102. 附錄六. 橡皮擦比一比............................................................................ 106. 附錄七. 預言術(1) ................................................................................... 109. 附錄八. 預言術(2) ................................................................................... 114. 附錄九. 服裝店的數學............................................................................ 118. 附錄十. 應用問題讀題............................................................................ 123. 附錄十一. 上課(多項式與方程式) ......................................................... 127. 附錄十二. 小新家的數學........................................................................ 130. 附錄十三. 拼圖解方程式........................................................................ 136. 附錄十四. 等比例撲克............................................................................ 140. 附錄十五. 連比例遊戲............................................................................ 144. 附錄十六. 反比例.................................................................................... 148. 附錄十七. 下學期第二次段考前複習考卷練習.................................... 152. 附錄十八. 小__的成長紀錄.................................................................... 154. 附錄十九. 閱讀活動................................................................................ 158. 附錄二十. a 和 b 的研究會 .................................................................... 163. 附錄二十一. 閱讀活動............................................................................ 168. 附錄二十二. 下學期第三次段考前複習考卷練習................................ 172. IV.

(6) 表目錄表 2-1-1. 橡皮擦比一比練習題 .......................................................................... 7. 表 2-1-2. 小新家的數學學習單內容 ................................................................ 12. 表 3-1-1. 各學期學生人數 ................................................................................ 16. 表 3-1-2. 研究期程表 ........................................................................................ 16. 表 4-1-1. 四個行動循環時間分界 .................................................................... 31. 表 4-1-2. 第一行動循環課程表(一) ................................................................. 32. 表 4-1-3. 第一行動循環課程表(二) ................................................................. 33. 表 4-1-4. 第一行動循環課程規劃表 ................................................................ 35. 表 4-1-5. 加減法遊戲活動前、後評量雙向細目表 ........................................ 36. 表 4-1-6. 加減法遊戲活動前、後評量試題 .................................................... 37. 表 4-1-7. 第二行動循環課程表 ........................................................................ 40. 表 4-1-8. 第二行動循環課程規畫表 ................................................................ 41. 表 4-1-9. 預言術(1)評量工具雙向細目表 ....................................................... 43. 表 4-1-10. 第二行動循環評量設計範例─預言術(1) ..................................... 44. 表 4-1-11. 第三行動循環課程表(一) ............................................................... 50. 表 4-1-12. 第三行動循環課程表(二) ............................................................... 51. 表 4-1-13. 第三行動循環評量設計範例─反比例 .......................................... 54. 表 4-1-14. 第四行動循環課程表 ...................................................................... 57. 表 4-1-15. 第四行動循環評量設計範例─小__的成長紀錄 .......................... 59. 表 4-2-1. 第一行動循環評量設計範例─四則運算猜一猜 ............................ 65. 表 4-2-2. 第二行動循環評量設計範例─預言術(1) ....................................... 65. 表 4-2-3. 連比例遊戲的部分試題 .................................................................... 69. 表 4-3-1. 第一行動循環評量雙項細目表 ........................................................ 71. 表 4-3-2. 第二行動循環評量雙項細目表 ........................................................ 72. 表 4-3-3. 第三與第四行動循環評量雙項細目表 ............................................ 74 V.

(7) 圖目錄圖 2-1-1. 橡皮擦比一比刻度尺 .......................................................................... 7. 圖 2-1-2. 四則運算猜一猜學習單 ...................................................................... 8. 圖 2-1-3. 四則運算猜一猜題目範例 .................................................................. 9. 圖 2-1-4. 乘法公式賽車遊戲盤 ........................................................................ 10. 圖 2-1-5. 乘法公式賽車事件卡 ........................................................................ 10. 圖 2-1-6. 乘法公式賽車手牌卡 ........................................................................ 10. 圖 2-1-7. 加減法遊戲遊戲盤 ............................................................................ 11. 圖 2-2-1 Vygotsky 社會建構概念圖 ................................................................ 14 圖 3-2-1 Elliott 的行動循環節 ......................................................................... 19 圖 3-2-2. 研究流程圖 ........................................................................................ 20. 圖 3-2-3. 教學流程圖 ........................................................................................ 22. 圖 4-1-1. 學生聯絡簿小日記 ............................................................................ 38. 圖 4-1-2. 學生預言術(2)學習單 ....................................................................... 45. 圖 4-1-3. 學生預言術(1)學習單 ....................................................................... 46. 圖 4-1-4. 應用問題上課影片截圖 .................................................................... 47. 圖 4-1-5. 唱名領考卷 ........................................................................................ 48. 圖 4-1-6. 學生互相討論活動前後評量 ............................................................ 49. 圖 4-1-7. 修改前等比例撲克練習題 ................................................................ 53. 圖 4-1-8. 修改後等比例撲克練習題 ................................................................ 53. 圖 4-1-9. 閱讀活動影片截圖 ............................................................................ 60. 圖 4-1-10 a 和 b 的研究會活動前評量節錄 ................................................... 61 圖 4-1-11 a 和 b 的研究會活動後評量節錄 ................................................... 62 圖 4-2-1. 各行動循環的課程規劃 .................................................................... 63. 圖 4-3-1. 第二行動循環評量目的 .................................................................... 73. 圖 4-4-1. 本研究的活動理論示意圖 ................................................................ 75 VI.

(8) 圖 4-4-2. 第一行動循環的活動理論示意圖 .................................................... 76. 圖 4-4-3. 第二行動循環的活動理論示意圖 .................................................... 77. 圖 4-4-4. 第三行動循環的活動理論示意圖之一 ............................................ 78. 圖 4-4-5. 第三行動循環的活動理論示意圖之二 ............................................ 79. 圖 4-4-6. 第四行動循環的活動理論示意圖 .................................................... 80. VII.

(9) 第一章. 緒論. 本研究是源自研究者對教學實務的需求而產生，內容描述研究者將建築活動運用在體育班課後數學輔導的歷程，透過行動研究法呈現教學中的轉變歷程，再參考文獻加以分析資料，目的是期望藉由本研究提供將建築活動運用於體育班課後輔導的教學方針。緒論共分三節，第一節研究動機闡述研究者將建築活動運用於體育班課後輔導的原因，以及為何要以行動研究法進行研究。第二節研究目的與問題是延伸研究動機，訂定出本研究的研究目的是要從教師與學生的兩個面向來了解此教學歷程中的轉變及其原因。第三節名詞界定將針對本研究重要的名詞進行釋義。. 第一節研究動機研究者於 104 學年上學期期初開始擔任台北市某國中體育班的數學科課後輔導老師，上課時間是每個星期二的晚上，課程時間長度為兩節課共 90 分鐘，遇到比賽或段考就停課一週，相較於平日數學課時數四到五節課，這堂課後輔導的時數是非常有限的。學生的組成以七年級體育班學生為主，再加上少部分以複習為參加目的八年級體育班學生。面對特殊的教學實務需求，研究者開始思考要以什麼方式進行課後輔導。首先考量學生的特殊性，研究者先從體育班學生的特性著手認識。一般社會大眾對體育班學生的觀感大多是很活潑、學業成績表現較不理想，而文獻上詹順利與劉宣谷(2015)指出國中普通班數學科學習成就顯著優於體育班學生。更進一步，詹順利與劉宣谷(2015)調查體育班學生對數學科學習的態度發現其實體育班學生認為學習數學可以增加邏輯思考能力，但是學習數學對他們來說並不簡單，在實際上的學習經驗容易遭遇困難。同時，在學校適應方面，體育班學生雖然在運動訓練及人際關係上都有正向的表現，但唯獨在學業學習適應中的「我有把握在學科的定期考試中獲得良好成績」項目呈現負向，顯示體育班學生在學科學習. 1.

(10) 上較沒有信心。依據上述現象，研究者決定改變數學課後輔導的教學方式與評量方式，讓學生從學習的過程中建立正向的數學學習經驗，並藉由不同的評量方式獲得信心，更大的期許是進而影響學生在平日的數學課堂表現。面臨以上體育班學生特質與課程時間的限制，研究者開始思考要如何進行課後輔導以達到教學方式與評量方式的改變，首先參考教育部所公布的高級中等以下學校體育班及運動代表隊訓練注意事項(2010)中規定體育班須提供學生課業輔導，輔導學生的學業成績以符合成績考核辦法，並在非上課期間應安排適當時段實施課業輔導或安排學生自習功課，得結合教育部現有政策，聘請課輔老師進行個別輔導。再參考教育部體育署提供的教育部 102 學年度高級中等以下學校體育班實地訪視報告(2014)，內容僅有少部分提及有國中針對體育班學生開設課業補救教學、集體夜自習或是額外聘請老師輔導，但內容未詳盡的說明是如何進行課後輔導及其成效。再進一步由此體育班的導師轉述家長對於這個課後輔導的期許，主要是期望孩子能更有效利用課後時間，不要下課回到家就開始看電視、打電動，透過學校開設在夜間的輔導課程，用約束力較高的方式使學生再多花點心思在課業上。此外，學生在體育專長訓練時會經歷比較嚴苛的時光，所以導師建議課後輔導可以用輕鬆一點的方式進行。為了尋找適用的教學方法或教學素材，研究者進而轉向參考教育部近年來推動的補救教學計畫，由於這些教學設計主要的對象是低成就學生，研究者想嘗試從這些豐富的教學資源中尋找合適的材料。其中「數學科適性教學活動和課中補救教學」計畫是以課中補救為核心想法，有別於課前補救、課後補救需要額外的時間進行教學，課中補救指的是設計可以運用於平日課堂的教學活動，目的是幫助學生建立當下課業內容中所需的具體經驗。國立台灣師範大學數學教育中心的網站上(http://www.sdime.ntnu.edu.tw/main.php)有提供以課中補救為想法所設計的建築活動，建築活動是直接針對平日的數學課本章節設計教學活動，以有趣的數學活動引起學生學習動機，活動主軸大多是遊戲競賽、破解魔術、有目的的引導解決問題，學生透過小組討論、觀察記錄現象、發表自己的看法等方式一起找到較好的獲勝方法或是結論，進而再將在這些活動中所獲得的經驗、想法連結到課堂中的數學學習，為所學賦予實質意義，讓學生覺得數學是真的可以學以 2.

(11) 致用的知識。因為以上建築活動教材設計的特點與主張，研究者認為以建築活動做為課程主體可以改善體育班學生學習數學的經驗，期望以討論、遊戲等方式取代講述式教學，能為體育班學生再開創新的學習經驗。雖然本研究的教學時間是在課後，與課中補救要融入平日課堂的精神是有出入的，但若將這精神再延伸一點，把這一週 90 分鐘的額外的時間視為平日課堂的輔助，應該是不為過的。由於建築活動是還在發展中的教材，比較缺乏前人實際運用的經驗，研究者能運用的資源只有建築活動教案、活動學習單，所以本研究將採用行動研究法紀錄並分析研究者進行教學的歷程，嘗試呈現教師在不同階段對課程安排的考量與改變，並提供以建築活動作為體育班課後數學輔導活動的教學方針與建議。. 3.

(12) 第二節研究目的與研究問題延續研究動機，本研究的研究目的是為了提供將建築活動運用在體育班課後輔導的使用方針與教學建議，透過分析研究者自己作為行動者的行動研究，將焦點著重於教師運用建築活動於教學的改變經歷，以及此改變對體育班學生學習過程所產生的影響，因此將研究目的細分為以下兩點：一、了解以建築活動作為體育班課後數學輔導活動的歷程中教師教學的改變。二、了解以建築活動作為體育班課後數學輔導活動的歷程中學生的學習狀況。. 依據研究目的，研究者在設定研究問題時將第一個研究目的中教師教學再細分成「教師對於建築活動的內容與使用方式」和「教師對於評量的目的與工具設計」兩個面向，具體的研究問題如下：一、在此教學脈絡下，以建築活動作為課後數學輔導活動的行動循環為何? 二、以建築活動作為體育班課後輔導活動的教學行動中，教師對於課程與建築活動的規畫與進行有何改變？三、以建築活動作為體育班課後輔導活動的教學行動中，教師對於評量的目的與工具設計有何改變？四、從活動理論的角度，如何詮釋本研究行動循環的演變?. 4.

(13) 第三節研究限制本研究中的研究對象及上課時間都較為特殊，縱使大部分的研究對象是屬於數學學習低成就的學生，本研究的研究結果與教學建議對於其他對象或是其他場域仍需要視學生學習狀況以及可運用的時間做調整。例如將建築活動運用於非體育班低成就學生的課後補救教學，或是將建築活動融入平日課堂對所有學生進行課中補救教學，教師可針對不同屬性學生的特質及教學場域限制加以轉化應用本研究的結果與建議。. 5.

(14) 第二章. 文獻探討. 本研究的文獻探討分成建築活動與活動理論兩小節，第一節呈現建築活動的起源以及各類型設計進路的相關理論背景，並以現有的建築活動舉例說明；第二節呈現社會建構主義學家 Vygotsky 對於人類知識發展的主張以及活動理論的應用舉例。. 第一節建築活動建築活動一詞源自「開發偏鄉國民中學數學科適性教學活動和課中補救教學成效評估計畫」(楊凱琳，2015)，此計畫的起源想法是由於目前補救教學時間以課後為主，額外增加的時間壓縮了學習落後學生的自主時間也造成教師額外的負擔，針對此現象設計與發展適合運用於平日的數學課堂的教學活動，活動內容包含遊戲競賽、探索與解決問題、小組討論、填寫學習單等等，目的是同時兼顧低成就學生的學習，使之有更充分學習數學的機會。建築活動以探究學習的原理原則為基礎，共發展五個類型的學習活動，分別是將數學的圖像與符號表徵轉化成操作活動、將數學敘述或公式轉化成臆測活動、將錯誤直觀或迷思概念轉化成反思直觀活動、將數學問題轉化成探索活動以及將數學文本轉化成閱讀活動，以下就各個類型舉例說明。建築活動的教案、教具、學習單均可於國立臺灣師範大學數學教育中心網站中資源傳播的數學適性分組頁面取得 (http://www.sdime.ntnu.edu.tw/page21/super_pages.php?ID=page204&Sn=14)。. 一、將數學的圖像與符號表徵轉化成操作活動. 將數學的圖像與符號表徵轉化成操作活動的建築活動以本行動研究有使用的「橡皮擦比一比」為例說明。橡皮擦比一比是運用於七年級上學期學習分數加減的教學活動，活動的內容是讓學生操作刻度尺解決學習單上的問題。下圖 2-1-1 6.

(15) 長度較長的是分母為 12 的刻度尺，長度較短的是分母為 15 的刻度尺。. 圖 2-1-1. 橡皮擦比一比刻度尺. 學習單上的問題是：「兩種大小不同的橡皮擦，其中一種 3 個接在一起共 11 公分長，另一種是 4 個接在一起共 15 公分，請問哪一種橡皮擦比較長?」，學生可以將刻度尺塗色，並藉由數刻度尺上的格子來比較一個橡皮擦的長度。學習單上接下來的提問分別是「各取一個的長度相差多少?」以及「各取一個的長度總共是多少?」，這兩題分別是分數的減法與加法，原教案建議將重點擺在刻度尺的操作。最後的提問是「你覺得能解決上面第 2、3 題的關鍵是什麼?」，再由這一題引導學生思考對分母是 3 和 4 都合用的刻度是如何產生的，以及帶出是找公倍數讓這兩種原本不同刻度的數字可以進行比較大小、相加或相減。學習單的最後以四題應用問題練習題結尾，其中有包含適用刻度 12 與刻度 15 的題目，當學生無法順利用分數計算，可以再運用刻度尺協助作答。題目呈現於下表 2-1-1。. 表 2-1-1. 橡皮擦比一比練習題. 刻度尺. 題目. 刻度 15. 一桶鮮奶原本有公升，被哥哥喝掉了公升以後還剩下多少公升?. 刻度 12. 1 3. 8 5. 數學村調查大家最喜愛的科目，有. 1 1 的人回答自然科，有的人回 6 2. 答數學科，那麼回答理科的人共占全部的多少? 刻度 15. 1 3. 小明每個月有的收入要用來繳房租， 7. 2 的收入用在生活開銷，其 5.

(16) 餘的則存起來，請問小明每個月的儲蓄占收入的多少? 小寶週間（星期一至星期五）在家的時間有無. 來做家事，. 1 1 用來複習功課，用 5 4. 1 花在例行事項（如吃飯）上，請問小寶每天還剩下多 6. 少時間可用在休閒娛樂上?. 二、將數學敘述或公式轉化成臆測活動. 將數學敘述或公式轉化成臆測活動的建築活動以本研究有使用的「四則運算猜一猜」為例說明。四則運算猜一猜是可以使用在七年級上學期學習整數乘法的教學活動，活動的內容是透過學習單上的數字變化問題(如下圖)，教師依序給出不一樣的數字變化組合讓學生猜測數字間是經過什麼運算，活動的主軸強調讓學生猜測運算並說明解釋自己做這個猜測的原因，過程中教師協助學生寫下每個運算對數字所帶來的效果。. 圖 2-1-2. 四則運算猜一猜學習單. 學習單共設計十組問題，前四題的運算是加減法，目的是要讓學生熟悉規則，後六題的運算是乘除法，每一題的教學目的不盡相同，例如第六題讓學生猜測是什麼運算後，要再引導學生思考並寫下乘以－1 這個運算的效果是會讓正數變成負數。第八題是要再引導學生與第六題連結，建立乘以－2 這個運算的效果與乘以－1 而且乘以 2 是相同的運算的概念。. 8.

(17) 第一題. 第六題圖 2-1-3. 第八題. 四則運算猜一猜題目範例. 三、將錯誤直觀或迷思概念轉化成反思直觀活動. 將錯誤直觀或迷思概念轉化成反思直觀活動的建築活動以「乘法公式賽車」為例說明，此類型的活動在本研究中沒有使用到。乘法公式賽車是可以運用於八年級上學期學習利用乘法公式進行因式分解的教學活動，活動進行前先讓將學生分成四個一組，每組會拿到遊戲盤、手牌卡、事件卡，每位玩家發 3 張手牌卡，手牌卡上印有不同的一元二次式，活動開始時先翻出一張事件卡在遊戲盤中間，事件卡代表的是出牌類型所對應可以移動的格子數，類型分別有「和的平方公式」、「差的平方公式」、「平方差公式」、「都不是」，玩家依序出牌，出牌時要宣告自己出的牌運用乘法公式進行因式分解的結果，其他玩家負責檢查，如果出牌者宣告正確，就按照事件卡上對應的步數前進；如果宣告不正確，該回合停止不動。起點從 0 開始，有人抵達終點 30 即為勝利並結束遊戲。由於卡牌中設計了許多乘法公式的非例，這個出牌遊戲中學生可以從自己出牌與檢查他人出牌的過程中，不斷的藉由許多例子反思原本可能存在的錯誤直觀或是迷思概念，例如(𝑎 + 𝑏)2 等於𝑎2 + 𝑏 2 。最後學習單提供分別針對和的平方公式、差的平方公式、平方差公式提出統整問題，以和的平方公式統整問題為例：「你如何判斷一個算式可用和的平方公式進行因式分解?二次項係數、一次項係數和常數項，這三個數字的特性為何? 之間要有什麼關係?」，透過問題的引導學生可以將從遊戲中獲得經驗有系統的整合，不單單只是在遊戲中產生認知衝突，有鷹架的提問可以幫助學生進一步的統整反思。 9.

(18) 圖 2-1-4. 乘法公式賽車遊戲盤. 圖 2-1-5. 乘法公式賽車事件卡. 圖 2-1-6. 乘法公式賽車手牌卡. 10.

(19) 四、將數學問題轉化成探索活動. 將數學問題轉化成探索活動的建築活動以以本研究有使用的「加減法遊戲」為例說明，加減法遊戲是運用於七年級上學期學習負數、整數的加減的教學活動，活動內容是將學生分成四個一組，每組會拿到 16 張撲克牌，四個花色的 1～4，每一個同學一人一張遊戲盤、計分表跟一個棋子，棋子擺在遊戲盤 0 的位置。發牌時，三個同學發四張牌，一個同學當起始玩家發三張牌，遊戲開始前每個玩家先依據自己的手牌使用遊戲盤計算分數，紅色代表棋子往右移相對應的數量，黑色代表棋子往左移相對應的數量，將棋子移動完畢後，老師會喊抽牌！起始玩家從隔壁有四張牌的同學抽一張牌，然後要再移動棋子計算自己新的得分，然後依此規則繼續抽牌，當老師喊停止的時候，同學互相檢查棋子是不是落在正確的位置，如果正確這回合的得分就是棋子距離 0 的格子數，例如棋子在 8 得八分、棋子在－5 得五分。. 圖 2-1-7. 加減法遊戲遊戲盤. 經過多個回合後教師可以題問有沒有計算分數比較快的方法，漸漸引導學生講出不用每次抽牌結束都重新跳棋子，可以只看抽到與被抽走的牌。可以再進行幾次抽牌遊戲後接著引導整理規則，抽到紅色代表加正的數字、抽到黑色代表減正的數字、紅色被抽走代表減正的數字、黑色被抽走代表減負的數字，再討論個別對於計分的影響是什麼，是增加還是減少。這個活動將為什麼減負的數字是加正數的算則轉化成學生實際操作並探索出來的結果，取代以往直接告知負負得正規則的教法，讓規則是由學生從活動中所獲得的經驗討論探索而來。. 11.

(20) 五、將數學文本轉化成閱讀活動. 將數學文本轉化成閱讀活動的建築活動以以本研究有使用的「小新家的數學」為例說明，小新家的數學是運用於七年級下學期二元一次聯立方程式的教學活動，活動的過程是讓兩位學生一組，兩位學生分別會拿到條件不同的學習單，學習單的內容如下表，先各自依條件填寫引導問題，發現可以作為主問題的解有很多可能，接著交換條件再填寫一次引導問題，最後整合出唯一的答案。. 表 2-1-2. 小新家的數學學習單內容. 內容題幹條件主問題引導問題(1). 學習單(A). 學習單(B). 小新有一些 5 元硬幣和 10 元硬幣，請回答下列問題。已知這些硬幣總共有 8 枚. 已知這些硬幣總共值 65 元. 請問小新的 5 元硬幣和 10 元硬幣各有幾枚? 假設小新有 5 元硬幣 x 個、10 元硬幣 y 個，請根據現有的條件寫出含有文字符號 x、y 的算式。請把所有可能的答案一一列出來。. 引導問題(2). 5 元硬幣個數 (x) 10 元硬幣個數 (y). 交換資訊. 引導問題(1). 請和拿到學習單(B)的同伴交. 請和拿到學習單(A)的同伴交. 換資訊，並寫下對方得到的資. 換資訊，並寫下對方得到的資. 訊是：. 訊是：. 請寫出依據對方得到的資訊所能列出的方程式。請依據對方資訊把所有可能答案一一列出來。. 引導問題(2). 5 元硬幣個數 (x) 10 元硬幣個數 (y). 整合結果. 整合雙方的資訊，得出唯一的答案。. 12.

(21) 此活動是將原本二元一次聯立方程式的應用問題轉化成閱讀活動，將原本的文字題與解題過程拆解成連續的問題引導，學習單的設計同時強調在只有一個條件時，符合條件的解的數量為何，當另一個條件增加時，符合條件的解的數量會有什麼改變，而非直接以帶入消去法或加減消去法為進路，讓學生可以實際感受到整合兩個條件所得到的解是由原先各自的解集合中交集而成的。. 13.

(22) 第二節活動理論建構主義主張知識是由學習者主動建構而成，透過學習者與外在世界主動的交流與溝通所產生，而非由外傳遞給學習者，造成學習者被動的吸收。其中社會建構主義更關注於社會與個體之間的互動，活動理論便是基於社會建構主義學者 Vygotsky 的主張發展而來的，Vygotsky(1978)認為知識的發展是個體與社會互動的結果，而個體並不是直接與社會互動，個體在與社會互動的過程中需要一個複雜的中介行動(mediated action)做為橋樑，語言、符號、記號等中介是人類個體與社會互動重要的工具。下圖 2-2-1 是 Vygotsky 提出社會建構的概念圖，知識建構是主體(Subject)、客體(Object)與工具(Tool)相互影響的結果，主體與客體之間需要工具的連結， Vygotsky 強調在不同的社會文化脈絡下使用的工具不同，都會對知識的建構有不同的影響，例如符號的差異、語言的不同都會影響主、客體互動的結果。在本研究的教學的情境脈絡下，主體指的是體育班學生，客體指的是數學知識，工具指的是建築活動。. 圖 2-2-1. Vygotsky 社會建構概念圖. Karasavvidis (2009)從活動理論的觀點分析 51 位教師的想法，讓受試教師實際參與創新的電腦輔助、線上討論的課程後訪談，了解受試教師在哪些情況下會將電腦納入他們平日的教學，教師認為時間與課程限制是最大的考量因素。由這些教師考量的因素，有助了解教師在活動理論中的矛盾。 14.

(23) 第三章. 研究方法. 本研究採用行動研究法，研究者自己擔任行動教師。第一節教學行動背景介紹整個課後數學輔導教學行動的背景資料，包含行動的起始、研究對象、研究期程以及行動教師背景，第二節研究設計詳述整個研究的研究流程與每次上課的教學流程規劃。第三節研究工具介紹在本研究中所使用到的研究工具。第四節資料蒐集與分析詳述資料蒐集的過程與分析方法。. 第一節教學行動背景. 一、行動的起始. 研究者於 104 上學期初開始擔任台北市某國中七年級體育班課後輔導老師，此班的導師先向研究者說明開設課後輔導的用意以及期許目標，參與課後輔導的學生都是排球隊隊員，學生的個性較活潑，家長希望孩子能更有效利用課後時間，由學校開設在夜間的輔導課程，用約束力較高的方式使學生再多花點心思在課業上。然而在平日課堂中數學科老師大多以傳統講述式教學為主，學生接受度較低，但學生並不會排斥學習數學，希望研究者可以用不同的教學方式進行課後輔導。同時，因為研究者在大學時期也是排球隊的隊員，應該可以跟排球專長的學生比較親近。. 二、研究對象. 本研究採便利取樣法，選取研究者擔任課後輔導老師的台北市某公立國中七年級體育班學生，參與的學生全部都是排球隊隊員。樣本學生上學期共有 16 位七年級學生及 4 位八年級學生；下學期則有 15 位七年級學生及 4 位八年及學生， 15.

(24) 其中八年級學生人員不變，七年級則是有兩位學生改成去補習班，另外新加入一位新同學，詳見表 3-1-1。之所以會有八年級學生參與是因為八年級學生參與課後輔導的人數不足，無法獨立開設課後輔導班，故以複習七年級課程為目標一起併入本班。. 表 3-1-1. 各學期學生人數七年級. 八年級. 上學期. 16 人. 4人. 下學期. 15 人. 4人. 三、研究期程. 本研究共進行兩個學期，分別為 104 學年度上、下學期，詳細的上課日期與上課所進行的建築活動名稱請見下表 3-1-2。上學期開學到第一次段考期間 2 堂課，第二次及第三次段考期間各 4 堂課，共計 10 堂課。下學期開學到第一次段考期間 3 堂課，第二次段考 4 堂課，第三次段考 5 堂課，共計 12 堂課。上課頻率一週一次，時間是從晚上六點半到八點共 90 分鐘，若學生當週去比賽或是遇到段考就停課一週，不另進行補課。. 表 3-1-2. 研究期程表. 第一次段考. 上學期第二次段考. 日期. 活動名稱. 2015/09/22. 加減法遊戲. 2015/09/29. 四則運算猜一猜. 2015/10/20. 因數誰最多. 2015/10/27. 阿拉丁神燈. 2015/11/10. 早餐店的數學. 2015/11/24. 橡皮擦比一比. 16.

(25) 第三次段考. 第一次段考. 下學期. 第二次段考. 第三次段考. 2015/12/08. 預言術(1). 2015/12/22. 預言術(2). 2015/12/29. 服裝店的數學. 2016/01/05. 應用問題讀題. 2016/02/23. 上課(多項式與方程式). 2016/03/08. 小新家的數學. 2016/03/22. 拼圖解方程式. 2016/04/19. 等比例撲克. 2016/04/26. 連比例遊戲. 2016/05/03. 反比例. 2016/05/10. 段考前複習考卷練習. 2016/05/24. 小__的成長紀錄. 2016/05/31. 閱讀活動. 2016/06/07. a 和 b 的研究會. 2016/06/14. 閱讀活動. 2016/06/21. 段考前複習考卷練習. 四、行動教師背景. (一)行動教師的經歷與教學經驗. 研究者自身即為本研究的行動教師，研究者畢業於國立臺灣師範大學數學系，接著就讀同校數學所，已修完教育學程的應修習的學分，課程包含數學概念發展、數學學習心理學、數學教材教法、數學教材教法研究、數學教學與評量、數學教學實習(一)(二)、教育心理學、教育哲學、輔導原理與實務、教學媒體與運用、班級經營、教育測驗與評量、特殊教育導論，但尚未進入學校進行半年教育實習，也還未通過教師檢定取得教師證。在大學及研究所時期皆有家教及補習班解題老. 17.

(26) 師的打工工作，對國高中教材的熟悉度尚可。. (二)行動教師的教學信念. 在研究者大學前的求學經驗，認為學習數學就是不斷的演練題目，題目練習熟稔就可以考高分。然而到了大學階段，開始學習微積分、線性代數、高等微積分，甚至更抽象的拓樸學，突然發現學習數學並不是那麼單純演練題目，了解定義由來、定理敘述、證明的想法才是更重要的。要更進一步解決問題時，也不像國高中有大量的考古題、類似題可供參考，反而需要運用最基本的定義定理，再搭配上符合邏輯的計畫進行實際推演。而另一方面，從擔任家教及補教業教師等打工所獲得的經驗中發現，學生確實花了很多時間練習題目，但是遇到稍有變化的題目，有時就無法變通，研究者開始認為要著重的部分並不完全是演練題目，應該注重的是如何運用現有的數學概念再加上邏輯推理解決問題。而這些想法影響研究者將教學著重在數學概念的釐清與解決問題時的思考邏輯，在教導數學概念時會嘗試使用探索活動、舉大量例子或是實物操作，讓學生在學習抽象的數學概念時同時也帶有具體的例子或是經驗，多配合提問引出對學習新概念的需求。而在解決問題時研究者很執著於解題歷程中每一個步驟的的由來與關連性，帶著學生以該章節所學的數學概念來面對題目，先用提問的方式引導學生讀題並找出關鍵的訊息，再配合先備知識推理，強調解題過程的「為什麼要這樣做?」，最後要求學生比較題目的異同，大部分的教學時間都是學生自己動手做，將教師的位置向後挪，成為輔助的角色。. 18.

(27) 第二節研究設計. 一、研究設計. 本研究採用行動研究法，由研究者自己擔任行動教師，研究設計是參考 Elliott(1991)提出行動研究中行動循環節的的基本流程：計畫、行動、觀察、反思，一個完整的行動循環節將經歷這四個步驟。如下圖 3-2-1 所示，當遭遇實務上的問題時，可以依照這四個步驟循序漸進的改善決問題，第一步驟計畫是擬定解決問題的方法，可以從文獻、他人經驗、與專家討論等方式發展出可能的改善策略；第二步驟行動是指在實際現場執行計劃階段所擬定的改善辦法；第三步驟觀察是蒐集整理在行動過程中的資料並進行分析；第四個步驟反思是對分析資料後所得到的結果進行反思，透過反思可以評估待解決問題在經過計畫步驟與行動步驟後改善的狀況以及是否延伸出新的待解決問題，並可以做為下一個行動循環節擬訂計畫的依據。. 圖 3-2-1. Elliott 的行動循環節. 下圖 3-2-2 是本研究的研究流程圖，課程開始前的計畫階段，研究者對這個班級的狀況還不是很熟悉，僅規劃了一次課程的教學流程規劃，接著就直接進入教學現場執行。到了教學現場將同時包含行動與觀察兩個階段，研究者將數次課程的總和累積成為一個循環的行動與觀察階段，每次課程都會歷經備課、上課、 19.

(28) 紀錄三個步驟。經過數次課程後才進入反思階段，在反思階段中研究者會先將這幾次課程所蒐集的資料歸納整合，然後對歸納後的結果進行反思，從反思中評估教學效果與找出待改善的問題，然後著手計畫下一個行動循環中對於課程的調整與改善辦法。. 圖 3-2-2. 研究流程圖. 在行動與觀察階段中的每一次上課包含備課、上課、記錄三個步驟，備課主要工作是在上課前先了解建築活動的教材、準備活動中需要的教具與學習單以及 20.

(29) 針對該次的教學內容設計評量工具。上課主要的工作是依照教學流程規劃的順序實施評量以及進行建築活動，在進行建築活動的過程中，當行動教師面對學生的問題或是回應時，需要思考給予學生回饋的方式，是要直接告知學生解決的辦法還是將問題轉化後再還給學生思考；有時是學生無法順利進行建築活動，行動教師要思考該提供什麼輔助讓學生繼續順利進行活動，有可能是補充先備知識，亦或是用提問的方式引導並給予提示。同時在上課期間，教師也必須觀察學生的反應紀錄教師田野筆記。紀錄的工作主要是將備課與上課的資料整理，批改學生的評量考卷以及整理教師田野筆記，透過回想及觀看錄影紀錄的方式將上課的狀況記錄下來，錄影紀錄是從上學期的第二次段考結束後才增加的，目的是為了更清楚記錄課堂中學生與學生、老師與學生的對話，並作為教師田野筆記的佐證資料。反思階段的第一步驟是將數次課程蒐集的資料整合形成初階分析結果，再依研究目的從教師與學生兩個層面將此行動循環的經歷呈現，教師的部分細分成課程規畫與進行及評量工具設計兩部分，學生的部分細分成學生課堂反應及學生評量表現。第二步驟是對初階分析結果進行反思，反思是研究者藉由整合後的初階結果思考教學中待改進的問題為何，另外，研究者會與指導教授以及建築活動的設計者分享課程的安排、評量設計的依據、學生在課程中進行建築活動中的反應、評量結果，透過分享與討論可以讓研究者更深刻的反思這個階段的教學，並且與專家討論可以更具體的研擬出待解決的問題，以及針對問題思考下一個行動循環可能的改進計畫。. 二、教學流程規劃. 在課後輔導正式開始前，研究者思考每一次課程該如何進行，已經在緒論提到由體育班學生學科學習特殊性延伸出以建築活動作為教學主體，然而為了同時兼顧學生平日課堂需要面對的考試，研究者決定在課程中加入自行設計的評量工具作為練習。此評量工具的測驗目的是要讓學生能將在建築活動中所學到的概念運用至紙筆測驗，因此研究者設計評量時將計算的複雜度盡可能的降低，期望能 21.

(30) 達到檢測學生學習狀況的功能。同時，因為研究者並不是研究對象平日數學課堂的教師，無從得知學生在進行活動前詳細的學習起點為何，所以分別在活動前與活動後皆有設計評量工具，活動前、後評量平行出題僅調整數字結構，透過比較活動前、後評量表現亦可以幫助研究者了解學生進行建築活動後的概念變化。每次上課建築活動約佔 70 分鐘，活動前、後評量各佔 10 分鐘。. 圖 3-2-3. 教學流程圖. 22.

(31) 第三節研究工具本研究直接採用現成的建築活動以及研究者自行設計的活動前、後評量來進行課後輔導課程，再藉由課堂的錄影紀錄、教師田野筆記和收回的評量考卷與學習單作為觀察與反思的依據。. 一、建築活動. 取自於國立臺灣師範大學數學教育中心網站，由《開發國民中學數學科適性教學活動和課中補救教學成效評估計畫》中所開發的課中數學學習活動，在本研究中作為教學的主體。在研究進行的過程中，研究者將會考量學生學習狀況調整活動內容。. 二、活動前、後評量. 在每次建築活動的前後，研究者皆有設計評量練習，兩份評量平行出題，前後題型是一樣的，只有數字結構改變。在剛開始進行時課後輔導時行動教師是採用 NAEP(NAGB,2002)的試題分類架構搭配基本學習內容形成雙項細目表，目的則是了解學生在進行建築活動前後的改變。在不同的行動循環研究者將會陸續改變評量考卷的評量架構、出題方式以及評量目的，以增進體育班學生的數學學習。. 三、課堂教學的錄影紀錄. 從上學期第三次段考開始，為了更清楚記錄學生在進行建築活動的歷程，以及教師與學生、學生與學生之間的對話，開始增加錄影紀錄。為了不影響學生學習及活動進行，錄影機固定朝向學生架全景，所以每次蒐集到的對話主角不盡相. 23.

(32) 同。. 四、教師的教學田野筆記. 在每次教學結束後，研究者會將實際上課的情況、學生對評量及建築活動的感受記錄下來，可以做為下一次評量設計與活動進行的改善依據。. 五、段考複習卷. 在部分接近段考的課程，該次段考章節對應的建築活動都使用過後，為了讓學生練習段考內容，研究者會讓學生進行題目演練。研究者採用的是由國立臺灣師範大學數學教育中心提供的段考複習卷作為教材，測驗內容偏向單純的數學概念，且降低數字結構的難度。. 六、閱讀教材. 在本研究歷程中，下學期的第三次段考範圍有進行兩次閱讀活動，閱讀活動的教材與建築活動的來源相同，取自於國立臺灣師範大學數學教育中心網站資源傳播的數學適性分組頁面取得(以閱讀為本教材)。 (http://www.sdime.ntnu.edu.tw/page21/super_pages.php?ID=page204&Sn=14)。. 24.

(33) 第四節資料蒐集與分析資料蒐集以質性的資料為主，蒐集每一次上課前的備課內容與教師在課程中對學生的觀察。資料分析分成兩階段，第一階段分析是將行動階段中數次課程所蒐集的資料歸納統整形成初始分析結果，第二階段分析是將初始分析結果依據研究問題進行反思，分別從教師對於建築活動的內容調整與使用方式以及教師對於評量的目的與工具設計兩個面向分析。. 一、資料蒐集. 本研究的資料蒐集是將每一次課程的內容記錄成質性資料，分成備課與觀察兩個部分，以下將以第一次上課的紀錄做為資料蒐集的範例。第一個部分是備課，分別記錄建築活動原始教案、行動教師對課程的調整以及行動教師設計的活動前、後評量工具。. 範例：(加減法遊戲). 一、備課 (一) 原始教案. 搭配單元. 1-1 負數與數線、1-2 整數的加減. 學生背景知識能進行正整數的加減法運算教學目標. (1) 奠基整數的加減法運算 (2) 奠基減去負數即為加上正數的概念 (3) 奠基數線和絕對值的概念. 活動內容：先將全班分成 4 人一組並說明遊戲規則，每一組會拿到 16 張牌，每種花色的 1～4，每位玩家會拿到一張遊戲盤與計分表(見下圖)，各自拿一個橡皮擦作為棋子，一開始擺在遊戲盤 0 的位置。 25.

(34) 遊戲開始時，除了起始玩家發 3 張牌以外，其餘每位玩家發 4 張牌，當老師喊「抽牌!」時，手上只有 3 張牌的玩家向右手邊的玩家抽 1 張牌。紅色代表正分牌、黑色代表負分牌，負分牌會把正分牌的分數扣掉，玩家要隨時計算自己的手牌總分，並把棋子擺在遊戲牌上相對的位置，如果正分牌不夠扣就擺到「–」的部分。經過多次抽牌後，當老師喊「計分!」時，玩家亮出自己的手牌，其他玩家互相檢查棋子是否是在對的位置，如果錯誤只能獲得 0 分，如果正確則以棋子距離 0 的格數作為得分。例如棋子在 2 得 2 分，棋子在-5 得 5 分。在大約進行 4～6 場遊戲後，統計總得分最高的玩家即為優勝。然後請學生分享如何快速地計算自己的得分，以及在過程中發現了什麼規則?期望學生可以回答出不需每次從新把牌的分數再加一次，只要依照抽到的牌或是被抽走得牌作計算就好。遊戲結束後，研究者開始詢問學生剛剛遊戲的發現，幫助學生用數學語言了解其中的規則，例如當你的黑色的牌被抽走的時候，得分會有什麼變化？我們在數學上把黑色稱為負，抽走牌這個動作叫減，所以被抽走黑色的牌相當於減負的數字，你的得分反而增加了，所以減負的數字相當於加正的數字的效果。. (二) 行動教師對課程的調整. 研究者改變遊戲規則，不提供指示物與遊戲盤，每一組會拿到 40 張牌，每種花色的 1～10，總分要直接在心裡計算，所以比起原本的規則難度較高且數字較大，在些同的抽牌間隔，變相的強迫學生練習使用以抽到的牌或是被抽走的牌作計算這個策略。. 26.

(35) (三) 活動前後評量. 概念性知識程序性知識應用解題 7-n-04 能認識負數，並能以「正、負」. 1. 表徵生活中性質相反的量。 7-n-05 能認識絕對值，並能利用絕對值比較負數的大小。 7-n-06 能理解負數的特性並熟練數(含小數、分數)的四則混和運算。 7-n-08 能理解數線，數線上兩點的距離公式，即能藉數線上數的位置驗證數的大小關係。. 2 3 4(1). 4(2). 活動前評量 1.. 2.. 以地面為基準，有一座高度 300 公. 以海平面為基準，有一座高度 700. 尺的山記為 +300，則地平面以下. 公尺的燈塔記為 +7，則海平面以下. 200 公尺的地洞應該記. -600 公尺的潛艇應該記. 為. 為. 。. 。. 7、11 兩點之間的距離可以利用絕對 a、b 兩點之間的距離可以利用絕對. 值表示為 3.. 活動後評量. 。. 值表示為. −3 − (−5) + (−7 + 3) =. 。. 。 −13 − (−5) + (−24 + 9) − (−9 − 2) =. 。. 4.(1) 見下圖，請排出 a、b、c 的大小關係。見下圖，請排出 a、b、c 的大小關係。 b 0. a. c. 4.(2) 請問|𝑐 − 𝑏| + |𝑎| − |𝑎 + 𝑐| =. a c. 0. 。請問|𝑐 − 𝑏| + |𝑎| − |𝑎 + 𝑐| =. b. 。. 第二個部分是觀察，分別記錄學生的活動前、後評量結果以及教師在課堂中的田野筆記。上學期的第二次段考結束後再增加錄影紀錄簡述，由新增的上課錄影所得的影像資料中節錄發生的特殊事件及對話，可作為教師田野筆記的佐證。. 27.

(36) 範例：(加減法遊戲). 二、觀察 (一) 評量結果. 全班學生在第 1 題與第 4 題的(1)活動前評量皆全部答對，結果顯示學生在活動前就已經知道如何用負號來表示生活中負的數字，也知道如何判斷數線上數字的大小，活動後評量這兩題依舊全對。經過建築活動後，第 3 題答對的人數減少，可能的原因是數字結構變複雜。第 2 題答對的人數活動前只有一半的人答對，活動後全部答對。上課時有檢討講解。第 4.(2)題活動前幾乎全班都答錯，活動後答對的人數大約達到一半，上課時有檢討講解。活動前評量答對人數. 活動後評量答對人數. 1.. 20. 19. 2.. 9. 20. 3.. 12. 8. 4.(1). 20. 19. 4.(2). 2. 9. (二) 教師田野筆記. 從開學到確定開設課後輔導約經過兩個星期，因此第一次段考前的上課次數只有兩次。第一次段考的內容有負數與數線、整數的加減、整數的乘除、指數和科學記號，雖然每個章節的內容都是對未來學習數學很重要的基礎，但受限於時間無法全部都顧及到，研究者詢問指導教授與本校在職碩士班學長姐的結果，一致認為先將重心擺在負數概念的學習，原因是相對於指數，負數的概念對之後的學習更為深遠，且研究者考量第二次段考的範圍涉及質因數分解，將指數的部分留到之後再加強，故安排加減法遊戲和四則運算猜一猜，其中包含的概念有負數與數線、整數的四則運算、絕對值的概念。. 28.

(37) 研究者對在準備加減法遊戲的教具時，覺得遊戲可能太簡單，將遊戲牌擴充到 1 到 10，且要在心裡馬上計算，用這樣的規則改變增加難度，雖然學生在玩的時候是沒有問題的，但是就失去實際看到棋子在計分盤上移動的過程，還是容易讓負負得正流於一個算則，而非真正觀察現象得到的結果。設計活動前後評量時，研究者先思考這次建築活動所對應到的章節是負數與數線、整數的加減，而建築活動的學習目標與整數加減、數線、絕對值有關，研究者參考國民小學與國民中學補救教學資源平台提供的基本學習內容，基本學習內容是為需要補救教學的學生所訂的能力指標，與本次相關的能力指標有 7-n-04 能認識負數，並能以「正、負」表徵生活中性質相反的量、7-n-05 能認識絕對值，並能利用絕對值比較負數的大小、7-n-06 能理解負數的特性並熟練數(含小數、分數)的四則混和運算、7-n-08 能理解數線，數線上兩點的距離公式，即能藉數線上數的位置驗證數的大小關係。由這四個能力指標搭配 NAEP 的試題架構分類，設計概念性知識、程序性知識與應用解題三個類型的問題。活動前與活動後評量平行出題，題型一樣只有數字結構改變，並盡可能降低數字複雜度，目的讓學生可以比較單純的練習概念的使用，不會被數字的難度干擾。實際進行建築活動的時候，研究者直接讓學生玩調整過後的規則，沒有使用遊戲盤跟指示物，請學生直接在心裡算，玩了兩三輪後，學生覺得遊戲很好玩。玩到後期某些組進行的比較快，結束後開始用撲克牌玩其他遊戲，研究者覺得學生比較活潑、不受控制，但是反應蠻快的。建築活動結束後研究者帶學生整理抽牌與被抽走的規則，並且強調在計分的時候是運用到絕對值，整個引導與教學過程很順利。學生對於考試的答案很在意的，會很想知道怎麼算，研究者有講解活動前評量第 4 題的(2)，還有在講絕對值的時候有講解活動前評量的第 2 題。關於學生對於上課的反應，體育班的導師有傳了某位學生聯絡簿上的小日記，學生覺得用玩遊戲的方式上課比較不會想睡覺。. 29.

(38) 二、資料分析. 本研究的資料分析分成兩個階段，第一個階段是將數次課程的資料匯集成一個行動循環，行動循環是依據學校的段考作劃分，行動教師在段考結束的空檔進行反思並規劃下一次段考範圍的課程，各行動循環中的教學內容與歷程將於研究結果的第一節呈現。第二個階段的資料分析是行動教師在各循環的反思，反思階段分成兩個層次，第一個層次是將第一階段歸納而成的初階分析結果分成「教師對於課程與建築活動的規畫與進行之改變」與「教師對於評量的目的與工具設計之改變」兩個面向進行反思，反思的結果將呈現於研究結果的第二節與第三節。第二個層次是由活動理論的觀點反思本研究教學行動的演變。. 30.

(39) 第四章. 研究結果. 研究結果共分四節，第一節呈現本研究的教學歷程，這一年的課程將分成四個行動循環，分別詳述各個行動循環中資料蒐集的歸納結果。第二節呈現行動教師在各個行動循環中對於課程與建築活動的規劃與進行的演進。第三節呈現這四個行動循環中行動教師對評量工具設計以及評量目的的改變。第四節是以活動理論的角度反思整個教學行動。. 第一節四個行動循環本研究歷時一學年的課後數學輔導課程將劃分成四個行動循環，下表 4-1-1 呈現各行動循環的時間分界與上課次數，第一行動循環從上學期開學到第二次段考結束，總共進行 6 次課程；第二行動循環從上學期第二次段考結束到第三次段考結束，總共進行 4 次課程；第三行動循環從下學期開學到第二次段考結束，總共進行 7 次課程；第四行動循環從下學期第二次段考結束到第三次段考結束，總共進行 4 次課程。行動循環劃分的依據是當行動教師對於課程準備的有所調整時便進入下一個行動循環，以下將呈現行動教師在各個行動循環中的教學歷程，以及該行動循環中數次課程的初階分析結果。. 表 4-1-1. 四個行動循環時間分界. 學期. 段考. 行動循環. 第一次段考上學期. 第一行動循環第二次段考第三次段考. 第二行動循環. 第一次段考下學期. 第三行動循環第二次段考第三次段考. 第四行動循環. 31. 上課次數 2次 4次 4次 3次 4次 4次.

(40) 一、第一行動循環. 第一行動循環行動教師直接以初始的教學流程規劃進行體育班的課後輔導，期間橫跨上學期的第一次與第二次段考，總共進行六次課程。因為比較晚才確定要開設課後輔導，距離第一次段考前只有兩次上課時間，但是第一次段考的內容有四個小節，分別是 1-1 數與數線、1-2 整數的加減、1-3 整數的乘除、1-4 指數律與科學記號，起初行動教師對這兩次課程的規劃是一堂課進行與「負數」有關的建築活動，另一堂課進行與「指數與科學記號」有關的建築活動，但是行動教師與指導教授、本校在職碩士班學長姐討論後，決定將這兩堂課的重心擺在負數概念的學習，原因是相對於指數，負數的概念對之後的學習影響更為深遠，所以兩次課程分別進行的建築活動是加減法遊戲與四則運算猜一猜。. 表 4-1-2. 第一行動循環課程表(一) 活動名稱. 配合章節. 加減法遊戲. 1-1 數與數線、1-2 整數的加減. 四則運算猜一猜. 1-2 整數的加減、1-3 整數的乘除. 加減法遊戲的活動類型是屬於將數學問題轉化成探索活動，活動的主要教學目標是整數的加減法運算。學生在活動的過程中會進行規則類似抽鬼牌的遊戲，並依據手牌的結果在數線遊戲盤上移動指示物，紅色的牌代表指示物向右移動其數字，黑色則是向左移動，例如手牌有紅心 3，則指示物向右移動 3 格。學生在遊戲進中將會經歷「抽到紅色牌」、「抽到黑色牌」、「紅色牌被抽走」、「黑色牌被抽走」這四種狀況，分別對應提供加上正數、加上負數、減去正數、減去負數這四個算則的具體經驗，詳細的建築活動教案請見附錄一。四則運算猜一猜的活動類型是將數學敘述或公式轉化成臆測活動，活動的主要教學目標是整數的四則運算。教師會在黑板上的呈現三組數據及其經過某個四則運算後的結果，學生要猜測造成數據變化的四則運算為何，藉由臆測與討論建 32.

(41) 立整數的四則運算的概念，詳細的建築活動教案請見附錄二。第一次段考結束到第二次段考有較充裕的時間，這個期間上了四次課。第二次段考的內容有四個小節，分別是 2-1 因數與倍數、2-2 公因數與公倍數、2-3 分數的加減運算、2-4 分數的乘除運算，原本排定的時間有五次上課時間，原定預計這五次上課分別要進行的建築活動是因數誰最多、阿拉丁神燈、早餐店的數學、橡皮擦比一比、橡皮擦剩多少。因數誰最多和阿拉丁神燈這兩建築活動是配合 2-1 因數與倍數，早餐店的數學是配合 2-2 公因數與公倍數，橡皮擦比一比是配合 2-3 分數的加減，橡皮擦剩多少是配合 2-4 分數的乘除運算。然而最後一堂課因為學生比賽調整時間的關係臨時取消，所以沒有進行跟分數乘除運算有關的建築活動。. 表 4-1-3. 第一行動循環課程表(二) 活動名稱. 配合章節. 因數誰最多. 2-1 因數與倍數. 阿拉丁神燈. 2-1 因數與倍數. 早餐店的數學. 2-2 公因數與公倍數. 橡皮擦比一比. 2-3 分數的加減. 因數誰最多的活動類型是屬於將數學問題轉化成探索活動，活動的教學目標是再複習因數的操作並思考質因數分解的意義。首先先讓學生選取 6 個 50 以內的正整數，並將其因數一一列出，列舉完畢後發下 1 到 50 的因數表讓學生對答案並計分，計分結束後請學生對選取的數字進行質因數分解，教師配合再學習單進行提問以引導學生思考因數個數與質因數分解的關係，詳細的建築活動教案請見附錄三。阿拉丁神燈的活動類型是屬於將數學問題轉化成探索活動，活動的教學目標是熟悉因倍數的操作以及用遊戲提升學習興趣。此活動以兩人一組互相競賽的方式進行，兩位同學輪流扮演阿拉丁與神燈巨人爭奪分別裝有 1 到 12 個金幣的袋 33.

(42) 子。每一回合阿拉丁先拿走一袋金幣，神燈巨人則拿走裝有該袋金幣數量的因數數量袋子，遊戲一直進行到剩下的金幣沒有因倍數關係，神燈巨人回收剩餘金幣。遊戲結束後讓學生發表阿拉丁可以拿最金幣的策略，遊戲過程可以讓學生熟悉找因數的操作，詳細的建築活動教案請見附錄四。早餐店的數學的活動類型是屬於將數學問題轉化成探索活動，活動的教學目標是感受倍數和公倍數的意義並建立循環和曆算的基礎概念。活動主軸是以早餐店餐點輪流特價作為情境佈置，分別有五種主餐與三種飲料，每天會有一種主餐搭配一種飲料組成優惠套餐，主餐、飲料都會依序輪流出現。學生依照學習單的問題引導排列餐點卡並回答問題，在過程中感受倍數及公倍數的意義，詳細的建築活動教案請見附錄五。橡皮擦比一比的活動類型是屬於將數學的圖像與符號表徵轉化成操作活動，活動的教學目標是使用刻度尺重新理解通分的概念並運用通分的技巧解決分數加減法的問題。活動的過程中讓學生思考學習單上待解決的問題，問題是要比較兩個橡皮擦的長度，其中一種 3 個接在一起共 11 公分長，另一種是 4 個接在一起共 15 公分，基於國小的經驗學生會進行除法及通分比大小，教師會介入提問為何可以用通分的個方法來解決問題並發下刻度尺讓學生思考，逐漸引出要找分母公倍數的概念，最後再以四題應用問題作練習及收尾，詳細的建築活動教案請見附錄六。. (一)課程規劃與進行. 下表為行動教師在第一行動循環中對各次課程的規畫，上課前行動教師會先找出該建築活動教案中建議對應的課本章節，然後依據該章節的基本學習內容準備課程並設計評量工具。例如加減法遊戲的教案說明此活動是配合 1-1 數與數線與 1-2 整數的加減，行動教師便會去查閱這兩小節對應的基本學習內容，其中包含「7-n-04 能認識負數，並能以正、負表徵生活中性質相反的量。」、「7-n-05 能認識絕對值，並能利用絕對值比較負數的大小。」、「7-n-06 能理解負數的特性並熟練數(含小數、分數)的四則混和運算。」、「7-n-08 能理解數線，數線上兩點的 34.

(43) 距離公式，即能藉數線上數的位置驗證數的大小關係。」這四個能力指標，行動教師會設定這堂課要進行這些能力指標的教學活動。. 表 4-1-4. 第一行動循環課程規劃表. 活動名稱. 配合章節. 基本學習內容能力指標 7-n-04 能認識負數，並能以「正、負」表徵生活中性質相反的量。 7-n-05 能認識絕對值，並能利用絕對. 加減法遊戲. 值比較負數的大小。 1-1 數與數線. 7-n-06 能理解負數的特性並熟練數. 1-2 整數的加減. (含小數、分數)的四則混和運算。 7-n-08 能理解數線，數線上兩點的距離公式，即能藉數線上數的位置驗證數的大小關係。 7-n-06 能理解負數的特性並熟練數四則運算猜一猜. 1-2 整數的加減. (含小數、分數)的四則混和運算。. 1-3 整數的乘除. 7-n-07 能熟悉數的運算規則 (交換率、結合率、分配率). 因數誰最多阿拉丁神燈早餐店的數學. 7-n-02 能理解因數、質因數、倍數、. 2-1 因數與倍數. 公因數、公倍數及互質的概念，並熟. 2-2 公因數與公倍數. 練質因數分解的計算方式。 7-n-03 能以最大公因數、最小公倍數. 橡皮擦比一比. 2-3 分數的加減. 熟練約分、擴分、最簡分數及分數加減的計算。. 這六次課程進行時活動流程大多都是依照原始教案進行，其中進行加減法遊戲、阿拉丁神燈和早餐店的數學這三個活動時的過程有與原始教案些微不同。進 35.

(44) 行加減法遊戲時行動教師沒有準備指示物及遊戲盤，直接讓學生進行心算，並增加牌的數量，由原始教案上的 1 到 4 增加為 1 到 10。進行阿拉丁神燈時先讓學生玩原始教案的規則 1 到 12 個金幣，但行動教師並沒有準備實體的金幣卡牌供學生操作，後續又有增加變體規則，金幣數量最大增加到 20，且神燈巨人要同時拿走因數與倍數。早餐店的數學教師有準備實體卡牌，但每組學生只會拿到一套餐點卡，而非原始教案建議的一組七套。每次建築活動結束後若有原先課程規畫的能力指標沒有提及的話，行動教師會用講述的方式補充，例如在四則運算猜一猜的課程中，因為活動內容沒有與「7-n-07 能熟悉數的運算規則(交換率、結合率、分配率)」相關內容，活動結束後行動教師有用講述的方式補充交換率、結合率。有時學生會想知道活動前評量的答案，行動教師會進行評量題目的講解。. (二)評量工具. 行動教師設計評量工具的時候是依據課程規畫中所決定的基本學習內容的能力指標，再與 NAEP(NAGB,2002)的試題分類架構形成雙項細目表，題型分成概念性知識、程序性知識和應用解題三個類型，題目來源大多是參考課本並降低數字複雜度，活動前、後評量的題型平行出題，只改變數字。以下以加減法遊戲的活動前、後評量的雙向細目表與試題為例。. 表 4-1-5. 加減法遊戲活動前、後評量雙向細目表概念性知識程序性知識應用解題. 7-n-04 能認識負數，並能以「正、負」表徵生活中性質相反的量。. 1. 7-n-05 能認識絕對值，並能利用絕對值. 2. 比較負數的大小。 7-n-06 能理解負數的特性並熟練數(含小數、分數)的四則混和運算。. 3. 7-n-08 能理解數線，數線上兩點的距離公式，即能藉數線上數的位置驗證數的. 4(1) 36. 4(2).

(45) 大小關係。. 表 4-1-6. 加減法遊戲活動前、後評量試題活動前評量. 1.. 活動後評量. 以地面為基準，有一座高度 300 公. 以海平面為基準，有一座高度 700. 尺的山記為 +300，則地平面以下. 公尺的燈塔記為 +7，則海平面以下. 200 公尺的地洞應該記. -600 公尺的潛艇應該記. 為. 為. 。. 。. 7、11 兩點之間的距離可以利用絕對 a、b 兩點之間的距離可以利用絕對 2.. 值表示為. 。. 值表示為. −3 − (−5) + (−7 + 3) =. 。. 。 −13 − (−5) + (−24 + 9) − (−9 −. 3.. 2) =. 。. 見下圖，請排出 a、b、c 的大小關係。見下圖，請排出 a、b、c 的大小關係。 4.(1). b. 0. a. c. 4.(2) 請問|𝑐 − 𝑏| + |𝑎| − |𝑎 + 𝑐| =. a. c. 0. 。請問|𝑐 − 𝑏| + |𝑎| − |𝑎 + 𝑐| =. b. 。. (三)學生課堂反應. 學生在有教具或是有遊戲的課程表現積極，例如在進行加減法遊戲時學生在玩遊戲的過程很投入，認為建築活動很有趣，甚至有學生在當天聯絡簿的小日記表達對這堂課後數學輔導的看法，學生認為用這樣的方式上課比較不會想睡覺 (見下圖)。然而使用撲克牌進行活動時，學生容易分心，玩了兩、三輪遊戲後學生會自己玩起其他撲克牌遊戲。造成這樣結果的可能原因一方面是學生較活潑，再加上行動教師的班級管控能力不佳，而另一方面則是行動教師對於活動的調整不良導致學生錯失活動所要帶來的學習機會，關於對建築活動的調整將會是這個循環反思的重點項目。 37.

(46) 圖 4-1-1 學生聯絡簿小日記. 在活動過程中以填寫學習單為主軸的建築活動中，學生會主動依照學習單的佈題主動回答問題。在分組解決學習單問題的活動中容易變成只有比較主動的同學在操作，其他同學在旁邊看，例如在早餐店的數學時，行動教師讓四個學生一組操作一份餐點卡牌，有部分小組會出現某個學生長時間使用教具。學生對於活動前、後評量的結果很在意，會想要知道正確答案是什麼或是自己有沒有答對，所以行動教師會講解學生想學的題目。. (四)學生評量表現. 學生的評量表現依題目類型可以大致可分成兩種，第一種題目是考單一的概念或是學生過去有學過的知識，例如：「請寫出 28 的所有正因數。」，這個類型的題目全班在活動前評量幾乎都正確，經過建築活動後答對人數比例依舊接近全班皆答對。另一種類型的題目是題幹敘述較長或是應用問題，例如：「有四個人年齡依序一個比一個大一歲，如果他們的年齡相乘得 3024，則她們年齡的和為 38.

(47) 多少?」，這個類型的題目在活動前評量答對人數的比例非常低，且通常答對的是八年級的學生，經過建築活動後答對人數比例會提升，然而造成答對人數提升的可能原因並不完全是因為建築活動，而是學生做完活動前評量後會反應想要知道某題怎麼算，行動教師會在建築活動結束後剩餘的時間講解示範，進而導致這類題型活動後評量答對人數提升。鑒於學生的測驗狀況，評量的設計方式也需要進行反思並調整。. 39.

(48) 二、第二行動循環. 由於第一行動循環中學生的評量表現，行動教師調整了課程規劃的方向進入第二行動循環。第二行動循環是從上學期第二次段考結束到第三次段考，第三次段考的範圍包含 3-1 代數式的化簡、3-2 一元一次方程式、3-3 應用問題，這個階段學生開始學習以文字符號代表數並運用於解決一元一次方程式的問題。這段期間總共進行四次課程，分別進行的建築活動是預言術(1)、預言術(2)、服裝店的數學、應用問題讀題，預言術(1)與預言術(2)是搭配 3-1 代數式的化簡，服裝店的數學是搭配 3-2 一元一次方程式，應用問題讀題是搭配 3-3 應用問題。. 表 4-1-7. 第二行動循環課程表. 活動名稱. 配合章節. 預言術(1). 3-1 代數式的化簡. 預言術(2). 3-1 代數式的化簡. 服裝店的數學. 3-2 一元一次方程式. 應用問題讀題. 3-3 應用問題. 預言術(1)與預言術(2)的活動類型是屬於將數學問題轉化成探索活動，活動的目的是了解未知數的意義及建立一元一次式的基礎。活動內容是撲克牌魔術，魔術的內容是教師請學生選定一個數字，然後請學生依照教師的指示進行一連串加減乘除的指令並回報結果，教師可以由結果成功預言學生一開始選定的數字，魔術結束後再讓學生經由學習單佈題的引導破解魔術，由於破解的列式過程都必須用到同學選定的數字，且教師不知道該數的情況下要如何簡潔的記錄，由這個需求引出設未知數 x 的概念，填寫學習單的過程同時學習一元一次式的化簡，詳細的資料蒐集請見附錄七及附錄八。服裝店的數學的活動類型是屬於將數學文本轉化成閱讀活動，活動目的是建立一元一次方程式與等量公理的概念。活動內容是將文字題的解題過程拆解，先. 40.