應用二階段貝氏網路適性學習系統進行補救教學之成效分析－以比、比值與成正比單元為例

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國立臺中教育大學數學教育學系

國小教師在職進修教學碩士班碩士論文

指導教授：施淑娟博士

應用二階段貝氏網路適性學習系

統進行補救教學之成效分析

－以比、比值與成正比單元為例

研究生：林玉華撰

中華民國一 ○ ○ 年六月

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誌謝

覺得自己真的是個幸運兒，幸運的考上台中教育大學數教所的碩士班，幸運的跟著認真指導我的淑娟老師學習做研究，幸運的跟我那三位同甘共苦的好姐妹一同奮鬥寫論文。兩年來一邊工作，一邊進修，時常忙得焦頭爛額，但卻甘之如飴，因為這是任教八年後再踏入學校學習的好機會。我的指導教授─施淑娟博士是一位盡責的好老師，每每跟老師討論論文進度時，總能感受她如沐春風的引導，除了具備專業的指導能力外，老師更是時時鼓勵我、勉勵我，讓我能在一次次挫折中鼓起勇氣再往前衝。跟著和藹可親、幽默風趣的淑娟老師擬定的步伐走，在寫論文過程中既平穩又踏實，更使我獲得許多寶貴的學習經驗，老師真的很謝謝您，我的選擇果然是對的。接下來是受害頗深的楊智為學長，總被我們四個學妹輪流叨擾轟炸，連在國外也不放過他，辛苦你了敬愛的學長。想起自己老是在思緒慌亂中打電話求救，但學長總是不疾不徐，耐著性子再三解釋統計報表所代表的意義，就像是濃霧中引領的燈塔，令我感到相當可靠放心，著實感謝學長這兩年的指導，我的論文才能這麼順利完成。我的夥伴們：靜惠、怡雯和秀如，這兩年有妳們的陪伴，讓我覺得任何難關都可以突破。靜惠就像火車頭，帶領著我們三人不斷向前衝，因為有妳，我才能不怠惰的持續論文的寫作，我要向妳致謝；怡雯細心的提醒我撰寫論文時應注意或避免的錯誤，省了我許多嘗試錯誤的時間，貼心的妳總為我們準備「幸運車票」，謝謝妳，我會一輩子珍惜的；而秀如就是我心靈的守護天使，每當我遇到瓶頸、挫敗，妳總在一旁安慰我，讓我再次充滿活力面對挑戰，能跟妳們一起學習，我真是太幸運了，謝謝大家。最後，我要感謝家人的支持與付出，我愛你們。玉華 2011.06.28

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摘要

本研究是以國小六年級「比、比值與成正比」單元為研究領域，主要探討應用「二階段貝氏網路診斷測驗暨適性學習系統」為工具，進行適性化電腦自學、資訊融入教學、傳統教學三種不同的補救教學模式後，對學生學習成效的影響。其中使用的教學媒體，係指研究者針對此單元學生易犯的迷思概念，以認知衝突理論為依據所自編之教學動畫。並探討不同性別之實驗組學生其補救教學成效及學後保留成效之差異。此外，亦探討上述兩組實驗組學生對本研究應用二階段貝氏網路學習系統進行自學及進行資訊融入數學補救教學之學習意見。研究方法採用不等組準實驗設計，研究對象為台中市某國小六年級學生，一班採適性化電腦自學模式（實驗組Ⅰ）、一班採資訊融入教學模式（實驗組Ⅱ）與另一班採傳統教學模式（控制組），實驗完成後，各組的有效樣本均為 27 人。研究結果發現： 1、在補救教學成效及學後保留成效上，適性化電腦自學模式的學生在測驗表現顯著優於傳統教學模式之學生，其餘組別則無顯著差異。 2、在適性化電腦自學模式中，高分組及低分組的學生後測表現顯著優於前測表現；在資訊融入教學模式中，低分組的學生後測表現顯著優於前測表現，高分組則無差異。 3、不同性別之實驗組學生，在補救教學成效及學後保留成效均沒有顯著差異。 4、在不同的補救教學模式下，學生的迷思概念平均進步率為「適性化電腦自學模式」（7.68%）優於「資訊融入教學模式」（7.00%）優於「傳統教學模式」（5.08%），惟其差異並未達到統計上的顯著。 5、在不同的補救教學模式下，學生數學概念達成率之平均進步率為「適性化電腦自學模式」（19.61%）優於「資訊融入教學模式」（17.65%）優於「傳統教學模式」（12.64%），惟其差異並未達到統計上的顯著。 6、實驗組全體學生對於應用二階段貝氏網路適性學習系統進行自學或進行資訊融入數學活動持非負向看法達九成以上，顯示學生對此兩種學習模式反應極佳。

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關鍵詞：二階段診斷測驗、比、比值與成正比、貝氏網路適性學習系統、補救教 學

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Abstract

This study aimed at exploring the effects of of remedial instruction using two- tier Bayesian network adaptive learning system on students’ learning achievement. The research field focused on the “ratio, proportion and direct proportion” unit in sixth grade and three different remedial instruction models (experiment group I: adaptive computerized self-learning, experiment group II: information technology integrated instruction and control group: traditional teaching) were compared in this study. The teaching media used in the two experiment groups were the teaching animation designed using cognitive conflict theory to eliminate students’ misconceptions in the unit. In addition, the differences in the remedial instruction effect and the learning retention effect of different gender students in the experiment groups were discussed. Finally, the study also analyzed students’comments on the application of the two-tier Bayesian network learning system to self-learning or information technology integrated instruction.

The research took a quasi-experimental approach using pretest-posttest, nonequivalent group design. The subiects were 6th grade students chosen from an elementary school in Taichung city. Experiment group I used the adaptive computerized self-learning model, experiment group II used the information technology integrated instruction model and control group used the traditional teaching model. After the experiment was completed, there were 27 effective samples in each group.

The results of research were briefly outlined as follows:

1. In terms of remedial instruction effect and the learning retention effect, the effect of experiment group I was significantly better than the effect of control group. The other groups did not show significant differences.

2. In experiment group I, students with high-scores and low-scores also performed significant progress on their average scores. In experiment group II, students with low-score performed significantly better in the post-test than in the pre-test, but high-score students did not show any significant difference between the post-test and the pre-test.

3. The remedial instruction effect and learning retention effect were not significantly different for different gender students in two experiment groups.

4. The average progress rates of misconceptions in three groups were compared as follows: experiment group I (7.68%) > experiment group II (7.00%) > control group (5.08%). But there were no significant differences between groups.

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5. The average progress rates of math concept in three groups were compared as follows: experiment group I (19.61%) > experiment group II (17.65%) > control group (12.64%). But there were no significant differences between groups.

6. More than 90% of the students in the experiment groups held non-negative opinion toward the application of the two-tier Bayesian network adaptive learning system. It showed that students respond actively to the application of the two remedial instruction models.

Keywords: two-tier diagnostic test, “Ratio, Proportion and Direct Proportion”, Bayesian network adaptive learning system, remedial instruction

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目錄

摘要 ... I Abstract ... III 目錄 ... V 表目次 ...VII 圖目次 ... IX 第一章緒論... 1 第一節研究動機...1 第二節研究目的...6 第三節待答問題...6 第四節名詞界定...7 第五節研究範圍與限制 ... 11 第二章文獻探討... 13 第一節比、比值與成正比教材 ...13 第二節比、比值與成正比的迷思概念...15 第三節補救教學...21 第四節診斷測驗暨適性學習系統之探討 ...32 第五節運用資訊科技融入教學及其相關研究 ...36 第三章研究方法... 43 第一節研究流程...43 第二節研究對象...47 第三節研究工具...48 第四節實驗設計...66 第五節資料處理與分析 ...71 第四章研究結果... 73 第一節不同教學模式對補救教學成效之影響 ...73 第二節不同教學模式在學後保留成效之差異 ...82 第三節不同性別之實驗組學生在補救教學成效及學後保留成效之差異 ...84 第四節不同補救教學模式之迷思概念發生率與數學概念達成率改變情形 ...92 第五節實驗組學生對數學補救教學之學習意見 ...105 第五章結論與建議...111 第一節結論 ... 111 第二節建議 ... 114 參考文獻 ... 117 中文部分 ... 117

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外文部分 ...126 附錄 ... 129 附錄一曹秀如（2011）所編製「比、比值與成正比」的二階段貝 氏網路診斷測驗試題 ...129 附錄二二階段貝氏網路診斷測驗暨適性學習系統 ...139 附錄三實驗組學生對本研究數學補救教學之學習意見問卷 ...149 附錄四 S1 的前、後測試題及 M2 補救教學動畫...153

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表目次

表 2-2-1 比、比值與成正比常見之迷思概念... 16 表 2-4-1 一階段試題命題卡... 34 表 2-4-2 二階段試題命題卡... 35 表 2-5-1 資訊融入教學之相關研究整理 ... 39 表 3-2-1 教學實驗對象分布表... 48 表 3-3-1 本研究之數學概念一覽表 ... 50 表 3-3-2 本研究之迷思概念及數學概念對應表... 51 表 3-3-3 本研究之迷思概念與認知衝突策略對應表 ... 55 表 3-4-1 實驗設計模式 ... 67 表 4-1-1 實驗組Ⅰ、實驗組Ⅱ、控制組之前、後測敘述統計摘要表 ... 74 表 4-1-2 不同補救教學模式下的學習成效之迴歸係數同質性考驗摘要表 ... 74 表 4-1-3 不同補救教學模式之學生補救成效單因子共變數分析摘要表 . 75 表 4-1-4 不同補救教學模式後測成績之估計的邊際平均數 ... 76 表 4-1-5 不同補救教學模式後測成績成對比較表... 76 表 4-1-6 實驗組Ⅰ學生的前、後測成績成對樣本 t 檢定表 ... 77 表 4-1-7 實驗組Ⅰ高分組之前、後測敘述統計摘要表 ... 77 表 4-1-8 實驗組Ⅰ的高分組學生前、後測成績成對樣本檢定表... 78 表 4-1-9 實驗組Ⅰ低分組之前、後測敘述統計摘要表 ... 78 表 4-1-10 實驗組Ⅰ的低分組學生前、後測成績成對樣本 t 檢定表... 78 表 4-1-11 實驗組Ⅱ的學生前、後測成績成對樣本 t 檢定表 ... 79 表 4-1-12 實驗組Ⅱ高分組之前、後測敘述統計摘要表 ... 80 表 4-1-13 實驗組Ⅱ的高分組學生前、後測成績成對樣本 t 檢定表... 80 表 4-1-14 實驗組Ⅱ低分組之前、後測敘述統計摘要表 ... 80 表 4-1-15 實驗組Ⅱ的低分組學生前、後測成績成對樣本 t 檢定表... 81 表 4-1-16 控制組學生前、後測成績成對樣本 t 檢定表 ... 81 表 4-2-1 實驗組Ⅰ、實驗組Ⅱ、控制組之延後測敘述統計摘要表... 82 表 4-2-2 不同補救教學模式下的學後保留效果之迴歸係數同質性考驗摘要表... 82 表 4-2-3 不同補救教學模式下的學後保留成效之單因子共變數分析摘要表 ... 83 表 4-2-4 不同補救教學模式之延後測成績估計的邊際平均數... 84 表 4-2-5 不同補救教學模式之延後測成績成對比較表 ... 84 表 4-3-1 實驗組Ⅰ中不同性別之學生前、後測敘述統計摘要表... 85 表 4-3-2 實驗組Ⅰ中不同性別之學生之補救成效迴歸係數同質性考驗摘要表... 85

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表 4-3-3 實驗組Ⅰ中不同性別之學生之補救成效單因子共變數分析摘要表 ... 86 表 4-3-4 實驗組Ⅱ中不同性別之學生前、後測敘述統計摘要表... 87 表 4-3-5 實驗組Ⅱ中不同性別之學生之補救成效迴歸係數同質性考驗摘要表... 87 表 4-3-6 實驗組Ⅱ中不同性別之學生之補救成效單因子共變數分析摘要表 ... 88 表 4-3-7 實驗組Ⅰ中不同性別之學生前、延後測敘述統計摘要表... 88 表 4-3-8 實驗組Ⅰ中不同性別之學生之學後保留成效迴歸係數同質性考驗摘要表... 89 表 4-3-9 實驗組Ⅰ中不同性別之學生之學後保留成效單因子共變數分析摘要表... 89 表 4-3-10 實驗組Ⅱ中不同性別之學生前、延後測敘述統計摘要表... 90 表 4-3-11 實驗組Ⅱ中不同性別之學生之學後保留成效迴歸係數同質性考驗摘要表 ... 90 表 4-3-12 實驗組Ⅱ中不同性別之學生之學後保留成效單因子共變數分析摘要表... 91 表 4-4-1 實驗組Ⅰ前測與後測出現迷思概念統計表 ... 93 表 4-4-2 實驗組Ⅱ前測與後測出現迷思概念統計表 ... 94 表 4-4-3 控制組前測與後測出現迷思概念統計表... 95 表 4-4-4 S1 試題... 96 表 4-4-5 實驗組Ⅰ、實驗組Ⅱ及控制組在前測、後測迷思概念發生率比較表... 97 表 4-4-6 不同補救教學模式迷思概念進步率之單因子變異數分析摘要表 ... 99 表 4-4-7 實驗組Ⅰ前測與後測達成之數學概念統計表 ... 100 表 4-4-8 實驗組Ⅱ前測與後測達成之數學概念統計表 ... 101 表 4-4-9 控制組前測與後測達成之數學概念統計表 ... 102 表 4-4-10 實驗組ⅠS2 數學概念之前測、後測進步率比較表 ... 103 表 4-4-11 實驗組Ⅰ、實驗組Ⅱ及控制組在前測、後測數學概念達成率比較表... 104 表 4-4-12 不同補救教學模式數學概念進步率之單因子變異數分析摘要表 ... 105 第一部分─對應用系統進行自學或進行資訊融入數學活動的想法之學習意見調查表（N=54） ... 107 第一部分─對應用系統進行自學或進行資訊融入數學活動的想法持非負向意見之結果分析 ... 108

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圖目次

圖 2-3-1 二對一法（劉曼麗 2005） ... 29 圖 2-3-2 反向法（劉曼麗 2005） ... 30 圖 2-3-3 一對多法（劉曼麗 2005） ... 30 圖 2-3-4 引入參考值法（劉曼麗 2005） ... 31 圖 2-3-5 表徵法（劉曼麗 2005） ... 31 圖 3-1-1 研究流程圖 ... 45 圖 3-3-1 迷思概念連結補救教學動畫 ... 53 圖 3-3-2 班級學習狀態統計書... 54 圖 3-3-3 補救動畫設計流程圖... 56 圖 3-3-4 迷思概念 15 的數學概念題 ... 57 圖 3-3-5 學生迷思概念 ... 57 圖 3-3-6 製造認知衡突 1 ... 58 圖 3-3-7 製造認知衡突 2 ... 58 圖 3-3-8 建立正確的數學概念 1 ... 59 圖 3-3-9 建立正確的數學概念 2 ... 59 圖 3-3-10 回到原數學概念題... 60 圖 3-3-11 連結至練習題... 61 圖 3-3-12 鼓勵學生再思考 ... 61 圖 3-3-13 建立正確的數學概念 1 ... 61 圖 3-3-14 建立正確的數學概念 2 ... 62 圖 3-3-15 製造認知衡突 1... 62 圖 3-3-16 製造認知衡突 2 ... 62 圖 3-3-17 建立正確的數學概念 3 ... 62 圖 3-3-18 鼓勵學生再思考... 62 圖 3-3-19 建立正確的數學概念 1 ... 62 圖 3-3-20 建立正確的數學概念 2 ... 63 圖 3-3-21 練習題 ... 63 圖 3-4-1 實驗架構圖 ... 68

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第一章

緒論

本研究是以國小六年級「比、比值與成正比」單元為研究領域，以教育部（2000）發布之「國民中小學九年一貫課程暫行綱要」為教材依據，主要目的在於探討以「二階段貝氏網路診斷測驗暨適性學習系統」為工具，進行適性化電腦自學、資訊融入教學、傳統教學三種不同的補救教學模式後，對學生學習成效的影響。其中適性化電腦自學及資訊融入教學使用的教學媒體，係指研究者針對此單元學生易犯的迷思概念，根據認知衝突理論所自編之教學動畫。本論文共分五章：第一章為緒論；第二章為文獻探討；第三章為研究方法；第四章為研究結果與討論；第五章為結論與建議。本章將針對研究動機、研究目的、待答問題、名詞界定及研究範圍與限制等節次分別進行闡述。

第一節研究動機

教育部（2000）所頒發之「國民中小學九年一貫課程暫行綱要」中提到學生透過觀察生活情境中數量的關係（常見的數量關係有：倍數關係、比例關係、和或差不變關係、均分關係），有助於瞭解生活週遭及為後續學習鋪路外，亦可增加學生的分析、比較、分類、監控、推廣等等方面的能力。教育部（2003，2008）所發布之「國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域」中提到，有理數是小學的核心課程之一，也是小學數學教育中，最有挑戰性的教學主題。有理數最核心的意涵─「除的意涵」包含四種：平分的意涵、測量的意涵、比例的意涵、部分/全體的意涵，此四種意涵必須釐清、練習、連結，才能匯聚成「數」的觀念。其中比例的意涵在

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國小的課程中主要是透過比、比值與成正比單元來進行學習，此單元將延伸為國中的兩個重要課題，一是多邊形的判別，一是函數關係的特例。在七年級時也介紹比例式，比例式的學習是小學有理數教學的延伸及強化，透過比例的概念，可以發現具體的生活情境中處處存在著比例、正比與反比的關係。在此階段學習比例式的另一個目的是當學生在九年級的階段學習相似多邊形或把一個幾何形體（如圓）放大或縮小時，能理解其邊長或面積變化的比較關係。因此，從 1975 年版的「國民小學數學課程標準」、 1993 年版的「國民小學數學課程標準」、2000 年版的「國民中小學九年一貫課程暫行綱要」、2003 年的「國民中小學九年一貫課程綱要」到 2008 年版的「國民中小學九年一貫課程綱要」數學學習領域裡，都將比、比值與成正比的概念及運算納入六年級課程規劃，使學生能順利銜接國中數學課程，基於本單元之重要性，故本研究選此單元做為探討之範疇。然而比、比值與成正比的概念較抽象，易造成學生學習上的困難，使得學習成效無法提升。劉秋木（1993）曾說比例問題這個數學結構用在生活情境時，必須有推論、預測和批判等能力，所以對國中小學生而言是相當難的作業。Lamon(1993)也發現比例問題對於許多大學生而言依然困難重重，由此可知，比例問題對小學生而言是比較難理解的概念，他更提出比例概念發展很重要的兩種思考策略，一是關聯的思考，一是建構單位的思考，並強調沒有關聯思考的兒童對比例問題會採用加減策略，而擁有關聯思考的兒童解比例問題才能使用乘除策略。呂宜玲（2001）提到解決比例問題需具有比例運思的能力，而所謂的比例運思是指可以掌握兩種異於 1的單位量合成分解的共變關係，也就是可以把對等關係中的兩個單位，如把「每5個人吃3個披薩」看成一個單位，並對單位5和單位3進行同步的重覆或等分割活動。因此解比例問題比較難的原因，是必須靈活掌握多階單位的部份全體關係。正因為此概念學習上的困難，若教師在教學上能採

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用診斷測驗即時發現學生的問題，然後立即給予適當的補救教學，應可對學生的比例概念學習產生助益。因此，本研究聚焦於「比、比值與成正比」概念的診斷與補救教學之探究。補救教學是一種測驗─教學─再測驗的過程，因此使用好的診斷工具是必要的。但研究者發現，在教學現場的教師常採用的測驗工具多半是書商提供的電腦命題光碟，這些光碟內容皆為大同小異之評量試卷，反覆的測驗，只能表面的看到學生分數高低的呈現，其試卷內容並非針對學生常犯的迷思概念加以設計，因此無法提供教師及學生診斷資訊，更遑論後續的補救教學。另外，也有一些教師會採用質性的方式來進行診斷，例如晤談，但李俊儀（2005）指出，在實際教學中若以質的方式診斷出學生的迷思概念，再進行補救教學，不僅費時費力，也不易落實。因此如果可以透過資訊科技的優勢，應用電腦快速診斷出學生的錯誤類型並立即的進行補救教學，不僅可以省時省力，更可在不增加老師的教學負擔下，提升學生的學習能力。基於此，許多數學領域的電腦化診斷工具應運而生，例如周雅釧、黃志勝、施淑娟、郭伯臣（2008）指出，結合「線上」與適性的評量系統，不但可以節省教學者編製與批改測驗的時間，也使學習者能透過更精準、更及時的診斷分析報告，瞭解並修正自己的學習盲點。江啟明（2010）指出由二階段電腦化測驗能依據學生第一階段的作答，給予不同的第二階段選項，結合貝氏網路後，會比傳統一階段電腦化診斷測驗，更有效診斷學生的迷思概念。曹秀如（2011）所編製的比、比值與成正比的二階段貝氏網路診斷測驗也有類似的發現。在上述研究當中，由於電腦化二階段診斷測驗可有效診斷學生的數學迷思概念，又因本研究之內容主題為「比、比值與成正比」，因此本研究直接應用曹秀如（2011）所編製的電腦化二階段診斷測驗來進行學生的學習診斷。

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不過上述研究並未涉及後續補救教學的設計，在實務上，即使學生的錯誤被診斷出來，但若未進行補救，學生的問題仍然無法得到改善，為改進前述研究的不足，本研究針對此測驗所診斷出的迷思概念設計補救教學媒體，以建構一完整的補救教學模式。在傳統的教學情境裡，教師多半是使用全班檢討考卷的方式來進行補救教學，但此種補救教學無法對症下藥，因此才會產生事倍功半的現象。近年來，由於資訊科技的優勢，開始有許多電腦化診斷測驗暨適性學習系統被發展出來並應用在教學上，例如郭伯臣（2004）提出以「知識結構為基礎的適性測驗」(Knowledge Structure Based Computerized Adaptive Testing System, KSAT)系統，但此系統由於只能診斷出學生數學概念的有無，無法偵測學生的迷思概念，因此其補救教學媒體的設計方式是植基於直接教學模式，此模式較適用於低層次概念的補救，對學生迷思概念的破除成效有限。而本研究所採用的診斷測驗，可立即診斷學生的數學迷思概念，因此在補救教學媒體的設計上，可針對迷思概念提供更有效的教學處方。從文獻中可知採用認知衝突模式是破除迷思概念較有效的策略，李源順（2001）提到：「0.9=0.9999...是0.9多，所以小於1」，這個想法對學生而言，是一個直觀的迷思概念，透過診斷教學策略，製造學生的認知衝突，能有效破除學生的「0.9」< 1 的迷思概念。江愛華（2002）研究結果發現：學生原有的迷思概念，經由診斷教學，製造認知衝突後，大多能順利破除迷思概念，且調整後的概念也相當穩固，她認為：沒有認知衝突與認知調整的診斷教學，並不能讓學生產生認知失衡，進而達到認知再調整的效果，它對於學生的學習沒有太大的幫助。張炳煌（2003）研究結果發現：在教學時，認知衝突的教學對學生產生了極大的興趣，學生對於不能解決的問題會產生很大的反應，並且跟同學展開熱烈的討論。Behr & Harel(1990)提到認知衝突的教學的確提供具有迷思概念的學生一個反省與檢核自身概念的機會，對於學習來說，有其正面的意

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義。因此研究者將針對二階段貝氏網路診斷測驗暨適性學習系統所能偵測的迷思概念，以認知衝突理論為基礎設計補救教學媒體，並將補救教學媒體與二階段診斷測驗整合在同一個系統，使學生能使用此系統來進行線上診斷與適性補救教學，藉以降低學生的學習困難，提升其學習成效。由於學習系統在實際數學課室的應用方式，可採用讓學生一人一機進行適性化電腦自學，亦可由老師利用系統進行資訊融入教學，何者成效較佳，則尚待評估，綜合以上所述，本研究將針對三種不同的補救教學模式，分別是一、適性化電腦自學模式：線上施測後，由二階段貝氏網路診斷測驗系統判讀學生之迷思概念後，即進行適性化電腦補救教學；二、資訊融入教學模式：教師運用研究者自製補救教學動畫，進行團班補救教學；三、傳統教學模式：由教師進行團班試卷檢討，探討學生之補救成效、學後保留成效之差異，並探討學生對應用二階段貝氏網路學習系統與應用資訊融入教學之數學活動及補救教學動畫之意見。研究者所自製之補救教學動畫，乃根據認知衡突理論所建置，其模式是先引起學生之認知衝突，讓學生自行產生認知調整的需求，再進行概念澄清，有別於先前之補救教學研究，盼能提出不同教學方法的思考面向。此外，因本研究的補救方法係以二階段貝氏網路學習系統進行適性化電腦自學或進行資訊融入教學兩種不同的模式，國內有研究指出在資訊融入教學下，男學生在資訊接受程度高於女學生，因此男學生的學習成效較佳（林紀達，2004；莊苑芬，2006；廖娸婷，2009）。Heid(1997)指出過去所進行的資訊融入教學研究中，學生性別差異會造成下列影響：（一）女生對於用電腦學數學具有負面態度較男生為多；（二）男生對於使用電腦的能力較有自信。因此，本研究除探討不同補救教學模式下的成效及保留

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成效外，亦針對實驗組性別不同之學生，進一步探討使用電腦化方式融入補救教學是否會對其學習成效產生影響，造成學習上的不公平。

第二節研究目的

根據以上之研究動機，本研究的主要研究目的如下：一、探討在「比、比值與成正比」單元下，學生接受「適性化電腦自學模式」、「資訊融入教學模式」、「傳統教學模式」後，在補救教學成效之差異。二、探討在「比、比值與成正比」單元下，學生接受「適性化電腦自學模式」、「資訊融入教學模式」、「傳統教學模式」後，在學後保留成效之差異。三、探討在「比、比值與成正比」單元下，不同性別之實驗組學生，在補救教學成效及學後保留成效之差異。四、探討在不同教學模式下，學生經過補救教學之迷思概念發生率與數學概念達成率改變情形。五、實驗組學生對本研究數學補救教學模式之學習意見。

第三節待答問題

依據前節所述的研究目的，本研究將探討下列問題： 1-1 接受不同教學模式之學生，在補救教學成效上是否有顯著差異？ 1-2 三種補救教學模式之前、後測成績差異是否皆達到顯著？ 2 接受不同補救教學模式之學生，在學後保留成效上是否有顯著差異？ 3-1 不同性別之實驗組學生，在補救教學成效上是否有顯著差異？

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3-2 不同性別之實驗組學生，在學後保留成效上是否有顯著差異？ 4-1 在不同補救教學模式下，學生之迷思概念發生率差異情形為何？ 4-2 在不同補救教學模式下，學生之數學概念達成率差異情形為何？ 5-1 實驗組學生對本研究應用二階段貝氏網路適性學習系統進行自學或進行資訊融入數學活動之意見為何？ 5-2 實驗組學生對補救教學模式之綜合意見為何？

第四節名詞界定

一、二階段測驗 二階段診斷工具是在測驗的選項包含兩部分，第一階段由學生依據題目選出答案，而第二階段的理由選項則是對第一階段答案所秉持的理由（江啟明，2010）。本研究的第一階段及第二階段皆為單選題。 二、貝氏網路(Bayesian Networks, BN) 貝氏網路(Bayesian Networks)是一種結合機率理論與圖形理論，對於不確定的事物加以描述與推論的工具(Pearl, 1988)。貝氏網路是一種以貝氏理論為基礎，由節點與連結所組成具有方向性且非循環的有向圖(directed acyclic graph，簡稱 DAG)，以節點表示所欲研究的變項，連結代表變項間的影響關係，其影響程度的強弱則藉由條件機率的方式來表達（施淑娟， 2006）。換言之，這個有向圖是這些變項之聯合機率分佈的分解表示法。本研究以二階段貝氏網路為診斷測驗之推論工具，協助教師分析診斷出學

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生迷思概念與本單元應習得之數學概念的有無，作為本研究補救教學模式的依據。 三、二階段貝氏網路診斷測驗暨適性學習系統 二階段貝氏網路診斷測驗暨適性學習系統，可診斷受試者的數學迷思概念，不同的迷思概念給予不同的補救動畫。測驗試題部份乃使用曹秀如（2011）所編製「比、比值與成正比」單元之試題。 四、迷思概念(misconception) 迷思概念(misconception)一詞最早出現在 Hancock (1940)於美國科學教育期刊(Science Education)所發表的文章「An Evaluation of Certain Popular Science Misconception」中（引自陳啟明，1991）。學生在學習時常會帶著已有的概念，用自己的想法或經驗來學習，這些學生早已擁有先入為主的觀念，若是有別於正統教科書所定義，與專家認定的概念不相容的概念，即是所謂迷思概念（李盈賢，2006），而迷思概念將導致學童在數學學習上產生困難。 五、認知衝突 Baker 與 Piburn(1997)認為，每一個人都有一套個人癖好，為眾所週知的基模組；另外有第二套基模組，也就是受到我們個人生活及工作之中的文化所界定的常規與價值觀。Baker 與 Piburn(1997)把基模組之間的轉變看做是認知衝突(cognitive conflict)的一種。

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在學習過程中，引發一情境使學習者對於自身所持的想法與正統理論或環境中的事件不一致或對同一情境抱持兩種矛盾的看法，使得學習者產生失衡的現象，進而透過認知調整教學，重建其原有的認知結構（許琇雅， 2003）。 六、補救教學 補救教學是一種診療式教學，重視個案資料的蒐集、診斷評量及教學後的測驗，以瞭解學生的實際學習狀況，並給予所需要的協助，其歷程是採「評量－教學－再評量」的循環（張新仁、邱上真、李素慧，2000）。本研究之適性補救教學動畫乃研究者自編，其模式為先引起學生之認知衝突，讓學生自行產生認知調整的需求，再進行概念澄清。 七、比、比值與成正比 本研究所指的比、比值與成正比是以教育部（2000）編訂之國民中小學九年一貫課程暫行綱要，針對六年級「比、比值與成正比」單元能力指標（N-3-15）為研究範圍，自編教材為各迷思概念之補救教學動畫檔。 八、數學概念 數學概念屬於抽象概念，與其相應的真實事物或現象之間顯然存在一般和特殊的關係，也即由現實原型抽象出相應的數學概念，這種在形成數學概念特有的抽象思維反應，已不是某一特定事物或現象的特徵，而是一類事物或現象的共同特性（鄭毓信，1998）。本研究依據曹秀如（2011）

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所編製之二階段貝氏網路診斷測驗「比、比值與成正比」單元所訂定出之數學概念共十七個節點。 九、適性化電腦自學模式（實驗組Ⅰ） 本研究所指的適性化電腦自學，是指學生依「二階段貝氏網路診斷測驗暨適性學習系統」前測後，依其前測的電腦診斷報告書中，學生所犯之迷思概念進行適性化電腦線上補救教學。 十、資訊融入教學模式（實驗組Ⅱ） 本研究所指的資訊融入教學組，是指學生依「二階段貝氏網路診斷測驗暨適性學習系統」前測後，依其前測的電腦診斷報告書中，學生所犯之迷思概念及未達數學概念百分比高至低的試題，教師運用學習系統之補救教學動畫，進行團班補救教學。 十一、傳統教學模式（控制組） 本研究所指的傳統教學組，是指學生依「二階段貝氏網路診斷測驗暨適性學習系統」前測後，依其前測的電腦診斷報告書中，學生所犯之迷思概念及未達數學概念百分比高至低的試題，教師依序在班上進行團班試卷檢討。

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第五節研究範圍與限制

一、研究範圍 本研究之教學單元範圍為教育部（2000）編訂之國民中小學九年一貫課程暫行綱要中六年級「比、比值與成正比」能力指標﹝N-3-15 能在情境中理解比、比例（包括正比例與反比例）、比值、率（百分率、ppm）的意義﹞。此外，本研究旨在探討此三種不同補救教學方法之實施成效、學後保留成效，教學模式及補救教學媒體的意見。因此，除上述以外之其他因素均不在本研究探討之範圍。 二、研究限制 本研究受限於時間、資源、人力及其他主客觀因素影響，茲將本研究之限制分述如下： （一）研究樣本 考量到本研究受限於人力、時間與資源的限制下，因此，本研究之研究樣本來源是以研究者服務之台中市某國小六年級三個班級學生，分別編入兩班實驗組和一班控制組。總共 88 名學生為實驗研究樣本，經刪除不當樣本後，有效樣本共計 81 名。因此，實驗的結果可能會受到取樣的影響，造成本研究結果推論上的偏差。

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（二）研究時間 受限於實際教學情境時間，研究者僅用二節課時間進行補救。 （三）以「二階段貝氏網路診斷測驗暨適性學習系統」為研究工具 為配合電腦化診斷測驗，題庫以選擇題型式建置，無法像傳統測驗一般，包含多種題型，且一題試題只有三個誘答選項來偵測迷思概念，無法囊括學生可能產生的所有迷思概念。其次，施測時學生無法於第二階段返回第一階段變更其答案，亦容易降低診斷的正確率。 （四）補救過程的限制 於實驗組Ⅰ（適性化電腦自學模式）實施補救時，因部分低成就學生所犯的迷思概念較多，因此補救動畫個數相對亦多，與中、高成就學生所需花費的時間相差頗大，勉強在二節課中補救完成，但也因長時間注視電腦螢幕，造成學生疲勞感而無法達到應有的成效。再者學生經歷認知衝突後，因顧及教學進度只讓學生練習少數的題目，可能會造成正確概念的澄清尚未穩固，而使得補救成效未達預期。實驗組Ⅱ（資訊融入教學模式）與控制組（傳統教學模式）僅能就大多數學生迷思概念比例高的題型加以檢討，低成就學生的迷思概念未必能適時破除，且進行團班補救時無法兼顧到學生的個別差異，亦可能造成補救成效的降低。

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第二章文獻探討

本研究主要目的是以國小六年級「比、比值與成正比」單元為例，探討在不同的補救教學模式下，結合二階段貝氏網路診斷測驗暨適性學習系統進行評量及迷思概念的診斷，最後進行學生補救教學成效之探討。在補救教學實施的部分，以認知衝突策略設計每個補救動畫，實驗組Ⅰ依據二階段貝氏網路診斷測驗暨適性學習系統診斷學生迷思概念後，施以適性之補救教學動畫；實驗組Ⅱ使用補救教學動畫進行團班資訊融入教學。因此，本章將針對以下概念進行文獻探討，第一節「比、比值與成正比教材」、第二節「比、比值與成正比的迷思概念」、第三節「補救教學」、第四節「探討診斷測驗暨適性學習系統」與第五節「運用資訊科技融入教學及其相關研究」等內容進行文獻探討，以提供本研究之發展方向及實施之基礎。

第一節比、比值與成正比教材

在探討兩個數量的關係時，常會出現比、比值或比例等數學專有名詞，以下就本研究所探討相關之單元內容，一一說明其定義。 一、比 比是指並置的兩對應關係量的紀錄，例如「小明拿了 3 部玩具車，去跳蚤市場換了 5 個布偶。」可以記為「3：5」（教育部，1993）。依據 98 學年度康軒版國小數學教科書的定義，比(ratio)視為是兩數量 a、b 之間比較時的一種對應、對等或乘法的關係，例如：10 元可以買 3 顆彈珠，這時錢數與彈珠數的關係，可使用「10：3」的方式描述，認識比及比的前

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項和後項等名詞。92、97 課綱數學學習領域中提及比例的意涵，說明比的原理，是一種微妙的平分方式，除了正式介紹比的記法與比的相等關係，最終則要理解比的關係與「除」的關係二者相同。Hart(1981)認為比是表示兩個數量之間比較的關係，例如，棒球比賽中兩隊的成績比數用 1 比 2 （1：2）表示（引自沈明勳、劉祥通，2002）。Lamon(1995)從比較的觀點來看，比可以表示兩個數量之間的一種關係，也可以作為傳達相對大小的抽象意義的一種比較性指標（引自沈明勳、劉祥通，2002）。 二、比值 依據 98 學年度康軒版國小數學教科書的定義，一個比的比值或比率 (rate)界定為這個比的前項與後項相除的結果（商），以 a：b 為例，它的比值是 b a ，如果我們考慮 a、b 兩量的屬性，當 a、b 為同類量時，則比值（ b a ）並沒有單位，它是指 a、b 間的一種倍數關係，例如：圓周率、出席率等；當 a、b 為不同類量時，則比值（ b a ）會產生一種新的單位，例如：單價、密度、速度等。92、97 課綱的數學學習領域課程中提及，引導學童理解前項除以後項的不變性，並說明這些數對具有共同的商，就是比值（引自康軒版 98 學年度第 11 冊國小數學備課用書，2009）。周筱亭、黃敏晃（2002）認為比值是一個 a：b 可以透過對等問題的解題活動找出後項為 1 的相等比，例如：「a：b＝k：1」，k 即是 a：b 的比值，即 k＝ b a （引自施昱光，2009）。沈明勳、劉祥通（2002）兩人認為「比值」通常是以分數的形式表示。

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三、相等比 依據 98 學年度康軒版國小數學教科書的定義，兩個比的比值相等時，我們說，這兩個比為相等的比（引自康軒版 98 學年度第 11 冊國小數學備課用書，2009）。 四、成正比 依據 98 學年度康軒版國小數學教科書的定義，成正比的兩個量其比值固定不變，或者說，兩個量成正比時，一個量變成原來的幾倍，另一個量也會跟著變成原來的幾倍（引自康軒版 98 學年度第 11 冊國小數學備課用書，2009）。92、97 課綱的數學學習領域課程中提及，比的相等關係強調將相比的兩類量寫在一起，直覺上較簡單，而正比則是兩類量關係中的一種，應採用列表的方式紀錄，並強調要使用比值來紀錄正比關係，兩者間的關係，可運用列表的方式來統整。沈明勳、劉祥通（2002）「比例關係」就如同將相同的單位量做不同的等分除的分割，會有不同的等值分數產生，而將等值分數寫成等式，則就產生比例關係的概念。

第二節比、比值與成正比的迷思概念

Ausubel(1968)曾提出：影響學習的一個重要觀念是學習者在學習前已經知道的那些知識，學習前的概念會跟剛學到的概念相互影響。迷思概念的產生通常是與一般正式的知識相違背，而數學教育的迷思研究，可以幫助了解學生的想法，同時並藉由提供教學經驗可以幫助學生發展並接受新概念(Graeber, 1993)。李盈賢（2006）也有類似的說明，迷思概念的主要類

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型可以發現學生學習困難所在，瞭解學生犯錯的可能原因，同時所得到診斷資料可作為設計補救教學之依據，針對學生的迷思概念作有效的矯正。教學上若能掌握學生在學習時可能產生的迷思概念，於教學時加以澄清或強化學生正確概念，學生於學習中遇到較少的挫折，相對地也會提高學童在數學科的學習動機。 Schwarzenberger(1984)研究指出，錯誤的解答事實上和正確的解答一樣重要，透過錯誤的解答，可以瞭解學生心裡真正的想法，這對教學診斷是很有價值的。Brown &Burton (1978) 及Ashlock(1990)也認為分析學生的錯誤可發現學生學習困難所在，提供教師為學生補救教學、矯正「另有架構」之依據。本研究之迷思概念係指在「比、比值與成正比」的解題過程中，學生產生有別於98學年康軒版國小數學教科書所定義的概念，研究者根據文獻探討後發現，國小學生在學習此單元時容易產生的迷思概念如下表2-2-1 所示：表 2-2-1 比、比值與成正比常見之迷思概念研究者年代研究主題迷思概念相關內容郭素珍（1983）比例概念暨兒童認知發展關聯之研究不少兒童在計算時，不懂運用在學校裡新學來的捷便方法，卻回頭用早年學過較原始的方法。例如，不用乘法用加法，不用除法用減法。江南青（1984）比例概念的診斷與補救國中生的比例推理發展時，其中有 1/3 的學生，很習慣地使用一種錯誤的方法：加法策略來解題。

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表 2-2-1 比、比值與成正比常見之迷思概念（續）研究者（年代）研究主題迷思概念相關內容林福來、郭汾派、林光賢（1985）比例推理的錯誤診斷與補救（一）加法策略（二）資訊誤留（三）忽略資訊（四）加減法（數型）（五）比例項錯置魏金財（1987）兒童比例推理能力探討（一）「具規則性」 1、比值錯置型 2、同差加減型 3、等倍同差型 4、自定關係型─能在比例問題中尋求並建立關係公式，只是此等關係公式並不合理而已。（二）「不具規則性」 1、無意義加減型。 2、無意義乘除型。此類解題策略則是完全不理解題意或完全無概念。何意中（1988）國小三、四、五年級學生比例推理之研究（一）沒有解題策略，只是隨意將題目中的數字加減乘除運算。（二）將題目中的文字、數字錯置為另一類的文字或數字。（年齡亦是影響比例問題解題成功的重要因素之一）魏金財（1994）比與比值概念形成的學習情境電腦化設計（一）加法策略（二）同差加減法（三）等倍同差法（四）自定關係（五）忽略資訊（六）比例項倒置（七）圖形概念的差錯（八）資訊保留

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表 2-2-1 比、比值與成正比常見之迷思概念（續）研究者（年代）研究主題迷思概念相關內容楊錦連（1999）國小高年級兒童解決比例問題之研究學生解題錯誤，大多以絕對思考方式解題，解題策略僅有單價法，倍數法，疊加法，比例關係式和數量分解等五種策略。侯美玲（2002）六年級兒童學習比值與比例概念之研究（一）低成就兒童擴分表現最好，其次是約分，最差的是「約分後再擴分」；中、高成就兒童，擴分約分表現一致。（二）兒童在處理比例式、比值時，往往要求給單位。（三）比例式以非整數比方式出現，兒童作答的正確率會陡降。（四）比例式中的數值型態轉換仍是兒童學習障礙，例如：小數、分數的轉換。翁宜青（2003）一位國小三年級學生解比例問題之研究（一）任意的運算。（二）誤解題意。（三）數字計算錯誤。（四）加法策略。劉祥通（2004）分數與比例問題解題分析 — 從數學提問教學的觀點（一）學生對於「小於 1 的比值也可稱為倍」具有迷思，會影響他的比值呈現。（二）小於 1 的比值常附帶有「單位」的迷思。（三）「大數除以小數」（無法以較大的數當作基準量）。（四）將「大數」當作「基準量」。

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表 2-2-1 比、比值與成正比常見之迷思概念（續）研究者（年代）研究主題迷思概念相關內容張育萍（2005）兒童分數比值概念的解題活動類型比值的迷思概念（一）學生在解小於1的有理數乘除法文字題時，往往會有「乘變大」、「除變小」的迷思概念(Fischbein et al.，1985； Graeber，1993)。（二）除法是大數除以小數(Hart，1981)的迷思。黃寶彰（2003）六、七年級學童數學學習困難（一）學童在基礎題「求比」、「求比值」、「比值的意義」、「比的判斷」、「求比例式第四項（整數倍與非整數倍）」等六個項目的錯誤原因說明如下： 1、「求比」：比例項錯置、誤解題意、比與比例概念混淆。 2、「求比值」：求比值的概念錯誤（大的值除以小的值或後項除以前項）、後項或後項的倒數當作是比值、比與比例概念混淆。 3、「比值的意義」：不瞭解比值的意義。 4、「比的判斷」：減法策略、以球數來判斷。 5、「求比例式第四項（整數倍）」：未等量除、減法策略。 6.「求比例式第四項（非整數倍）」：減法策略、未考慮題目對後項的指定值。（二）學童在應用題中有「組合問題」、「濃度問題」、「判斷比例大小」、「交換問題」等四個項目，整理錯誤原因如下說明： 1、組合問題（1）「整數倍比例」：倍數關係、身長與比例的混淆、比例項錯置、加法策略。

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表 2-2-1 比、比值與成正比常見之迷思概念（續）研究者（年代）研究主題迷思概念相關內容黃寶彰（2003）六、七年級學童數學學習困難（2）「分數倍比例」：資料誤留、倍數關係、加法策略、以身長來比較（鰻魚長度）。（3）「連比」：資訊誤留、基本量錯亂、未以比例計算，以個數來除。 2、濃度問題（1）「兩數量的比」：比例項錯置。（2）「求第四比例項」：加法策略、減法策略、資訊誤留。 3、判斷比例大小不具備比例的概念，未以長高比例來比較，只以長高的長度或長高後的身高來比較。 4、交換問題（1）「求第四比例項」：忽略資料、只考慮單位量，未考慮比例。（2）「判斷比的相等」：忽略資料、以交換物品為主（題意以汽車換布偶）。陳曉琪（2006）以貝氏網路為基礎之能力指標測驗編製及補救教學動畫製作－以六年級數學領域之「比和比值」相關指標為例（一）比和比值混淆。（二）無法分辨同向、反向、相向之速率追趕問題解法。（三）最簡單整數比認知不足未化至最簡。（四）黃寶彰（2003） 1、比值分母和分子錯置 2、比和比值混淆 3、語意轉譯困難（五）張宗育（2003）解題過程厭惡思考直接作答（六）朱振生（2002）解題能力不足造成錯誤（七）李芳樂（1993） 1、文字題受多餘訊息影響 2、計算錯誤 3、不當逆轉及運算

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上述針對「比、比值與成正比」單元整理出學生易有的迷思概念，研究者發現與曹秀如（2011）所編製「比、比值與成正比」的二階段貝氏網路診斷測驗所對應的迷思概念大致相同，故採用曹秀如(2011)所分類之迷思概念來做為本研究設計補救教學動畫之依據。

第三節補救教學

補救教學基本上是一種診療教學模式（clinical teaching，也稱臨床教學模式），採用的是一種「評量─教學─再評量」的循環歷程（張新仁等， 2000），其目的在於幫助學生解決學習時所產生的困難，使學生能達到教師所預定的教學目標。學生在學習過程中有了錯誤的觀念或原有的數學概念即存在迷思時，該如何讓學生扭轉既定的錯誤認知，此時，進行適當的補救教學就顯得極為重要。以下針對補救教學的模式和補救教學的策略整理如下。 一、補救教學的模式 文獻指出目前國內外常使用的補救教學模式有以下五種：（一）資源教室模式；（二）學習站模式；（三）學習實驗室模式；（四）套裝學習材料模式；（五）電腦輔助教學模式（杜正治，1993；林建平，1997；郭生玉，1995，張新仁、邱上真、李素慧，2000）。

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（一）資源教室模式(resource program) 參與此補救模式的學生在學校的大部分時間仍和一般學生在教室內上課，僅少部分時間脫離原班級到資源教室接受補救課程。資源教室一方面提供資優學生加深加廣的教材，另一方面針對學習落後的學生，提供不同的教材與教法，企圖彌補學生在正規課程中學習的挫敗，實施時以個別或小組方式進行，教材由授課教師自編，而進度則視學生學習的狀況加以調整。張新仁（2000）表示，實施上最大的困擾為補救時間由二年級才開始，時機較晚；人數過多，不易顧及個別差異需求；學校教師授課時數重，無力另編適宜之教材；學生學習動機低落，持續度不高。張英鵬（2006）也提出此種資源教室模式有以下三個缺點：1、教學時間多，影響到設計、計劃、與普師與家長的互動，觀察與評量等時間，增加教學時間，可能對教學品質也有負向影響。2、過份重視認知技能與知識，而少注意學生的行為問題層面。3、安排學生在資源班時間太多，而類似特殊班，課程無法與普通班課程有關或銜接，無法觀察學生在普通班情形。 （二）學習站模式(learning stations) 進行學習站模式的補救教學活動時，依據個別學生的需要與進度，實施個別化教學，教師可以是主導者，也可以是輔助者，端看學生的學習表現而定。此補救模式可將學校空間及資源做最大幅度的運用，是最符合經

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濟效益的一種做法，但教室空間必須寬敞能作適當分割或佈置，使正常教學與補救教學不會相互干擾。 （三）學習實驗室模式(learning lab) 此補救模式認為每個學生需要以不同的方法學習，才能發揮最大的效益。學習實驗室的目的，在比較各種不同的教學方法，學習作風，與教學情境，以發現最適合個別學生的學習需求。學習實驗室可說是一種實驗教學中心，針對學生的個別需要，實驗與選擇最佳的教學方案，以提供適性的教育。實施方式為：學生進入學習實驗室時，先領取自己的學習盤，盤上備有學生個人的檔案集，以及當天所需要的學習材料；教師指示當天的學習科目，並協助學生取出所需材料，指導作業方式，學生即開始學習活動。在學生開始學習活動後，教師隨即離開，提供學生獨立學習的機會，但若學生有問題可舉手發問並請求教師的協助。學習的過程中教師並非時時在學生旁邊，因此學生需有主動自發的學習態度，否則學習成效將不易彰顯。 （四）套裝學習材料模式(learning package) 此補救模式是一種能力本位與自我導向的學習方式，以循序漸進的方式，協助學生習得一種觀念或技巧。每一套學習材料皆為特定的能力或技巧而設計，提供多樣的活動以達學習目標，而學生亦可依自己的進度學習。套裝學習材料的設計與安排原則，都是以易學為主要的考量，所以能避免學習的挫敗感。套裝學習材料的特色之一是個別化教學導向，學習的

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進度是由學生能力與需要來決定，時間的安排也以學生的課表為主，而教材與教法的選擇，也符合學生個別的需求與能力水準。教師的角色為輔助者，當學生在獨立學習時，教師必須在旁觀察與記錄學生的學習狀況，當發生學習障礙時，必須適時修改教材或改變教法，以利補救活動的進行。此模式的優點有：1、提供適性教學；2、避免學習失敗；3、鼓勵獨立學習。因學習進度由學生掌控，與普通班的進度無法順利銜接，學生在此模式下易得到成就感，但一回歸班上學習，仍可明顯感受到自己在班上學習時的落後。普通班難理解的課程，往往使學生的學習興趣降低。

（五）電腦輔助教學模式(computer-assisted instruction，簡稱 CAI) 電子計算機的問世，即應用於學校作為教學的工具，並成為個別化教學的主要媒體。CAI 係一種利用電腦呈現教材、控制教學進度和學習環境的教學模式，隨著電腦日漸普及，每個家庭幾乎都至少擁有一部個人電腦，也因此使得此模式得以加速推廣。李進寶（1983）已提出，運用 CAI 於教育上可以節省學習的時間、激發學習的興趣、提高學習的成就、改善學習的態度，而其根本目標是要達到教育的最高理想──因材施教，但 CAI 不是教育的萬靈丹，它有成功的例子，也有失敗的例子，以下將 CAI 實際應用於教學情境之優缺點列於下: 1、優點 （1）因材施教是 CAI 最具潛力的優點，卻也是最難達到的一個目標。（2）雙向教學的優點。（3）節省學習的時間。

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（4）提高學習的成就。（5）改善學生的學習態度。 2、缺點 （1）如何編製優良的 CAI 教材，是電腦輔助教學的最大難題之一。（2）龐大的硬體設備費用，仍然是推行 CAI 的阻力之一。（3）中文字形輸入方法未能統一，無形中限制了教材編製的方式，譬如說：在測驗方面，只能有選擇題，不能有填充題。（4）CAI 不能從事情意化和討論式的教學，是 CAI 的另一缺點。陳鴻仁和蕭世其（2009）指出，學生因個人智力程度、家庭、生長背景的差異，在學習的過程中，每個人的情形也不同，而任教的老師在傳統的教學上只能使用統一的教材、統一的教學方法來進行教學；隨著社會的變遷、科技的突破，以及教學理論的發展，教育科技領域也不斷的更新，資訊科技融入學科教學，數位學習儼然成為中小學發展的主軸；使課程與教學更為彈性化，且能根據學生之學習特質與需要，提供最適當的教學模式，讓學生能從事多元、多樣化的學習，進而能順應個別能力差異真正學習知識。另一方面教師藉由教育科技的發展進行數位化學習以突破傳統的教學型態，體現創新教學，實現因材施教的個別化教學（陳鴻仁、蕭世其， 2009）。因此，補救教學大多採用個別化、適性化的教學模式進行，針對學生個別的學習障礙給予適當的補救方式，在教師「因材施教」之下，必能幫助學生克服學習上的障礙，也確實能提高補救教學的成效。依據林立敏、白曉珊、郭伯臣和劉育隆（2006）所提出的適性補救教學可分二種：一、以教師為基礎之適性補救教學（teacher-based adaptive remedial instruction，簡稱 TBRI）；二、以電腦為基礎之適性補救教學（computer-based adaptive

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remedial instruction，簡稱 CBRI）。以下將此兩種適性化補救教學方式說明如下： （一）以教師為基礎適性補救教學（TBRI） 以教師為基礎的適性補救教師，教學前指導教師需精熟教材內容，並能掌握每個學生在學習上的個別差異，才能有效指導學生，獲得預期的補救成效（林立敏，2006）。以人力取替電腦進行補救教學，每位個別指導教師必須在學生進行前測後針對學生的錯誤概念（個別診斷報告），配合學生需求，以數位多媒體教材、教學題本、學生練習本等工具進行補救教學，此種模式教師能依學生個別差異給予立即之指導（林立敏、白曉珊、郭伯臣和劉育隆，2006）。小學目前的補救現況，仍需以團班教學模式進行，但教師在整個補救教學活動中，針對學習者的錯誤類型，依序透過瞭解、互動、溝通到學習的引導，就本質上而言，仍可看作適性化教育的落實（吳玫君、施淑娟、許天維、陳淑勤，2008）。目前有許多研究（林立敏、白曉珊、郭伯臣和劉育隆，2006；周雅釧、黃志勝、施淑娟和郭伯臣， 2009）指出此補救教學模式具有一定的成效在。 （二）以電腦為基礎適性補救教學（CBRI） 電腦化適性補救教學是針對測驗後的結果，分析受試學生在學習上的迷思概念，並製作以專家知識結構為基礎，符合概念節點的多媒體動畫來進行補救教學（李淑娟，2006）。學生是接受設定好的電腦程式進行個別的補救指導，藉由學生與教學多媒體動畫的互動，讓學生得到即時的回饋，讓補救教學名符其實（林立敏，2006）。不同能力的受試者，在同一學習單元下，會產生不同的學習困難及迷思概念，而適性診斷測驗可以精確的偵測出學生的學習障礙，並立刻提供線上即時補救，可達成適性化及

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個別化之補救教學目標（林建福，2008）。國內已有許多研究（蔡昆穎， 2004；陳正二，2006；李淑娟，2006；林建福，2008；林美秀，2009；陳金葉，2009）指出以電腦為基礎之適性補救教學有一定的成效。本研究之補救教學模式分為三種，其中「適性化電腦自學模式」，因研究者所在的教學現場能提供足量的電腦設備，並有專家指導補救教學動畫的製作，為了節省人力及時間，此模式進行以電腦化為基礎的適性補救教學方式；「資訊融入教學模式」及「傳統教學模式」均採用以教師為基礎的補救教學方式，但並未達到適性化補救，兩者之差別僅在於前者使用電腦動畫進行補救教學，而後者採用傳統的試卷檢討方式進行補救教學。 二、補救教學的策略 補救教學應依據個人測驗評量之結果，診斷出學生的學習困難後，針對個別的迷思概念加以修正，才能有效澄清錯誤的數學概念，例如：國外學者(Slavin, 1989; McLaughlin & Vacha, 1992）指出，使用直接教學策略、精熟教學策略、個別化教學策略以及合作式學習策略，能夠有效幫助低成就學生。以下針對各種教學策略逐一說明：

（一）直接教學模式（the direct instruction model）

此教學模式適用於教導學生去記憶，學習動作、讀、寫、算等技能，教師負責組織教材及呈現教材內容，學生則負責被動的接受學習。

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（二）精熟教學模式（the mastery teaching model）

學生的學習速度有快有慢，教師教學時列出要求學生需精熟的內容，給予個人足夠的時間後，每個人都能精熟大部份的教學內容。教師進行團班教學，且教學內容由教師決定。

（三）個別化教學模式（the individualized instruction model）

與精熟教學模式類似，主要差異在於學生根據教材自行學習，學習進度學生自己決定。

（四）合作式學習模式（the cooperative learning model）

透過小組的合作方式精熟學習的內容，其中以學生小組成就區分法（students teams achievement division，簡稱STAD）較適用於補救教學。上述所提出的教學策略為針對學生的技能或概念教學的一般化補救教學策略，並非針對破除學生的迷思概念來加以設計，因此Bell(1993)提出診斷教學法，認為數學教師在教學時，應提出與學生舊有經驗相連結的問題，問題中需涵蓋關鍵的概念及可能的錯誤概念，接著設計的活動要讓有迷思概念的學生產生認知衝突，此時老師需提供學生正確性的回饋，將衝突徹底討論後，即形成新的知識結構，進一步運用彈性問題，鞏固學生的新概念。此教學法的理念恰好符合Piaget(1964)的認知發展理論，他認為個體不斷地利用同化和調適的作用來適應外在環境，診斷教學就是利用某些適當的情境或問題，誘發學生產生認知衝突，讓學生發現現有的想法已無法解決目前的問題，或已經與當下的情境產生矛盾，而懷疑自己現有的想

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法或發現現有的想法是錯誤的，此時再加以調整策略，讓學生修改現有的想法概念，重新建構概念，達到概念改變的目的。在國內也有不少有關如何改變迷思概念的診斷教學實證研究，林福來（1999）提出診斷教學的實行步驟：（一）學生所犯迷思概念的診斷；（二）針對學生的迷思概念進行認知衝突；（三）調整學生認知的教學。此外，國內數學教育學者，例如：呂玉琴（2000）、陳光勳和譚寧君（2001）、劉曼麗（2001）、鍾靜（2003）等人，近年來也積極投入診斷教學的相關研究，期望能幫助學生改變迷思概念。劉曼麗（2005）具體提出的認知衝突策略共有五種，分別是（一）二對一法；（二）反向法；（三）一對多法；（四）引入參考值法；（五）表徵法。以下針對各種策略加以說明： （一）二對一法 針對學生回答問題Q1的錯誤答案A，再舉另一問題Q2，使其答案也為 A，以製造認知衝突，如圖2-2-1所示（化聚問題）。 Q1：0.9 是幾個0.01？ A：9 個。 Q2：0.09 是幾個0.01？（或0.9 是幾個0.1？） A：9 個。圖 2-3-1 二對一法（劉曼麗 2005）

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（二）反向法 針對學生錯誤答案A1，再由A1這個答案反問回去，得到答案A2，並對照原問題Q1，以製造認知衝突，如圖2-2-2所示（小數與分數的互換問題）。 Q1： 1000 85 化成小數是多少？ A1：0.85。 Q2：0.85 化成分數是多少？ A2： 100 85 。圖 2-3-2 反向法（劉曼麗 2005） （三）一對多法 針對同一問題Q1，同時出現若干答案A1、A2、A3…，透過學生間的質疑辯證，以製造認知衝突，如圖2-2-3所示（單複名數轉換問題）。 Q1：1 公尺5公分是等於幾公尺呢？ A1：15 公尺。 A2：1.5 公尺。 A3：1.05 公尺。 Q2：辯證想法。圖 2-3-3 一對多法（劉曼麗 2005）

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（四）引入參考值法 針對學生錯誤答案A1，引入一個參考值R讓學生比較其答案A1與R，以製造認知衝突，如圖2-2-4所示（小數與分數的互換問題）。 Q1：5.3 化成分數是多少？ A1： 5 3 。 Q2： 5 3 有沒有比1 大？ A2：沒有。 Q2’：5.3 有沒有比1 大？ A2’：有。 Q2”： 5 3 比1 小，5.3 比1 大，5.3 化成分數，答案有可能是 5 3 ？ A2”：不可能。圖 2-3-4 引入參考值法（劉曼麗 2005） （五）表徵法 針對學生錯誤答案A1，引入表徵R’的操作結果，來比較答案A1，以製造認知衝突，如圖2-2-5所示（比大小問題）。 Q1：0.25 和0.5，誰比較大 A1：0.25，因為25比5大。 Q2：這是一張百格板，那0.25張百格板要拿哪些積木？ A2：2條橘色積木和5個白色積木。 Q2’：那0.5張百格板呢？ A2’：5條橘色積木。 Q2”：誰比較多？ A2”：0.5比較多。圖 2-3-5 表徵法（劉曼麗 2005）註：Qi：教師的佈題，Ai：學生的答案，R：參考值，R’：表徵。 Q1：佈題，Q2：關鍵性問話，用以製造學生的認知衝突。

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教師在教學時如能當下診斷學生的迷思概念、適時的製造認知衝突並能立即調整學生的認知，這樣的教學方式，遠比事後的補救教學應更有意義，也更能達到事半功倍之效（劉曼麗，2005）。研究者自編的補救教學動畫，其破除迷思概念的認知衝突策略多數參考上述五種策略而加以設計，欲讓學生自行發現既有的迷思概念，受到衝突後，自視其需求而調整成正確的數學概念，因實驗單元有所差異，定義型的迷思概念僅以直接教學法呈現。

第四節診斷測驗暨適性學習系統之探討

根據前述補救教學是一種「評量─教學─再評量」的歷程，因此在進行補救教學之前，必須要有一個有效的診斷工具，讓教師可以了解每一個數學單元學生已習得概念及學習困難，然後教師才可以針對學生的學習困難來進來概念的澄清。近年來由於資訊科技的蓬勃發展，許多專家學者更將科技優勢應用於電腦化診斷測驗，透過網際網路，測驗、學習將不受時間、空間的限制，學習者可根據自己的需求上網進行診斷測驗，了解自己的學習狀況後，可針對自己不足之處進行線上補救，如此將可節省許多在團班補救時，自己已精熟的概念卻一再重複學習的時間，也讓學習者在課程進度上有更大的彈性空間。國內近年來有許多學者紛紛投入數學學習領域電腦化診斷測驗之開發，郭伯臣（ 2004 ）提出以知識結構理論為基礎之電腦化診斷測驗 (Knowledge Structure Based Computerized Adaptive Testing System，簡稱 KSAT)，他認為將此套系統應用於國小數學科或其他學科單元時成效良

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好，並具有節省試題、節省施測時間、具有高預測精準度的優點。KSAT 系統雖然具有：一、精細的知識節點進行診斷測驗；二、可自動化選題，符合學生學習狀況；三、當系統測驗精準度設定為95%時，可比傳統紙筆測驗節省約50%作答試題；四、具有「同分不同錯誤類型」的鑑別能力等四大特色，但此系統只能診斷概念的有無，因此在補救教學的設計僅能採用一般化的教學策略來進行補救。為突破上述限制，楊智為、劉育隆、楊晉民與曾彥鈞（2006）提出以結合順序理論 (ordering theory，OT)與貝氏網路(Bayesian Network）為基礎的適性測驗，可以達到節省施測題數，進而節省施測時間，且能同時診斷出學生的錯誤概念與錯誤類型，作為補救教學之基礎（周雅釧、黃志勝、施淑娟和郭伯臣，2009）。不過，之前的研究所採用的適性補救教學設計都是以針對數學概念之直接教學策略為基礎，並未針對學生的迷思概念來設計補救教學動畫，所以近年來以貝氏網路為基礎之電腦化適性診斷測驗 (Bayesian Network based Adaptive Testing，簡稱BNAT)廣泛應用於補救教學上，許多文獻都證實此電腦化診斷測驗能將錯誤類型及子技能做更正確的分類（蘇文君、汪端正和郭伯臣，2006；林怡濱、陳世銘和李淑娟，2008）；其認知診斷模式能與專家分類的結果一致，單元內各評量重點皆達良好的診斷結果（施淑娟，2006；林垣圻，2006）；能正確的診斷出學生的錯誤概念，並提供受測學生應加強的補救學習路徑（高健智，2007）；在補救成效上分數有顯著的進步（吳玫君、施淑娟、許天維和陳淑勤，2008；戴榮輝、施淑娟和郭伯臣，2008）。由以上文獻可知，以貝氏網路為基礎之電腦化診斷測驗能達成適性診斷及適性補救的目的。上述以貝氏網路為基礎之電腦化診斷測驗為一階段試題貝氏網路診斷模型，表2-4-1為一階段試題命題卡，但為防止學生猜題影響電腦判讀受

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試者的迷思概念，Odom與Barrow(1995)指出二階段試題具有降低猜對率的優點；另外蕭志芳（2003）也提及，教師與研究者不必依靠繁瑣費時的晤談工作就可以了解學生的學習情況，還可以減低學生作答的猜對率，提高評量的效果。江啟明（2010）改良其測驗型態為二階段試題貝氏網路診斷模型，表2-4-2為二階段試題命題卡，並於研究發現：一、錯誤類型與子技能在二階段試題之貝氏網路的平均辨識率優於一階段試題；二、二階段電腦化測驗能依據學童第一階段的作答，給予不同的第二階段選項，結合貝氏網路後，能有效診斷學生的錯誤類型。表 2-4-1 一階段試題命題卡（引自戴榮輝，2008）測驗內容【概念】圓周長=直徑×圓周率（圓周長=直徑×3.14）題目（）1. 下列哪個算式可以求出圓周長？（圓周率=3.14）  直徑×3.14  半徑×3.14  直徑×直徑×3.14  半徑×半徑×3.14 選項 ₁ ₂ ₃ ₄ 反應類型 ◎ 概念錯誤誤認圓周長公式。概念錯誤誤認圓周長公式。概念錯誤圓周長與圓面積公式混淆。

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表 2-4-2 二階段試題命題卡（引自曹秀如，2011）題目（）1. 買 2 箱飲料送 3 張折價券，折價券張數和飲料箱數的關係，用「比」怎麼記？  2：3  3：2  3 2  2 3 選項 1 2 3 4 我的想法 □1.因為 2 箱飲料可以換 3 張折價券，所以比是 2：3 。 □2.因為飲料是前項，折價券是後項，所以是 2 ： 3。 □3.不知道，用猜的。 □1.因為是 3 比較大，2 比較小，所以比是 3：2。 □2.題目問折價券張數和飲料箱數的關係，所以比是 3：2。 □3.不知道，用猜的。 □1.2 箱飲料和 3 張折價券的比是 3 2 。 □2.因為 2 先出現，所以用 2÷3，答案是 3 2 。 □3.不知道，用猜的。 □1.題目問折價券張數和飲料箱數的關係，所以是 3÷2，比就是 2 3 。 □2.每 1 箱飲料都可以換 1.5 張折價券，比化成分數是 2 3 。 □3.不知道，用猜的。反應類型【M5】因為 2 箱飲料可以換 3 張折價券，所以比是 2：3 【M1】因為飲料是前項，折價券是後項，所以是 2：3。【M29】不知道，用猜的。【M2】因為是 3 比較大，2 比較小，所以比是 3 ： 2。 ◎ 題目問折價券張數和飲料箱數的關係，所以比是 3：2 【M29】不知道，用猜的。【M1】【M3】 2 箱飲料和 3 張折價券的比是 3 2_。【M3】【M12】因為 2 先出現，所以用 2÷3，答案是 3 2 【M29】不知道，用猜的。【M3】題目問折價券張數和飲料箱數的關係，所以是 3÷2，比就是 2 3 。【M3】【M5】每 1 箱飲料都可以換 1.5 張折價券，比化成分數是 2 3 。【M29】不知道，用猜的。