《勾股割圆记》及其托名吴思孝的注是戴震最完整、篇幅最长的数学著 作，清秦蕙田《五礼通考》全载其上中下三篇，乾隆三十八年（１７７３）曲阜 孔继涵刻《算经十书》时，亦收入《策算》和《勾股割圆记》
②
。恩格斯曾说：“天文学只有借助于数学才能发展，因此也开始了数学的研究。”
③
从科学史 的发展看确实如此，有趣的是，王锡阐、梅文鼎、戴震的数学研究都是为农 业生产“绝对需要它”①
的天文学服务，为解决天文学问题而系统研究数学的。托名吴思孝的戴震自序说：“《勾股割圆》之书三卷，余友戴君东原所撰，
戴君之于经，分数大端，各究洞源委，步算其一也……今夏初，戴君以所为
《勾股割圆记》示余，读其文辞，始非秦汉已后书，其于古今步算之大全，
约以二千言而尽，可谓奇矣。”
②
可见《割圆记》的写作目的和内容都与古代 天文研究有关。数学是在世代系列的人类社会实践中逐渐累积和发展起来的，它始终体 现了运动的最普遍的本质：“吸引和排斥这一古老的两极对立。”
③
数学研究，当然能涉及“普遍联系”的辩证关系。戴震的《勾股割圆记》比相同的数学 对象的其他研究还多了一层，除了勾股定理在种种较为简单的和最为复杂的 等式和不等式关系中的运用以外，还有中法表达和西法表达的相同和不同含 义的处理，戴震的这一名著，十分正确、贴切地处理了这些有“普遍联系”
的关系，形成了一个和谐的整体。从“普遍联系”去看全书内容，有两个大 的方面，一是有关勾股弦关系的基本概念的解释，二是勾股应用割圆术。
（一）基本概念的解释要点
１、《记》上：“割圆之法，中其圆而觚分之，截圆周为弧背， （按：
ｇèｎｇ 连接两端）弧背之两端曰弦，值弧与弦之半曰矢。”按：这里给弧、弦、
矢下了定义。其含义为：圆内两直径相交，截成两两相等的弧，连接弧的两 端就是弦，过弦作垂直平分线交于弧叫矢。如任取圆周之一弧而连接其两端 成一弦，原理同。
② 《勾股割圆记》有种种版本，《五礼通考》本分上中下三篇共 2417 字，有图注和托名吴思孝的补注。段 玉裁经韵楼本三篇共 2268 字（四部丛刊本《戴东原集》依此）。孔继涵在乾隆四十二年（1777）刊《戴氏 遗书》，将《割圆记》四篇作为《原象》的五、六、七、八（《原象》的一至四为“璇玑玉衡”、“中星”、
“土圭”、“五纪”，段玉裁曾谓此四篇合《割圆记》三篇，再加《迎日推策记》为《原象》，但经韵楼 本又将《割圆记》三篇另列，不与《原象》四篇同卷，这与《戴氏遗书》本大不同），共 2785 字（《昭代 丛书续篇补》依此）。微波谢本三卷，共 2735 字，为安徽丛书第六期《戴东原先生全集》所本，有吴思孝 注和图注，本书对《勾股割圆记》的研究以安徽丛书本为据。
③ 《自然辩证法》人民出版社 1971 年版 162 页。
① 《自然辩证法》人民出版社 1971 年版 55 页。
② 《安徽丛书》第六期戴震《勾股割圆记》托名吴思孝序。
③ 《自然辩证法》人民出版社 1971 年版 55 页。
① 《安徽丛书》第六期戴震《勾股割圆记》，本节有关戴震数学资料未注出处的皆见该书。并将《勾股割 圆记》简称为《记》。
２、《记》上：“弧矢之内成相等之勾股二，半弧弦为勾，减矢于圆半径，
余为股。 勾股之两端曰径隅，亦谓之弦，勾股之弦得圆半径也。”
按：径隅为《周髀算径》的旧名。承 １，将弦的中垂线交于圆之两端，
形成以圆心为顶点的两全等直角三角形，该直角三角形的弦等于圆半径，戴 称之为径隅。戴震认为，此原理对求解天球黄道赤道夹角等极有用，由弧长 求勾股，由勾股求弧长和矢（按：均可，因半径为定值），由弧、矢而承勾 股求出整个圆面，“步算之能事毕矣”。天文推步在勾股割圆中得到说明。３、
在注释本中，戴震详细介绍了圆周率的计算方法和历史。
４、《记》上：“勾股弦三矩方之，合勾与股三方适如弦之大方。”
按：戴震在注文中详细介绍了溯自《周髀算经》中的勾股定理，今之表 达甚简：设勾股弦为 ａｂｃ，则 ｃ
２
＝ａ２
＋ｂ２
以上由勾股割圆中的一些基本概念（名称）、定义的确定、圆周率和勾 股定理的介绍，明确了戴震研究勾股割圆术的基本点。所谓“勾股割圆”实 际上是指直角三角形与圆面（即过圆直径的圆内接直角三角形）的同一性关 系的处理。以上基本点无疑是处理这一同一性关系的数学基础。应该说，把 这种带有自然辨证哲学特点的同一性关系放到门类科学中去看，它将是十分 复杂的，戴震研究的勾股术就是这种同一性在数学上的复杂的具体表现，透 过数学研究，我们看到的正是著作者的科学头脑，辩证思路和逻辑方法。
（二）勾股割圆术的应用要点的分析
１、《记》上：“有勾有股求其弦：勾自乘、股自乘，并之开方得弦。”
按：此即用公式：ｃ＝
a 2 + b 2
２、即用公式：ｂ＝ c 2 − a 2
３、即用公式：ａ＝
c 2 − b 2 对此，戴震还看到与第二术的联系。《记》上 云：“凡曰勾曰股者其名可互易，故与第二术同。”
在第三术中，戴震又说：“减矢于圆经，余为股，弦和矢恒为股弦较（凡 两数相并为和，相减余为较），和、较相乘为勾之方。
按：设：圆内以圆心为顶点的直角三角形勾、股、弦为 ａ、ｂ、ｃ，矢为 Ｓ，
半径为 Ｒ，则：ｂ＝Ｒ 一 Ｓ，Ｓ（矢，又称股弦较）＝ｃ 一 ｂ＝Ｒ 一 ｂ，（Ｒ＋ｂ）
（Ｒ 一 ｂ）＝ａ
２
亦即 ａ２
＝（ｃ＋ｂ）（ｃ－ｂ）。其实，此定理还可推广成：圆内两任意 直线相交，各直线被圆和交点切成的两线段之积相等。戴震其时尚未识此。在第三术中，戴震说：“减勾于圆半径，余为次弧背之矢。倍股为次弧 弦。减次弧背之矢于圆径，余为勾。弦和其矢为勾弦较，和，较相乘为股之 方。”
按：如图，戴震意谓 为次弧背，ＧＦ 为次弧背之矢。则：①ＧＦ＝ＯＦ－
ＯＧ＝ＯＦ－ＣＢ②ＢＥ＝２ＢＧ＝２ＯＣ③ＣＢ＝ＯＧ＝ＯＦ－ＧＦ④ＯＣ
２
＝ＢＧ・ＧＥ＝ＧＦ・ＧＨ 戴震的这一勾股术，实际上将过圆心的直角三角形推广到圆内接长方形观察之。戴说甚确。
４、《记》上：“有半弧弦（又名内矩分），有矢，求其圆径，半弧弦自 乘，矢除之，加矢，为圆径。”
按：戴震术语中的内矩即弦，内矩分即弦之半。此处的圆径指直径而言，
如图：已知 ａ、ｓ，求 ２Ｒ，则据圆内直线相交定理：ａ
２
＝ｓ（Ｒ－ｓ＋Ｒ）ａ
２
＝２Ｒｓ－ｓ２
２Ｒ＝a s2
＋ｓ。
５、《记》上：“有矢，有圆径，求半弧弦，以矢为股弦较，于圆径减矢 余为股勾和，和、较相乘，开方得勾，勾即半弧弦，倍之为全弦。”
按：用上图，设 ６ 为直径，则据圆内直线相交定理 ａ
２
ｓ（ｄ－ｓ） ａ＝sd − s 2 ６、《记》上：“有半弧弦，有圆径，有矢。以半弧弦与圆半径相减得次 弧背之矢，为勾弦较，相并为勾弦和，和较相乘，开方得股，股即次半弧弦
（又名次内矩分），以减圆半径得矢”。
按：此题可按§４ 图解之，已知 ａ、ｄ，求 ｓ，则 ｓ（ｄ－ｓ）＝ａ
２
ｓ
２
－ｓｄ＋ａ２
＝０ 需解一元二次方程得 ｓ，戴震当时尚未识此。戴解此题的思 路是用另§３ 图解得的。设：ＤＣ 为 ｓ，勾 ＢＣ 为 ａ，ＯＢ 为 Ｒ，则 ＧＦ＝Ｒ－ａ，ＧＨ＝Ｒ＋ａ ＯＣ２
＝ＢＧ・ＧＥ＝ＧＦ・ＧＨ＝（Ｒ－ａ）（Ｒ＋ａ） ＯＣ＝ (R+
a R)(−
a) ＯＣ＝ＢＧ，即戴震所谓 次内矩分、次半弧弦。Ｓ＝Ｒ－ＯＣ＝Ｒ－ＢＧ＝Ｒ－ (R+
a R)(−
a)十分清楚，戴震的勾股第四、五、六术联系十分紧密，如从代数学角度 看，是同一代数式设不同未知数解方程。戴震是从几何学去寻觅不同联系的。
第六术中戴震还说：“方圆相函之体，用截圆之周径而函勾股和、较之 率，四分圆周之一如之。规方之四隅而函圆之周，凡四觚（按：ｇū角）如之。
因方以为勾股，函圆之半周，凡三觚如之。”
按：为解释此说，戴震共画了五个图，意思是说在正方形，任意四边形、
直角三角形、锐角三角形、钝角三角形端点画圆截弧，前两者弧之和均为 ３６０
°，后两者均为 １８０°。这实际上是把多边形与圆联系起来探讨两者的关系，
结论是，任意四边形内角和总是等于一个圆，任意三角形内角和总是等于半 个圆。这无疑是正确的。
此外，在第六术中，戴震还举出了勾股术在工程上的应用，如测水平、
测高度、测深度、测距离等。戴震十分讲究技术应用，基础理论和技术应用 之间没有鸿沟，虽然它们的前提都挂上为解经服务，但科学和技术实际上都 成了独立研究的对象。
７、《记》上：“有次矩分，求矩分，以积矩为实，次矩分为法，除之得 矩分。”又说：“有矩分求次矩分，以积矩为实，矩分为法，除之得次矩分。”
按：这实际上是戴震把长方形和圆联系起来考察，视长方形为圆内接长 方形，矩分为边长，积矩为矩分和次矩分之积，实际上是长方形面积，“实”
为被除数，“法”为除数。戴说甚明。戴震明确指出：“右即广袤互求之法”。
“广”即宽度，“袤”即长度。
８、仍是工程测量问题，所谓“有矩分（边长）求径引数（工程测量中垂 线随处所指引起大于圆半径的伸长部分）”。此外，戴震还讨论了圆内接正 六边形边长等于圆半径，圆内接正十边形边长为：以该圆半径为股，该圆半 径之半为勾，求其弦，然后得弦与勾之差即为正十边形边长。戴氏甚确。
９、实际上是将两相似直角三角形作比较，用比例法解勾股问题，以解决 工程测量中的求远处高度之类的问题（本来可以直接用三角函数，如 Ｈ＝
Ｃｓｉｎａ，戴震化为勾股比例问题，原理同，但稍烦，戴震表彰中法，故有此算 法）。《记》上：“凡勾股弦大小大互求，必得其三，则可以知其四，以原 有之两矩定其率，今有之一矩，合而权之，异乘同除，得所求之一矩。”按：
此话甚费解，试设两直角三角形相似，勾股弦分别为 Ａ、Ｂ、Ｃ 和 ａ、ｂ、ｃ① 戴云：“小股与大勾相乘，小勾除之，得大股。”解：如图 则 （式 中小股与大勾相乘，戴谓之“异乘”，大勾与小勾相除，戴谓之“同除”，
以下同此类推之。）
②戴云：“小勾与大股相乘，小股除之，得大勾”。解：如图：
③戴云：“大股与小勾相乘，大勾除之，得小股”。解：如图：
④戴云：“大勾与小股相乘，大股除之，得小勾”。解：如图：
⑤戴云：“小弦与大勾相乘，小勾除之，得大勾”。解：如图：
⑥戴云：“小勾与大弦相乘，小弦除之，得大勾”。解：如图：
⑦戴云：“大弦与小勾相乘，大勾除之，得小弦”。解：如图：
⑧戴云：“大勾与小弦相乘，大弦除之，得小勾”。解：如图：
＜／ＰＧＮ０２１３．ＴＸＴ／ＰＧＮ＞⑨戴云：“小弦与大股相乘，小股除之，得大弦”。
解：如图：
⑩戴云：“小股与大弦相乘，小弦除之，得大股”。解：
如图：
如图：