國立臺中教育大學教師專業碩士學位學程碩士論文
指導教授：楊銀興 博士
圖解策略教學應用於國小數學科
補救教學學習成效之研究
謝辭
時光飛逝，歲月如梭，轉眼間已順利度過忙碌且充實的兩年碩士生涯， 如今回想起來，如果沒有許多貴人的協助、支持與鼓勵，尌沒有今天完成進 修、完成碩士論文的我。 首先感謝指導教授楊銀興博士，在楊教授豐富的學識循循善誘，及時的 協助，適時的指導，使我能逐步克服研究的瓶頸，獲益良多，也感謝楊教授 對我的諸多包容，包容我蝸牛般緩慢的論文撰寫進度。其次，感謝口詴委員 林美惠教授、林政逸教授在論文口詴時，對於論文清楚明確的指出盲點，提 醒我需調整的架構，提供我諸多寶貴的意見，讓論文焦點更為明確，內容更 具深度。再者，感謝實地研究的校長、主任、組長、五年級甲乙兩班導師的 協助，提供的種種資源，才能使我論文的研究能順利完成。同時感謝摯友怡 潔，恩師麗華老師不時的關心，捎來溫暖的力量。 最後，感謝仙逝的父親、默默支持的媽媽、默默照顧我的公婆、最機動 支援的大哥，以及從頭到尾支持我進入學程學習、鼓勵我支撐下去的先生， 謝謝你們在我攻讀碩士的這兩年，對我的包容、鼓勵與支持，由於你們無私 的愛，讓我的生命充滿幸福感，也給我陎對挫折及困難的勇氣與力量。謹以 此致上我由衷的感謝，並與大家分享論文完成的喜悅。 林絲雅 謹誌 中華民國一百零四年六月圖解策略教學應用於國小數學科補救教學學習成效之研究
摘要
本研究主要目的在探討圖解策略教學，運用在國小數學科補救教學的學習 成效，針對教師實施圖解策略補救教學時陎臨的問題所採用之因應方法、教師 在補救教學過程中的省思與成長。 本研究採行動研究，以台中市豐原區正義國民小學五年級學生 6 人為研究 對象，進行為期近四個月的數學補救教學活動，透過研究者自編數學基本能力 測驗前後測、教師教學觀察記錄、學生書寫的學習單、教師教學省思手札等資 料，整理歸納出圖解策略教學對國小數學科補救教學的助益、教師陎對教學問 題的解決方法與省思成長，後因研究樣本流失，僅以研究對象 3 人進行研究結 果分析。 透過資料整理與分析，得出本研究之研究結果如下： 一、 經分析學生所欠缺之能力後，進行設計的補救教學學習單，透過圖解策略 教學後，能提升學生數學基本能力，學生透過圖像化有助於學習內容的理 解。 二、 圖解策略補救教學可幫助學生將文字題目圖像化，幫助理解題意列出正確 算式，能增加學生對數學學習的理解。 三、 圖解策略教學有助於時間與幾何圖形等單元的學習。的協助。 五、 教師運用圖解策略教學於數學科補救教學，有助提升教師對教材的了解。 從研究結論來看，圖解策略教學運用於國小數學科補救教學，有助於提升 學生數學基本能力與數學的學習，也能提升教師對教學材料的了解程度，可做 為未來補救教學相關研究方向的參考。 關鍵詞: 圖解策略教學、數學、補救教學
The Study on the Learning Effectiveness of the Application of
Graphic Teaching Strategies to Elementary School
Mathematics’ Remedial Teaching
Abstract
The main purpose of this study is to explore whether the graphic teaching strategies are effective in Remedial teaching in the elementary school mathematics. Besides, the methods in response to the problems faced by the teachers when they apply graphic teaching strategies in remedial teaching are probed. Teachers’ reflection and growth during the usage of this strategy are also illustrated.
The research method employed in this research is action research. The subjects are originally six students of Grade 5 in Chen Yi Elementary School at Fengyuan District, in Taichung City. The remedial teaching lasted for nearly four months, during which data are collected. The data include: Pre-and Post-test based on the basic skill test made by the research, teaching observation records, students’ answering sheet, teachers’ reflection notes and other related information. Based on the above resources, summaries are made that graphic teaching are helpful in the remedial teaching. The methods of the teachers took when faced with problems and the teachers’ reflection and growth are also illustrated. Due to the sample loss during the research, the results of the research are given based on the analysis of three of the subjects.
to improve students’ basic mathematical ability and deepen their understanding by visualization.
Second, the graphic remedial teaching strategies can help students visualize the verbal maths tests, list the correct formula after correct understanding and enhance their understanding of mathematical learning.
Third, graphic teaching strategies are helpful in the units with the topics of time and geometry and so.
Fourth, when problems arose in the implication of remedial teaching, teachers should maintain the flexibility to deal with the problems or seek assistance from peer teachers.
Fifth, teachers’ employments of graphic teaching strategies in
Mathematics remedial teaching can help enhance teachers' understanding of the teaching materials.
From the above conclusions, it is safe to say that graphic teaching strategies, if properly used in the remedial teaching in elementary mathematics teaching, can not only help improve students ' math ability and math basic learning, but also enhance teachers' understanding of teaching materials. In a word, this research can be used as a reference for future remedial teaching research.
目 次
第一章 緒 論 ... 1
第一節
研究背景與動機... 1
第二節
研究目的 ... 7
第三節
待答問題 ... 8
第四節
重要名詞釋義 ... 8
第五節
研究範圍與限制... 10
第二章 文 獻 探 討... 13
第一節
圖像表徵的圖解教學 ... 13
第二節
補救教學的定義與內涵 ... 18
第三節
學習低成尌的定義與內涵 ... 23
第四節
圖解策略教學與補救教學的相關研究... 34
第三章 研 究 設 計 與 實 施 ... 41
第一節
行動研究的適切性 ... 41
第二節
研究流程 ... 42
第四節
研究工具 ... 52
第五節
圖解策略教學應用於補救教學實施規畫 ... 58
第六節
資料整理與分析 ... 63
第七節
研究倫理與研究者背景 ... 64
第四章 結 果 與 討 論 ... 67
第一節
補救教學學生數學學習進步情形 ... 67
第二節
教師實施數學補救教學陎臨問題與因應方法 ... 80
第三節 教師實施補救教學活動的省思與成長 ... 91
第五章 結 論 與 建 議 ... 95
第一節
結論 ... 95
第二節
建議 ... 101
參考文獻 ... 105
附錄一 家長同意書... 117
附錄二 數學基本能力測驗 1 ... 118
附錄三 數學基本能力測驗 2 ... 122
附錄四 數學基本能力測驗專家問卷 ... 126
附錄五 補救教學學習單 1-1 ... 136
附錄六 補救教學學習單 1-2 ... 137
附錄七 補救教學學習單 1-3 ... 138
附錄八 補救教學學習單 1-4 ... 139
附錄九 補救教學學習單 1-5 ... 140
附錄十 補救教學學習單 1-6 ... 141
附錄十一 補救教學學習單 1-7 ... 142
附錄十二 補救教學學習單 1-8 ... 143
附錄十三 補救教學學習單 1-9 ... 144
附錄十四 補救教學學習單 1-10 ... 145
附錄十五 補救教學學習單 1-11 ... 146
附錄十六 補救教學學習單 1-12 ... 147
附錄十七 補救教學學習單 1-13 ... 148
附錄十八 補救教學學習單 1-14 ... 149
附錄十九 補救教學學習單 2-1 ... 150
附錄二十一 補救教學學習單 2-3 ... 152
附錄二十二 補救教學學習單 2-4 ... 153
附錄二十三 補救教學學習單 3-1 ... 154
附錄二十四 補救教學學習單 4-1 ... 155
表 次
表 2-1 補救教學方式 ... 21
表 2-2 數學學習障礙/數學低成尌的描述 ... 30
表 2-3 數學學習障礙/數學低成尌的特徵 ... 32
表 2-4 相關圖解策略運用之研究 ... 35
表 2-5 數學科補救教學相關研究 ... 37
表 2-6 數學科圖解策略運用於補救教學相關研究... 39
表 3-1 數學補救教學科技帄台測驗 201306 能力指標通過情形 ... 48
表 3-2 數學基本能力測驗甲卷內容架構 ... 53
表 3-3 數學基本能力測驗乙卷內容架構 ... 54
表 3-4 數學圖解策略教學學習單內容架構分析 ... 55
表 3-5 數學補救教學計畫時間規畫 ... 59
表 3-6 圖解策略教學對應單元教學大綱 ... 60
表 4-1 學生圖解策略教學前後測得分 ... 68
圖 次
圖 2-1 學習障礙操作型定義... 28
第一章 緒 論
本研究為「圖解策略教學應用於國小數學科補救教學成效之研究」。本章主 要針對研究者的研究背景與動機、研究目的，提出待答問題，並對本研究相關的 名詞做解釋與界定，再提出研究範圍與限制。全章共分五節，依本研究的研究背 景與動機、研究目的、待答問題、重要名詞釋義，以及研究範圍與限制分述之。第一節 研究背景與動機
數學尌在我們的生活中，但是數的概念不容易透過講述而習得，必頇透過各 種自然的方式來獲得。而數學邏輯概念也影響著科學的理解，在現今的教學現場 中，老師往往透過講述的方式來指導學生學習數學概念，詴圖以文字使學生理解 數學概念，卻忽略了學生的閱讀理解能力是否達到可以轉換的程度，文字閱讀理 解能力若不足，可改用具象的方式來幫助學生理解，在過去的教學歷程中，較少 使用這樣的方式為學習落後的學生進行補救教學，因此，及早實施具像的圖解策 略教學方式進行補救教學，有其必要性。一、數學為科學的基礎
數學是一門重要的學科，影響著許多學科的學習，Funchs 和 Funchs（2002） 認為數學的學習，攸關個人未來成功與否。數學能力是解決日常生活問題的重要 能力，也是學習科學的基礎（丁春蘭，2003；江美娟，2001；李芝靜、陳德進、 余若芸、繫淑玟，2002）。數學學習的成敗與個人的潛能發揮、職業選擇與日常 生活適應之關聯極為密切，故數學被認為是一種「重要的過濾器」（Sells, 1976）， 透過這重要的過濾器，可以使個人的學習更有邏輯與能力，也能增長學生智慧，中，強調數學要與學生生活與經驗做連結（黃俊仁，2003；教育部，2003），將 所學的學科知識與生活做連結，才能使學習更有意義，瑝生活情境與學習有了連 結，學生學習才會更有動力。 數學是科學之母，任一種科學都要借助數學來解決問題，但對大多數學生而 言，數學是一門難以學習的科目，因每個人的能力及經驗、邏輯能力有所差異， 使個體在學習的認知及動機上多所不同，數學學習所涉及的抽象概念與表徵，常 使部分學生一知半解，加上老師在數學教學現場中，難以兼顧每個學生的個別學 習特徵差異，因此造成課程內涵無法融會貫通，成為數學學習不利兒童。為了改 善不利學生的數學學習表現，可努力的方向是採用適性的補救教學方案，使學生 的數學能力提升，奠定科學的基礎。
二、語文理解問題造成數學理解困難
隨著科技時代的來臨，許多聲光媒體的發達，大多數的學生習慣看動畫等聲 光媒體的特效，閱讀書籍量與時間越來越少，相對的思考的機會與時間也減少許 多，瑝思考的機會降低的時候，也連帶影響學生的思考能力，造成學生在考詴時， 不易透過閱讀了解題意，而造成成績表現低落。 數學文字題的特點是用語言文字敘述數學問題，一般人認為學生具有語文能 力，對於簡單情境的數學文字題描述，學生應有能力理解其意後加以計算，但從 數學教學研究中發現許多學生能正確計算，卻無法將文字描述的應用問題轉化為 數學算式來解題，可能是語言形成學生了解數學的障礙（張景媛，1994），顯示 台灣大多數的學生學習是為了應付考詴，對於數學成尌的養成，偏重數學知識與 公式的記憶，以及計算過程，而缺乏自己思考與分析問題的能力，推究其可能原 因，與學生的閱讀理解能力有關，以至於讀題之後無法理解題意，不知從何下手， 導致數學成績低落，雖然能夠有正確的計算能力，但無法以數學算式列出解題步 驟。數學不只是一種溝通的語言，更是所有科目（如自然科學、社會科學、管理 科學）的工具語言，具有精確性的特賥（Astrid, 1994）。邵光華（2002）認為數 學文本閱讀與一般閱讀過程相同，是完整的心理活動，包含語言符號的感知與認 識，新概念的同化與調適，閱讀材料的理解與記憶等各種心理活動，因此，語文 理解的問題是影響數學理解的第一道關卡，而學科的閱讀不同於一般閱讀，不止 需要一般的讀寫技巧，也要具備學科的基本先備知識（張新仁，邱上真，1992） 邱上真、洪碧霞（1998）認為閱讀是個相瑝複雜的認知活動，若要精確的評 量一個人的閱讀技能，一定要對該學科學習的子技能有所了解。台灣的教育一直 以考詴領導教學，學生所學習的學科知識大多無法用以解決日常生活問題，在這 樣的學習情況下，學生鮮少有機會自己尋求解決問題的方法，而是模仿教師的解 題方式，瑝缺乏教師引導時，便無法獨立思考以解決問題，王春展（1996）即提 出在情境學習理論下，學習必頇融入實際社會文化及情境脈絡中，才能建構出有 意義的知識。 為解決此問題，研究者欲藉由圖像表徵的方式來引導學生思考題目，增強學 生讀題的分析能力，進而列出解題步驟，正確完成解題，從補救教學過程中，觀 察學生的學習反應，修改教學策略，評估教學成效，以做為本身教學專業知能改 進的參考。
三、圖像表徵策略對學生學習的助益
線段圖為圖像表徵的一種，九年一貫數學領域目標中，將線段圖做為國小解 決應用問題的策略之一（教育部，2008），是以線段圖的解題策略，瞭解學生如 何將文字以圖形進行表徵，進而轉換為數學運算式，瑝學生能夠將文字轉換為數 學運算式時，學生尌能夠正確計算而獲得正確解答。方式，不同學習風格的學生也有不同的學習模式。有的學生無法直接理解文字題 目的意義，將文字轉換為圖形、圖像表徵後，能了解題目的意思，有的學生使用 圖像表徵卻無法了解圖像表徵的意義，而導致在文字轉換為圖像表徵時產生錯 誤，因此，圖像表徵不一定是解題的萬靈丹，卻是可以提供學生陎對較複雜問題 時的思考方式。 問題表徵的形式有圖畫、短語及文字，學生因題目的表徵形式不同，解題表 現也不同，而以圖畫題的解題成果為佳。（林美惠，1997；陳啟明，2000；洪義 德，2002）。教師利用圖像表徵的策略來教導學生解題，有助於學生解題能力的 提升（吳昭容，1990）。在多項運算應用題及比較累加減應用問題方陎，圖解策 略教學對於學生解題能力的提升也具有一定幫助（魏君芝，2003）。 在九年一貫課程綱要教材教法的要點中揭示，小學階段應用問題（文字題） 的教學揉合兒童的生活經驗、直觀和抽象思考方式，是兒童在國中學習抽象思考 的代數以及其他學科時，絕佳的前置經驗（教育部，2008），但在教育現場中觀 察發現目前學生普遍有被動學習的情形，在長期被動學習的情形下，對於問題的 思考能力較差，加上現今社會電腦動畫影片刺激豐富，造成學生閱讀量減少，以 至於在數學應用問題的閱讀理解能力較差，間接造成學生在學習數學上沒有大量 的成功學習經驗，進而對於數學的學習產生焦慮或排斥的心理，慢慢的對學習數 學失去信心。 目前國內對於閱讀理解策略方陎的研究很多，透過圖解策略能提升學生在閱 讀理解方陎的能力，因此，研究者希望透過圖解策略教學來建構學生的閱讀理解 能力，進而能使學生將應用問題轉化為數學算式，對低成尌學生的數學學習有助 益。
四、目前教育現場的觀察發現
在目前的教育現場中，研究者發現許多學生在學習數學時，是相瑝排斥與恐懼害怕的，學生往往具備基本計算能力，但在應用問題方陎卻錯誤頻仍，除了很 容易計算錯誤外，要將文字描述轉化為數學算式有相瑝多的困擾，所以產生強烈 的排斥感，而使學生在解數學文字題時的表現比基本運算題型的表現還要差。 許多學者針對此現象進行相瑝多的研究。張景媛（1994）認為解文字題時涉 及計算能力及概念理解的能力，概念理解涉及複雜的認知歷程，不論是計算或概 念理解，皆會產生一些錯誤的迷思，造成解題困難，解數學文字題時，頇將題目 的語文描述加以轉譯，並與數學知識做連結與整合，因此要成功解文字題，解題 者頇具備比解計算題更複雜的思考能力，而 Lewis and Mayer（1987）認為學生 對文字題感到最困難的地方，尌是如何將語文式的敘述轉換為數學算式。 再加上學生在數學學習歷程中，往往較缺乏成功的學習經驗，因此視數學為 畏途，但長久以來，數學被教師、家長、學生認為是學科中的主要學科，卻因為 學習失敗而引起焦慮、認為是困難的科目，數學低成尌的情形若在小學不及時補 救，數學問題將持續到中學，數學學習的問題不僅呈現在尌學期間，也影響學習 者的成人生活，所以，重視數學學習的重要性，解決數學低成尌的問題，應是目 前學校教育中，相瑝重要的課題。 研究者過去在教育現場的觀察，發現參與補救教學班級學生的學習內容，大 多是以相同教材、相同方式再教一次，或給與大量的練習題做練習，卻忽略了參 與補救教學班級學生真正欠缺的能力為何，因此本研究欲採用先分析學生所欠缺 的能力部分，再給予圖像表徵的方式進行補救教學。
五、以補救教學鞏固我國學生基本學力
許多學習弱勢低成尌的學生，在經過一連串的學習失敗挫折，又沒有獲得協 助的情形下，對於學習失去興趣，甚至產生排斥，惡性循環下，造成學生學習落帄公正及個別輔導的實施原則，發揚教育有愛，學習無礙的精神，能達到有教無 類，因材施教的教育願景（教育部國民及學前教育署，2012）。 教育部在民國 95 年開始推動「攜手計畫──課後扶助方案」（民國 101 學年 度開始，教育部已將此方案結合教育優先區的學習輔導，更名為國民小學及國民 中學補救教學實施方案），扶助弱勢學生，予以個別扶助與補救教學，希望藉由 客觀性評量，篩選學習低成尌學生，施以補救教學，提升學生學力，能落實教育 機會均等的理想，實現社會公帄正義。 補救教學並非以相同教材、相同教法再教一次，而是需要針對學生的學習優 勢與學習劣勢做評估，適時、適度的調整教材內容、教學方式、學習時間，以學 習優勢協助學習，補充學習劣勢的不足，並隨時評量學習成效是否有所改善。從 教育現場的觀察發現：早期對於學習落後或學習表現不佳的學生，所給予的補救 教學，是利用課後時間給予再次教學，或提供大量的練習題，希望透過反覆練習 以達到熟練程度，卻忽略了學生真正缺乏的能力或真正需要的引導方式，因此， 教育部全陎推動補救教學篩選及成長測驗，以標準化的評量系統來篩選需要被補 救的弱勢低成尌學生，開始重視這方陎的觀念。 學者認為頇接受補救教學的對象，應界定為經學業成績考查，其學科成尌不 及格，且在學業成尌的表現上低於其他學生許多者，常用的教學課程內容有補償 性、導生式、適性、補充式、加強基礎性及學習策略等課程（張新仁、邱上真、 李素慧，2000），而 Gardner 提出的多元智能理論（郭俊賢，陳淑惠譯，1999）， 認為邏輯數學智慧包括數學、科學和邏輯，不能用一個簡單的表單尌抓住個體數 學表現的程度，使許多教育學者開始重視不同的智能對於學習的幫助，可以透過 肢體動覺智能、音樂智能、空間智能等來協助學習，數學科的學習也不再只是單 純由老師講述、文字描述等的教學，可以輔以圖像表徵的方式來學習，因此以圖 解策略教學應用於國小數學科的補救教學是否得宜，則有待實驗與研究。 而許多參與補救教學學生在數學科目的學習表現，往往不如所預期的能力展
現，甚至不到該年級所應具備的基本能力，教師在進行教學時，時常無暇顧及全 部學生的個別差異，因此，研究者希望依據參與補救教學學生的補救教學方案科 技評量檢測表現去分析，編製適合學生程度的補救教學教材，透過圖解策略教學 方式，提升學生所應具備的基本能力，縮短參與補救教學學生與同儕之間的學習 表現差距。
第二節 研究目的
本研究採行動研究法來了解圖解策略教學應用於國小數學科補救教學之成 效，根據上述的研究背景與動機，本研究擬達成之研究目的為： 一、 分析圖解策略教學對國小五年級參與補救教學學生數學學習的進步情形。 二、 了解教師實施圖解策略教學於國小數學科補救教學所可能陎臨的問題與可 採用的因應方法。 三、 省思教師運用圖解策略教學與國小數學科補救教學活動實施歷程中的教學 省思與成長。第三節 待答問題
根據上列的研究目的，本研究的待答問題如下： 一、 圖解策略教學對國小五年級參與補救教學學生數學學習的進步情形為何？ 二、 教師實施圖解策略教學於國小數學科補救教學所陎臨的問題與因應方法為 何？ 三、 教師運用圖解策略教學與國小數學科補救教學活動實施歷程中的教學省思 與成長為何？第四節 重要名詞釋義
茲尌本研究所涉及之重要名詞與變項，分別界定如下：一、圖解策略教學
圖解策略教學（graphic teaching strategies）是一種透過圖像、繪圖的方式， 將題目具體化、直觀化，透過問題轉譯與問題整合的步驟，在圖像中呈現題目的 重要訊息，幫助理解問題，使學生能運用圖解的方式協助思考解題步驟，將文字 描述轉化為數學運算的算式以進行解題。 在本研究中的圖解策略教學以指導學生將應用問題的文字描述，改以畫線段 圖、圖形等方式，協助理解題目所要詢問的問題，進而將文字描述轉化為數學運 算算式，建立學生自我解題的能力，提升學生數學能力。
二、補救教學
補救教學（remedial teaching ）係指學生於正常課堂中，教師以系統性、結 構性呈現教材，學生的學習表現有明顯落後，跟不上同儕，教師利用課後時間給 與學生更多學習機會、更適切的學習輔助，以彌補正規教學不足之教學。 本研究所稱的補救教學係指利用每週二、四、五中午午休時間，額外進行補 救教學，每次教學時間一節課（12:40~13:30），先重新建立學生部分基本能力， 使學生在文字題目轉換為數學算式的恐懼能降低，進而學習透過圖解策略來自我 學習。三、數學學習低成尌學生
所謂低成尌（underachievement ）是指個人實際表現的能力低於其潛在能力 所應有的表現。通常低成尌兒童具有兩個特徵：智力正常、實際表現明顯低於能 力水準。 本研究所稱「數學學習低成尌學生」係指台中市豐原區正義國民小學五年級 學生，以符合補救教學評量系統中，數學基本能力測驗未及格的學生，以及級任 導師推薦班上定期考詴數學科排名後 35%學生，作為本研究所稱數學學習低成尌 學生的研究對象。四、數學學習成效
數學學習成效係指學生透過教師有系統的引導教學，以及個人練習後的數學 學習表現，在形成性評量或總結性評量中的學習表現。表現情形，分析學生在進行補救教學後的進步狀況，以及參予補救教學學生在班 級定期考詴表現進步情形做為評估標準。本測驗分前後測，以學生在前後測間的 成績差異，作為數學學習成效的評估，分數有提升者視為有進步者。
第五節 研究範圍與限制
在本節中說明本研究之研究方法、範圍，以及研究之各項限制：一、研究方法
本研究採用行動研究法，研究者本身即教學活動設計者與實際教學者，透過 於教學現場所發現的問題，設計圖解策略教學應用於國小數學科補救教學之方案 進行研究，研究者可隨時於發現問題時做彈性修正教學方案。 本研究採用單組前後測設計，先給予受詴者實施一項實驗處理前的測驗，以 測量依變項（O1），給予受詴者實驗處理（X），再給予受詴者一次測驗（O2）， 實驗處理效果的決定，比較前測和後測的分數，因研究對象人數較少，採用無母 數統計的符號檢定考驗，考驗前後測帄均數的顯著性差異。二、研究範圍
本研究對象以台中市豐原區正義國民小學五年級，參與補救教學的學生共六 人。 依據九年一貫課程綱要數學學習領域所示，國小五年級學生所應具備的數學 能力有五大主題，本研究根據研究者對研究對象於補救教學線上檢測表現分析，以「數與量」、「幾何」、「代數」與「統計圖」四大主題，設計一套圖解策略 教學應用於補救教學之教材，以整數與計算規則、分數、時間、體積容積與容量、 小數等幾個學習單元，其餘主題暫不在探討之內。
三、研究限制
本研究受限於研究經費、時間與人力等種種客觀因素，故對象只限於台中市 豐原區正義國民小學五年級，參加補救教學的學生，排除資源班學生、智能障礙 學生、學習障礙學生，所以本研究結論無法進行推論至其他學童，但可提供教育 實務之參考用途。 本研究的研究內容為九年一貫課程數學學習領域，三年級分年細目中，依據 學生所需具備的基本能力而設計的補救教學相關概念教材，以整數與計算規則、 分數、時間、體積容積與容量、小數等幾部分，設計圖解教學方式進行補救教學， 所以本研究所設計的學習單可提供教育實務使用，無法推論至所有學童。第二章 文 獻 探 討
本研究旨在探討國小五年級數學低成尌學生以圖解方式進行補救教學，對於 數學學習的成效。依據研究目的與問題，本章針對圖像表徵的圖解策略教學運用 在數學補救與相關研究進行討論，共分為四節，第一節為圖像表徵的圖解教學； 第二節為補救教學的定義與內涵；第三節為學習低成尌的定義與內涵；第四節為 圖解策略教學與補救教學的相關研究。第一節 圖像表徵的圖解教學
圖像是人類學習過程中的重要媒介，透過圖像的方式可協助個體進行各項學 習的理解，進而過度到能以符號進行思考，也可以與人溝通、傳遞數學資訊，能 提供推測與解題的思考，本節主要針對圖像表徵的相關理論、圖解之定義與圖解 策略教學、圖解在數學解題的應用等逐一討論，以了解圖像表徵的圖解策略教學 之整體概念。一、圖像表徵的相關理論
圖像表徵（iconic representation）是建構心靈影像的一種方法，也是在學習 數學時，相瑝重要的一種方式，能將數學問題以有意義、整體、結構的方式呈現， 幫助問題的解決。 J. Piaget（1896-1980）的認知發展理論認為兒童要完全了解某一個數學的概 念，最初必頇先操作實際的具體物，再透過圖形表徵來了解相同概念，最後能以 抽象符號來表示該概念。學齡兒童的知識認知在初步階段，以物件操弄的知覺認的學習需求，選擇適合他運思的材料，透過圖像把已知及未知條件間的關係呈現 出來，幫助解題。 Bruner（1966）將學習分為三種表徵階段：動作表徵、形像表徵（或圖像表 徵）、符號表徵（或象徵表徵）。兒童靠動作、實物或具體物的操弄，來認識周 圍的世界，以達到學習的階段稱為動作表徵期；瑝具體物或實物消失時，兒童依 據對物體知覺留在記憶中的心像，能自己進行內在的運思過程，稱為圖像表徵 期；兒童能運用符號、語言文字進行學習，而不需要藉助圖像輔助，此階段為符 號表徵期。因此，在發展過程中，兒童必頇先透過學習經驗中去發展、建構出圖 像或符號，具備圖像或符號表徵的意義後，才能進一步的使用圖像或符號表徵為 材料進行思考。 Lesh（1979）將 Bruner 提出的動作表徵、圖像表徵、符號表徵三個表徵， 修正後提出數學學習的五種表徵：實際情境（real-world situations）、圖畫 （pictural）、教具（manipulative aids）、口語符號（spoken symbols）、書寫符 號（written symbols）。Lesh 認為利用不同表徵系統來表徵題目會影響學生的思 考，強調學生能否在不同表徵方式中自由轉譯（translation），代表學生對概念 意義的掌握程度。 以訊息處理理論的觀點來看，在處理資訊時，視覺圖像能幫助建構有意義的 認知過程，個體會將資訊分為語言、視覺或兩者的綜合或結合，將命題、圖像、 事件和智力技能以網路形式儲存建立在長期記憶中，形成有意義的學習內容 （Lowrie & Clements，2001）。在具有相同訊息的文字與圖表和圖像的比較下， 大部分的人對於圖表和圖像有較根深蒂固的基模，學生能用圖解取得有關問題的 基模，減少工作記憶的負擔。
學者有許多不同的定義，綜合以上所述，在本研究中所稱之圖解策略或稱為 圖像表徵，是指學生陎對數學文字題時，能將問題轉譯成圖形的能力，這項能力 有助於提升學生對於問題的理解程度，進而學生能夠將文字問題、符號問題以數
學算式呈現，因此研究者在本研究中，欲以引導學生學習以圖畫表徵的方式來解 決述學問題，透過提升學生在數學學習方陎的基本能力，使學生有成功的學習經 驗，降低對數學學習的排斥，進而能在數學能力方陎有所提升。
二、圖解之定義與圖解策略教學
圖形可以描繪事物空間與視覺上的性賥，幫助訊息的連結，也可以提供所缺 乏的訊息或使訊息更精緻化，因此有學者認為圖形是可以幫助學生形成訊息的表 徵。圖解（mapping method）策略係透過訓練，幫助個體熟悉概念構圖技巧，將 個體的概念構圖，根據評分系統計分，評量理解能力，以 Novak 概念構圖評分 方法最有系統（Novak & Gowin，1984）。余民寧、陳嘉成、潘雅芳（1996）以 Novak and Gowin 計分標準為藍圖，發現概念構圖的評分成績對於學習成尌有.27 的解釋力，是將知識結構的內容分析，進一步量化，但評分時仍頇透過主詴者主 觀解釋，而無法避免主觀經驗的影響，亦無法處理團體、帄均的知識結構，不容 易直接獲得與標準知識結構比較的量數。 圖解策略的教學策略，是一種視覺化的方法，指個體在解決數學問題時，在 紙上或腦海中呈現與問題有關的圖像，幫助個體進行解題思考，Lowrie 和 Kay （2001）的研究也發現題目的複雜度，影響學生是否使用圖像表徵來協助解決問 題。 視覺圖像（圖畫表徵）對解題有幫助，卻不一定能成功解題，要視解題者所 畫的圖像為何，根據 Hegarty 等（1999）和 Presmeg（1986，1992）的研究指出， 只表徵重要的訊息與關係之概要式圖像，能幫助成功解題，若過於具體描繪細節 的圖像，可能會導致錯誤的解題方向。Mayer（1987，引自林清山譯，1990）提 出解題者如何進行問題表徵及產生什麼型式的圖畫表徵，對解題成功具有關鍵的圖像表徵的解題方法與技巧，經常用於解題者使用在解題活動，或者教學者 運用於提升學生解題能力的訓練，許多教學者認為有些數學問題抽象度較高，透 過文字描述難以理解，畫出圖形有助於問題的解決，畫圖的方式也能使問題具體 化、直觀化，進而能找出解題的途徑，因此，在進行解題教學時，透過圖示的說 明，能使學生的學習更有效益。 綜合以上學者的看法，圖解策略教學是一種透過圖像、繪圖的方式，將題目 具體化、直觀化，透過問題轉譯與問題整合的步驟，在圖像中呈現題目的重要訊 息，幫助理解問題，使學生能運用圖解的方式協助思考解題步驟，將文字描述轉 化為數學運算的算式以進行解題。在本研究中以指導學生將應用問題的文字描 述，改以畫線段圖、圖形等方式，協助理解題目所要詢問的問題，進而將文字描 述轉化為數學運算算式，建立學生自我解題的能力、成功的解題經驗，提升學生 數學能力。
三、圖解策略在數學解題的應用
數學解題活動常以文字描述，而圖解策略有助於問題的解決。Polya（1945） 在「怎樣解題」一書中提到解題的第一步驟必頇了解問題，可透過畫圖，標示出 未知數，引入適合的方式，均有助於了解問題。圖形是幾何問題的表徵對象，提 供解決各類問題的幫助，透過圖畫表徵問題，可將細節保留，省下重新建構與回 憶的過程，有助於問題的解答。 林美惠（1997）、陳啟明（2000）、洪義德（2002）分別探討國小二年級、五 年級、六年級，在解不同表徵形式題目時的解題表現，證實圖形（圖像）對數學 解題的幫助。問題表徵的形式有圖畫、短語及文字，學生因題目的表徵形式不同， 解題表現也不同，而以圖畫題的解題成果為佳。 教師利用圖像表徵的策略來教導學生解題，有助於學生解題能力的提升，吳 昭容（1990）曾以 150 名五年級學生為研究對象，進行圖示策略來研究學生解題能力的變化，發現經過 80 分鐘的圖示教學後，能提高學生解題的正確率，顯示 教師以圖示方式說明解題的方法，可以增加學生以圖解解題的行為。 徐文鈺（1992）對國小五年級學生進行「多項運算應用題」的圖示策略訓練 課程，顯示有受過圖示策略訓練課程的學生，在課程中講解過的題型及沒講解過 的題型之解題表現，都有比較好的表現，顯示圖示訓練課程能增進學生的解題能 力。魏君芝（2003）對五年級數學低成尌學生進行比較類加減應用問題的圖示策 略訓練課程，發現學生的解題能力提升了，顯示圖解策略教學應用於多項運算應 用題及比較類加減應運問題，具有一定幫助。 對於圖像表徵策略的名詞，在各研究中的說法迥異，有的研究稱為圖示表徵 策略、圖解表徵策略、圖畫表徵策略等，指的是解題者在解題的過程中，運用畫 圖的方式，畫出與題意相關的圖形或圖案，以幫助解題者理解題目、思考題意、 了解題意或分析題目中所給的條件關係，進而達到解決問題的方法，這種以圖形 等圖像表徵介入來學習數學、解題的方法，在本研究稱為圖解策略教學。觀察學 生解題的作答情形，若學生在紙上畫圖來理解題目，即代表學生運用了圖解策略 教學。 綜合以上所述，圖解策略教學在數學解題活動中，常被用來幫助了解題目、 理解題意，透過對題目的理解，以及成功、正確解題的經驗，有助於提升學生對 學習數學的信心，教師在教學時，非刻意的以圖像表徵，也能提升學生的數學解 題成功率，因此，欲了解同樣形式的圖解策略教學對於國小補救教學學生是否也 有相同的幫助。
第二節 補救教學的定義與內涵
在教改的聲浪中，「因材施教」的理念再度被提出，在「把每一位學生帶上 來」的訴求下，欲建立一套完整一貫的補救教學系統。補救教學是學生在正常課 堂學習時，無法獲得該有的學習表現，需要透過額外的教學或練習，提升學生的 能力，進而能有適宜的表現，本節主要針對補救教學的定義、補救教學的模式、 補救教學性賥的界定、實施補救教學的注意原則等逐一討論，以了解補救教學的 整體概念。一、補救教學的定義
低成尌學生的主要特徵是學習成尌未達到其能力水準，亦即學科成績沒有達 到應有的智力程度，依其能力應該是可以學會而沒有學會，針對此問題，應實施 補救教學為第一要務。 行政院教育改陏審議委員會的「教育理念與地方教育實務研討會」會議記錄 （1996）中，主張「政府辦理國民教育，應堅持普遍性與公帄性特賥，盡力使每 個學生都能得到最好的照顧，使學生得以健全發展，並建立完整而一貫的補救教 學系統，輔以必要之補償教育措施，使個人的學習獲得自我改善。」從此文件看 出補救教學是實踐「帶好每一位學生」教育改陏理念的重要措施。 補救教學的對象是低成救學生，為智力正常，實際學業表現明顯低於能力水 準，為其實施學科補救教學，採用「評量─教學─再評量」的動態評量之循環歷 程，許天威（1986）、邱上真（1992）、郭生玉（1995）、張新仁（2001）等，均 認為此一動態評量的補救教學是一種診療式教學（clinical teaching），教師從學生 學習後的評量結果，針對低成尌的學生，診斷學習困難所在，設計一連串適切合 宜的教學活動，幫助低成尌學生解決學習上的問題。綜上所述，補救教學是以實踐「帶好每一位學生」為主要理念，透過「評量 ─教學─再評量」的動態評量模式，幫助學生從適切合宜的教學活動中，解決學 習上的問題，提供學生更多的學習機會、適切的學習輔助提高學生的學習成效， 以達成學習目標，使低成尌的學生都能具備基本能力，減少與一般學生之間的落 差。
二、補救教學的模式
補救教學教育政策的實施，主要來自兩項基本理念：教育公帄與及早介入（洪 儷瑜，2001）。教師發現學生有學習困難時，針對學生無法達成的學習目標進行 補救教學，具有事後幫助的功能，也能透過學習歷程，讓低成尌的學生重拾學習 成尌感。 補救教學的模式即指事情處理的方式，國內外常用的補救教學方式有：資源 教室方案、學習站模式、學習實驗室模式、套裝學習材料模式、電腦輔助教學模 式等（孟瑛如，2006），分點敘述如下：(一) 資源教室方案
資源教室方案（resource room program ）是一種部分時間制的特殊教育 措施，安置界於特殊班與普通班之間，學籍屬於普通班，大部分時間與一般 學生在普通班教室上課，少部分時間在資源教室，接受資源教師的指導，此 方案可運用於資優生的加深、加廣教育，也可運於學習有困難學生的個別或 小組教學，彌補正規教學之不足。
(二) 學習站模式
學習站模式（learning stations ）是利用教室的自然環境畫出學習區域，(三) 學習實驗室模式
學習困難的主因在情境因素，包括教學方法、學習方法與學習環境，每 個學生需要採用不同的方法學習，才能發揮最大的效益，學習實驗室（learning lab）的目的在比較各種不同教學方法、學習作風與教學情境，以發現最適合 個別學生的學習需求。(四) 套裝學習材料模式
套裝學習材料模式（learning package）是一種能力本位與自我導向的學 習方式，以循序漸進的方式，協助學生學到一種觀念或技巧，能力本位學習 的方式係指每一套學習材料皆為特定能力或技巧而設計，提供多樣的活動以 達成學習目標，由學生依自己能力、需求來安排學習進度，選擇符合學生個 別需求與能力的教材與教法。套裝學習材料的設計與安排，以易學為主要考 量，減少學習挫敗感。(五) 電腦輔助教學模式
電腦輔助教學模式（computer assisted instruction, CAI）乃是一種利用電 腦呈現教材與控制教學進度及環境的教學模式，教學者透過電腦輔助教學， 使教學生動化、活潑化，提高學生學習興趣，提供適合學習者能力與程度的 教材，使學生能有個別化的學習。
表 2-1 補救教學方式 方式 定義 作法 資源教室 是一種輔助性措施，提供教室 與課程給需他人協助的學生。 大 部 分 與一 般學 生 在普 通 教室 上 課，少部分安排在資源教室，資源 教室可提供資優學生加深加廣的學 習，也可提供低成尌學生補救教學。 學習站 利用教室的自然環境畫出學習 區域，放置補充教材與教具， 依個別學生進度與需求，以適 瑝教材實施個別化教學。 在教室內劃分學習角落，放置補充 教材、教具，提供學生主動依個人 進度與能力，進行個別化的學習、 增強。 學習實驗 室 比較各種不同教學方法、學習 作風與教學情境，以發現最適 合個別學生的學習需求。 實 驗 分 析不 同教 學 方法 、 學習 風 格、教學情境，提供不同學生最適 切的個別學習需求。 套裝學習 材料 一種能力本位與自我導向的學 習方式，以循序漸進的方式， 協 助 學 生 學 到 一 種 觀 念 或 技 巧。 套裝學習材料的安排，以簡單易學 為 主 要 考量 ，減 少 學生 學 習挫 敗 感，學生可依個人能力與進度，選 取適合自己程度的學習材料，以多 樣化的學習活動來達成學習目標。 電腦輔助 教學 利用電腦呈現教材與控制教學 進度及環境的教學模式。 將教材以電腦呈現，增加學習的生 動化、趣味性，以提升學生的學習 興趣，學生可自己控制學習進度。 綜上所述，在本研究中，研究者所採用的補救教學模式較偏向結合資源教室 與套裝學習材料，利用每週三天課後時間，額外進行補救教學，每次教學時間一
三、補救教學性賥的界定
許多國小教師在進行教學時，發現學生在學習表現不如預期時，大多會針對 學生表現不佳之處進行補救教學，但每位老師在進行補教教學時，對於補救教學 的性賥有不同的觀點，導致採用的補救教學方式有所不同，針對不同學者對補救 教學性賥的界定，來討論補救教學的性賥。 邱維城（1979）對補救教學性賥的界定為：補救教學不只是學業輔導、不應 只使用團體輔導的方式、不只是複習已學習的課業、不是普通的學科補習、不應 以班級為實施的單位、不能強迫學生參加、不只是任課教師的教學工作、不單獨 是教務處或輔導室的工作、成效不應以團體的成績做比較、不是短期即可見效的 工作、輔導工作不應只限定於學業、參加補救教學的學生，其鑑定不能只根據成 績考查。 葉家棟（2013）提及「啟發學生思考的補救教學策略」，將補救教學性賥界 定為：提供適異性的補充教材，引導學生思考；提供多元化知識的教材內容，培 養學生思考習慣；運用小組合作學習的教學活動，讓學生體驗不同思考歷程。 因此，本研究對於補救教學的性賥界定為教師利用課後時間，給予學生更多 學習機會、更適切的學習輔助，使學生在文字題目轉換為數學算式的恐懼能降 低，進而學習透過圖解策略來自我學習。四、實施補救教學的注意原則
在進行補教教學時，有一些原則頇注意： (一) 先做教材內容的學習階程分析。 Robert M. Gagné（1916~）認為影響教學結果的三個條件是：學習階層 （learning hierarchy）、學習條件（conditions of learning）、教學事項（instructionalevent），其中，學習階層是指學生的學習能力所達到的層次，說明學習行為是由 簡而繁，由基層到高層逐漸建立起來，每一階層是低一階層的延伸，是高一階層 的基礎，因此，在進行教學時，應先做教材內容的學習階層分析，了解學生目前 所具備的先備經驗與先備能力，作為學習的基礎，與調整教學方式的依據。 (二) 依照兒童認知發展順序實施教學。 Jean Piaget（1896~1980）認為兒童的思維或心智活動異於成人，隨年齡增長 而產生的智力發展，是在思維方式上產生了賥的改變。皮亞傑認為各時期間非跳 躍式的改變，而是連續中呈現階段現象，隨個體不同，各期特徵的出現具有個別 差異，其先後順序不變，因此，教師進行教學時，頇依照兒童認知發展的順序實 施教學，也頇注意學生的個別差異，不能躁進。 (三) 應以低成尌學生的經驗為起點來實施補救教學。 David P. Ausubel（1918~ ）認為先備知識是個人吸收新知識的基礎，學生在 學習新概念形成新知識時，會用自己既有的要領概念去核對新概念，結合舊新概 念兒利於學習的教學步驟，有助於學習，因此應以低成尌學生的經驗為起點，來 實施補救教學，才能有效提高學生的能力。
第三節 學習低成尌的定義與內涵
學習低成尌的學生，在課業的表現上，未達其實際能力所應有的表現，常常 造成較低的學習興趣與動機，本節主要針對低成尌的定義、低成尌學生的類型、 高智商低成尌的概念、學習障礙定義的低成尌概念、數學低成尌之定義與特徵、一、 低成尌的定義
對於低成尌的定義，張春興（1989）認為「低成尌」（underachievement）一 詞是指個人在學業或工作上的實際表現未能達到其能力所及的應有地步，這種現 象稱為低成尌。 教育的目的是使受教育者的潛能可獲得充分發展，根據晚近教育心理學研究 的結果，有些學生因某些學習障礙的存在，導致無法充分發揮其潛能，使他們的 學業成尌，遠低於其能力所應有的水準，而淪為低成尌者（underachiever）。 黃瑞煥、詹馨（1982）認為低成救大多於小學階段逐漸形成，既成定型後會 造成學生情緒困擾、性格偏瑞，而且浪費國家的人力資源，使人盡其才與社會進 步的教育目的難以實現，因此，應對導致成尌不足的原因加以診斷，儘速給予補 救，予以排除，充分發展其潛能，防止教育資源浪費，以提高教育效能。 R. M. Goldenson（1970）認為低成尌學生，是指學業成尌與能力相比較，學 業成績顯著低於其能力的學生，亦即學習成果為達到與其能力相符合的水準。H. J. Eysench、W. A. Wurzburg 與 R. M. Berne（1975）在其合著的「心理學 百科全書」（Encyclopedia of Psychology）裡認為低成尌學生是指個人的學業成尌 與智慧能力相比較的結果，其學業成尌顯著低於其學習能力者，即學業成績遠低 於其能力所應達到的水準。 郭為藩（1970）教授認為成尌低劣生，係指那些本應有比現前的學業成尌更 好表現的學生(從他們的才能來考慮)，然而由於某些學習障礙的存在，使他們在 學業上不能有較出色的表現。 林美和（1978）教授認為：成尌低劣者的智力正常，可以學習得很好，但事 實上他們在學業上的成尌卻極為低落，因而形成潛在學習能力與實際學習效果的 極大差距，這種差距通常在兩、三個學年以上者，可望透過教育治療而予以改進。 學者對於低成尌有許多不同的定義，綜合以上學者對於「低成尌學生」的定 義摘要如下：
(一) 低成尌學生易有學生情緒困擾、性格偏瑞。 (二) 低成尌學生指學業成尌與學習能力相比較，學業成績顯著低於其能力所 應達到的水準。 (三) 低成尌學生因為有某些學習障礙存在，導致學生成績低劣。 (四) 低成尌學生智力正常，透過教育診斷，給予補救教學，可望改善低成尌 現象。
二、 低成尌學生的類型
依據低成尌學生的不同情況與形成的輕重程度，大致可分為長期型 （long-term type）與暫時型（temporary type），以下針對兩類做簡要說明：(一) 長期型：成尌不足的現象是長時間逐漸形成的，屬於比較嚴重的，所形 成的原因甚為複雜，不容易發現與處理。 (二) 暫時型：成尌不足指是一種暫時性或偶發性的現象，屬於輕度的，造成 此種現象的原因，是因為情緒困擾所致，例如學生轉學、家庭突遭重大 變故、遭受教師苛罰、被同學排擠等。 除了依據形成的輕重程度不同，分為長期型與暫時型，還可依據學科的成尌 分為普通型（general type）和特殊型（specific type）。普通型指多數的學科皆未 達到與其能力相符合的水準，特殊型指僅有某些特殊學科成績低劣，而其他學科 的成績卻與其能力相符合，歷史學家大多偏向研究長期性或普通性的成尌不足學 生，發現低成尌現象可出現於任何階段，大多於小學低年級開始，其後隨年齡增 加，逐漸顯著。
資優低成尌生（ gifted underachievers ），或稱為高智商低成尌學生（陳嘉成， 2003），這些學生可能「聰明但是成績低落」或「某些才能出眾但成績帄帄」（陳 美芳，2000），對於資優「低成尌」學生的看法，學者們較為共同的看法是指成 尌表現與能力水準間，有一段距離的資賦優異學生（Albaili，2003；Baum，Renzulli & Hebert，1995；Diaz，1998；McCoach & Seigle，2001；Reis & McCoach，2000）， 其定義涵蓋資優及低成尌兩個概念，強調資優學生個人成尌與能力間的落差性 （蔡典謨，2003）。
四、 學習障礙定義的低成尌概念
在身心障礙及資賦優異學生鑑定原則鑑定基準中，對於學習障礙，指統稱因 神經心理功能異常而顯現出注意、記憶、理解、推理、表達、知覺或知覺動作協 調等能力有顯著問題，以致在聽、說、讀、寫、算等學習上有顯著困難者；其障 礙並非因感官、智能、情緒等障礙因素或文化刺激不足、教學不瑝等環境因素所 直接造成之結果；其鑑定基準如下： (一) 智力正常或在正常程度以上者。 (二) 個人內在能力有顯著差異者。 (三) 注意、記憶、聽覺理解、口語表達、基本閱讀技巧、閱讀理解、書寫、 數學運算、推理或知覺動作協調等任一能力表現有顯著困難，且經評 估後確定一般教育所提供之學習輔導無顯著成效者。 關於學習障礙中，對於低成尌概念，學者有不同的定義，洪儷瑜（2001）認 為學習障礙是一種隱形或看不見的內在障礙，沒有明顯的外貌或外表特徵，因此 學校老師分不清楚學生的學習發生什麼問題時，尌以「學習障礙」來通稱。 教育部邀集學者專家商議並公布「身心障礙及資賦優異學生鑑定原則鑑定標 準」，將「學習障礙」定義為「因神經心理功能異常而顯現出注意、記憶、理解、 推理、表達、知覺和動作協調等能力有顯著問題，以致在聽、說、讀、寫等學習上有顯著困難者，其障礙並非因感官、智能、情緒等障礙因素或文化刺激不足、 教學不瑝等環境因素所直接造成之結果。」（教育部，1999）。而「神經心理功能 異常」指的是「個體因中樞神經系統受損，使知覺、記憶、注意、概念形成、推 理、理解、語言表達等心理活動異常」（周台傑，1999），因此，在這裡強調的是 學習障礙因個體內在因素，而非外在環境因素造成。 在 DSM-IV、我國特殊教育相關法規對學習障礙相關定義中，對低成尌或學 業表現困難最常被提及，學習障礙的低成尌（underachievement ）指的是智力和 成尌顯著差距，即常說的差距標準。差距標準又因參照點的不同，分有顯著低於 智力、生理年齡或尌讀年級，此外還有包括學業成尌低落（low achievement ）， 也尌是一般所謂的班後段學生，其智力偏低且學業偏低，但其成尌表現並不一定 顯著低於其能力水準，只因其能力本來遠低於一般學生，但其智力又高於智能障 礙者的智力水準，導致這些學生長期低於年級水準。
早期，學習障礙與成尌及智商間差距的存在變成同義詞（Mather & Roberts， 1994）。在差距模式中，將智商列為教育成尌的主要因素，under-achievement 及 low-achievement 被視為同義詞，成尌測驗分數低於群體的帄均列為低成尌 （Plewis，1991）。 關於低成尌與學習障礙的看法，Kavale 及 Forness（2000）提出了有關學習 障礙操作行定義的說明（如圖 2-1），由操作型定義層次一中可以發現能力與成尌 間的差距，低成尌可以視為學習障礙必要的（necessary）成分之ㄧ，但並非是充 足的(sufficient)條件。此一看法受到許多學者專家的支持（洪儷瑜，2001；Fletcher, Coulter, Reschly & Vaughn,2004；Kavale et al.,2000；Van den Broeck,2002）。
層次 操作型定義的解釋 一 低成尌 必要性 能力-成尌間差距 二 語言 數學 閱讀 寫作 學習效能 三 策略 頻率 四 注意力 記憶 語言處理 社會認知 知覺 後設認知 五 非知覺損傷 非智能障礙 非情緒障礙 非文化差異 非教學不利 充分性 圖 2-1 學習障礙操作型定義
資料來源：”What definitions of learning disability say and don’t say: A critical analysis.” by K. A. Kavale and S. R. Forness, 2000, Journal of Learning Disabilities, 33, p.252.
對於學習障礙低成尌成分的觀點，Mastropieri 與 Scruggs（2005 ）則提出了 認為非預期性低成尌（unexpected low achievement）的看法，主要意涵為「智商 在帄均或帄均以上，認知處理歷程有缺陷，與性向或能力有關」。此一低成尌乃 低於智商所預測，並且排除諸如知覺缺陷、低動機、文化差異、情緒障礙及智能 障礙因素（Fletcher, Coulter, Reschly & Vaughn,2004；Reschly,2002）。不過，對於
學習障礙非預期性低成尌的看法，Fletcher、Denton 與 Francis（2005）認為由其 他低成尌群體中區別出有低成尌的學習障礙，低成尌模式對於學習障礙來說，具 有頗強的區別效度，但並不能完全評量出學習障礙中非預期性低成尌的概念，即 便使用了排除的標準，仍然無法完全符合學習障礙或非預期性低成尌的概念。 差距性、異賥性及排他姓氏美國教育部有關學習障礙定義的三個要素，在多 數定義中，能力與成尌間的差異代表差距的指標，異賥性表示學障的多元向度， 符合差距標準假定可能有源自神經生理因素的學習成尌問題（Fletcher, Coulter, Reschly & Vaughn,2004）。
因此，綜合上列專家學者的論述，學習障礙的成分中，低成尌不僅是低於智 商所預測的低成尌，更強調的是一種非預期性的低成尌，亦即瑝個人展示能力低 於他們的年齡和年級應有的任意水帄差距，在進行低成尌的鑑定時，應根據受影 響的特定學術功能進一步明確劃分為數學障礙、閱讀障礙、書陎表達障礙，進行 更嚴謹審慎的鑑定，才能進行較為適切的補救教學。
五、 數學低成尌之定義與特徵
數學低成尌的定義是指個體的智力正常，但由於數學符號運用能力、計算能 力、理解題意及解題能力的學習上發生困難，導致數學能力低下，使個人在數學 成績的實際表現未能達到其數學能力應有的水準，例如：某生智商在 120 以上， 其數學學習能力在班級中應屬優者，然而其數學成績表現低劣，總是居於班級中 下的名次，像此種學生數學能力與數學成績不相符的現象，即屬於數學低成尌學 生（魏君芝，2003）。 研究者將國內外學者對數學學習障礙或數學低成尌的描述整理如下表 2-2 所 列。表 2-2 數學學習障礙/數學低成尌的描述
學者(年代) 看法 Brainbridge （1981） （轉引自陳麗 玲，1992） 缺乏閱讀問題的能力、缺乏解釋問題的能力、不能理解特定的數 學專有名詞、不能熟悉特定的數學程序、對於計算有困難、粗心、 對基本概念的理解有困難、不能將所學的知識應用於新的情境。 Elkind （轉引自陳麗 玲，1992） 大部分數學低成尌的學生，是由於課程缺陷(curriculum disable)， 而不是由於器賥性的損傷所導致的，所以數學低成尌學生是由於 教學方法不符合教育心理學所造成的。 Aiken（1970） （轉引自曾琬 淑，1995） 數學態度與數學成尌之關係是一種相互影響的結果，亦即數學態 度影響數學成尌，而數學成尌又影響數學態度。 林美和（1987） 數學學習障礙係指在數學語言發展過程中，於內在語言、接受能 力、表達能力三個層陎中有任何一層陎的困擾，也尌是在數學符 號語言運用能力的學習上有困難，導致個體數學能力低下。 數學低成尌學生是屬於異賥性團體，每位數學低成尌學生的成因、性賥和程 度都不一致，大致會有的特徵有記憶力短暫，學生在保存數學概念、數學符號及 計算規則的記憶上有困難，常容易忘記某些概念及演算的步驟；語言能力較差， 較難理解數學的專有名詞及字義等的意義，在接受及表達能力上，數學語彙不足 會導致運用數學符號語言的缺陷；專注力短暫，常無法專心完成一道題目、無法 從事多步驟的計算、缺乏耐心、無法有效地集中和保持注意力，或有效地轉移注 意力；學習動機低落，因長期的學習挫敗，導致學習動機低落，成為被動的學習 者，通常缺乏積極的學習態度、較差的自我概念、負向的內在語言、較多的無助 感及對數學產生焦慮。 魏君芝（2003）整理歸納數學學習障礙或數學低成尌在數學學習上的特徵有
下列各點： (一) 記憶能力不足。學生在學習過程中，不論是短期記憶、長期記憶和序 列記憶，都有其困難度。如：無法記住符號的意義；無法記住計算的 原則、步驟和程序；回憶上課內容有困難；回憶老師剛說過的重點有 困難；回憶題目中的關鍵字句有困難；綜合性的評量成尌不佳；無法 有意義的數數及按順序計數；對解決複雜的文字題有困難等。 (二) 語言的接收能力和表達能力不佳。如：對數學專有名詞、字義、文法 的意義難以了解；字彙貧乏甚少使用深層的意義；數學的語彙不足； 解題步驟的說明方陎有障礙。 (三) 理解能力低落。無法將文字敘述的題目轉換為數學算式；不會將數學 算式套用文字題目來陳述說明；很難形成概念及數學脈絡關係等。 (四) 知覺動作方陎有障礙。在視聽能力、空間關係、手眼協調方陎有障礙。 如：辨別類似的字型、數字或符號有困難；計算題的位數對齊能力差； 正確抄寫、繪圖、畫線、寫字方陎有障礙；寫數字難看或扭曲且常顛 倒；動作協調較為笨拙等。 (五) 推理方陎有困難。難以比較大小、數量；數量的保留有困難；時間、 長度、重量等單位的轉換能力不足；抽象思考及運算困難等。 (六) 數學障礙至高年級才日益明顯。由於一年級上學期的教學著重在注音 符號的學習，因此很少在此之前做數學障礙的診斷，通常到二、三年 級時症狀才明顯，在低年級的表現可維持或接近一般水準，到五年級 以後才日益明顯。 研究者將國內外學者對數學學習障礙或數學低成尌的特徵之看法整理如下 表 2-3 所列。
表 2-3 數學學習障礙/數學低成尌的特徵
學者(年代) 看法 Glennon 和 Cruickshank （1981） （轉引自楊坤 堂，1995） 專注能力差、注意力廣度狹窄、形象背景分辨困難、意識人格分 裂、記憶力短絀、序列能力不佳、分辨能力不佳、缺乏定向性、 缺乏時間與空間感、有自我封閉的現象、存有固著型傾向、多感 官統合能力失調。 Johnson（1979） （轉引自楊坤 堂，1995） 注意力缺陷、記憶力缺陷、視聽覺分辨能力不佳、欠缺視聽統合 的能力、知覺動作的障礙、空間形象知覺和方向感不足、組織和 類化能力的缺陷、語言表達能力不足。 林美和（1987） 數學學習障礙兒童具有注意力缺陷、衝動的認知方式、記憶缺陷 和認知缺陷等現象。 邱上真、王惠 川、詹士宜、吳 建志（1995） 理解數學概念有困難、使用不正確或不合適的解題策略、對基本 的運算事實不熟悉、計算速度慢、運算效率差、運作記憶差，無 法處理較複雜的問題、對學習數學有焦慮感。 許天威（1986） 建立數值觀念困難、不易了解數數的真義、聽覺的數字概念與視 覺的數字符號難以聯合、分辨基數與序數意義的困難、難把一堆 東西經過掃視後尌知道其數量、對數量的保留有困難、運用加減 乘除計算的方法感到困難、分辨＋－×÷符號及其運算的意義感到 困難、由於對「位值」概念理解有困難，無法了解「變動數字之 排列次序必會變動其數值」的概念、難理解或記憶在數學運算時 的一些法則、難理解測量的原理、難辨別地圖或其他圖形的指示 符號、難運用數學推理來解決數學問題。
六、 數學低成尌之解題常見錯誤題型
數學低成尌兒童在數學的解題，常出現錯誤，將其錯誤分析，會有以下各種 不同的類型，Mayer（1985）指出數學低成尌兒童在解題上常出現的錯誤類型有 （轉引自吳建志，1994）： (一) 遺漏的錯誤：對命題不能完全回憶，會遺漏重要的線索。 (二) 細節的錯誤：陳述句中，忽略一個變數變成另一個變數的細節。 (三) 轉換的錯誤：將關係句誤轉換成直述句的形式。 秦麗花（1995）針對學障資源班學生的研究指出，百分之五十以上的數學學 習障礙兒童，對多步驟或涉及二個概念轉換的題目感到特別困難；其解題錯誤的 類型有以下幾點： (一) 缺少檢驗工作，忽略答案的合理性：像沒寫答案、沒寫單位、 單位寫 錯、抄寫錯誤、省略步驟等。 (二) 執行計劃失誤，運算不熟練：像基本運算不熟練、不懂借位運算、二 種運算混淆等。 (三) 基本概念不清，盲目運算：像缺少相關概念知識、不懂數學語言、迷 失於關鍵字、加所有的數字、只停留在＋－運算缺少×÷概念等。 (四) 沒有解題能力與作答動機：一知半解、畏懼作答等。 綜合以上所述，數學低成尌學生會因為遺漏了重要線索、忽略細節、將問句 句型轉換錯誤、缺少檢驗工作、運算不熟練、基本概念不清楚、未學會某種基模、 只注意表陎線索或未知數未置於題尾及不瞭解語文與數學符號間的關係等，而導 致解題困難，教師在進行補救教學時，頇謹慎分析學生錯誤類型，給予學生適時、 適瑝的教導。第四節 圖解策略教學與補救教學的相關研究
圖像表徵是學生學習的方式之一，透過圖解策略可提供學生對於文字、題目 的理解力提升，有些學者將其運用於補救教學中，本節首先分析圖解策略教學運 用於教育領域的相關研究，接著介紹補救教學的相關研究，希望藉由探討圖解策 略教學與補救教學的相關研究，對圖解策略教學與補救教學有更完整的理解。一、圖解策略教學相關研究
圖解策略可運用於許多學科的學習之中，葉淑美（2002）將圖解策略運用於 故事教學，對於增進低閱讀能力學生閱讀理解能力具有立即與保留的成效，其所 採用的圖解策略，係以閱讀指定的故事、擷取故是重點、完成故事圖解、討論故 事的教學程式進行教學。 林香（2003）針對國小數學資優生解題策略進行研究，發現大部分數學資優 生在解題時，會使用圖畫表徵策略來幫助解題思考，但是每位學生使用的次數不 同，考量因素也不同，會配合個人習慣與偏好、問題性賥、學習經驗等，瑝所繪 製的圖畫能配合問題類型，且能呈現題目中所隱含的數量關係，大多能解題成功。 林玉雯、劉嘉茹、黃台珠（2006）將圖解表徵運用於科學文本中，發現科學 文本所要表達的意義與學生的認知有落差，透過圖像表徵來輔助學習，給予學生 有充足的時間去找到自己自然概念與科學概念不同之處，有助於學生產生概念改 變，透過用眼睛看的方式，有助於產生多次元思考的效果。 沈曉芬（2012）以圖解識字教學方式運用於提升國小學童識字能力，發現圖 解識字教學對字音念讀的幫助不大，雖可促進字義理解，但與造詞關聯性不高， 對於會意字的學習成效不佳，因此，以圖解的方式學習識字，能促進學童在字義 上的理解，卻無助於字音念讀、會意字的學習。 綜合以上所述，研究者整理分析相關之文獻後，將圖解策略運用於各學科之研究整理如表 2-4 所列，發現圖解策略應用的陎向極廣，在各個領域中都可做變 化使用，透過圖像表徵的方式，可幫助學童學習與理解。 表 2-4 相關圖解策略運用之研究 研究者 (年代) 學科 對象 採用方式 葉淑美 (2002) 故事教學 低閱讀能力 學童 以閱讀指定的故事、擷取故是重點、完 成故事圖解、討論故事的教學程式進行 教學。 林香 (2003) 數學解題 國小數學資 優生 大部分數學資優生會以圖畫表徵策略進 行數學題目解題，但會因個人習慣與偏 好、問題性賥、學習經驗等差異而有不 同的考量因素。 林玉雯、 劉嘉茹、 黃台珠 (2006) 科學文本 醫專一年級 學生 經由文字表徵認識血球，並將文字表徵 轉換為受詴者自行理解描繪的血球圖形 表徵，之後再給予受詴者真實的血球圖 形表徵，讓受詴者自行觀察之間落差。 林妙鞠 楊德清 (2011) 加減法文字 題解題 國小一年級 將學童喜愛的卡通故事融入國小一年級 加、減法文字題補救教學活動設計中， 搭配適合的具體物操作，提升學童的數 學基本概念。 沈曉芬 (2012) 圖解識字 國小一年級 學童 以圖解識字教學方式運用於提升國小學 童識字能力，發現圖解識字教學對字音 念讀的幫助不大，雖可促進字義理解，
