（2-1）LA60134－認為兩條邊一樣長就是平行。
LA60134074 T：你覺得什麼是兩條邊互相平行？
LA60134075 S：……兩條邊一樣長。
LA60134076 T：你第○2題畫平行，為什麼？
LA60134077 S：因為左右邊一樣長。
LA60134078 T：第○5題為什麼上下邊平行？
LA60134079 S：因為它們看起來也一樣長。（如圖 16）
（2-2）LB60333－認為只要邊一樣長，那些邊就是平行。
LB60333079 T：第○1題你畫四個邊都平行，你覺得什麼是互相平行？
LB60333080 S：一樣長。
LB60333081 T：只要邊一樣長就是平行？
LB60333082 S：對。
LB60333083 T：第○6題為什麼四個邊都平行？
LB60333084 S：啊，上下一樣長，左右一樣長。所以上下平行，左右平行才對。（如圖 17）
（2-3）LA60704－對平行的意義含糊不清。
LA60704065 T：第○2題你畫左右邊平行，你覺得什麼是互相平行？
LA60704066 S：兩條邊一直延伸不會相交。
(圖 17) (圖 16)
(圖 15)
LA60704067 T：你可不可以比給老師看？
LA60704068 S：（兩隻手比左右兩邊往下延伸）不會相交。
LA60704069 T：可不可以往上延伸？
LA60704070 S：可以……耶，會相交 LA60704071 T：左右兩邊會平行嗎？
LA60704072 S：不會。
LA60704073 T：你第○3、○4題畫四個邊都平行，為什麼？
LA60704074 S：因為一樣長。
LA60704075 T：邊一樣長也可以算是平行？
LA60704076 S：……（點頭）
LA60704077 T：第○5題上下你畫平行，左右邊有沒有平行？
LA60704078 S：沒有，因為左右邊沒有一樣長，上下邊才有一樣長。（如圖 18）
綜合以上紙筆測驗結果統計與訪談資料分析所述，對直角的邊為鉛直和 水平邊構成的直角表現優於擺斜的直角，部分學童知道直角的意義，又沒有 實際測量，而無法全部答對，顯示部分學童「直角之察覺」仍會受圖形的方 位變化影響；有部分學童會誤認為直角和邊的長度有關。對於「平行邊之察 覺」，有部份學童亦會認為邊的長度和邊的平行有關，此與張英傑、謝貞秀
（2003）研究中年級的迷思：認為「平行」就是「兩邊相等」，平行的邊指 成「左右兩個相等的邊」類似，尤其等腰梯形，會誤認兩條腰邊會平行，而 忽視上下底平行的條件，或是平行的底在左右的梯形，有很多學童就不容易 察覺互相平行的邊，這些迷思的想法在本研究結果仍存在，顯示學完五年級 階段數學課程的學童，部份學童仍會受到方位與邊的長度影響他們察覺出直 角、平行的邊。
(圖 18)
四、「察覺圓形之性質」之反應情況 題目：
（一）「察覺圓形之性質」答題統計分析
本項目欲從概念 A5-4、A5-5、A5-6，瞭解學童對於「察覺圓形之性質」
的能力，題目內容包含圓形直徑與半徑長度的關係、圓周長與直徑之間的關
（二）「察覺圓形之性質」訪談資料分析
茲將學童在第五大題第 10、11、12、13 題的紙筆測驗結果依答對與答 錯者取樣進行訪談，訪談時的反應情況說明如下：
1.答對學童的想法
訪談時發現察覺圓形之性質答對的學童，能清楚的察覺直徑是半徑的 兩倍，半徑是直徑的一半或二分之一倍，圓周長約是直徑 3 倍多或 3.14 倍，
茲將訪談學童的想法摘錄如下：
（1）HB60112－知道直徑、半徑、圓周長之間的關係，圓周長是直徑的 3.14 倍。
HB60112039 T：你覺得直徑比較長還是半徑長？
HB60112040 S：直徑。
HB60112041 T：直徑是半徑的幾倍？
HB60112042 S：2 倍。
HB60112043 T：第 10 題你怎麼算？
HB60112044 S：4 乘以 2 等於 8 啊。
HB60112045 T：半徑會是直徑的幾倍？
HB60112046 S：二分之一倍。
HB60112047 T：第 11 題怎麼算？
HB60112048 S：把 2 除以 2 就是 1
HB60112049 T：第 12 題你選 2，圓周長大約是直徑的幾倍？
HB60112050 S：3.14 倍，這裡就選約直徑的 3 倍。
HB60112051 T：第 13 題你怎麼算？
HB60112052 S：10 去乘以 3 就是 30 了。
（2）HA60102－知道直徑、半徑、圓周長的倍數關係，圓周長是直徑的 3 倍 多。
HA60102036 T：你覺得直徑是半徑的幾倍？
HA60102037 S：2 倍。
HA60102038 T：第 10 題你怎麼算？
HA60102039 S：4 乘以 2 啊
HA60102040 T：半徑會是直徑的幾倍？
HA60102041 S：一半。
HA60102042 T：第 11 題怎麼算？
HA60102043 S：2 除以 2 就等於 1
HA60102044 T：圓周長大約是直徑的幾倍？
HA60102045 S：3 倍。
HA60102046 T：第 13 題你怎麼算？
HA60102047 S：10 乘以 3，30
2.答錯學童的想法
訪談時發現「察覺直徑是半徑的兩倍」（A5-4）多數學童知道把半徑乘 以 2，就是直徑長；「察覺半徑是直徑的一半」（A5-5）答錯的人，也將直 徑乘以 2 得到半徑，而沒考慮算出來半徑應比直徑短的檢驗；「察覺圓周長 約是直徑的三倍」（A5-6）答錯的人，有些不知道圓周與直徑的關係，有些 則不知道圓周長的意義，有些又誤想成圓周長是直徑的 2 倍所以圓周長是 半徑的 4 倍。茲將訪談學童的想法摘錄如下：
（1）LB60306－欠缺逆運思能力，雖然知道直徑是半徑的 2 倍，但半徑是直 徑的幾倍不熟悉。
LB60306064 T：第 10 題你選○4，怎麼算的？
LB60306065 S：4 乘以 2 等於 8。
LB60306066 T：直徑是半徑的幾倍？
LB60306067 S：2 倍。
LB60306068 T：那半徑是直徑的幾倍？
LB60306069 S：2 倍。
LB60306070 T：第 11 題你怎麼算的？
LB60306071 S：就是把 2 去乘以 2。
LB60306072 T：可是直徑長，還是半徑長？
LB60306073 S：直徑。
LB60306074 T：第 11 題你算半徑 4 公分，直徑是 2 公分這樣合理嗎？
LB60306075 S：……（搖頭）。
LB60306076 T：那第 11 題應該怎麼算？
LB60306077 S：……2 的一半是 1，半徑是 1 公分。
（2）MB60126－知道圓周長約是直徑的 3 倍，但計算時又把直徑乘以 2。
MB60126078 T：第 12 題你選圓周長約是直徑的 3 倍？
MB60126079 S：對。
MB60126080 T：第 13 題怎麼算？為什麼你選○2，20 公分？
MB60126081 S：10 乘以 3，30 才對。
（3）LB60115－不知道直徑、半徑、圓周長之間的關係。
LB60115058 T：直徑是半徑的幾倍？
LB60115059 S：……。
LB60115060 T：那半徑是直徑的幾倍？
LB60115061 S：3 倍。
LB60115062 T：第 12 題你選圓周長約是半徑的 4 倍？為什麼？
LB60115063 S：不知道。
綜合以上紙筆測驗結果統計與訪談資料分析所述，五年級學童對直徑是
半徑的兩倍表現最佳，答對率超過 90﹪，而半徑是直徑的一半學童的答對 率則降為 85﹪，對圓周長與直徑的關係有超過 30﹪的人錯誤，從訪談當中 發現錯誤的學童易將直徑、半徑、周長的倍數關係背起來而已，而非實際瞭 解。
從以上「形體性質之察覺」之各項反應情況分析可知：「察覺三角形之 性質」（見表 4-1-13、4-1-14）中，以邊的特徵辨別三角形之類別完全答對 的比率為 63.5﹪~86.2﹪，以角的特徵辨別三角形之類別完全答對的比率為 46.4﹪~66.8﹪，顯示有不少學童對三角形「角」的特徵認知較「邊」的特 徵不清楚；對於正三角形、直角三角形、等腰三角形之角的特徵與三角形內 角和完全清楚者，比率並不高（僅六成左右）（見表 4-1-15）。「察覺四邊形 之性質」（見表 4-1-16）中，有 82﹪以上的學童能察覺出長方形、正方形、
菱形、平行四邊形的合理形狀，對梯形完全正確認知的比率較低，為 76﹪，
較多學童未完全具備梯形方位保留概念。「察覺圓形之性質」（見表 4-1-19）
中，以直徑是半徑的兩倍之判定最清楚，以圓周約是直徑的三倍之關係認知 最差。對於「直角之察覺」（見表 4-1-17）與「平行邊之察覺」（見表 4-1-18）， 尚有極多學童未完全清晰，全部判別正確答對率僅為 55%~56%。從前面分析 中顯示：學童會受形體的方位改變與視覺錯覺所影響，對兩邊的垂直距離處 處相等則為平行的概念，仍很模糊，只能用兩條邊一樣平或一樣斜來形容平 行，甚至還會誤解邊一樣長就會平行。因此在「各類形體之性質」認知上，
不少學童仍有待加強，宜增加一些實測的經驗。
伍、「線對稱關係之辨認」的反應情況
本研究之「線對稱關係之辨認」是針對全等概念（B1）、對稱軸的意義
（B2）、辨認線對稱圖形（B3）、找出對稱軸有幾條（B4）、畫出線對稱圖形 的另一半（B5）、以及找出對應點與對應邊（B6）等六項概念來探討，分別 以紙筆測驗中第二部份之第一大題~第六大題學童的表現作以下分析：
【概念 B1】一、選出和ㄅ圖全等的圖形，請在（）打勾。（每一題答案有的可能會有一個以上）
（二）「全等概念」訪談資料分析
將學童在第二部分第一大題 1、2 小題的紙筆測驗結果依答對與答錯者 取樣進行訪談，訪談時的反應情況說明如下：
1.答對學童的想法
訪談時發現全等概念答對的學童，能清楚的從選項中察覺出圖形與題 目的邊與角都要相等，或是知道圖形的大小、形狀要一樣才是全等，不管 圖形經上下翻轉或旋轉，不會影響對全等圖形的判斷，茲將訪談學童的想 法摘錄如下：