如前所说，门类科学中的哲学问题，是一种客观存在，问题是是否对它 着手研究。综观《勾股割图记》、《策算》、有关传统数学书的《四库全书 总目》提要等，戴震确实对数学研究有潜在的科学思想作指导。
数学研究运用于天文，由天文研究引发对数学的浓厚兴趣，这在《勾股 割圆记》中尤为明确。《割圆记》列入《原象》，作为《七经小记》之一，
足见作者的应用思想。本来，从科学史看，天文和数学是一对孪生兄弟，互 为前提，互相促进的，《割圆记》上中下三卷，分别以平面直角三角形勾股 弦、球面直角三角形勾股弦和球面斜三角形为研究对象，三部分内容均可以 平面三角和球面三角证明之。后两部分和古代天文中的天体视运动轨道、轨 道交角、天球经纬度拟测等，结合得尤紧，有关天体视运动问题贯穿于球面 勾股弦结终。《割圆记》中开头便说：
如赤道为一规，黄道为一规，赤道即《周髀》之中衡，黄道自南而北，交于春分，自北 而南，交于秋分，二分（按：春分、秋分）相距半天周。……如分、至（按：夏至、冬至）
相距四分天周之一。更为一规，过二至、二极（按：北天极、南天极）为玉衡之中维（吴曰：
今名二极、二至交圈）。赤道距北极，黄道距北极漩巩（吴曰：今名黄道极），皆四分天周 之一，北极璇玑距正北极与黄道距赤道相等（按：指黄赤交角，皆为 ２３°２６’）。以天球 视圆面说勾股，宗旨十分明确，所说内容，经验证完全正确，在明确天球视 圆面的构成以后，戴震以球面直角三角形的勾、股定天球的经、纬度。他说：
“经之内规之谓之经弧（按：球面直角三角形之勾，亦即赤纬），纬之内截 其规谓之纬弧（按：球面直角之股，亦即黄经之余弧）。”他所举出的古代 测定经纬度的方直仪，实际上就是球面直角三角形测量仪。
为使读者弄懂用球面直角勾股计算经纬度，几乎在每一勾股术之前，戴 震都要列出球面勾股弦与相应勾股术中术语的对应关系，体现出数学术语系 统，当然也是数学关系系统的个别一一对应和成系统的层次对应。例如经度 系统和纬度系统的勾股对应：
①
勾 股 弦
经度（矩分） 圆半径 经度（径引数）
经度（内矩分） 经度（次内矩分）径隅
圆半径 经度（次矩分）经度（次引数）
经弧（矩分） 纬度（次内矩分）虚
经弧（内矩分） 虚 纬弧（次内矩分）
勾 股 弦
纬度（矩分） 圆半径 纬度（径引数）
纬度（内矩分） 纬度（次内矩分） 径隅
圆半径 纬度（次矩分）纬度（次引数）
勾 股 弦 纬弧（矩分） 经度（次内矩分） 虚 纬弧（内矩分） 虚 经弧
① 戴震的经度在天文学上实际上是指黄道和赤道的交角，后改称经限，赤经的余弧，叫纬度，后改称纬限。
以上第一表和勾股弦的对应中，同是经度、经弧，但由于割圆法的不同（正 切、正弦）引起不同概念的同一对应，第二表中纬度和纬弧亦然，两表比较，
是同一大勾股系统的子系统的分别对应。两个子系统都可用球面直角勾股法 解之，因而两个子系统也是有内在的对应关系的，这就形成近层次的勾股对 应（同一子系统内）和远层次的勾股对应（不同子系统内）。凡此种种，都 存在着推类逻辑的使用，归纳是其寻找对应的主要方法，归纳成系统表以后，
便于实施球面三角求解中的演绎过程。《割圆记》全书诸多对应表，实际上 代表勾股使用的类别，故它冠于每一勾股术使用的前面，作为基本概念的说 明。就全书而论，它还是勾股原理的纲目，故它置于一般原理的说明之后，
以准备将一般原理经过这类纲目而进入使用，因而这类有明确层次对应的纲 目是原理和使用术的中介系统。
在球面斜勾股中，构制的体例与平勾股和球面直角勾股大致相仿，一般 由原理、层次对应的概念说明、勾股使用术构成。球面斜勾股与天体视运动 的说明仍是结合得很紧的，正如戴震本人所说：“总三篇几为图五十有五，
为术四十有九，记二千四百一十七字，因《周髀》首章之言衍而极之，以备 步算之大全，补六艺之逸简。”
①
但是，和球面直角求天球经纬相比，球面斜 勾股更重视数学本身的研究，《记》下第四十五术为边角互求，以对角求斜 边，四十六术亦边角互求，以对边求对角，四十七术为重弧法（与求经、纬 度结合甚紧）四十八术两边夹一角求对边，及两角夹一边求对角，四十九术 为三边求三角，及三角求三边。共五术。我国的数学，十分重视实际应用，在几何学方面，偏重面积、体积和线段长短的计算，不象古希腊人的几何学 重视各个定理的逻辑推论。戴震割圆术 ５１ 术（《记》上 １６，中 ３０，下 ５，
戴震说“为术四十有九”，有误），实际上是定义定理构成，外加原理部分 的说明，穷尽了三角学的全部定义和定理，仅表达方式上是勾股中法，这在 传统数学史上是了不起的创举，它使中法数学不重视原理推证进到了以中法 论证中法表达的原理的新阶段，这一进步与戴震熟谙西学有极大关系，要不 是西学以其简明，以符号表达的长处取代我国传统数学，中法数学原理的推 证还会继续发展下去。事实上，戴震数学的后继者如凌廷堪、焦循、李锐、
汪莱都是由中学重视“算法”进而推进到重视“算理”的，但这些推进更多 地采取了西学的表达形式。
值得一提的是，戴震在西学东渐的时代弘扬中算，还别有其苦衷的。明 清之际的天算家在接受西学的同时，普遍都产生了另一种失落感，他们急于 寻找一种其学相似或对应的中学内容，但“古法不彰久矣……其时书籍未见，
文献无征，所谓挽回绝诣者，则纯是臆测耳！”
①
戴震弘扬中算，会通中西，正是当时科学家心态的某种失落感的普遍反映。但事物发展又是不平衡的，
关于用中法研究数理精蕴（如前所说，戴震研治数学也是在熟谙西法，融贯 中西的基础上进行的），用中算语言表达数理和计算方法，又曾引起一些人 的不满，如凌廷堪（江藩说他“声音训诂，九章八线，皆达其极而抉其奥”）
重视西算表达，敌对戴震改西洋名为难懂的古名不以为然。他在嘉庆元年
（１７９６）曾说：“戴氏《勾股割圆记》，惟斜弧两边夹一角，及三边夹角用 矢较，不用余弦，为补梅氏所未及。其余皆梅氏成法，亦即西洋成法，但易
① 《勾股割圆记》下，载《安徽丛书》六期《戴东原先生全集》。
① 阮元《畴人传・李锐》。商务印书馆国学基本丛书版下册 664 页。
以新名耳。如上篇即平三角举要也，中篇即堑堵测量也，下篇即环中黍尺也。
其所易新名，如角曰‘觚’，边曰‘矩’，切曰‘外矩’，弦曰‘内矩’，
分割曰‘径引数’，同式形之比例曰‘同限互权’皆不足异。”实际上，戴 氏的贡献远不止凌氏所说及的，在数学的天文应用，直角三角形和圆的关系、
工程测量等都有贡献（见本章三）。又戴震的中算术语，矩分指正切，内矩 分指正弦，次矩分指余切，次内矩分指余弦，经引数指正割，次引数指余割，
等等。远比凌氏举证全面系统，凡西学三角学名称皆有中学对应。但凌氏仍 指出戴震的西学底蕴，还是有识力的。凌氏又说：“《记》中所立新名，惧 读之者不解，乃托吴思孝以注之，如‘矩分今曰正切’云云。夫古有是言而 云今曰某某，可也；今戴氏所立之名皆后于西法，是西法古而戴氏今矣，而 反以西法为今，何也？凡此皆窃所未喻者。”
①
凌氏“所未喻”的就在于戴震 执意要弘扬中算，中华大地上产生的科学远胜西方，乃至“西学东源”。科 学是没有国界的，戴震可以不要这样做，但他的中华赤子之心是可以理解的。戴震以后，清代中叶的数学获得大发展不能不说与戴震奠基作用及其数学为 经学服务的思想有关。戴震的哲学传人阮元曾评述其数学传人焦循的数学成 就说：“里堂之说算，不屑屑举夫数，而数之精意无不包，简而不遗，典而 有则，所谓抉以文义，润以道术者非耶？”
①
“数之精意无不包”，这正是戴 震的数学精神。戴震的勾股原理及五十一术在数学史上是个了不起的贡献。一般认为，
勾股弦及其和差互求问题总计有三十六种之多，三国的赵爽著《勾股圆方图 注》，解出了二十四种，被认为是了不起的贡献，戴震的勾股原理及五十一 术可谓取得了突破性进展，在数学史上是应大书一笔的。
作为自然科学的研究，戴震的《勾股割圆记》较之三角学更富有辩证色 彩。恩格斯曾盛赞三角学有辩证法精神，恩格斯这一论断的思路是从发掘三 角学和圆的联系而得出结论的。戴震的《割圆记》处处保持着勾股和圆面的 紧密联系，处处从三角形和圆的对待关系中寻找数学原理，因而更富有辩证 法。恩格斯说：“在综合几何学只从三角形本身详述了三角形的性质并且再 没有什么新东西可说之后，一个更广阔的天地被一个非常简单的，彻底辩证 的方法开拓出来了。三角形不再被孤立地只从它本身来考察，而是和另一种 图形，和圆形联系起来考察。每一个直角三角形都可以看作一个圆的附属物：
如果斜边＝ｒ，则夹直角的两边分别为正弦和余弦；如果这两边中的一边＝ｒ，
则另一边＝正切，而斜边＝正割。这样一来，边和角便得到了完全不同的，特 定的相互关系，如果不把三角形和圆这样联系起来，这些关系是决不可能发 现和利用的。于是一种崭新的三角论发展起来了，它远远地超过旧的三角理
则另一边＝正切，而斜边＝正割。这样一来，边和角便得到了完全不同的，特 定的相互关系，如果不把三角形和圆这样联系起来，这些关系是决不可能发 现和利用的。于是一种崭新的三角论发展起来了，它远远地超过旧的三角理