「怎樣列式」數位個別指導教材及適性診斷測驗研發

國立臺中教育大學教育測驗統計研究所

教學碩士學位暑期在職專班碩士論文

指導教授：郭伯臣 博士

「怎樣列式」數位個別指導教材及適性診斷測驗研發

研究生：游棒權 撰

中 華 民 國 九十八 年 七 月

摘要

摘要

摘要

摘要

本研究將以貝氏網路與知識結構理論為基礎，設計「怎樣列式」單元為學 習內容，編製數位個別指導教材及診斷測驗。透過實驗研究設計，將教師和學 生分成三個組別，分別為實驗組 A（一位教師配對一位學生）、實驗組 B（一 位教師配對二位學生）和對照組（一位教師配對團班學生）。探討數位個別指 導教材的成效及三種不同指導模式的學生學習成效，並同時探討電腦化適性診 斷測驗之省題率和精準度，以及適性選題下錯誤類型與子技能的預測一致性。 本研究結果如下： 一、「怎樣列式」單元的診斷測驗信度 Cronbachα 為.87，難度介於.23～.96，鑑 別度均在.23 以上，大多介在.3～.5，為一份優良的教育測驗。 二、電腦化適性診斷測驗能有效節省 42％以上之題目，並且精準度達到 96％ 以上。 三、適性選題下錯誤類型與子技能的預測一致性分析結果得到，前測的預測一 致性為 93.36％，後測的預測一致性為 94.61％，以貝氏網路為推論模式的電 腦適性診斷測驗具有高度穩定性。 四、學習成效方面：個別指導模式與團班模式在前測表現上達顯著差異，差異 分數 7.58**分（**P<.01）；個別指導模式與團班模式在後測表現亦達顯著差 異，差異分數 3.46*分（*P<.05），顯示數位個別指導成效優於傳統團班成效。 關鍵字：怎樣列式、貝氏網路、電腦適性測驗、知識結構、數位個別指導

Development of digital individual instructional learning

material and diagnostic test of how to formularize

Abstract

The study is based on Bayesian Networks and knowledge structureThe designs of lesson, how to formularize, as the learning content, compiling necessary digital individual instructional learning material and diagnostic testBy experimental design, it divides the teachers and students into 3 groups, experiment A （ a teacher paired with a student）, experiment B （ a teacher paired with 2 students） and Comparison （ a teacher paired with a group of students）Based upon the procedures, we can explore the learning results with 3 respective instructive sets and digital individual instructive materialsIt as well studies the question-saving ratio and accuracy of computerized adaptive diagnostic tests and the error pattern under adaptive sampling and anticipation consistency of sub-skills.

The facts of the study are listed as follows:

1. The diagnostic testing Cronbacha reliability on the lesson, How to formularize, goes to .87The item difficulties are between .23 and .96The item discriminations are all more than .23, most of them falling between .3 and .5It is an excellent educational testing.

2. The computerized adaptive diagnostic tests can effectively save up to 42% of the questions and the accuracy goes to 96% or more.

3. Regarding the results of predictable consistence in the error pattern and sub-skill under the adaptive sampling, the predictable consistence of pretests is 93.36%; the one of posttests falls on 94.61%The computerized adaptive diagnostic testing has high stabilities with the Bayesian network as the inferring mode.

4. On the learning effectiveness: The individual instructive mode and the group mode have the significant effect on pretestsThe different score is 7.58** （**p<.01）; the individual instructive mode and the group mode have the

significant effect on posttestsThe different score is 3.46** （**p<.05）The result reveals that digital individual instruction has better outcomes than traditional group learning

Keywords: how to formularize, Bayesian networks,computerized adaptive tests, knowledge structure, digital individual instruction

目錄

第一章 緒論

……… 1 第一節 研究動機……… 1 第二節 研究目的……… 2 第三節 名詞釋義……… 3

第二章 文獻探討

……… 7 第一節 以知識結構為基礎的適性測驗選題策略……… 7 第二節 貝式網路……… 10 第三節 怎樣列式教材分析……… 13 第四節 電腦化適性補救教學……… 19

第三章 研究方法

……… 23 第一節 研究對象……… 23 第二節 研究工具……… 23 第三節 研究流程與實驗設計……… 28 第四節 資料處理與分析……… 31

第四章 研究結果

. ……… 35 第一節 BNAT 系統的建置與成效分析……… 35 第二節 數位個別指導教學模式的成效……… 41 第三節 數位個別指導補救教學的成效……… 46 第四節 適性數位補救教學的成效……… 52 第五節 使用者意見回饋……… 53

第五章 結論與建議

……… 63 第一節 研究結論……… 63 第二節 研究建議……… 65 參考文獻……… 67

附錄一 「怎樣列式紙筆診斷測驗」預試分析表……… 72 附錄二 知識結構檢核表……… 73 附錄三 命題檢核表……… 74 附錄四 試題內容分析表……… 76 附錄五 「怎樣列式」單元學生知識結構圖……… ₇₇ 附錄六 「怎樣列式」單元補救教學知識結構圖……… ₇₈ 附錄七 貝式網路圖……… ₇₉ 附錄八 教師教學手冊之學生單元講義頁面範例……… ₈₀ 附錄九 教師教學手冊之學生加油手冊頁面範例……… ₈₂ 附錄十 教師教學手冊之綜合進階練習頁面範例……… ₈₄ 附錄十一 學生單元講義頁面範例……… ₈₅ 附錄十二 學生加油手冊頁面範例……… ₈₇ 附錄十三 「怎樣列式」單元教學Power Point……… ₈₉ 附錄十四 「怎樣列式」單元團班教學與個別指導教學教師問卷………… ₉₀ 附錄十五 「怎樣列式」單元學生學習回饋單……… ₉₄

表目錄

表 2-1-1 電腦適性測驗在教育上的應用之相關文獻摘要表……… 9 表 2-2-1 用貝氏網路於教育測驗之研究整理表……… 11 表 2-3-1 能力指標之分年細目……… 15 表 2-3-2 分段能力指標編號技能對照表……… 16 表 2-3-3 錯誤類型整理表……… 17 表 4-1-1 BNAT 系統在前、後測之省題率與預測精準率……… 39 表 4-1-2 錯誤類型和子技能在適性選題與完整作答下的一致性統計表…… 40 表 4-2-1 實驗組與對照組在各測驗的人數、平均數及標準差……… 42 表 4-2-2 個指教學組與團班教學組在各測驗的人數、平均數及標準差…… 42 表 4-2-3 組內迴歸係數同質性檢定摘要表表（不同教學模式-教學成效）… 42 表 4-2-4 共變數分析摘要表表（不同教學模式-教學成效）……… 43 表 4-2-5 估計的邊際平均數估計值（不同教學模式-教學成效）………… 43 表 4-2-6 估計平均數成對的比較（不同教學模式-教學成效）……… 43 表 4-2-7 誤差變異量的 Levene 檢定（不同教學模式-教學成效）………… 44 表 4-2-8 組內迴歸係數同質性檢定摘要表（1 對 1、1 對 2-教學成效）… 44 表 4-2-9 誤差變異量的 Levene 檢定（1 對 1、1 對 2-教學成效）………… 45 表 4-2-10 共變數分析摘要表（1 對 1、1 對 2-教學成效）……… 45 表 4-2-11 估計的邊際平均數估計值（1 對 1、1 對 2-教學成效）………… 45 表 4-2-12 估計平均數成對的比較（1 對 1、1 對 2-教學成效）……… 45 表 4-3-1 實驗組與對照組在各測驗的人數、平均數及標準差……… 47 表 4-3-2 個指教學組與團班教學組在各測驗的人數、平均數及標準差…… 47 表 4-3-3 誤差變異量的 Levene 檢定（不同教學模式-補救教學成效）…… 47 表 4-3-4 組內迴歸係數同質性檢定表（不同教學模式-補救教學成效）…… 48

表 4-3-5 誤差變異量的 Levene 檢定（不同教學模式-補救教學成效）…… 48 表 4-3-6 共變數分析摘要表（不同教學模式-補救教學成效）……… 48 表 4-3-7 估計的邊際平均數估計值（不同教學模式-補救教學成效）……… 49 表 4-3-8 估計平均數成對的比較（不同教學模式-補救教學成效）……… 49 表 4-3-9 誤差變異量的 Levene 檢定（1 對 1、1 對 2-補救教學成效）……… 49 表 4-3-10 組內迴歸係數同質性檢定表（1 對 1、1 對 2-補救教學成效）… 50 表 4-3-11 誤差變異量的 Levene 檢定（1 對 1、1 對 2-補救教學成效）… 50 表 4-3-12 共變數分析摘要表（1 對 1、1 對 2-補救教學成效）……… 51 表 4-3-13 估計的邊際平均數估計值（1 對 1、1 對 2-補救教學成效）…… 51 表 4-3-14 估計平均數成對的比較（1 對 1、1 對 2-補救教學成效）…… 51 表 4-4-1 不同學生能力表現分析……… 52 表 4-5-1 教師手冊使用意見回饋表……… 54 表 4-5-2 教師手冊最實用部份意見回饋表……… 55 表 4-5-3 學生單元講義使用意見回饋表……… 56 表 4-5-4 學生加油手冊使用意見回饋表……… 57 表 4-5-5 教學用 Power Point 使用意見回饋表……… 57 表 4-5-6 補救教學用 Flash 使用意見回饋表……… 58 表 4-5-7 數位個別指導教師教學現場意見回饋表……… 59 表 4-5-8 團班指導教師教學現場意見回饋表……… 59 表 4-5-9 學習內容意見回饋表……… 60 表 4-5-10 學習困難點意見回饋表……… 61 表 4-5-11 學習成效意見回饋表……… 61

圖目錄

圖 2-1-1 以知識結構為基礎的適性測驗選題策略示意圖……… 9 圖 3-2-1 「怎樣列式」單元專家知識結構圖……… 25 圖 3-3-1 研究流程圖……… 29 圖 3-3-2 實驗設計流程圖……… 31 圖 4-1-1 BNAT 適性診斷測驗暨學習系統……… 35 圖 4-1-2 選擇施測單元……… 36 圖 4-1-3 BNAT 試題畫面……… 36 圖 4-1-4 學生的個人診斷報告（擷取部分）……… 37 圖 4-1-5 錯誤題目解說畫面……… 38 圖 4-1-6 動畫補救教學畫面……… 38

第一章

第一章

第一章

第一章

緒論

緒論

緒論

緒論

本研究以國小六年級數學課程綱要能力指標「6-a-02能使用未知數符號， 將具體情境中的問題列成兩步驟的算式題，並嘗試解題及驗算其解。」及 「6-n-06：能理解等量公理」的內涵為主，設計「怎樣列式」單元為學習內容， 編製以貝氏網路與知識結構理論為基礎之數位個別指導教材及電腦化適性診 斷測驗，藉此探討三種不同指導模式的學生學習成效及數位個別指導教材的成 效，並同時探討電腦化適性診斷測驗之省題率和精準度，以及適性選題下錯誤 類型與子技能的預測一致性。本論文共分五章，第一章為緒論，第二章為文獻 探討，第三章為研究方法與步驟，第四章為研究結果，第五章為結論與建議。 本章分為四節，第一節說明研究動機，第二節說明研究目的，第三節進行名詞 釋義及第四節闡述本研究之研究限制。

第一節

第一節

第一節

第一節

研究動機

研究動機

研究動機

研究動機

完整的學習應該包含了「教學活動、評量及補救教學」，教師對於新課程 做教學活動演示，讓學生釐清概念及學習新知；在教學活動結束之後，通常對 會對學生做形成性評量，以檢測學生對於新的知識及概念是否獲得？傳統的評 量卷，大多需要一節課的時間來完成，且由於要考慮到全班學生的能力有差 異，所以測驗題目必須難易皆具，這樣的情形下，對於能力較好的學生在面對 簡易的題目時，必須不斷重複作答他已學會的概念，如此反覆作答不但浪費時 間，也減少了高能力學生可以學習更高深概念的機會；相反的，對於低能力學 生而言，由於較基礎的概念無法獲得澄清及理解，以至於無法作答更進階的題 目，如此齊頭式的測驗，無法照顧到每位學童的需求，這個現象一直是教學現 場中無法改進的部份，也因此學童對於數學的學習，開始產生了學習上的障 礙。而九年一貫教育下，數學學習時數明顯減少，大班教學編制下，教師必需 同時對三十幾人的大班級進行課業教學，在課程內容無減少而授課時數縮短

下，教師若能在編制時間內將課程內容教授完畢，已是一大挑戰，更別說教師 是否有時間做補救教學活動，且大班級補救教學是否可以對個別學生有幫助， 是否得以達到適性化補救教學，一直是教學中難以突破的困境。

而科技化的發展，教師可以利用進行電腦輔助教學，與診斷教學方面，電 腦適性測驗（computerized adaptive testing，CAT）可以依據每位學生的程度差 異，給予不同能力範疇的施測方式。它會依學生的能力水準，選擇適當的難度 及數量，即不同的受試者可以接受難易度不同及數量不等的試題。 基於上述，本研究將設計電腦融入數學教學教材，以國小六年級數學課程 綱要中之分年能力指標6-a-02及6-n-06內涵為例。設計「怎樣列式」單元為學習 內容，編製課程所需之教材及測驗。而在診斷測驗方面，電腦化適性診斷測驗 可以利用知識結構來進行試題選擇，當學生上位概念試題答對時，系統則推論 下位概念試題亦正確，學生則可省略下位概念試題不用再作答，如此能依據學 生不同學習狀態，適當的給予不同試題來進行測驗，不僅可以有效的節省測驗 題數，亦可縮短測驗時間，更能符合「因材施測」的原則。本研究將以郭伯臣 教授與曾彥鈞（2007）所開發之以貝氏網路為基礎之電腦化適性診斷測驗 （Bayesian Network Based Adaptive Test，簡稱BNAT）作為研究工具，BNAT不 僅可以利用知識結構進行個別施測及節省施測試題，同時結合貝氏網路推論， 可以診斷出學生子技能及錯誤概念產生的有無，提供教師補救教學時的參考， 不僅對於學生可以「因材施測」，在補救教學方面更可以「因材施教」。透過實 驗研究設計檢驗學生學習成效，同時探討以貝氏網路為基礎之電腦化適性診斷 測驗（BNAT）之省題率和精準度，以及適性選題下錯誤類型與子技能的預測 一致性。

第

第

第

第二

二

二

二節

節

節

節

研究目的

研究目的

研究目的

研究目的

壹、建置於 BNAT 系統，並作系統成效分析。 貳、數位個別指導教學模式的成效分析。

参、數位個別指導補救教學的成效分析。 肆、適性數位補救教學的成效分析。 伍、了解教師與學生對本研究教材與教學模式之意見與回饋。

第三節

第三節

第三節

第三節

名詞

名詞

名詞

名詞釋義

釋義

釋義

釋義

壹、專家知識結構

由數位國小教師與數學教育系教授共同分析國小六年級數學課程綱要能 力指標6-a-02及6-n-06的內容及教學目標，找出單元內重要的學習概念，再根據 學生的學習歷程、概念發展順序及概念間的關係，繪製出「怎樣列式」單元的 專家知識結構。專家知識結構中，最上層的概念為此單元的最難概念，下層則 為較易的下位概念。專家知識結構用於編製教學教材及診斷測驗試題的編製。

貳、學生知識結構

以專家知識結構所編製而成的紙筆測驗進行施測，再依據學生作答反應以

「順序理論」（ordering theory, OT）評估試題順序，再轉化整理出學生學習概

念順序，進而繪製出學生知識結構。學生知識結構用於提供BNAT系統的選題 策略的依據。

参、補救教學結構

以學生知識結構為基礎，參照專家知識結構，並經過數學教育系教授及多 位教學豐富之現職國小教師討論修正，建立補救教學結構。補教教學結構主要 運用於學生進行補救教學時，提供教師概念補救時順序的依據。

肆、數位個別指導模式

利用電腦輔助教學，規劃學生學習模式分為一位個別指導教師對一位學

生，以及一位個別指導教師對二位學生。

伍、數位個別指導教材

以知識結構及貝氏網路為基礎所編製而成的數位個別指導教材，教材可分 為教學用及補救教學用兩大部分，教學用教材包括教師教學手冊，學生單元講 義及數位教學媒體；補救教學方面則包括學生加油手冊及補救教學動畫。

陸、適性選題策略

選題策略以難度最高的最上位節點內的題目做起始題供學生作答，若受試 者作答正確，則系統判定受試者在此概念節點以下的下位概念節點皆理解，測 驗便終止；若受試者答錯，則下一題選題策略將選取下一層次較易的概念內的 題目繼續做答。透過這樣的選題方式不但可以快速而精確的進行適性診斷，並 同時找出學生的尚未理解的概念為何。

柒、以貝氏網路為基礎之電腦化適性診斷測驗（BNAT）

有別於「以知識結構為基礎之適性測驗」只能診斷出學生學習概念的有無 情形，以知識結構結合「貝氏網路為基礎之電腦化適性診斷測驗（Bayesian

Networks Based Adaptive Testing, BNAT）」不但可以診斷出學生學習概念的有無

情形，還可以利用貝氏網路機率推論的方法來診斷出學生學習上的錯誤類型為 何，提供更明確的學生錯誤類型讓教師進行補救教學。

捌、子技能

本研究所指的子技能，是指學生學習九年一貫課程國小六年級數學能力指 標6-a-02及6-n-06時，所需要學習的概念，每一個子技能代表一個概念。

玖、錯誤類型

本研究的錯誤類型，是指學生在學習時，可能發生的迷思概念，通常分為

兩種類型：一是自己學習時的迷思概念，一是全班共有的錯誤類型。本研究將 依學生錯誤之處進行深入探討，經由相關文獻研究和教師小組討論後，定義出 常見的錯誤類型，並整理分類。

第二章

第二章

第二章

第二章 文獻探討

文獻探討

文獻探討

文獻探討

本研究的主要目的是以知識結構與貝氏網路理論為基礎，並且以九年一貫 國小數學領域「怎樣列式」單元為例，結合「教學、診斷測驗與補救教學」的 完整教學模式所研發出一套教材，本數位個別指導教材可以跨版本使用，以及 電腦適性診斷測驗，最後並探討此套教材與電腦適性診斷測驗的實際應用成 效。 在相關文獻部分，本研究針對「以知識結構為基礎的適性測驗選題策略」、 「貝氏網路」、「怎樣列式教材分析」、「適性化補救教學」四個部分來探討。

第

第

第

第一

一

一

一節

節

節

節 以知識結構為基礎的適性測驗選題策略

以知識結構為基礎的適性測驗選題策略

以知識結構為基礎的適性測驗選題策略

以知識結構為基礎的適性測驗選題策略

知識結構是由許多節點（node）所組合而成，並於節點與節點間出現階層 性的組織，最後形成結構化的網路。在知識結構圖中，最上位的概念是該單元 最高階的概念，下位則是最早學到的基本概念（郭伯臣，2005）。（劉景銘2007） 認為教師利用知識結構教學有四點幫助： 一、提昇教師的專業能力：知識結構可讓教師清楚了解單元裡所有概念的 上下位學習關係，配合學生的錯誤或迷思概念，能迅速找出學習瓶頸或造成瓶 頸的原因，藉以用來改進教學策略或進行相關補救教學，提昇教師的專業能力。 二、提昇教師在教學評量的能力：教師能透過知識結構圖的分析，清楚知 道單元教材的上下位關係以及學習難易度，在編製成就評量時，試題比例分配 有明確的依據；且當教師在更深入了解教材內容後，測驗評量的試題能更的符 合其單元教學目標及了解所需學習的知識內容。 三、成為教師自編教材及教材出版者之參考：國小教科書在九年一貫教材 一綱多本的政策下，各家出版社教材皆有差異，因此教師常自編教材以配合學 生學習的需要。而教師利用專家知識結構的分析，可依照重要概念及教材內容 順序來自編教材，補充課本的不足。 四、提供教師選用教材的參考或評鑑教材的基礎：經過知識結構分析，配

合試題順序理論所分析的學生試題結構，可以找出單元內容的排列順序，與學 生的單元內容學習順序，提供教師選用教材的參考，也能針對已進行教學的不 同教材版本做研究比較。 適性測驗（Adaptive Testing）則是依據每位學生的程度不同，給予不同能 力試題的施測方式。受試者在施測的過程中每做完一題，系統會根據作答反應 重新評估受試者能力值，再根據此重新評估的能力值給予適當的題目，直到此 評估能力值精確度達到預先設定的標準值，測驗即告終止（何榮桂，1991）。 現今適性測驗利用電腦高速運算、可儲存測驗資料的特性，發展出電腦適性測 驗（computerized adaptive testing，CAT）。

Wainer（1983）認為電腦適性測驗具備下列優點： 一、效率：使用比較少的試題數就可以準確評估受試者的能力，節省了主 試者與受試者的時間與精力。 二、適應個別差異：選擇適合受試者的題目來施測，降低了受試者的挫折 感，也增加了其作答的動機。 三、快速：電腦將施測結果即時回饋給受試者，並紀錄答題路徑、時間與 總題數，有利於資料的蒐集與統計，作為日後分析研究使用。 四、獨特性：不同的受試者填答不同的題目與題數，可讓試題的保密性更 佳，也可避免受試者作弊。 在郭伯臣（2003）國科會補助研究計畫「國小數學科電腦化適性診斷測驗 （I）（II）（III）」研究中指出，學生知識結構較適合用於描述學生學習後之 狀況，因此可作為電腦化適性診斷測驗進行時如何選擇「最佳下一題」的依據， 且能藉此節省大量施測試題、縮短測驗時間，並精確診斷出學生的錯誤迷失概 念（曾彥鈞，劉育隆，郭伯臣，2006）。而在郭伯臣、謝友振、張峻豪、蔡坤 穎（2005）指出使用良好的試題結構，可有效降低施測題數，該研究中比較了

三種估計試題結構方法，分別為「順序理論」（ordering theory,OT, Airasian & Bart,

1991）及Diagnosys （Appleby et.al., 1997），研究結果顯示，使用「順序理論」 結構之適性測驗選題策略，所需訓練樣本較少與可節省較多施測題數，優於IRS 與Diagnosys，故本研究採用「順序理論」技術來估計試題結構，並作為電腦適 性診斷測驗選題策略的依據。其原理如下： 圖2-1-1 以知識結構為基礎的適性測驗選題策略示意圖 以圖2-1-1為例，從B指向A是表示A為B的上位試題，B為A的下位試 題，若某生答對試題A，表示以下的B到I試題都會答對而省略作答，則可節省 試題數達8題。若試題A是答錯的，則必須再往下施測試題B、C。若試題B答對、 試題C答錯，則只需再施測試題G、H、I，與傳統的紙筆測驗必須將試題A到I 全部作答做比較，此電腦化適性測驗可節省試題D、E、F這3題。 近幾年來，網路及科技的發展迅速，已有相關學者研究並證實藉由線上適 性測驗系統，除了能夠達到個別化適性測驗，節省測驗的時間外，更因其有一 定的精準度辨識學生的錯誤概念，適性補救已不再是夢想（李淑娟，2003）。 有關電腦適性測驗在教育上的應用，相關文獻整理如表2-1-1： 表2-1-1 電腦適性測驗在教育上的應用之相關文獻摘要表 研究者 研究者研究者 研究者 研究摘要研究摘要 研究摘要研究摘要 李淑娟 （2003） 建立以試題結構理論為基礎，且符合SCORM 2004的電腦 化適性測驗系統及動畫補救教學模組。探討此電腦適性化 測驗在達成節省試題、縮短施測時間的功效如何。

表2-1-1 電腦適性測驗在教育上的應用之相關文獻摘要表（續） 研究者 研究者 研究者 研究者 研究摘要研究摘要研究摘要研究摘要 范光輝（2003） 探討電腦化適性測驗是否適用於「大學系列學業性向測 驗」。研究透過傳統測驗總分、試題反應理論能力估計 值與電腦化適性測驗能力估計值的相關，以及電腦化適 性測驗估計受試者能力時，較傳統紙筆測驗的方式節省 多少的題數， 陳宏璋（2003） 利用項目反應理論建置的適性化測驗系統，探討系統給 予的能力值當作英文能力的分級測驗使用，實驗出來的 能力高低，與學校分級的能力高低是否相符。 郭伯臣、何政翰 （2004） 開發電腦適性診斷測驗之四個子系統：多媒體題庫系 統、適性測驗系統、補救教學分類系統以及輔助學習模 組，並透過此系統將學生課堂後的評量與補救學習數位 化及網路化。 郭伯臣、謝友 振、張峻豪、蔡 坤穎（2005） 探討利用不同的的適性測驗演算法作為電腦化適性測驗 施測時的選題策略時，其在「節省試題」和「預測精準 度」等方面的表現為何。

第二節

第二節

第二節

第二節 貝式網路

貝式網路

貝式網路

貝式網路

貝氏網路也叫做貝氏信念網路（Bayesian belief networks）、因果關係網路 （casual networks）、機率網路（probabilistic networks）或者為知識地圖 （knowledge map），主要以有向的無迴路圖（directed acycle graph, DAG）為 基礎，應用其變數之間的因果關係與其相互影響的機率。貝氏網路根基於貝氏 定理，而貝氏定理則是1763年由神學家兼數學家的Thomas Bayes 所提出： ) ( ) ( ) ( ) ( B P A P B|A P A|B P =

P（B|A）表示在給予A的條件下，B會發生的機率，而P（A）為A的先驗 機率和P（B）為B的先驗機率，以上三者是在研究中，先用訓練的資料求得， 貝氏定理可以結合先驗機率（經驗值）與樣本機率（經由訓練樣本得知），並 能有效的利用樣本資訊，引入經驗值來得到理想的統計數值。比起傳統統計方 法只由樣本數統計，貝氏方法可以得到更多資訊。 貝氏網路是一種機率性專家系統（廖嘉雄，2000），利用圖形來表現的模 式，圖形包含節點（node）與有方向性的連結（link），而每個節點都包含相 關連的變數機率值，並且由父點來決定下一個子點的相關機率值。貝氏網路具 有學習的能力，因此網路內各變數的事前機率可以主觀的設定，藉由使用者提 供之證據逐步修正各變數的相關機率值，直到各變數之機率值達一穩定狀態 （潘俊帆，2001）。完整的貝氏網路包含二個部分，分別是節點（node）及連 結（link）。在貝氏網路中，節點代表欲研究的變項；連結代表的是變項之間 的相互關係。連結的有無即代表其節點之間的關係是否為條件相依或條件獨立 的情形，其影響程度則是以條件機率來表徵。所以它可以預測可能的結果並做 出適當的決策。因為教育測驗不確定的因素多，變項也多，極適合利用貝氏網 路的預測力和診斷功能進行推論，近年來也已逐漸被教育測驗範疇所採納，並 且對於診斷或預測推論達顯著的成果。它能幫助教師診斷出學生擁有的迷思概 念，以及子技能和單元目標的學習情形，進而讓教學者依據診斷後的訊息進行 回饋與補救教學。茲將運用貝氏網路於教育測驗上的相關資料，整理如表2-2-1。 表2-2-1用貝氏網路於教育測驗之研究整理表 範 範 範 範 圍圍圍圍 研研研研 究究 主究究 主主主 題題題題 研究者及年代研究者及年代研究者及年代研究者及年代 教材單元 應用貝氏網路診斷國小四年級學童「小數 加減」錯誤類型之研究 施淑娟，許雅菱， 李俊儀，郭伯臣， 劉湘川，（2005） 應用貝氏網路認知診斷模式進行國小五 年級小數單元學習診斷之研究 施淑娟，（2006） 以順序理論提升貝氏網路診斷測驗之成 效—以國小數學五年級領域「數列與圖形 王尉讚（2007）

表2-2-1用貝氏網路於教育測驗之研究整理表（續） 範 範 範 範 圍圍圍圍 研研研研 究究 主究究 主主主 題題題題 研究者及年代研究者及年代 研究者及年代研究者及年代 教材單元 序列」為例 四年級自然與生活科技領域月亮單元之 線上適性學習模式研發 胡朝欽（2008） 語文領域數位個別指導模式之研發—以 「議論文」為例 何名倫（2008） 應用貝氏網路進行國中地理「台灣天氣與 氣候」單元之學習診斷測驗編製及適性補 救教學設計 邱靖惠（2008） ECD評量設計 以證據為中心的數學評量設計—以貝氏 網路為例 郭伯臣，李俊 儀，許雅菱，林 文質（2005） 綜合應用 以貝氏網路為基礎的國中數學相關因素 預測及診斷系統 劉麒峰（2004） 基於貝氏網路分析法之學生評鑑模式 鄭乃塵（2004） 多重貝氏網路在教育測驗上的應用 謝典佑（2005） 以貝氏網路為基礎的適性測驗電腦化的 可行性評估-以國小數學科診斷測驗為例 林垣圻（2005） 應用貝氏網路進行題組試題 游國昌（2006） 結合試題順序理論與貝氏網路之電 腦適性測驗演算法之探究 楊智為、劉育 隆、楊晉民、曾 彥鈞（2006） 結合貝氏網路與知識結構之電腦診斷測 驗及補救教學系統研發－以國小數學領 域「因數與倍數」為例 劉景銘（2007） 結合不同貝氏網路之診斷測驗及補救教 學系統研發—以「圓周長」和「圓面積」 為例 黃秋蓉（2007） 本研究將以貝氏網路為工具來進行推論。先用預試樣本資料進行專業知識 的分析，建立貝氏網路結構模型，再依據線上診斷測驗的資料來進行推論， 並算出聯合機率，推測出學生所擁有的錯誤類型和子技能（劉景銘，2007）。

建立貝氏網路的模型過程分成三部分（楊智為，2007）： 一、根據研究資料，設立貝氏網路節點及連結 根據研究的範疇資料，進行專業知識探討與分析，建立節點與節點之間的 連線關係，其連結需符合該領域資料群體特性及專業知識，組成完整的貝氏網 路結構。 二、設定模型中節點的機率分布 計算所有可觀測節點和未觀測節點的先驗機率及條件機率分布。以觀測的 資料當證據，透過貝氏網路推論，獲得未觀測節點之後驗機率分布。 三、驗證貝氏網路 評估模型填入這些資料是否適合，以及後驗機率對建立模型中所要知道的 節點推論是否正確，用以驗證貝氏網路的正確性。 利用以上步驟所建立的貝氏網路模型，依據相關研究結果，採二元資料輸 入及動態決斷值選取法（許雅菱，2005；郭伯臣、李俊儀、許雅菱、林文質， 2005）以獲得較佳之辨識率，用以辨識學生在學習本單元後，依據所施測的試 題做答反應，推論出學生的子技能及錯誤類型的有無。而學生在作答時，可能 會有猜測答案或是錯誤類型不穩定的情形發生，此時貝氏網路會根據該生在作 答相關題目的情況，以訓練樣本時推論的機率去判斷，降低答題時猜測的影響。

第三節

第三節

第三節

第三節 怎樣列式

怎樣列式

怎樣列式

怎樣列式教材分析

教材分析

教材分析

教材分析

怎樣列式單元中，所要學習的目標為未知數的運算，Kieran（1992）將代 數的認知的歷史分為三個階段： 一、文辭代數階段（rhetorical stage），即Diophantos（A.D.250）之前，缺乏對 「未知數」的符號或特殊記號的使用，主要特徵是使用一般的語言敘述一些 特殊問題的解決法。 二、簡字代數（syncopated algebra），從Diophantos 用縮寫來表示未知量，到 16世紀末。

三、符號代數（symbolic algebra），由Vi-eta 使用字母來替代給定量開始。代 數的使用被作為是證明支配數字關係之規則的一種工具。 本研究的代數是指符號代數，教育部（2003）所規劃的代數概念能力指標 涵蓋從國小到國中九個年級（四個階段）。國小課程的代數學習為基礎為「數 與量」，對「數與量」有充分的了解與掌握之後，才進一步正式的邁入國中代 數領域的學習，在國小學習的代數基礎內容上大致上包括了： 一、能在具體情境中，認識遞移律、交換律、結合律，並能運用於簡化計算。 二、在具體情境中能理解加減互逆、乘除互逆，並能運用於簡化計算。 三、能將具體情境中的問題列成算式填充題，進而類化至使用未知數符號的算 式，並在五、六年級時能嘗試解題並驗算其解，以做為學習「方程式」的 前置經驗。 四、能熟綀運用四則運算的性質，做整數四則混合計算。 五、能用中文簡記常見的公式如：長方形的周長、面積；長方體的體積等。 六、能就國小六年中數與量的各種計算經驗理解等量公理。 七、能在比例的情境或幾何公式中，透過列表的方式認識變數，以做為學習「變 數、函數」的前置經驗。 而Kuchemann（1981）將學生對文字符號的理解與使用分成不盡相同的六 類，並進一步的將學生對文字符號的解釋分成四個認知層次： 層次一：學生能處理文字符號的求值（可用試誤或具體的方法，無須具備解方 程式的能力）、忽略文字符號，或將文字符號當成物件的簡易文字符號問題。 層次二：能作較為複雜文字符號問題，但無法一貫處理特定未知數、一般數、 變數的問題。 層次三：能將文字符號視為特定未知數、一般數或變數，但僅限於結構簡單的 問題。 層次四：能將文字符號視為特定未知數、一般數或變數，且能處理結構較為複 雜的問題。

依據九年一貫的課程綱要本單元所學習的能力指標6-a-02及6-n-06，能力指 標說明如表2-3-1： 表2-3-1 能力指標之分年細目 分 分 分 分 年年年年 細細細細 目目目目 6a 6a 6a 6a---02-020202 能使用未知數符號能使用未知數符號能使用未知數符號能使用未知數符號，，將具體情境中的問題列成兩步驟的算式題，，將具體情境中的問題列成兩步驟的算式題將具體情境中的問題列成兩步驟的算式題將具體情境中的問題列成兩步驟的算式題，，，，並嘗試解並嘗試解並嘗試解並嘗試解 題及驗算其解 題及驗算其解 題及驗算其解 題及驗算其解。。。。 說明： ●本細目為「次要細目」。 ●本細目之發展為讓學生嘗試使用△、□、甲、乙、？、…等符號，將具 體情境中之問題列成含有△、□、甲、乙、？、…等符號的算式，透過加加加加 減互逆運算 減互逆運算 減互逆運算 減互逆運算、乘除互逆運算乘除互逆運算乘除互逆運算、四則運算規則乘除互逆運算 四則運算規則四則運算規則四則運算規則等經驗，學童應可依題意與 自己的解題步驟，將解法列出。所以布題應貼近生活面，提供學生熟悉 的問題情境，協助學生思考。 ●學生使用△、□、甲、乙、？、…等符號，將具體情境中之問題列成算 式後，可讓學生再嘗試將具體情境中之問題列成含有 x、y、…等符號的算 式。 ●對國小學童，運用未知數來列出問題中的數學關係，比較困難。本細 目旨在讓學童練習根據問題的敘述，將欲求的答案用未知數表示，並根 據題目的敘述，列出恰當的算式填充題。由於只是代數的前置經驗，在 學童列題時不管未知數出現在哪裡都可以（例如：15＋5×□＝45）。難度 的上限為兩步驟問題。 ●例如：「小明買一支 15 元的原子筆和 5 枝鉛筆，總共花了 45 元，請 問一支鉛筆多少錢？」，學生可以依題意列式成 15＋5×□＝45，或列出 15＋5×甲＝45 的算式，透過對問題的了解，可以發現全部所花掉的錢減 去原子筆的錢就是 5 枝鉛筆的錢，所以 5×□就等於 30 元，再透過 30÷5 即可算出一支鉛筆的錢。 ●本細目與四年級及五年級相關能力指標之差異為符號係數可以不是 1，但 建議為整數。 ● 本細目配合分數計算之教材，計算之結果可為分數。 6n 6n 6n 6n----06060606 能理解等量公理能理解等量公理能理解等量公理能理解等量公理。。。。 說明： ●能理解「等式左右同加、減、乘、除一數時，等式仍然成立」的概念。 由上述能力指標內容，本單元主要的學習方向為利用未知數解出二步驟的 題目以及認識等量公理。依此指標與相關學科專家討論之後，學生在學習本單

元時，所需學習的子技能整理如表2-3-2： 表2-3-2 能力指標編號技能對照表 能力指標 子技能 文 字 描 述 6-a-02 「 能 使 用 未 知 數 符 號，將具體情境中的問 題 列 成 兩 步 驟 的 算 式 題，並嘗試解題及驗算 其解。」 S1 能算出含有未知數的加，減法文字題。 S2 能算出含有未知數的乘、除法文字題。 S7 能列出含有未知數「＋、×」法的算式。 S8 能列出含有未知數「－、×」法的算式。 S9 能列出含有未知數「＋、÷」法的算式。 S10 能列出含有未知數「－、÷」法的算式。 S11 有未知數「×、÷」法的算式。 S12 能列出含有未知數連乘的算式。 S13 能列出含有未知數連除的算式。 S14 能算出含有未知數「＋、×」的計算題。 S15 能算出含有未知數「－、×」的計算題。 S16 能算出含有未知數「＋、÷」的計算題 S17 能算出含有未知數「－、÷」的計算題。 S18 能算出含有未知數「×、÷」法的計算題。 S19 能算出含有未知數連乘的計算題。 S20 能算出含有未知數連除的計算題。 S21 能算出含有未知數「＋、×」的文字題。 S22 能算出含有未知數「－、×」的文字題。 S23 能算出含有未知數「＋、÷」的文字題。 S24 能算出含有未知數「－、÷」的文字題。 S25 能算出含有未知數「×、÷」法的文字題。 S26 能算出含有未知數連乘的文字題。 S27 能算出含有未知數連除的文字題。

表2-3-2 能力指標編號技能對照表（續） 能力指標 子技能 文 字 描 述 6-n-06 「能理解等量公理。」 S3 能理解等式兩側同減一數，等式不變。 S4 能理解等式兩側同加一數，等式不變。 S5 能理解等式兩側同除一數，等式不變。 S6 能理解等式兩側同乘一數，等式不變。 學童在解怎樣列式試題時，會出現的迷思概念，相關研究已經不少，以下 由研究者自行整理出相關錯誤類型表2-3-3。錯誤類型用來設計誘答選項，從相 關的研究中可以找出學生常犯錯的迷思概念，利用這些概念設計出所需的誘答 反應，如此更能進一步確定學生的迷思概念。 表2-3-2 錯誤類型整理表 錯誤類型 錯誤類型錯誤類型 錯誤類型 舉例舉例舉例舉例 文獻研究文獻研究文獻研究文獻研究 （B1）直接尋求題目中有 出現的數字當做答案。 （B2）題意應使用加法算 式卻使用其他錯誤運算。 y＋6 誤想成 y－6、y×6、y÷6 王佳文（民 84） 秦麗花（民 84） （B3）題意應使用減法算 式卻使用其他錯誤運算。 y－6 誤想成 y＋6、y×6、y÷6 王佳文（民 84） （B4）題意應使用乘法算 式卻使用其他錯誤運算。 y×6 誤想成 y＋6、y－6、y÷6 王佳文（民 84） （B5）題意應使用除法算 式卻使用其他錯誤運算。 y÷6 誤想成 y＋6、y－6、y×6 王佳文（民 84） （B6）列式為加法，移項 過後還是使用加法。

y＋6＝10⇒y＝10＋6⇒y＝16 王佳文（民 84）

（B7）列式為減法，移項 過後還是使用減法。 y－6＝10⇒y＝10－6⇒y＝4 王佳文（民 84） 邱志賢、毛國楠 （民 91） （B8）列式為乘法，移項 過後還是使用乘法。 2y＝6⇒y＝2×6⇒y＝12 王佳文（民 84） 邱志賢、毛國楠 （民 91）

表2-3-2 錯誤類型整理表（續） 錯誤類型 錯誤類型錯誤類型 錯誤類型 舉例舉例舉例舉例 文獻研究文獻研究文獻研究文獻研究 （B9）列式為除法，移項 過後還是使用除法。 y÷3＝6⇒y＝6÷2⇒y＝3 王佳文（民 84） 邱志賢、毛國楠 （民 91） （B10）等量公理加法概 念錯誤。 無法理解等量加法公理 陳紹銘（民 95） （B11）等量公理減法概 念錯誤。 無法理解等量減法公理 陳紹銘（民 95） （B12）等量公理乘法概 念錯誤。 無法理解等量乘法公理 陳紹銘（民 95） （B13）等量公理除法概 念錯誤。 無法理解等量除法公理 陳紹銘（民 95） （B14）兩段式列式中少 列一個要素。 y÷12－8 列成 y－8 或 y÷12 秦麗花（民 84） （B15）列式中忘了加括 號。 例如：（y－10）÷2 列式成 y －10÷2 王佳文（民 84） 邱志賢、毛國楠 （民 91） （ B16 ） 大 的 數 減 小 的 數。 秦麗花（民 84） （B17）計算錯誤。 例如：減法未退位 秦麗花（民 84） （ B18 ） 不 同 單 位 做 運 算。 「顆」和「盒」不同的單位 卻做運算。 邱志賢、毛國楠 （民 91） （B19）忘記先乘除後加 減。 王佳文（民 84） （B20）錯誤理解 直接將題目中所看到的數字 做運算。 邱志賢、毛國楠 （民 91） 以上能力指標分析、能力指標子技能及錯誤類型整理表，將做為「怎樣列 式」紙筆預試試題、數位個別指導教材、電腦化適性診斷測驗以及補救教材編 製的依據。

第四節

第四節

第四節

第四節 電腦化適性補救教學

電腦化適性補救教學

電腦化適性補救教學

電腦化適性補救教學

補救教學（remedial instruction） 是一種診療式教學（clinical teaching）， 教師先診斷學生學習的困難，選擇好接受補救教學對象後，再進行一連串積極 的教學活動（張新仁，2001）。當教師發現學生在學習上出現困難後，針對困 難診斷出迷思概念從哪裡發生，並針對問題設計合宜的教學活動，幫助學生達 成學習目標。而有效的補救教學計畫來自於正確診斷，而透過診斷的觀察、測 驗、晤談，我們可以對學生的先備知識及迷思概念有所瞭解，然後再決定補救 教學的方向，這樣的「診斷─教學」是一個不斷循環的過程，直到學生能達到 學習目標（郭生玉，2004）。補救教學是在教師診斷學生學習困難處之後，提 供對症下藥的教學策略，幫助學生解決學習上的困難，學會該階段應有的技 能，以利下一個階段的學習，所以補救教學是一種「評量-再學習-再評量」的 循環歷程（陳卿斌，2005）。最理想的狀態是每一位學生都有專人指導做最有 利的個別學習補救教學，但現實環境受限於人力、時間、資源等因素，無法因 應個別學生的學習差異逐一教導。因此，為讓補救教學有最大成效，應積極找 出最適合學生的適性補救教學。由於現代科技發達，電腦輔助教學也被用來作 為提供學生補救教學的方法。

1980 年代末期，美國科學促進協會（American Association for the

Advancement Science，AAAS） 提出「2061 專案」（Science for All Americans

Project 2061），它強調科學與科技的結合，讓學生在上課所學的科學知識也能

應用在日常生活中。而隨著電腦技術的不斷精進，以電腦作為教學媒體，協助 教師進行教學，幫助學生學習教材的電腦輔助教學（Computer Assisted

Instruction，CAI）也開始被採納。

Hicks & Hyde（1973）認為「CAI 是一種直接運用電腦交談模式來呈現教 材，並控制個別化學習環境的教學過程。」 Sipple & Sipple（1980）對它的定

義是「CAI 是一種將學生安置在已編寫好的電腦互動模式課程中的教育觀念， 電腦依照學習者先前的學習反應，選擇下一個適當的主題或單元，並允許學習 者按照自己的學習能力調整進度。」 而國內對 CAI 的定義如饒達欽（1990）： 「藉由電腦程式的規劃，使得學習內容有序顯示，學習者並可隨機控制學習進 度及內容的過程。」 張新仁（2000）提出 CAI 的特色有五項，簡單說明如下： 一、立即回饋：不論學生的程度、能力、動機或態度，只要投入學習，電 腦即可做出適度的反應，提供立即的回饋。 二、提高信心：學生若做出正確反應，電腦即提供積極增強，給予大大的 獎勵。若反應錯誤，則給予提示正確答案。 三、容易操作：只要學習按鍵操作即可，簡便且易記易學。 四、用途廣泛：教師製作的電腦軟體，針對學生的個別需要而設計課程， 符合個別教學的原則，也可針對特殊的觀念與問題，做大量練習。 五、可以自訂進度：低成就學生的學習進度緩慢，難以跟上全班的進度， 電腦輔助教學可依個人能力與程度，循序漸進呈現新的教材。 洪旭亮（2006）於研究中指出，隨著電腦科技發展及不同程式語言的使用， CAI 也有了不同的發展，說明如下： 一、傳統電腦輔助教學 在行為主義的學習理論下，強調反覆練習及回饋機制，教材呈現編序性， 讓使用者反覆練習及給予適當回饋。 二、智慧型電腦輔助教學 加入人工智慧技術來發展高度個別化的教學軟體，讓 CAI 更具智慧，能了 解內容、對象、何時教及怎麼教。 三、多媒體電腦輔助教學 將各種不同的文字、圖片、動畫、聲音等媒體輸入電腦之中，整合成教材

來進行教學，可以使內容更活潑生動，吸引學習者目光，在學習者與系統間有 更好的溝通，但仍受限於單機平台，僅能在某些專屬電腦使用。 四、網路化電腦輔助教學 前述三項輔助教學皆建置於電腦單機，若將課程架設於網路上，利用網路 連結和及即時互動設計之特性，建構出一個共同學習的社群，可彌補上述 CAI 中互動性不足之缺點，此乃當前補救教學之走向。 本研究的電腦適性化診斷測驗將採用OT順序理論為基礎的試題順序結 構，經由學生作答的反應，給其對應的題目，期望能節省測驗題數，降低學生 因為題數太多而隨意猜測的影響。適性補救教學系統是利用線上施測，可以協 助教師補救教學，輔助學生學習活動。透過電腦線上作答，學生的錯誤概念及 錯誤類型會顯示在學習診斷報告書中，由於學生的不同作答反應，可以偵測出 學生個別的錯誤概念，教師可以藉由學習診斷報告書中所提供的資訊對於學生 做不同補救教學概念加強，達到適性化的補救教學。而線上施測的優點，學生 除了從教師方面可以獲得錯誤概念的澄清以外，電腦也可以針對錯誤的地方， 給予個別化的補救策略，讓學生自行在與電腦互動的學習情境下，得到概念的 澄清與能力的學習。利用網路無遠弗屆和即時反應的特性，學習者能依照個人 的進度來學習，給予立即而正向的回饋，提高補救教學的成效。

第三章

第三章

第三章

第三章

研究方法

研究方法

研究方法

研究方法與步驟

與步驟

與步驟

與步驟

第一節

第一節

第一節

第一節

研究對象

研究對象

研究對象

研究對象

本研究包括試題預試以及正式施測兩階段；

壹、預試對象

預試對象採立意取樣，預試資料將做為訓練貝式網路之依據，需要較多的 樣本數，故選擇十二個已經教完「怎樣列式」單元的班級，包括桃園市五個班、 台中市一個班、南投縣一個班、彰化市一個班、高雄縣二個班及台東縣二個班， 有效樣本共計322人。

貳、教學實驗對象

電腦適性測驗之教學實驗對象，對象為九十六學年度參與臺中教育大學第 一屆適性學習夏令營六年級學生。採隨機分派分成三組。其中，實驗組A為一 對一個別指導組31人，實驗組B為一對二個別指導組30人，對照組為團班教學 組31人，有效樣本共92人。實驗時間為96年8月22日。

第二節

第二節

第二節

第二節

研究工具

研究工具

研究工具

研究工具

本研究之主要研究工具為相關的統計分析軟體、自編「怎樣列式單元診斷 測驗」、BNAT貝氏網路電腦適性診斷測驗系統、自編「數位個別指導教材」 及自編「數位個別指導教材使用回饋問卷」：

壹、相關的統計分析軟體

一、OT 軟體： OT軟體。郭伯臣、田聖才（1995）在本研究中是要找出學生的知識結構，

瞭解學生概念學習的上下位關係，用以建立學生「怎樣列式」單元的學生知識 結構。

二、MATLAB 軟體：

MATLAB 是一種 數 值分析模 擬軟體 。 郭伯臣、 謝典佑 （2007） 利用 MATLAB 軟體開發貝氏網路測驗分析軟體Test Analysis Software based on Bayesian Network （TASBN） ，本研究採用TASBN作為分析貝氏網路資料的 工具。將學生的預試與前、後測資料輸入後，便可得到貝氏網路預測子技能概 念的有無與錯誤類型發生機率，再與真值適性全測比較出預測一致性與精準 度。 三、SPSS 統計軟體： SPSS是一種被廣泛使用的統計套裝軟體，它能協助研究者快速計算資料以 提供適切解釋資料所呈現的意義。本研究以此軟體分析實驗設計中，不同教學 模式的前、後測表現及差異水準，施測試題的信度等，以瞭解自編的教材、測 驗系統與補救教學是否都能達到預期的效果。 四、電腦線上測驗系統

本研究所使用的BNAT （Bayesian Network-based Adaptive Test，簡稱 BNAT）電腦線上診斷測驗及適性補救教學系統，是由郭伯臣、曾彥鈞（2007） 所開發，依據試題結構作為選題策略，再使用貝氏網路作為推論引擎來進行電 腦診斷測驗和補救教學實驗。

貳、「怎樣列式」單元診斷測驗

一、建立專家知識結構： 專家知識結構的建立是經3位教授及10位具有豐富教學經驗之現職國小教 師，以國小數學課程綱要能力指標「6-a-02能使用未知數符號，將具體情境中

的問題列成兩步驟的算式題，並嘗試解題及驗算其解」及「6n-06能理解等量 公理」為課程內容，參照各版本教師手冊、坊間相關單元之教材內容後，分析 出學生學習本單元所需的概念節點，並依照專家認為的概念發展順序編製如圖 3-2-1 的「怎樣列式」專家知識結構，共計有27個概念節點。 圖3-2-1 「怎樣列式」單元專家知識結構圖 二、編製試題 根據上述所建立出的專家知識結構概念節點，將概念節點試題化，編製「怎 (S7)能 列出含 有未知 數「＋、 ×」法的 算式。 (S1) 能算出含有未知數的 加，減法文字題。 (S2) 能算出含有未知數的 乘、除法文字題。 (S3)能理解等 式兩側同減一 數，等式不變。 (S4)能理解等 式兩側同加一 數，等式不變。 (S5)能理解等 式兩側同除一 數，等式不變。 (S6)能理解等 式兩側同乘一 數，等式不變。 (S8)能 列出含 有未知 數「－、 ×」法的 算式。 (S9)能 列出含 有未知 數「＋、 ÷」法的 算式。 (S10)能 列出含 有未知 數「－、 ÷」法的 算式。 (S11)能 列出含有 未知數 「×、÷」 法的算 式。 (S12) 能列出 含有未 知數連 乘的算 式。 (S13) 能列出 含有未 知數連 除的算 式。 (S14)能 算出含有 未知數 「＋、×」 的計算 題。 (S15)能 算出含 有未知 數「－、 ×」的計 算題。 (S16)能 算出含 有未知 數「＋、 ÷」的計 算題。 (S17)能 算出含 有未知 數「－、 ÷」的計 算題。 (S18)能 算出含 有未知 數「×、÷」 的計算 題。 (S19)能 算出含 有未知 數連乘 的計算 題。 (S20)能 算出含 有未知 數連除 的計算 題。 (S21)能 算出含 有未知 數「＋、 ×」的文 字題。 (S22)能 算出含 有未知 數「－、 ×」的文 字題。 (S23)能 算出含 有未知 數「＋、 ÷」的文 字題。 (S24)能 算出含 有未知 數「－、 ÷」的文 字題。 (S25)能 算出含 有未知 數「×、÷」 法的文 字題。 (S26)能 算出含 有未知 數連乘 的文字 題。 (S27)能 算出含 有未知 數連除 的文字 題。

樣列式」單元紙筆診斷測驗試題共計31道試題，如附錄一。每個概念節點出一 至二題試題，試題以選擇題方式呈現，每題有四個選項。在選項誘答方面，研 究者依據學生學習時常犯之迷思概念及參考過去與本單元有關之錯誤類型研 究文獻，整理如表2-3-2，以這些常犯的錯誤類型設計誘答選項，且平均分配在 全部的試題中。本研究所編製之試題，將做為「單元教學後」及「補救教學後」 適性診斷測驗使用。 三、試題信、效度分析 （一）預試效度 本測驗之效度採專家效度。測驗試題的編製是依據專家知識結構之概念節 點來設計，並於試題草擬完成後，再諮詢三位教育大學專精於國小數學適性測 驗的老師，以及十位進修於數學教育學系碩士班、測驗統計研究所，且具豐富 教學經驗的國小現職教師，共同審查試題及誘答選項設計是否得宜，並提供修 改意見，使試題內容具有專家效度。 （二）預試信度 本 測 驗 之 信 度 採 用 內 部 一 致 性 之 Cronbachα 係 數 ， 所 得 總 試 題 的 α 值 為.873，表示此份試卷信度頗佳，數據如附錄一所列。 （三）試題的難度 本研究以通過率表示本測驗的難易度，計算全體受試者對該試題答對人數 的比率，稱之為難度指數（item difficulty index），難度指數愈高，代表該試題 愈容易；反之，則代表該試題愈難。受試總人數在本紙筆診斷測驗試題的難度 值介於0.23~0.96，平均難度為0.70，數據如表3-2-1，其中試題1、2通過率過高； 試題29、30通過率過低。

（四）試題的鑑別度 鑑別度是採用點二系列相關係數，鑑別度均在.23以上，大多介在.3～.5。

参、BNAT適性診斷測驗暨學習系統：

利用郭伯臣、曾彥鈞（2007）所開發之貝氏網路線上測驗平台，進行電腦 適性診斷測驗及適性補救教學。紙筆測驗預試前，研究者先建立貝氏網路雛 型，預試完成以後，研究者與學科專家共同以人工閱卷方式針對預試資料做分 析，由作答資料中判斷學生的能力指標、概念節點及錯誤類型的有無情形，以 此資料驗證所建立的貝氏網路與專家判斷有無的一致性，其計算方式如下： 假設專家及貝氏網路所判斷出來的結果： 其中N為總施測樣本個數， N11為專家判斷學生有此項子技能或錯誤類型， 而貝氏網路亦判斷學生有此項子技能或錯誤類型的個數；N00為專家判斷學生無 此項子技能或錯誤類型，而貝氏網路亦判斷學生無此項子技能或錯誤類型的個 數。由此計算電腦判定與專家判定的一致性比率，比率越高則越符合貝式網路 的架構。

肆、數位個別指導教材及補救教材：

數位個別指導教材及補教教學教材，紙本部份包括教師教學手冊、學生單 元講義、學生加油手冊，共計三本；教學媒體部分包括教學用PPT及補救教學 用Flash。 適性作答 Yes（1） Yes（0） 全測作 答真值 Yes（1） N11 N10 Yes（0） N01 N00 根據上表，辨識率＝ （N11＋N00） N

一、教材編製之依據： 本研究依「專家知識結構」編擬教學用教師教學手冊與學生單元講義，以 「補救教學結構」編擬學生加油手冊做為補救教學教材。 二、教材與補救教材之使用： 學生單元講義及學生加油手冊的使用者均為學生。前者為教學時，搭配PPT 教學媒體使用，其內含「怎樣列式」單元所有教學範例及重點整理，並附有自 我挑戰題讓學生自我練習；後者為補救教學時，搭配Flash教學媒體使用，其內 含「怎樣列式」單元所有迷思概念補救教學之布題及重點整理，並附有綜合進 階練習題讓學生在補教教學完成後能有更深入的練習。教師教學手冊的使用者 為個別指導師，其包含學生單元講義及學生加油手冊內所有教學活動設計，並 附有詳解。個別指導師需依據教師教學手冊的教學流程來指導學生及補救學生 的錯誤概念。 三、教學媒體之使用： 教學時，以PPT做為數位個別指導使用，個別指導教師只需透過鍵盤或滑 鼠的操作，再根據PPT上的文字及動畫做適當的說明即可。補救教學Flash則提 供學生自學的途徑，學生可以透過補救Flash發現自己的錯誤迷思，個別指導教 師再從旁指導即可。

第三節

第三節

第三節

第三節

研究流程

研究流程

研究流程

研究流程與實驗設計

與實驗設計

與實驗設計

與實驗設計

本研究首先確定所要教學的國小數學領域的能力指標，接著分析能力指標 的內容，再與學科專家一起建立專家知識結構後，依據專家知識結構編寫教學 教材，並同時編製施測試題，完成後將試題進行預試及修訂，預試資料輸入OT 軟體得到學生知識結構，結合專家知識結構與學生知識結構，再聽取數學科專 家及現場實地教學教師的意見後，整合出補救教學知識結構，最後建置BNAT 系統後進行教學實驗。詳細的研究流程如圖3-3-1。

圖3-3-1 研究流程圖 為瞭解電腦適性診斷測驗搭配不同教學模式下的教學效果以及補救教學 效果，本研究舉辦暑期營隊方式進行教學實驗，受試學生採自由報名方式募 集，在進行實驗之前，每個參與學生都必須做一份數學起點能力測驗，施測時 間為45分鐘，內容則是依據教育部（2003） 頒布之九年一貫數學學習領域正 式綱要中國小五年級能力指標內容編製起點行為檢測試卷，目的在瞭解受試者 的起點能力，並做為後續資料分析之共變量。而實驗中教學的個別指導教師及 團班教師則是招募台中教育大學大三、大四修過教材教法的學生及在職老師， 並再實驗前接受過一星期的職前訓練。 蒐集文獻資料，分析能力指標「6-a-02」及「6-n-06」教學內容，訂出子技 能與錯誤類型 建立專家知識結構 編製教學教材 編製預試試題 紙筆預試 修正試題，建立測驗題目，分析測驗 信度 建立複本題目 數位化試題 分析學生知識結構 編製補救教學教材及數位化補救教 學動畫教材 建立補救學結構 進行實驗 規劃貝氏網路初始模型 擬定研究方向

本研究以自行研發之數位個別指導教材為基礎，進行如表3-3-1的準實驗研 究設計，從進行教學實驗到補救教學實驗，都採用「不等組前後測實驗設計」； 依據指導模式分成三組，分別為實驗組A（一位教師配對一位學生）、實驗組B （一位教師配對二位學生）和對照組（一位教師配對團班學生）。學生隨機分 配到各組，接著進行不同指導模式的教學，單元教學實驗為每45分鐘進行一教 學活動，共計四節課180分鐘，為控制教師個人的教學成效進而影響實驗結果， 個別指導教師必須嚴格遵從教學手冊中所照教學手冊中所規劃的方法、內容、 步驟進行指導。 單元教學完畢之後，進行適性前測。首先進行系統使用講解10分鐘，再以 BNAT系統進行測驗35分鐘，測驗畫面如圖4-1-1，測驗完畢後由系統產生學習 診斷報告書。接著實驗組A及實驗組B的個別指導教師分別依據學生個別學習 診斷報告書上之補救重點，進行一對一及一對二的個別補救教學或線上動畫補 救教學；對照組教師則依據全班學生所產生之錯誤概念累積次數統計表，由全 班錯誤率最高的重點開始，進行全班補救教學，補救教學的時間為45分鐘。 補救教學結束後三組受試者再以BNAT系統進行第三次測驗35分鐘，以瞭 解補救教學之成效。並請學生填寫回饋單（10分鐘），以作為後續分析教材實 用性與修正教材內容的參考。

圖3-3-2 實驗設計流程圖

第四節

第四節

第四節

第四節

資料處理與分析

資料處理與分析

資料處理與分析

資料處理與分析

壹、資料收集

本研究的資料收集分成以下三個階段： 一、透過自編之紙筆測驗試題進行預試，得到學生作答反應。 二、彙整學科專家的意見，修正並確立貝氏網路結構。 個別指導教師集訓 學生進行起點行為檢測 一對一 指導教學 電腦化適性前測 全班錯誤次數報告表 資料分析 一對二 指導教學 團班 指導教學 一對一 補救教學 一對二 補救教學 團班 指導教學 個人診斷報告書 電腦化適性後測

三、經由正式施測得到分析資料。

貳、統計分析方法

一、共變數分析 本研究主要目的在探討使用相同教材的前提下，不同教學指導模式的學 生，在接受單元教學及補救教學實驗後，其前、後測分數有無差異。實驗過程 中，使用隨機分組方法分出三組學生，同時限制每位教師均須完全依照教師教 學手冊中所列的指導方法、教學內容、教學順序來進行教學，將個別指導教師 的個人影響因素儘量排除到最低，以瞭解「怎樣列式」單元教材在不同教學指 導模式下，單元教學及補救教學成效上是否具有差異。然而由於是隨機分組， 為了排除隨機分組時各組的能力造成差距，所以先將受試學生做數學起點能力 測驗，已確定隨機分出的三組受試學生「數學起點能力相等」，故在考驗不同 教學指導及補救教學模式的成效有無不同之前，須先將「數學起點能力」所造 成的干擾效果予以排除，確立三組受試學生在前、後測分數的差異乃因不同教 學模式的成效所致。 所以資料分析將以「不同教學、補救教學模式」為自變數，「三組受試學 生的前、後測分數」為依變數，「三組受試學生在起點行為測驗、前測上的得 分」為共變數，分別考驗在教學與補救教學實驗後，各組學生平均數的差異情 形。

叁、資料處理與分析

分成兩個部分陳述： 一 一 一 一、、、紙筆預試資料之分析、紙筆預試資料之分析紙筆預試資料之分析紙筆預試資料之分析 （一）紙筆測驗所收集的預試資料，彙整出學生的作答反應，透過 Excel 軟體

及 SPSS 統計套裝軟體，分析測驗試題的信度及試題的難度、鑑別度，同時修 正試題。 （二）研究者與領域專家共同針對預試資料進行人工分析，由作答反應判斷出 受試學生的錯誤類型、子技能及能力指標之真正有無情形，也就是真值， 並利用 Excel 軟體將研判結果整理建檔。 （三）使用郭伯臣、田聖才（1995）研發之學生試題結構分析軟體（OT）， 在設定適當的閾值下，分析出學生試題結構，作為電腦適性診斷測驗選題 策略的依據。本研究在預測精準度設定為 95%之下，最佳學生試題結構是 在閾值設定為 0.045 時的結構。之後再根據學生試題結構及專家知識結構編 製補救教學結構。 （四）依據受試樣本之能力指標、子技能、錯誤類型、題目等資料，以及確立 好的貝氏網路圖型模式，使用郭伯臣、謝典佑（2007）研發之貝氏網路測 驗分析軟體 （TASBN）計算出貝氏網路之最佳辨識率，完成以學生知識結 構結合貝氏網路為基礎的電腦適性診斷系統建置工作。 二 二 二 二、、、正式施測後所得資料之分析、正式施測後所得資料之分析正式施測後所得資料之分析正式施測後所得資料之分析 （一）以全部實驗組與控制組之電腦適性診斷測驗的前測分數，採用 SPSS 統 計 套裝軟體共變數分析，以起點分數為共變項，教學模式的不同為自變項， 前測分數為依變項，進行個別指導與團班教學之不同教學模式的學習成效 比較。 （二）以實驗組（A）與實驗組（B）之電腦適性診斷測驗的前測分數，採用 SPSS 統計套裝軟體共變數分析，以起點分數為共變項，不同教學模式為自 變項，前測分數為依變項，進行一對一教學與一對二教學之不同指導方式 的學習成效比較。

（三）以全部實驗組與控制組之電腦適性診斷測驗的後測分數，採用 SPSS 統 計套裝軟體共變數分析，以前測分數為共變項，教學模式的不同為自變項， 後測分數為依變項，進行個別指導與團班教學之不同教學模式的補救教學 成效比較。 （四）以實驗組（A）與實驗組（B）之電腦適性診斷測驗的後測分數，採用 SPSS 統計套裝軟體共變數分析，以前測分數為共變項，不同教學模式為自 變項，後測分數為依變項，進行一對一教學與一對二教學之不同指導方式 的補救教學成效比較。 （五）以電腦適性診斷測驗的前測分數為基礎，將實驗組（A）、實驗組（B） 與控制組皆分成高、中、低三組，再使用 SPSS 統計套裝軟體，採用相依樣 本 t 檢定，檢定各組內高、中、低三組之補救教學模式的進步成效。並採用 獨立樣本單因子變異數分析，檢定各組內高、中、低分組之間、後測分數 進步幅度是否有顯著差異。 （六）分析受試者在「適性測驗下預測作答反應」與「完整測驗下實際作答反 應」之貝氏網路推論（錯誤類型、子技能）的一致性為何。其各項計算公 式如下： 1.省題率＝ 2.預測精準度＝ （七）利用 Excel 軟體統計適性測驗所能節省的題數及預估準確率，以驗證本 研究之適性診斷系統能節省的題數及能達到預測精準度為何。 （八）「團班教學與個別指導教學教師問卷」與「學生學習回饋單」，用以了 解教師及學生對數位個別指導教材的使用建議。 電腦適性診斷測驗節省題數 測驗總題數 實際作答題數+電腦適性診斷測驗預測正確題數 測驗總題數

第四章

第四章

第四章

第四章 研究結果

研究結果

研究結果

研究結果

本章將依據第一章所述之研究目的，分成五節呈現本研究所研發之教材及 其應用之結果並進行討論。第一節主要說明以知識結構及貝氏網路為基礎的電 腦適性診斷測驗線上題庫的建置結果以及施測結果、節省題數、預測之正確率 和錯誤類型及子技能的平均辨識率如何。第二節主要在探討不同教學模式下的 教學成效差異。第三節主要在探討不同教學模式下的補救教學成效差異。第四 節主要在探討「適性數位補救教學」在不同教學模式中，對學生學習成效之影 響。第五節主要從使用者觀點來說明數位個別指導教材及補救教材的內容的適 用性。

第一節

第一節

第一節

第一節 BNAT 系統的建置

系統的建置

系統的建置與成效分析

系統的建置

與成效分析

與成效分析

與成效分析

研究將「怎樣列式」單元的貝氏網路、學生知識結構、測驗試題及補救教學 動畫建置在 BNAT 系統上。當學生在學習完成一個單元後，即可利用此系統進行 線上測驗，系統畫面如圖 4-1-1、圖 4-1-2。 圖 4-1-1 BNAT 適性診斷測驗暨學習系統

圖 4-1-2 選擇施測單元 BNAT 系統在線上測驗時，會依照學生不同的能力適性化的選題，給予受測 者不同的測驗題目；系統依照知識結構，選取最上位概念的試題施測，接著由學 生的作答反應，依序適性選擇學生的施測題目，直到達中止條件施測即完成，如 圖 4-1-3。 圖 4-1-3 BNAT 試題畫面 適性試題施測完畢後，BNAT 系統會立刻產生一份診斷報告，如圖 4-1-4，由 於研究要判斷系統的預測精準度，必須利用學生真正的作答反應當作真值，所以 BNAT 系統雖然已達中止條件，學生還是需要做完所有試題，如此方可計算電腦

適性化診斷測驗的節省題數及時間。

從診斷報告中，學生可以自行針對錯誤的題目得到正確的解說，如圖 4-1-5， 並進行動畫補救教學，如圖 4-1-6。 圖 4-1-5 錯誤題目解說畫面 圖 4-1-6 動畫補救教學畫面