國立交通大學
理學院科技與數位學習學程
碩 士 論 文
虛擬教具融入討論教學法與自學輔導法
對國中學生二度空間概念學習成效之研究
The Effects of Integrating Discussing Strategy and Supervised
Study with Virtual Manipulatives on Junior High School
Students' Learning of 2D Spatial Concept
研 究 生：何泓葆
指導教授：袁 媛 教授
李榮耀 教授
虛擬教具融入討論教學法與自學輔導法 對國中學生二度空間概念學習成效之研究
The Effects of Integrating Discussing Strategy and Supervised Study with Virtual Manipulatives on Junior High School Students' Learning of 2D
Spatial Concept 研 究 生：何泓葆 Student：Hung-Bau He 指導教授：袁 媛 Advisor：Yuan Yuan 李榮耀 Jong-Eao Lee 國 立 交 通 大 學 理學院科技與數位學習學程 碩 士 論 文 A Thesis
Submitted to Degree Program of E-Learning College of Science
National Chiao Tung University in partial Fulfillment of the Requirements
for the Degree of Master
in
Degree Program of E-Learning June 2013
Hsinchu, Taiwan, Republic of China
摘要
本研究旨在探討虛擬教具融入討論教學法與自學輔導法，對國中學生 學習二度空間概念的影響。是否因不同的數學學業表現及不同的性別而有 不同之影響。 本研究採不等組前後測準實驗研究設計，研究對象新竹地區某國中九 年級學生，研究者將任教的兩個三年級班級隨機分派為實驗一組(接受虛 擬教具融入討論教學法的二度空間旋轉概念教學)、實驗二組(接受虛擬教 具融入自學輔導法的二度空間旋轉概念教學)。實驗教學前，對所有研究 對象進行「二度空間能力測驗」前測，確認兩組在實驗教學前的能力一致， 故實驗效果將以二度空間能力測驗後測及延後測成績為依變數進行分析。 經教學後本研究的主要發現如下： (一)數學學業表現較高學生的二度空間概念立即效果及保留效果優於數 學學業表現較低學生，故數學學業表現較高的學生經教學後會有較高 的空間能力表現及空間概念保留效果。 (二)虛擬教具融入「討論教學法」或融入「自學輔導法」進行二度空間能 力旋轉概念教學，對學生二度空間概念的學習效果都一樣好。 (三)虛擬教具融入「討論教學法」或融入「自學輔導法」進行二度空間能 力旋轉概念教學，對學生二度空間概念的保留效果都一樣好。 (四)虛擬教具融入「討論教學法」或融入「自學輔導法」進行二度空間能 力旋轉概念教學，對於男女生二度空間概念的學習效果都一樣好。 (五)虛擬教具融入「討論教學法」或融入「自學輔導法」進行二度空間能 力旋轉概念教學，男女生二度空間概念的保留效果都一樣好。 (六)虛擬教具融入「討論教學法」進行二度空間能力旋轉概念教學，對學 生在「綜合」能力的學習上具有立即成效；「三度空間」能力的學習 上具有保留成效。 最後，研究者根據研究結果，提出具體建議，以做為未來研究、教案 設計與數學教學的參考。 關鍵詞：中學生、空間能力、虛擬教具、討論教學法、自學輔導法Abstract
The study aims to explore the effects of discussing strategy and supervised study integrated with virtual manipulatives on junior high students’ learning 2D spatial concept. We also attempt to examine the influences of diverse mathematic learning achievements and different gender.
The study adopts a pretest posttest quasi-experimental design and the subjects are junior high students recruited from a certain school in Hsin-chu. The subjects are divided into two groups, one of which receives the 2D spatial rotation concept instruction of discussing strategy integrated with virtual manipulatives, and the other of which receives the 2D spatial rotation concept instruction of supervised study integrated with virtual manipulatives. Before instruction, subjects are given the pretest of 2D spatial ability in order to ascertain that the abilities between two groups are of an even state. As for the experimental effects, we make an analysis based on two dependent variables, 2D spatial ability posttest and delayed posttest.
After instruction, our findings are as follows:
1. As for immediate effect and maintenance effect, the subjects having better mathematic learning achievements are superior to those having lower achievements. In other words, the subjects of higher mathematic achievement have better performance of spatial ability and higher maintenance effect of spatial concept.
2. As for the 2D spatial rotation concept instruction of discussing strategy or supervised study integrated with virtual manipulatives, the data show no significant difference between the two groups in the learning effect of 2D spatial concept.
3. As for the 2D spatial rotation concept instruction of discussing strategy or supervised study integrated with virtual manipulatives, the data show no significant difference between the two groups in the maintenance effect of 2D spatial concept.
4. As for the 2D spatial rotation concept instruction of discussing strategy or supervised study integrated with virtual manipulatives, the data show no
2D spatial concept.
5. As for the 2D spatial rotation concept instruction of discussing strategy or supervised study integrated with virtual manipulatives, the data show no significant difference between male and female subjects in the maintenance effect of 2D spatial concept.
6. As for the 2D spatial rotation concept instruction of discussing strategy integrated with virtual manipulatives, the data show that the discussing strategy exerts a great immediate effect on students’ learning of integrated ability and a great maintenance effect on students’ learning of 3D spatial ability.
Based on the result of the experiments, we propose a concrete suggestion for future study, teaching plan and mathematic teaching.
Key Words: junior high students, spatial ability, virtual manipulatives, discussing strategy, supervised study
誌謝
兩年的碩班生活，終於到了要提筆寫下最後一篇文章的時候了。回憶 兩年的在職專班生活，雖然工作忙碌之餘仍得到校上課、做研究，但其中 獲得的學識與回憶，回想起來是非常值得的。 首先要感謝的是袁媛老師，願意帶領茫然空白的我，從論文的選材， 到論文一步一步成形，其中教材、測驗的修改，都跟隨著老師嚴謹的精神 與耐心，才能順利在計畫內完成論文，真的萬分感謝老師願意花這麼多時 間給予指導與一一解惑，對您的感謝真的不是言語所能表達的。 再來感謝指導教授李榮耀老師，感謝您願意在論文研討細心聽我報告 論文，並給予許多寶貴的意見給予修正，其深厚的數學功力與見解，都令 教學現場的我獲益良多。 接著感謝孫之元老師，感謝您在口試的時候提出了許多的建議，讓我 從我的研究中跳脫，更能了解到論文中缺乏的地方或是需要加強註解處， 在在都為了讓這篇論文更盡善盡美。 再來是一起攻占碩士的同事兼朋友弘昌、有聖與佩錦，回想起一年級 下學期辛苦的在下班後仍要到中原大學求學的階段，雖然一起塞車、大 霧、等電車...等非常之辛苦的過程，但有大家一起互相鼓勵、一起打拼， 最棒的是最後大家都可以一起攜手準時畢業，真是完美的大結局! 最後，感謝幸福國中的同事還有身邊的家人朋友們與阿毛的支持，過 程中也許我因為壓力太大脾氣常有起伏，但轉眼間看到你們的鼓勵，似乎 又有用不完的力氣向前邁進了!最後最後，感謝口試當天專姐的代課與彤 曲熬夜的英文摘要協助，身邊的貴人真的太多了，沒有提到的，相信我， 我都一一放在心上了，有你們真好!目次
第一章 緒論...1 第一節 研究背景與動機...1 第二節 研究目的與待答問題...3 第三節 名詞釋義...4 第四節 研究範圍與限制...5 第二章 文獻探討...7 第一節 空間能力的內涵...7 第二節 國中數學課程幾何空間能力教材內容分析...16 第三節 空間能力的實徵性研究...23 第三章 研究設計與方法...29 第一節 研究設計與架構...29 第二節 研究流程...31 第三節 研究對象...34 第四節 研究工具...35 第五節 資料處理與分析...45 第四章 研究結果...47 第一節 探討不同型態的教學模式與數學學業表現對二度空間能力 測驗的交互作...47 第二節 不同型態的教學模式與性別對二度空間能力測驗的交互 作...52 第三節 接受二度空間能力旋轉概念教學後，兩組學生(接受討論 教學法及自學輔導法)在二度空間子概念的學習成效...55 第五章 結論與建議...61 第一節 結論...61 第二節 建議...62 參考文獻...66 一、中文文獻...66 二、英文文獻...72附錄...75 附錄一 二度空間能力測驗(初稿版)...75 附錄二 二度空間能力測驗(正式版)...90 附錄三 二度空間概念學習單(初稿第一版)...105 附錄四 二度空間概念學習單(初稿第二版)...111 附錄五 二度空間概念學習單(正式版)...122
表次
表 2-1 空間能力定義表...8 表 2-2 空間能力類型表...12 表 2-3 九年一貫數學學習領域幾何主題能力指標一覽表...18 表 2-4 國中九年一貫數學學習領域教科書與空間能力有關教材單元 一覽表... 21 表 3-1 不等組前後測準實驗設計... 29 表 3-2 兩組學生在二度空間能力測驗前測成績之t統計考驗摘要表...30 表 3-3 研究樣本人數統計表... 35 表 3-4 專家教授與專家教師建議修正內容... 36 表 3-5 「二度空間能力」測驗試題難度與鑑別度... 37 表 3-6 第一次學習單意見及修正表... 44 表 3-7 第二次學習單意見及修正表... 45 表 3-8 實驗假設與所使用的統計方法... 46 表 4-1 不同數學學業表現學生在二度空間能力測驗後測成績的表現 分配表... 47 表 4-2 不同型態的教學模式與數學學業表現之間在二度空間能力後測 成績之二因子變異數分析摘要表... 48 表 4-3 不同數學學業表現學生在二度空間能力延後測驗成績的表現 分配表... 49 表 4-4 不同型態的教學模式與數學學業表現之間在二度空間能力延後 測驗成之二因子變異數分析摘要表... 50 表 4-5 不同性別學生在二度空間能力測驗後測成績的表現分配表.... 52 表 4-6 不同教學模式與不同性別在二度空間能力測驗後測成績之 二因子變異數... 53 表 4-7 不同性別學生在二度空間能力延後測驗成績的表現分配表.... 54 表 4-8 不同教學模式與不同性別在二度空間能力延後測驗成績之 二因子變異數分析摘要表... 54 表 4-9 實驗一組(討論教學法)在二度空間子測驗的前測-後測成對 樣本 t 考驗... 56表 4-10 實驗二組(自學輔導法)在二度空間子測驗的前測-後測成對 樣本 t 考驗... 57 表 4-11 實驗一組(討論教學法)在二度空間子測驗的前測-延後測成對 樣本 t 考驗... 58 表 4-12 實驗二組(自學輔導法)在二度空間子測驗的前測-延後測成對 樣本 t 考驗... 59
圖次
圖 3-1 研究架構圖...31 圖 3-2 研究流程圖...34 圖 3-3 Transformations - Rotation 操作說明 1 ...38 圖 3-4 Transformations - Rotation 操作說明 2 ...39 圖 3-5 Transformations - Rotation 操作說明 3 ...39 圖 3-6 Transformations - Rotation 操作說明 4. ... 40 圖 3-7 Transformations - Rotation 操作說明 5. ... 40 圖 3-8 Transformations - Rotation 操作說明 6. ... 41 圖 3-9 學習單說明 1. ... 41 圖 3-10 學習單說明 2. ... 42 圖 3-11 學習單說明 3. ... 42 圖 3-12 學習單說明 4. ... 43第一章 緒論
第一節 研究背景與動機 對學生來說，空間概念是很難學習和理解的課程內容，甚至連老師也 覺得是很難以教學的單元。事實上，空間概念時常應用在我們的生活中， 而且也是隨處可見的，如：在我們生活中的各項物品或建築物；出遊時使 用的相機，鏡頭經由拉近拉遠或者改變角度後所拍下的照片，都是空間概 念在生活中的應用。 空間概念的學習，對學生的數學能力的提升是很重要的。吳文如(2004) 提到國中生的空間能力與數學成就有中度相關存在，國內外許多學者在不 同學習階段也提出相同的看法(馮雅慧，2006；蔡曜宇，2007；Guay＆ McDaniel, 1977; Quaiser-Pohl ＆ Lehmann, 2002），皆認為數學能力與空間 能力存在相關。因此，空間能力提升的不僅是數學在幾何方面的相關能 力，連帶對學生在整體數學能力的提升也有顯著影響。參考 Thurstone（1938）對空間能力下的定義：能在心中記住一個空間 圖象，並在腦中扭轉、旋轉或移轉到一個新的位置。全美數學教師協會 （National Council of Teachers of Mathematics，NCTM）的學校數學綱領與 標準中也將幾何形體及其關係、變換、幾何的模式化與空間推理等觀念包 含於學校的課程中。中國新的「初中數學課程標準」（2011 版）中提及： 第三學段（7~9 年級）的空間與圖形有”圖形與變換”的學習內容所下的 四個具體目標 1.圖形的軸對稱，2.圖形的平移，3.圖形的旋轉，4.圖形的 相似。综合上述，對於空間能力我們大致分為：平移、旋轉、翻轉、對稱 及縮放等概念。 研究者於國中二年級下學期的課堂教學後，發現以前舊教材中的點對 稱都刪除了，對稱的部份只剩下線對稱！查閱以前舊教材國編版，發現民 國六十四年、民國七十六年的課程版本中編有線對稱與點對稱教材，而在 八十二年版中刪除了點對稱的教材，只留下了線對稱的部份（林秀瑾、張 英傑，2005）。研究者翻閱「國民教育階段九年一貫課程綱要」（教育部， 2003）後發現，對應的能力指標僅有（S-2-06）「能理解平面圖形的線對稱 關係」而已。而在最新的「國民教育階段九年一貫課程綱要」（教育部， 2008）中，修定後則有（S-3-03）「能理解平面圖形的線對稱關係」、（S-4-08）
「能理解線對稱圖形的幾何性質，並應用於解題和推理」、（S-4-14）「能理 解圖形縮放前後不變的幾何性質」，雖然增加了兩項與空間能力相關之能 力指標，加強了對稱與縮放的部份，但對於空間能力來說，尚有平移以及 旋轉能力並未提及與在教材中出現。
全美數學教師協會（NCTM）對幾何課程與教學的重視也深受專家學 者的支持（Kilpatrick, Martin, ＆ Schifter, 2003）。於國際數學與科學教育 成就趨勢調查（Third International Mathematics and Science, 簡稱 TIMSS） 中，更將「對稱、全等與相似」列為幾何內容架構的兩大項目之ㄧ。新加 坡、芬蘭、英國、中國大陸、美國等國均特別訓練學生對圖形的翻轉、平 移、旋轉、放大與縮小等能力（徐偉民、林美如，2009；洪雅齡，2005； 姜志遠，2005；翁婉珣，2005；彭惠群，2010）。當世界各國均將幾何變 換視為重要課程，並將幾何變換課程向下提前到小學四年級即開始接觸 時，我國的課程綱要中卻只有平移和縮放等概念，明顯感受到相關課程的 缺乏。林碧珍和蔡文煥（2003）指出，台灣學生在 TIMSS2003 中幾何項目 表現較差的原因之一，是因為台灣的課程中較晚進行幾何方面教學。而我 國學生雖然在 TIMSS2003、2007 中表現突出，但比較不同內容領域後發 現，評量項目中以「幾何」的表現較差（Mullis, Martin, ＆ Foy, 2008； Mullis, Martin, Gonzales, ＆ Chrostowski, 2004）。综合上述，令研究者陷入思考， 我國的幾何變換課程是否足夠且適時？ 正當研究者陷入思考之際，國內剛好有一篇關於國中學生二度空間能 力的調查研究。張哲豪（2011）提出有關桃園縣國中學生二度空間能力的 調查，測驗內容包括平移、對稱、旋轉、縮放及综合等五個子測驗，而研 究當中發現學生以旋轉和综合的能力表現最差。而這個部分又剛好是我國 課程綱要中最為缺乏的部份，不禁使人產生聯想，是不是因為這個原因造 成我國國中生旋轉方面的幾何變換知識不足？是研究者想要積極去了解 及證實的。 男女生性別差異在數學方面的成就一直是熱門的研究題材，國內也有 許多相關的研究（郎亞琴、陳彩卿，2008；黃幸美，1995；黃國清，2008； 蔡慧真，2010；盧雪梅、毛國楠，2008），但其結果不盡相同；Moir 和 Jessel(1989)也針對二度空間能力提到，認為空間能力是男女性別最大的差 異。因此對於男女生，令研究者好奇在幾何變換的課程中，不同性別是否 會使學生在學習過相關的數位幾何變換課程後而造成學習成效的差異？
是研究者想要去查證的。 幾何對許多學生來說是個惡夢，覺得自己沒有任何圖形或是空間中的 幾何細胞。而對老師而言，幾何單元在課堂上的呈現也十分困難，光是透 過傳統的黑板演示或是再三講述依舊讓學生難以想像或是理解。所以往往 需要耗費許多的時間準備實體教具，或是帶學生觀看實際物品才能區分清 楚其差別。可是課堂的時間是有限的，並非每個的單元或是每堂課都有時 間進行這樣的課程。因此，虛擬教具在課程上的使用越來越被重視。全美 數學教師協會（NCTM）指出虛擬教具可幫學生發展實體經驗藉此讓學生 的數學演算發法更為成熟(NCTM, 2000)。國外許多學者也指出虛擬教具是 有潛力的數學工具，具有立即回饋和互動等優點(Highfield ＆ Mulligan, 2007; Moyer, Salkind, ＆ Bolyard, 2008; Suh, 2005; Steen, brooks, ＆ Lyon, 2006)。國內也有不少關於使用虛擬教具進行課堂教學的研究，都一一的證 明了虛擬教具於教學上的幫助(方淑美，2008;李政憲，2007;沈佳興，2008; 陳敏慧，2010;張玉琪，2009;楊惠文，2010)，藉由各種不同類型的虛擬 教具進行課堂教學，如:AMA、NLVM、Flash、萬用揭示板等，都發現虛 擬教具的使用與學習成效具有顯著相關。 基於上述，使研究者想要針對空間能力中的旋轉概念發展數位教材， 來加強學生在這個地方觀念的不足。於教學前後分別進行二度空間能力測 驗，比較虛擬教具融入不同教學型態，對學生二度空間能力各項概念學習 上的影響。並且探討不同教學模式與不同性別，以及不同教學模式與不同 數學學業表現的學生對二度空間能力學習的交互作用影響，並期許以此研 究結果做為以後政府編撰國中教材時，考慮的教學目標參考之用。 第二節 研究目的與待答問題 本研究主要之研究目的，利用國家虛擬教具圖書館（National Library of Virtual Manipulatives，簡稱NLVM）的Transformations-Rotation教具，發展 一套空間旋轉能力之教材，以期提升學生之空間旋轉能力。主要之研究目 的如下述: 一、探討不同的教學模式與數學學業表現，對學生二度空間概念學習的交 互作用影響。 二、探討不同的教學模式與性別，對學生二度空間概念學習的交互作用影 響。
三、探討接受虛擬教具融入不同教學模式組別，對學生二度空間各子概念 學習的影響。 基於上述之研究目的，本研究之待答問題有: 1、接受不同型態的教學模式(討論教學法、自學輔導法)與數學學業表現 (高、中、低)的學生，在二度空間能力測驗上是否有交互作用存在？ 2、接受不同型態的教學模式(討論教學法、自學輔導法)與數學學業表現 (高、中、低)的學生，在二度空間能力延後測驗上是否有交互作用存在？ 3、接受不同型態的教學模式(討論教學法、自學輔導法)與性別(男、女) 的學生，在二度空間能力測驗上是否有交互作用存在？ 4、接受不同型態的教學模式(討論教學法、自學輔導法)與性別(男、女) 的學生，在二度空間能力延後測驗上是否有交互作用存在？ 5、接受完二度空間能力旋轉概念教學後，是否能提升兩組學生(接受討論 教學法及自學輔導法)在二度空間各子概念的學習成效？ 第三節 名詞釋義 以下就本研究相關之名詞作解釋或界定： 一、虛擬教具 虛擬教具為新式之教學輔具，結合現代科技到教學中。使用者可以透 過鍵盤、滑鼠進行操控，使虛擬教具裡的物件可像實體教具一樣被移動、 翻轉、滑動、旋轉（江玉玲，2010；林佳貞，2008）。學生可以藉此利用 電腦虛擬建構出的環境進行虛擬操作而模擬真實情境中的動作，如傳統教 具般建構數學知識，但可以呈現真實教具中不易呈現之效果。 二、二度空間能力 本研究所指之二度空間能力為檢測個體辨識和操控圖形的能力，個體 將物體之圖像概念建構於腦海中，並將此圖像作平移、對稱、旋轉、放大 與縮小等想像性操弄的能力，在達成轉換或類化後，仍能理解及掌握物件 之間關係的能力。本研究之研究工具"二度空間能力測驗"，包含六大子概 念：平移、旋轉、縮放、對稱、綜合及三度空間等六大主題。
三、點對稱 以一點為對稱中心，將圖形旋轉180後，仍可以和原圖形完全疊合在 一起，我們將此圖形稱為「點對稱圖形」。對稱中心把兩個對應點的連線， 平分成兩半；也可以說，兩個對應點連成的直線段，會以對稱中心為中點。 如:正方形、圓形、平行四邊形、正偶數多邊形等，均為點對稱圖形。 四、數學學業表現 本研究所定義的數學學業表現是指依研究對象前一學期兩次數學定期 平均來分為高分組、中分組及低分組，每組的人數大約占三分之一的研究 對象人數。 五、討論教學法 一種存在於老師與學生之間或學生與學生之間進行討論而形成的教 學法，其理論基礎建立在社會建構論，藉由彼此之間的互動中，達到知識 共享的目的。其進行的方式可分為：教師引導或是丟出問題引發班級或是 小組進行討論、辯證，而這種教學方式的用意在於藉由師生間的討論、發 表、辯證和一定的引導中，來達到一定的學習成效。 六、自學輔導法 自學輔導法(Supervised Study)是學生在教師指導下，進行自學的一種 教學的方法。這種方法可在正課施行，亦可在自修時間或自修室採用。自 學輔導法的用意在於適應學生的個性與特質進行學習。本研究是採取虛擬 教具結合學習單進行操作與學習連結的教學設計，並藉由最後引導問題， 作教學概念思考連結，激發學生個人操作後的概念組織，以達到學習成效。 第四節 研究範圍與限制 本研究的範圍與限制可以從以下四點加以說明： 一、研究主題 因為空間能力的主題涵蓋廣大，本研究僅分類成平移、對稱、旋轉、 縮放、綜合及三度空間等六大測驗主題，因研究的人力、時間等限制下， 無法涵括所有主題，因此，是否能推論到空間能力其它特質上，有待其它 研究進一步驗證。
二、研究設備 本研究於電腦教室進行，每位學生必須操作一台電腦，且為掌控課堂 之順利進行，必須具備廣播切換功能之電腦教室進行，且因本研究教學工 具採取線上虛擬教具，因此也必須具備流暢的網路以供使用。 三、研究對象 為了考慮研究的時間限制及便利性，研究對象是採取新竹市幸福國中 （化名)九年級兩班學生做為研究對象，對象具有地域特性，故研究所得 到的結果不宜推論到其它地區。 四、研究工具 本研究研究工具與同研究室之朱有聖共同編輯而成，因此預試對象為 八年級學生，但本研究實驗對象為九年級學生，因此有預試對象與實驗對 象不為相同年級之限制。
第二章 文獻探討
本研究旨在透過虛擬教具之介入，進行二度空間旋轉概念之教學，並 比較兩種不同教學型態(討論教學法與自學輔導法)之學習成效差異。因 此，藉由蒐集國內外之空間能力相關研究資料文獻，深入探討空間能力以 建構本研究之主軸，利於發展相關教學內容以及問卷，建構本研究之理論 基礎。再者，了解國內二度空間能力之教材發展，增添課程與教材之密切 性，也能針對課程綱要缺少的部分加強。本章共分成三節，依序為「空間 能力的內涵」、「國中數學課程空間能力教材內容分析」、「空間能力的實徵 性研究」，各節內容分述如下 。 第一節 空間能力的內涵 空間能力一直是一個熱門的研究課題，早期的研究幾乎都是心理學家 在探究，歸納分析智力的定義與類別，而到七十年代開始，才漸漸有數學 學者使用有系統的方式來鑽研此項特殊能力的定義與類別。儘管到現在， 研究空間能力的學者依舊不在少數，甚至跨足到更多不同相關的領域， 如：「國中一般生與學習障礙生之視覺空間工作記憶、空間能力與數學幾 何學習表現之相關研究」、「空間能力之性別差異：眼動分析研究」、「發展 以動畫為主的月相盈虧課程並探討學生的空間能力對學習成效與認知負 荷的影響」、「評估空間能力對容量判斷影響之研究、3D 電腦影像對機械 製圖空間能力的影響」、「評估空間能力對容量判斷影響之研究」...等， 與特教、資訊科技、企業管理、材料...等，皆有不少的相關研究，顯示 空間能力對我們生活影響層面有多廣泛(吉同凱，2012；吳彥瑾，2012； 陳暐婷，2011；蔡少詠，2013；蔡思涵，2012；謝博仁，2012)。但，究竟 空間能力是什麼？又分為哪些種類？雖然眾家學者的說法紛紜，但是否存 在其共通性？以下是研究者僅針對蒐集到的國內外文獻，試著將空間能力 做一整理分析，為本研究之理論依據。一、空間能力的定義 表 2-1 空間能力定義表 研究者(時間) 定義 吳煥昌(2001) 空間能力是指個體能觀察物體且精確成像及辨識的空 間感觀能力和將二度或三度空間物體操控旋轉知能 力，以及個體將幾何形體展開成平面或組合並判斷其 交線之空間感觀能力。 簡慶郎(2001) 一個圖案或物體經視覺進入腦中形成一個平面的心 像，記住此心像，轉換成立體物像，並能對此立體物 像移動或旋轉，而且能以另一個新的心像呈現的能力。 陳鎮潦(2003) 個體透過觀察，將物體轉換成圖像顯現在腦海中，並 透過想像的操弄，將腦中的圖像進行旋轉、位移以及 操控的能力。 林佳蓉(2004) 空間能力是個體能正確辨識、透視以及觀察，並將物 體以圖像方式於腦海中進行操作、思考或轉換的能力。 劉再興(2004) 個體對本身身處環境之空間知覺，及在空間中操弄形 體，並將物體以圖像方式經記憶、感官、邏輯思考等 方式，於腦海中轉化思考的能力。 羅雅薇(2005) 個體將二度或三度空間中的形體，經心理移動、旋轉、 操弄或轉換的能力。 莊振中(2005) 物體特徵經視覺傳遞後在腦中形成圖像，能判斷物體 經平移或旋轉後正確相關位置的能力。 魏春蓮(2005) 空間能力是將形體在二度或三度空間進行觀察、辨 識，使其能在心理上做不同方位展開、摺合、翻轉或 位移的能力。 林信全(2005) 個體將物體轉換成圖象記憶於腦海中，並且能針對圖 象作大小、位置、形狀、比例、旋轉等抽象思考能力。 馮雅慧(2006) 將立體圖像在腦海中進行想像性圖像操作之能力。 (接下頁)
(續上頁) 研究者(時間) 定義 林逸農(2006) 空間能力指個體能將心像中的刺激物做有效的控制， 當個體可以正確控制心像中的刺激物時，表示個體可 將刺激物在空間上的關係作翻轉、旋轉或移位的能力。 陳世玉(2006) 空間能力指個體可以觀察、辨識物體，將其圖像記憶 於腦海中，並可藉由想像的方式，在 2D 與 3D 中任意 進行移動、翻轉或旋轉，展現再認、保留與回憶圖像 的能力。 劉屾垚(2007) 空間能力是指個體能在二度或三度空間進行辨識、觀 察、透視物體之外，並能將形體以圖像方式在腦海中 轉換後，仍能掌握物件間關係的能力。 黃惠薇(2008) 空間能力要能辨識、操控以及轉換二維或三維的圖像 物件。當物件改變位置、角度、方向或進行旋轉、組 合、拆解時，個體能進行心理操作或轉換圖象，並以 語言或圖象說明呈現。 黃煥文(2009) 空間能力是能將實際形體在心中產生心象並記憶下 來，依照所求將形體進行翻轉、旋轉、展開或摺合等 操弄，進行透視或不同角度觀察的能力。 呂潔筠(2009) 將具體的二維或三維圖形想像成一個抽象的心象，並 能針對這個心象作移動、旋轉、拆解、摺合、展開等 操作的能力。 蔡曜宇(2009) 個體經觀察、記憶和辨識的過程後，對於平面和立體 圖像訊息進行處理與轉換的能力。 施幸玟(2010) 心智操作的能力，經由翻轉、旋轉、位移、操弄、感 官、記憶等方式，將三維以及二維的物體圖象作正確 而有效的控制，瞭解物體位置改變的能力。 (接下頁)
(續上頁) 研究者(時間) 定義 陳桓長(2010) 個體對於外在環境或物體，經由視覺或心理操作的能 力，此能力並非能百分之百無誤的建構出內心想像的 圖象，而是個體本身對於空間問題而能進行猜想、推 理、思考、記憶、創作思考等的一項能力。 吳春進(2010) 一個人對某個圖案或物件在三度空間中做心理移動、 旋轉或改變位置方向的抽象思考能力。 張哲豪(2011) 個體辨識和操作圖象的能力，經由感官、記憶、辨識 以及思考處理後，將二度空間之形體以圖像記憶於腦 海中，並且在圖象經由平移、旋轉、對稱以及縮放後 仍能掌握圖象間的關係的能力。 李嘉瑋(2011) 個體能在心中對平面或立體圖像，進行操控或轉換的 能力。 林郁芬(2011) 在腦海中形成、操控平面或立體心像的能力。 資料來源：本研究整理 空間能力的定義隨著「智力」的發展而有不同的涵義，而智力隨著智 力學者的智力理論和心理學者編製的智力測驗而發展出更多元化的內容 與面相。從早期智力二元論、群因論，到後來的智力多元理論，空間能力 為智力一環的想法逐漸被認同，而心理測驗中對應到空間能力的題目也越 來越多，卻也發展出各種對空間能力不同的解釋，以下是研究者對空間能 力定義文獻的整理。 一開始對空間能力的釋義，多以「對視覺進入的圖像，能夠進行心理 操作。」 (El-Koussy, 1935; French, 1951; Kelly, 1928; Pellegrino & Hunt, 1991; Shepard & Metzler, 1971)，強調對於藉由感官進入腦海中的圖像，能夠進行 簡單心理層面的操作的能力；Thurstone(1938)則是提到「空間能力是將心 中的圖像進行移轉、旋轉或扭轉，並能夠與變動後的圖象進行比對的能 力」，從這當中，不僅開始試圖描述心理操作的具體化行為，還強調要包 括與變動前的圖像"比較"的能力；Lohman(1984)則在此時提出「空間能力 並不是單一一項能力」，也揭開了接下來空間能力解釋多方向的發展；
Guilford 和 Lacey(1947)提出「空間能力除了圖像在心理上的操作之外，還 包括了平面與立體圖形之間的展開與摺合」，強調二維圖形與三維立體間 的轉換，此與吳煥昌(2001)、呂潔筠(2009)、黃煥文(2009)、魏春蓮(2005) 的定義相符合；Moir 和 Jessel(1989)提到「空間能力是將圖像記憶於腦海 中，並能對形狀、位置、地理位置、大小比例轉換」，引入了不同於以往 的看法，從相對位置與不同角度定位點來對心中的圖像進行操作，此與吳 春進(2010)、林信全(2005)、黃惠薇(2008)、黃煥文(2009)、孫士雄(2001) 的看法相雷同；林佳蓉(2004)提到「空間能力除了將物體以圖像方式於腦 海中進行操作思考外，尚能正確辨識、透視圖形的能力」，強調了透視圖 形的能力，能從少數獲得的視覺訊息中推理出完整的立體圖形，此與黃煥 文(2009)及劉屾垚(2007)的看法相雷同；康鳳梅、和戴文雄(2001)提到「空 間能力超越了一般如複製、技藝或配對的基本認知能力，還包括邏輯思考 或創造性的空間思考能力」，顛覆了一般對空間能力的看法，此則與陳桓 長(2010)的看法相同，強調猜想、推理與創作思考的能力。 經由上述整理國內外近遠期的文獻發現，隨著研究方向與層面的不 同，對空間能力的解釋也不盡相同，但仍有其共通之處，早期的研究多視 空間能力為智力的一部分，著重於概念的解釋，透過心理操作察覺圖象關 係的能力；而近期的研究，則是不約而同的將空間能力視為心理操作方面 能力，強調在心理能將圖象進行操作以及轉換方面的能力。所以研究者認 為二度空間能力即是將實際的形體或是視覺上的圖象，經由感官的方式進 到腦海中，並能夠進行轉換成心中的圖象，使其即使經由平移、旋轉、對 稱以及縮放後，仍能辨識判斷其相對關係的能力。但對應國民中學九年一 貫數學課程綱要，卻發現國中數學教材中，僅提及「縮放」和「對稱」， 完全沒有針對「平移」以及「旋轉」等能力的教材進行教學，使研究者倍 感好奇，如此是否會對學生在二度空間方面能力造成影響？欲進一步進行 探究。 二、空間能力的分類 欲了解空間能力的內涵，就一定要從文獻中探討空間能力的種類。從 中，我們可以了解到空間能力的演變，進而瞭解各個時期對於空間能力不 同的解釋。
表 2-2 空間能力類型表 研究者(時間) 空間因素項目 定義 1.圖形辨識能力 分為複製圖形、鑲崁圖形、視覺 記憶、圖形完成、圖形平移等能 力 蔣家唐(1995，引 自李琛玫，1996) 2.圖像操控能力 分為積木計數、積木旋轉、紙張 摺合、圖像拆解、方位透視等能 力 1.空間關係及定位 於二度空間中運作的能力，操作 靜態、簡單的辨識能力 李琛玫(1996) 2.視覺化 於三度空間中運作的能力，操作 較為複雜、動態、非速度的能力 1.視覺因子 想像平面展開圖摺疊、立體圖形 展開所呈現出的樣貌，或圖形反 轉、扭轉和旋轉時所呈現樣貌的 能力 王克蒂(1998) 2.定向因子 觀察元素間排列規則的能力，並 且在元素改變方向後，依舊能夠 辨識的能力 1.空間知覺 個體能觀察物體並在心中形成 圖像及正確辨識的能力 2.旋轉與操控 將平面圖形或立體圖像於心中 進行旋轉或操控的能力 吳煥昌(2001) 3.空間知覺應用能 力 將立體圖形於心中展開成平面 的能力 (接下頁)
(續上頁) 研究者(時間) 空間因素項目 定義 1.辨認觀察能力 對於二度空間圖像或是三度空 間物體進行組合或分解的能力 2.轉換拆摺能力 對於觀察到的物體能進行摺疊 或展開的能力 3.移動旋轉能力 對於觀看到的二度空間平面圖 形或三度空間立體圖形能在心 理轉換成圖像並將物體移動、旋 轉和改變位置及方向的能力 洪志盈(2003) 4.空間推理能力 對於二度空間圖像或三度空間 立體圖形能關係推理或透視圖 像特性的能力 1.空間視覺化 一種複雜、較為動態的能力，能 將二維或三維圖像在心中進行 想像、操作的能力 吳明郁(2004) 2.空間導向 一種簡單、較為靜態的能力，觀 察物體所呈現的方位或空間輪 廓改變時，依舊能掌握和理解物 件間的關係的能力 1.靜態空間能力 觀察並辨識圖形的能力 楊博源(2006) 2.動態空間能力 於心理操作想像性重組物件的 能力 1.空間視覺 個體將觀察到的物體在腦中形 成心像，且可進行轉換的能力 2.空間定位 個體能想像出不同的角度物體 的樣貌，去判斷景物或物件 陳世玉(2006) 3.空間知覺 個體能運用本身身體定義出空 間關係，正確判斷空間圖形並能 回應符合視覺的圖形刺激物 (接下頁)
(續上頁) 研究者(時間) 空間因素項目 定義 1.空間移動旋轉能 力 記憶與辨識二度或三度空間的 圖形，即使物體被改變方位後， 依舊能正確辨識的能力 2.空間視覺想像能 力 利用推理能力透視圖形特性或 想像其關係推理的能力 3.空間方位辨識能 力 辨識出物體的相對位置或是基 本方位的能力 宋嘉恩(2007) 4.空間方位應用能 力 解決日常生活中空間方位問題 的能力 1.空間定位 個體從不同定位點想像物體的 形狀，或將物體經平移或旋轉 後，依舊能正確且快速辨識的能 力 張裕中(2008) 2.空間視覺 平面或立體圖形在經過展開或 摺合後，個體能想像空間中相對 位置改變的能力 1.空間辨識能力 個體在空間中經對稱、縮放、平 移和旋轉後依舊能正確辨識、比 較、保留、擷取空間物件或圖像 的能力 2.空間定位能力 個體對空間中的物件或圖像改 變方向後，依舊能從不同定位點 去想像物體的形狀並辨識 張哲豪(2011) 3.空間視覺能力 物體在空間中改變相對位置 後，個能可以在心中操弄物件或 圖像，如：扭轉、翻轉、組合、 展開或平移及旋轉 資料來源：研究者自行整理
空間能力發展的歷史悠久，從早期五十年代的國外文獻開始，雖然各 個學者提出不同的分類與分類名稱，但將其統整後發現，提到的觀念都與 Thurstone(1950)提出的 S1 與 S3 相雷同，S1 指的是個體能夠以不同的角度 或定位點來想像物體；S3 指的是個體能將物體轉換成圖像記憶於腦海中， 並進行心理操作，此兩項分類與之後的大多數學者重疊比例最高(French, 1951; French et al., 1963; Guilford & Lacey, 1947; Lohman, 1979; McGee, 1979; Pribyl & Bodner, 1985)，早期這些學者都認為空間能力應包含個體在 感官收錄到物體的部分資訊後，結合心理層面的運作，能夠想像從不同的 角度觀看物體的樣貌。此與數學題型中，"挖掉部分方塊的正立方體，請 計算剩餘的單位方塊數？"題目雷同，個體要能夠去從不同定位點想像物 體每一面所包含的方塊數量；數學單元"生活中立體圖形"，計算不同大小 圓柱體重疊厚表面積的題目，解題技巧中，個體也需想像從上方俯視後大 小底面重疊成一個完整大的圓形的觀念，在在的都使用到此項空間能力。 第二項學者們雷同的空間能力分類提到的是，個體能將感官收錄到的物體 資訊，先記憶到腦海中並轉換成圖像資訊，接著能夠進行移動、旋轉、翻 轉之類的心理層面操作，並能夠輸出圖像進而辨識與原本物體的不同之 處。此與數學題型中，"在正方形一邊連接一相同邊長之正三角形，將正 三角形一頂點固定後，正三角形以這頂點作旋轉至另一邊重合後停止，求 正三角形另一重疊頂點的移動路徑長？"，此題型學生必須在心中想像正 三角形會如何做旋轉，以及頂點經過旋轉後產生的路徑，牽涉到空間能力 中心理層面的操作，與上述學者陳述的相雷同。 而 Guilford 和 Lacey(1947)也提出"空間透視"的分類概念，其中雖然包 括了很多不同的概念，當中最特別的是提到了平面圖形與立體圖形的展開 與摺合轉換，指的是個體感官收錄到物體二維的訊息後，可以在腦海中運 作，轉換成三維的立體圖形，亦或收錄到三維的立體圖形資訊後，可以在 腦海中將其展開成二維的平面圖形。此與國中基測數學考題中，"將一平 面三角形或長方形進行繞柱旋轉後，計算其表面積或體積？"與"給許多不 同的平面單位方塊組合展開圖，試問哪一個可以組合成單位立方體？"， 此兩個題型則牽涉到上方空間透視的能力，將平面圖形與立體圖形轉換的 心理層面操作，此與 Lohman (1979)提到的想像透視相雷同。 結合近年國內學者的看法得知，雖然隨著研究的領域與主題面向的不 同，而產生不同的空間能力分類項度及內容，但是互相比較之後，發現學
者們的看法內總有不少相似之處，大致上可分為兩類：「空間方位或關係」 和「空間視覺化」(呂潔筠，2009)。前者偏靜態圖形的觀察，能從不同角 度定位點來判別圖像之間的關係；後者則偏心理上的動態操作，能將觀察 到的物體轉換成圖形，並將此圖像在心中操作移動、旋轉、翻轉、展開、 組合...等動作。由於本研究的研究工具主要參考張哲豪(2011)的研究工 具，以及研究者於近年基測所接觸到的空間能力相關題型，結合上述國內 外文獻中分析中常見的空間能力分類，將空間能力種類分為「空間知覺能 力」、「空間定位能力」、「空間透視能力」等三大類。「空間知覺能力」是 指當個體觀察完物體，能將所觀察到的物體轉換成腦海中的心像後，進行 心理操作如：移動、翻轉、旋轉、放大、縮小、對稱...等，依舊可以正 確表達出操作完的圖像，並正確判斷物件之間關係的能力；「空間定位能 力」是指個體觀察完空間的物體後，可以從不同角度定位點去想像物體的 形狀和樣貌，不會混淆不清的能力；「空間透視能力」是指個體能將觀察 到的二維的平面圖形或三維的立體圖形後，能在心中進行展開或組合的操 作，並正確判斷其對應關係的能力。此分類與 Lohman(1979)、吳煥昌 (2001)、洪志盈(2003)相雷同，而將這三項分類作為研究工具發展的基準， 以切合本研究的目的。 基於上述討論，本研究之研究工具擬從「平移」、「對稱」、「旋轉」、「縮 放」等四個面向設計問題，雖然本研究之教學是針對學生之「旋轉」能力 加以強化，但依舊可以探討其它的空間面向是否因此也發生改變。此外， 研究工具中更加進近年國中基測中較常出現的題目，關於空間能力中「空 間知覺能力」的考題，考驗學生是否在進行空間能力的旋轉教學後，是否 也能有所提升。以上都令研究者十分好奇，亟欲在接下來的研究中探究之。 第二節 國中數學課程幾何空間能力教材內容分析 根據教育部九年一貫 97 數學學習領域課程綱要揭示，數學之所以被納 入國民教育中是因為：1.數學是人類最重要的資產之一；2.數學是一種語 言；3.數學是人類天賦本能的延伸。故數學對於我們來說，不僅是一種歷 史資料的傳承，更是與世界接軌、發展未來的一門學問，都讓我們了解學 習數學的重要性。而在 97 課程綱要中，將數學領域分成「數與量」、「幾 何」、「代數」和「統計與機率」四個主題，其中，本研究所關注的空間能 力係屬幾何主題，而研究者發現，幾何領域約占國中數學課程的 22 個章
節中僅 6 個章節。然而，由於研究者本身為國中數學教育現場教師，發現 所有國中數學領域中，數學幾何範圍的學習對學生是最難理解與接受的， 甚至因此而對學習數學萌生放棄的念頭。不禁讓研究者產生疑問:是不是 因為我國的幾何部分教材在國小或國中的不足，或是來的太慢，使得學生 在建構本身數學思維時無法將整體學習融會貫通，而導致學生學習數學的 困難呢？基於上述想法，故本小節中，研究者將從整理教育部的九年一貫 課程綱要幾何階段能力指標與各個教材中的幾何單元，從中探討空間能力 的比例與內容是否足夠。 一、數學領域幾何階段能力指標 能力指標為教育部訂定出，針對各科領域及主題教學後，學生應明確 具備的能力和評量標準，故為各級學校老師所奉行的準則。以下是我國九 年一貫數學學習領域幾何主題的所有能力指標，整理如表 2-3 所示。
表 2-3 九年一貫數學學習領域幾何主題能力指標一覽表 階段 能力指標 8-s-01 能認識生活中的平面圖形（三角形、四邊形、多邊形 及圓形）。 8-s-02 能認識並定義簡單幾何圖形的點、線、角（含符 號： 、 ）。 8-s-03 能認識圓形的定義及相關名詞（圓心、半徑、弦、直 徑、弧、弓形、圓心角、扇形）。 8-s-04 能認識尺規作圖。 8-s-05 能利用直角定義兩直線互相垂直，以及利用垂直於同 一直線定義兩直線互相平行。 8-s-06 能具體說明兩平行線間距離處處相等。 8-s-07 能熟練基本尺規作圖。 8-s-08 能認識平行線的基本性質。 8-s-09 能以最少性質辨認三角形。 8-s-10 能理解平面圖形線對稱的意義。 8-s-11 能理解特殊三角形的定義。 8-s-12 能理解三角形的基本性質。 8-s-13 能理解特殊三角形的性質。 8-s-14 能以尺規作圖理解兩個三角形全等的意義。 8-s-15 能理解三角形的全等性質。 8-s-16 能理解三角形邊角關係。 8-s-18 能理解特殊四邊形的定義。 8-s-19 能作出正方形及平行四邊形的圖形。 8-s-21 能理解平行線截線性質：兩平行線同位角相等；同側 內角互補；內錯角相等。 8-s-22 能理解平行線的判別性質。 8-s-23 能理解平行四邊形的意義與性質。 二下 8-s-24 能理解平行四邊形的判別性質。 (接下頁)
(續上頁) 階段 能力指標 8-s-25 能理解平行四邊形的面積公式。 8-s-26 能理解梯形的意義與性質（包含梯形中線性質）。 8-s-27 能利用三角形內角和為 180 度的性質，解決多邊形內 角和、與外角和定理的問題。 8-s-28 能辨識一個敘述及其逆敘述間的不同。 8-s-29 能利用平面圖形的性質解決周長問題。 二上 8-s-30 能利用圓的性質解決扇形面積問題。 8-s-31 能描述複合平面圖形構成要素間的可能關係。 8-s-32 能計算複合平面圖形的周長及面積問題。 8-s-33 能以最少性質辨認立體圖形。 8-s-34 能描述複合立體圖形構成要素間的可能關係。 8-s-35 能計算柱體表面積的問題。 二下 8-s-36 能計算簡單複合立體圖形的體積及表面積問題。 9-s-01 能根據平行線截線性質作推理。 9-s-02 能對簡單的相似多邊形指出對應邊成比例、對應角相 等性質。 9-s-03 能理解三角形的相似性質。 9-s-04 能理解平行線截比例線段性質。 9-s-05 能利用相似三角形對應邊成比例的觀念，應用於實物 的測量。 9-s-06 能理解直線與圓及兩圓的關係。 9-s-07 能理解圓的相關性質。 9-s-08 能理解三角形外心的定義和相關性質。 9-s-09 能理解三角形內心的定義和相關性質。 9-s-10 能理解三角形重心的定義和相關性質。 三上 9-s-11 能以三角形和圓的性質為題材來學習推理。 資料來源：教育部 97 年國民中小學九年一貫課程綱要(教育部，2008)
比較各國幾何教材（洪雅齡，2005；姜志遠，2005；翁婉珣，2005； 徐偉民、林美如，2009；彭惠群，2010），卻發現各國無不將幾何主題視 為重點方向去做加強。而在此時，再細觀我國 97 課程綱要幾何主題的能 力指標卻發現，其中與研究者所探究的空間能力分類「平移」、「對稱」、「旋 轉」和「縮放」相關的能力指標僅有「8-s-10 能理解平面圖形線對稱的意 義。」、「9-s-2 能對簡單的相似多邊形指出對應邊成比例、對應角相等性 質。」、「9-s-3 能理解三角形的相似性質。」和「9-s-5 能利用相似三角形 對應邊成比例的觀念，應用於實物的測量。」四項而已，僅僅只有提及「對 稱」與「縮放」，完全沒有任何能力指標提及到「平移」 以及「旋轉」， 反觀新加坡、芬蘭、英國、中國大陸、美國等國均特別訓練學生對圖形的 翻轉、平移、旋轉、放大與縮小等能力（洪雅齡，2005；姜志遠，2005； 翁婉珣，2005；徐偉民、林美如，2009；彭惠群，2010）。其中又以中國 大陸對空間能力的部分最為重視，例如於「對稱」方面，中國大陸於第一 階段(小學 1~3 年級)和第三階段(中學 7~9 年級)以循序漸進的方式進行教 學，且其對於相似和幾何證明的部分也遠比我國課程綱要的琢磨較多，都 在在的顯示我國課程中在空間能力部分教材的不足。 二、康軒、翰林與南一版數學學習領域教科書與幾何相關單元名稱整理 教育部訂定之國中數學學習領域幾何主題教學目標為「幾何方面要學 習三角形及圓的基本幾何性質，認識線對稱與圖形縮放的概念，並能學習 簡單的幾何推理。」，使用簡單的一句話帶過國中數學幾何學習的方向。 於是研究者整理現行最常使用之康軒、翰林和南一版與幾何主題相關之單 元和章節名稱，依年級不同整理如表 2-4，以方便研究者了解究竟現行各 科教科書針對教學目標所發展出的教材為何。
表 2-4 國中九年一貫數學學習領域教科書與空間能力有關教材單元一覽表 版本 康軒 翰林 南一 年級 章節單元名稱 章節單元名稱 章節單元名稱 第 2 章 幾何圖形與 尺規作圖 第 2 章 幾何圖形 第 2 章 簡單幾何圖 形 2-1 生活中的平面 圖形 2-1 平面圖行 2-1 平面圖行 2-2 垂直、平分與 線對稱圖形 2-2 立體圖形 2-2 垂直平分與 線對稱 2-3 尺規作圖 2-3 垂直、平分與 尺規作圖 2-3 尺規作圖 2-4 生活中的立體 圖形 第 3 章 三角形的基 本性質 2-4 生活中的立 體圖形 第 3 章 三角形的基 本性質 3-1 內角與外角 第 3 章 三角形的性 質 3-1 三角形的內角 與外角 3-2 三角形的全等 3-1 三角形的內 角與外角 3-2 三角形的全等 性質 3-3 三角形的邊角 關係 3-2 三角形的全 等性質 3-3 三角形全等性 質的應用 第 4 章 平行與四邊 形 3-3 三角形的邊 角關係 3-4 三角形的邊角 關係 4-1 平行線與截角 性質 第 4 章 平行與四邊 形 第 4 章 平行 4-2 平行四邊形 4-1 平行線 4-1 平行 4-3 梯形 4-2 平行四邊形 二下 4-2 平行四邊形與 梯形 4-3 特殊的平行 四邊形與梯 形 (接下頁)
(續上頁) 版本 康軒 翰林 南一 年級 章節單元名稱 章節單元名稱 章節單元名稱 第 1 章 相似形 第 1 章 相似形 第 1 章 比例線段與 相似形 1-1 相似形 1-1 相似形與比例 線段 1-1 比例線段 1-2 相似三角形 1-2 三角形的相似 性質 1-2 相似形 1-3 相似三角形的 應用 1-3 相似三角形的 應用 第 2 章 圓的性質 第 2 章 圓 第 2 章 圓形 2-1 點、直線、圓 之間的關係 2-1 點、直線、圓 之間的位置關 係 2-1 點、線、圓 2-2 圓心角、圓周 角與弦切角 2-2 圓心角、圓周 角與弦切角 2-2 圓心角、圓周 角與弦切角 第 3 章 幾何證明 第 3 章 幾何與證明 第 3 章 三角形的心 3-1 學習幾何證 明 3-1 幾何推理 3-1 幾何推理 3-2 三角形的心 三上 3-2 三角形的外 心、內心、重 心 3-2 三角形的心 資料來源：研究者自行整理 由表 2-4 可知，各科教科書均將幾何課程編於國中二年級下學期與三 年級上學期中進行，其單元也幾近大同小異，大致上主題為「幾何圖形」、 「三角形的基本性質」、「平行四邊形」、「相似形」、「圓形」與「三角形的 三心」等六個單元。但研究者依舊發現：
1.內容大部分以基本平面圖形為主，如：三角形、平行四邊形、圓形，幾 近就占了國中幾何六個單元中的五個單元。 2.針對空間能力部分，一如前面所探討之能力指標所示，對應的章節少得 可憐，僅存在二年級的「垂直、平分與線對稱圖形」小節中的一個主題與 三年級第一章「相似形」中。 現行的我國教科書中，均從國二下才開始接觸幾何主題的學習。然而 研究者認為，無論是幾何中的平面圖形或是空間能力，都習以為常的存在 我們生活中，舉凡：「定位」、「平面圖形」、「立體圖形」、「旋轉」、「對稱」、 「縮放」...等，從影印、相機、建築、地圖、飲食...等元素中都一一可 見，並不是一門高深莫測而遠不可及的學問。參考中國大陸將旋轉教材編 列在國小課程中，而我國九年一貫課程綱要中卻不見「旋轉」面向所對應 的能力指標，更是令研究者難以理解？針對國內課綱中所規劃的空間能力 課程，對我國學生在這方面的學習是否足夠？國內國中學生空間能力表現 的現況變成為研究者第一個要探討的目標。也因此決定將空間能力旋轉教 材視為本研究的中心主題，利用美國國家虛擬教具(NLVM)搭配研究者設 計之二度空間旋轉能力教材，進行旋轉主題的教學，試圖檢視學生之二度 空間能力是否能因此而有所成長？而這樣的空間旋轉教材是否可以在國 中階段引入課程中，學生的接受度如何？也是研究者積極想要研究的方 向。期許能以此研究成果，建議往後之教學綱要能夠有所調整，加入旋轉 方面教材，以強化我國學生在二度空間概念上之能力，使學生在國中階段 結束後能具備更完整更多元的數學能力。 第三節 空間能力的實徵性研究 由於本研究係針對當下學生為實驗對象，研究主題係屬二度空間能力 中的旋轉面向，因此，了解目前各方學者所調查相關於二度空間能力的研 究，將有助於研究者了解學生不足與需要加強的方向，以便研究者在發展 課程及教材時能更切合重點，而達到研究目的。 一、空間能力現況之研究 張哲豪(2011)以桃園縣國中學生為研究對象進行調查研究，有效樣本 共 1452 份，針對國中學生二度空間能力之研究，研究結果發現：1.桃園 縣國中生在平移、旋轉、對稱、縮放與綜合五項子測驗中的結果彼此之間 具有中度正相關；2.旋轉子測驗中得分最高分為 8 分、最低分為 0 分，全
體學生平均分數為 5.67 分、答對率 70.88％、標準差 2.02，標準差是五個 子測驗中最大的，代表學生之空間能力中以旋轉能力表現差異最大。從張 哲豪(2011)的研究中我們得知，各項空間能力之間其實存在某種程度上的 相關指數，雖然本研究的主軸著重在空間旋轉能力的加強，但是否能藉由 旋轉概念的學習而對學生其它能力有所影響，也是本研究的目標之一，因 此，本研究之研究工具參考張哲豪(2011)的研究工具，將其分為原本的平 移、對稱、旋轉、縮放、綜合五項子測驗外，另外加入空間綜合子測驗， 以基測或教科書中常出現的題型，測驗學生是否具備這方面的能力。 從張哲豪(2011)的研究數據當中，我們發現不同級別的學生之間空間 能力是有顯著差異的，九年級高於八年級，而八年級也高於七年級，顯示 空間能力的發展與級別是存在相關的，此與李嘉瑋(2011)、張秋雁(2007) 的研究相吻合。本研究中的研究對象以研究者任教的兩個九年級學生為研 究對象，所以應具有一定的空間能力水準。 從張哲豪(2011)的研究中，我們得知桃園縣國中生在空間能力的表 現，各項子測驗答對率以綜合能力(64.75%)最低，而以平移能力(88.63%)， 屬於中等以上的表現，此與吳文如(2004)以高雄市國中生為研究對象的結 果相同，梁勇能(2000)以大台北國二學生為對象認為學生有中等程度的空 間能力也相似。但此時，研究者產生了疑問，此項結果是否能套用在現今 的國中生？又能否因為介入空間旋轉能力教學後能對學生的空間能力有 所助益，變成為本研究的目標。 國小學生的空間能力表現不理想，國中學生的空間能力屬於中等或中 等以上的表現，但目前情況是否依舊如此?其中，空間能力又以旋轉能力 的表現為最差，亦有許多學者針對旋轉問題的錯誤類型與策略進行研究 (梁勇能，2000；劉屾垚，2007；黃惠薇，2008；呂潔筠，2009)，顯示旋 轉能力對學生來說並不容易，因此更增進了研究者選擇空間能力中的旋轉 類別為研究主題，進行教學實驗，檢視是否能夠藉此增進學生空間旋轉能 力。 二、空間能力與數學學習成就的關係 數學為科學之母，眾多應用科學皆需要數學當作統計分析的工具還有 進行複雜嚴謹的運算，所以數學被視為重要的學科之一。如果學生之數學 學習成就與空間能力存在正相關，那我國教材中規畫的空間能力教材是否
足夠以應付未來學習各項高階科學的能力呢?就成為研究者需要探討的一 部分。 空間能力與數學表現的研究大多數以國小的為主，僅有少部分以國中 生為對象。吳文如(2004)以高雄市某國中一、二、三年級學生為對象進行 研究，針對國中生數學成就與空間能力相關因素進行研究，研究結果發 現：國中生的空間能力與數學成就呈現中度相關，分為"空間知覺能力"、 "空間組織能力"、"空間整體能力"、"二度空間旋轉能力"與"三度空間旋 轉能力"五個面向與數學成就進行統計分析，其中又以"空間整體能力"面 向的相關性最高，此與蔡曜宇(2007)的研究結果相呼應，蔡曜宇(2007)甚至 提出學生的數學表現可藉由空間能力與視覺空間工作記憶來預測之，預測 率可達 76.5%，由此可見，空間能力與數學的密切相關之處。而較多於國 小的研究則是認為學生的數學表現與空間能力於小學一到四年級存在正 相關，而五到六年級存在中度相關以上的表現(林浚傑，2007；張秋雁， 2007；馮雅慧，2006)。 綜合上述研究，學者們均認為空間能力與數學成就達一定程度的相 關，也就是數學學習與空間能力息息相關。好的空間能力，可能促進數學 學習的速度；而數學能力好的學生，其空間能力的表現可能更傑出。而研 究者產生的問題是，是否正因為我國國小和國中教材中空間能力教材的不 完整，而導致學生在學習數學時，因缺少部分的空間知識架構，而導致教 師和學生間的教與學產生間隙，造成老師不懂為何學生無法接受？而學生 也不懂該如何問起的情境，故而學生覺得數學很難，產生令人想放棄的念 頭。空間能力並不是一門高深的學問，甚至可以從國小就開始融入課程中 學習，根據蔡曜宇(2010)指出，國中學生其數學學習之表現可以經由視覺 空間工作記憶和空間能力來預測。因此，好的空間能力可以預測學生也會 有好的數學學習成就。所以應在教材中多加進空間能力的接觸與訓練，相 信數學能力與空間能力是可以互相相輔相成，進而減少學生遇到的學習無 助感。 虛擬教具在教學上的幫助，一直是無庸置疑的，虛擬教具可以提供給 學生具體的學習經驗，易於分享、上傳與課程上容易呈現，都是優於傳統 實體教具教學的地方(袁媛、陳國龍、張世明，2007)。除此之外，楊子賢 (2011)更提到，同樣都是使用動態幾何軟體融入的教學，若能搭配合宜的 教學法，如此的模式將更適合國中階段的學生。因此，本研究結合美國國
家虛擬教具圖書館(NLVM)的 Transformations - Rotation 工具，研究結合不 同的教學策略(討論教學法與自學輔導法)，搭配研究者發展的學習單，探 討教學後學生二度空間能力改變的情形？研究虛擬教具結合適宜的教學 法下，對於學生之二度空間能力是否能夠有所提升？期待對學生的學習能 夠有所幫助。 三、空間能力的性別差異 男女性別差異一直是研究的熱門話題，在空間能力上的研究更是不勝 枚舉。洪蘭在 2000 年翻譯 Moir 和 Jessel 所著的「腦內乾坤-男女有別， 其來有自」中，更是從大腦中的組成以及實際案例探討男女性別差異的產 生原因。也令研究者好奇性別差異是否對空間能力也所有影響，因而進行 探討。 統整近年國內的關於空間能力的研究關於性別方面，整理如下: 1.男優於女: 李嘉瑋(2011)、施幸玟(2010)、梁勇能(2000)、劉屾垚(2007)、蔡曜宇(2010) 2.男女沒有差別: 吳文如(2004)、宋嘉恩(2007)、林浚傑(2007)、梁勇能(2000)、張秋雁(2007)、 張哲豪(2011)、黃惠薇(2008)、馮雅慧(2006)、黃煥文(2009) 3.女優於男: 呂潔筠(2009) 綜合上述研究，男女生的性別差異在空間能力範疇上的研究結果不 一，根據研究的主題，甚至細分到分層的種類，都不盡相同；然而有些研 究也根據不同年級、不同背景、不同空間能力項目，因而造成不同的研究 結果。根據洪蘭在 2000 年翻譯 Moir 和 Jessel 所著的「腦內乾坤-男女有別， 其來有自」中認為，男女生性別差異最大的部分就是"空間能力"，並根據 心理學家蘭瑟爾(Dr. Herbert Lansdell)的研究發現，說明男女空間能力的差 異是因為:男人的空間能力全權由右腦負責掌管，右腦只掌管空間視覺訊 息；而女人的左腦和右腦則都有掌管視覺空間的能力，左右腦都用。故男 人的大腦因為功能都是特定的區域負責，所以不會因為大量湧入的訊息而 分心。書中也提到另一位大腦性研究者魏托生(Sandra Witleson)也持相同意 見，因為大腦組織的不同，女人的空間能力因為受到兩個腦半球的控制，
在處理空間能力作業時，可能同時因為要處理其它訊息而分心，因而表現 不好。從上述的敘述中，我們了解到男女生空間能力不同表現的先天性原 因，但實際情形是否如此呢？且前述的研究大多是針對國小學童為對象， 而在國中階段學生在性別上的差異表現是否相同？都是令研究者好奇，因 而將男女性別的變項加入研究中，作為後續數據統計分析的討論部分來探 討之。
第三章 研究設計與方法
本研究透過美國國家虛擬教具圖書館(NLVM)的虛擬教具和研究者所 設計的學習單，進行二度空間旋轉概念的教學，探討並比較兩種不同教學 模式(討論教學法與自學輔導法)對學生學習空間概念的影響。由於實驗學 校採取常態編班且男女合班的模式教學，考量到學校課表不易變動的問 題，故本研究採取不等組前後測之準實驗設計，以對學生正常課業最小之 影響性下進行研究。本章共分為五節探討研究設計與方法，第一節為研究 設計與架構，第二節為研究流程，第三節為研究對象，第四節為研究工具， 第五節為資料處理與分析。 第一節 研究設計與架構 基於研究目的，挑選研究者所任教的兩個三年級班級，隨機選取一班 為實驗一組，另一班則為實驗二組，實驗設計如表 3-1。 表 3-1 不等組前後測準實驗設計 自變項 前測 實驗處理 後測 延後測 實驗一組 T1 T2 X D T3 T4 實驗二組 T1 T2 X I T3 T4 註：T1：為學生上學期前兩次數學定期評量平均 T2：為二度空間能力測驗(前測) T3：為二度空間能力測驗(後測) T4：為二度空間能力測驗(延後測) X D ：融入討論教學法的二度空間旋轉概念教學 X I ：融入自學輔導法的二度空間旋轉概念教學 實驗設計的步驟說明如下： 一、 實驗進行前，先調查實驗一組與實驗二組三年級上學期前兩次數學定 期評量平均分數，藉此作為數學學業表現分組依據，區分高、中、低組；因兩個班級屬於常態分班，基本上兩班的能力相當，但為確保兩 班在實驗教學前的能力是否一致，因此於教學實驗進行前一天進行二 度空間能力測驗(前測)，利用這些成績先進行獨立樣本 t 考驗(如表 3-2)，資料分析結果發現t值未達顯著(t=-.297，p=.768＞.05)，即兩 組學生在教學實驗前之二度空間能力是相同的，因此可以說兩組學生 在實驗教學前具有相同的起點能力，故實驗效果將以二度空間能力測 驗後測及延後測結果為依變項進行分析。 表 3-2 兩組學生在二度空間能力測驗前測成績之t統計考驗摘要表 組別 人數 平均數 標準差 t 值 p 實驗一組 32 23.00 4.399 實驗二組 33 23.30 3.820 -.297 .768 二、 實驗一組接受融入討論教學法的二度空間旋轉概念教學活動；實驗二 組接受融入自學輔導法的二度空間旋轉概念教學活動。實驗教學時會 控制兩組教學活動時間一致。 三、兩組於教學活動後隔天上數學課時段進行後測。 四、後測結束一個月後，實驗一組與實驗二組於同一日上數學課時段一起 進行延後測。
茲將本研究之研究架構說明如圖 3-1。 圖 3-1 研究架構圖 本實驗研究之控制變項包括教學時數(2 節課)、教學進度、教學內容、 二度空間能力測驗前測的成績及前一學期數學定期評量成績；自變項為探 討應用虛擬教具融入不同教學模式對學生二度空間概念學習成就之影 響、不同數學學業表現與性別；而依變項為二度空間能力測驗後測、延後 測成績及二度空間能力各子測驗的成績。 第二節 研究流程 本研究之研究流程分成準備預試階段、正式實驗階段與結果分析階 段。各階段說明如下： 一、準備預試階段 自民國 101 年 3 月至 11 月，研究者開始收集相關資料以及閱讀文獻， 確定研究主題後，即進行更深入之文獻閱讀以及教材之設計並規劃設計期 程，主要工作情形如下： 自變項 1.教學模式 討論教學法 自學輔導法 2.數學學業表現 3.性別 依變項 1.二度空間能力測驗後測成績 2.二度空間能力測驗延後測成績 3.二度空間能力各子測驗成績 控制變項 1.教學時數 2.教學進度 3.教學內容 4.二度空間能力測驗 前測成績 5.上學期數學定期 評量成績
(一)收集相關資料並閱讀文獻資料 研究者先以實務性的虛擬教具為範疇，收集相關學者研究閱讀，隨後 和指導教授討論後，確定研究主題，並定期和指導教授討論研究內容，以 確定本研究之方向與理論支持。 (二)發展測驗工具 研究者於 2012 年 7 月至 2012 年 10 月間發展測驗工具，先以張哲豪 (2011)所發展之「二度空間能力測驗」為依據，搜集相關測驗之研究，進 行題目之編輯，並請少數學生進行試題的試做，以確定試題有沒有任何文 意和閱讀上問題。 (三)教材及學習單設計 本研究使用美國國家虛擬教具圖書館之教學資源，搭配設計之學習 單，其內容包括：二度空間名詞介紹、教具操作說明、紀錄方法說明以及 例題練習。設計過程中，與指導教授討論呈現方式與文字上的修正，以及 如何引導學生作思考及討論的引導，如附錄 1。 (四)進行預試 為了掌握測驗工具之信度、難度、題意之明確性以及掌握所需時間， 於 2012 年 10 月以研究者所任教之學校中，隨機選取兩個國中八年級班級 共 60 個學生為對象進行預試，預試完成後，以統計軟體 SPSS 進行分析， 確定題目適切性後，正式完成本研究測驗工具之編修。 二、正式實驗階段 (一)選定研究對象 由於考量教學風格不同造成的影響以及降低因研究對學生正常課程 學習的影響，故研究對象挑選研究者所任教的兩個國中九年級班級，因研 究者均為數學課授課教師，故學生應無熟悉教師之問題存在。本研究隨機 挑選一個班為實驗一組，另一個班則為實驗二組。 (二)實施前測 本研究於 101 年 12 月進行教學實驗，於實驗前一堂課進行「二度空 間能力測驗」。 (三)教學實驗 本研究於學校電腦教室進行，實驗一組與實驗二組均實施兩堂課之教 學實驗：實驗二組第一堂課主要為二度空間名詞之解說，並進行相關操作
說明，第二堂課則為自行創作圖形並紀錄以及填寫學習單；實驗一組第一 堂課也進行二度空間名詞之解說，並進行相關操作說明，第二堂課於自行 創作題目後，進行討論教學法活動，引導學生進行思考以及討論分享發 現。藉此探討虛擬教具融入教學的活動是否因討論活動的介入而有更好的 成效。 (四)實施後測 為了解實驗一組及實驗二組在有無實施討論教學法對學習成效的影 響，於教學實驗完隔天各組上數學課時段，兩組再次進行相同之「二度空 間能力測驗」後測。 (五)實施延後測 教學實驗結束一個月後，為了解實驗一組和實驗二組學生之學習保留 性，故進行「二度空間能力測驗」延後測。本研究為確實了解學生進步情 形，故前測、後測及延後測採同一份問卷，但實驗後即回收試卷並告知學 生不要討論避免學生因討論或練習而造成影響後面測驗結果之情形。 三、結果分析階段 自 101 年 12 月至 102 年 2 月，研究者將研究期間所蒐集到的資料、數 據加以整理以及分析，進行本論文的撰寫工作，並依據研究結果定期和指 導教授討論，進一步提出研究結論與未來研究建議。本研究的實驗流程列 於圖 3-2。
圖 3-2 研究流程圖 第三節 研究對象 由於本研究的教學內容並未包括在九年一貫課程綱要中，因此並沒有 哪一年級適用的問題，在以不影響學校課程為原則，本研究選擇研究者所 任教的新竹市幸福國中(化名)九年級學生，其中兩個班作為研究對象，由 於學校採取常態編班且男女合班的模式教學，因此研究者從所任教的兩個 準 備 預 試 階 段 正 式 施 測 階 段 結 果 分 析 階 段 虛擬教具+討論教學法 虛擬教具+自學輔導法 選定研究對象 實施前測 資料分析 撰寫研究結果並完成論文 實施後測 實施延後測 相關文獻蒐集與探討 編擬二度空間旋轉能力試題 二度空間旋轉能力試題預試 教材及學習單設計 確定研究方向
