中學數學職前教師之數學信念與數學學習信念類型及其相互關係研究

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(1)國立臺灣師範大學數學系碩士論文. 中學數學職前教師之數學信念與數學學習信念類型及其相互關係研究. 指導教授：謝豐瑞博士研究生：趙國亨撰. 中華民國九十七年七月.

(2) 謝誌. 我有三位導師，教誨我做人、做事、做自己，他們的睿智溫暖地觸動我的心靈，他們的學識浩淼而使我的心智獲得霑濡，本研究能獲得這三位長者的指導與幫助，讓我深感榮幸。首先感謝對我的關心從頭到腳、從裡到外的恩師—謝豐瑞教授，讓我在缺少希望的黑暗之中，看見一盞明燈，讓我能跟隨您的身影，往人生的光明面靠近許多，尤其是對我這憋拗的學生，您那莫大的包容與不倦的開導，已成為屹立在我心上的一面旗幟。謝謝羅昭強教授一次次使我激發向上的力量，更不厭其煩地為我解惑、幫助我渡過難關，也要一起感謝施皓耀教授，您們願意撥冗擔任口試委員，是學生最大的光榮。感謝昭慧、書志、佳叡、婷瑩等學長姐的照顧，願意在口試期間不辭辛勞地南下當我們的最佳後盾。至於與我共同面對挑戰的親密戰友們，我是多麼希望能再與你們共同奮鬥下去！玉如學姐總是立即處理令我為難的任務、芳庭隨時都能分擔我的難過並為我打氣、筱惠一直可以完美地幫大家搞定再多再瑣碎的事務。此外，還要感謝我的師傅翁錫伍老師的鼓勵，讓我在茫然未知的日子裡，選擇這條最艱難也最有意義的道路。更要感謝我的父母支持我的決定，延後抱孫子的機會。趙國亨. 謹誌. 中華民國九十七年七月.

(3)

(4) 摘要. 本研究主要是探討我國中學數學職前教師的數學相關信念，並據以瞭解可能存在的信念面向與相應的特徵類型，以及背景因素造成的差異情況。本研究使用「國際科學與數學教師培育與發展研究計畫」之問卷施測回收資料進行分析，研究樣本為 332 位不同培育階段的中學數學職前教師。根據資料分析結果，本研究主要發現如下：（一）中學數學職前教師的數學信念包含「數學與生存」、「數學的本質」、「數學與解題」、「數學與發現」等四個面向；（二）其數學學習信念則包含「解題過程」、「正確答案」、「聆聽練習」、「探究解法」等四個面向；（三）在每一信念面向中，中學數學職前教師分別呈現四到五種不同的特徵類型；（四）中學數學職前教師在「數學與解題」面向呈現的族群與「正確答案」面向一致、在「數學與發現」面向呈現的族群與「解題過程」面向一致；（五）中學數學職前教師的數學相關信念並未隨著師資培育而改變；（六）中學數學職前教師的數學相關信念隨著培育機構的不同而呈現顯著差異；（七）中學數學職前教師的數學相關信念沒有性別差異。. 關鍵詞：師資培育、職前教師、數學信念、數學學習信念. I.

(5) II.

(6) Abstract This study was to investigate the belief about mathematic of future teacher in high school mathematical teacher education in Taiwan and to understand the phases of belief that may exit, the characteristic categories in each phase, and the differences from teacher education and gender. The research data was from MT-21 and include 332 samples with different stages of teacher education. The result contained 7 main outcomes. First, the mathematical beliefs of future teachers in high school mathematical teacher education include four phases which are “mathematic with subsistence”, “mathematic with problem-solving”, “the nature of mathematic”, and “mathematic with discovery.” Second, the mathematics learning beliefs of them include four phases which are “problem-solving process”, “correct answer”, “listen and practice”, and “investigating solution.” Third, future teachers show four or five characteristic categories in each phase. Fourth, future teacher show similar groups in “mathematic with problem-solving” with “correct answer” and “mathematic with discovery” with “problem-solving process.” Fifth, the beliefs about mathematic of future teacher do not change with teacher education. Sixth, the beliefs about mathematic of future teacher are different as they were educated in different institution. Seventh, the gender differences of the mathematical beliefs of future teachers do not exist.. Key words: teacher education, future teacher, mathematical belief, mathematics learning belief 關鍵詞：師資培育、職前教師、數學信念、數學學習信念. III.

(7) 目次. 摘要........................................................................................................................ I Abstract ................................................................................................................III 目次......................................................................................................................IV 表目次...............................................................................................................VIII. 第壹章緒論..........................................................................................................1 第一節研究動機..........................................................................................1 第二節研究目的..........................................................................................3 第三節名詞解釋..........................................................................................4 第四節研究限制..........................................................................................5 第貳章文獻探討..................................................................................................7 第一節臺灣師資培育制度之歷史發展......................................................7 第二節中學數學職前教師之培育現況....................................................10 第三節數學相關信念之內涵....................................................................13 數學本身的信念..................................................................................13 數學教學的信念..................................................................................15 數學學習的信念..................................................................................17 IV.

(8) 第四節數學相關信念之實徵性研究........................................................20 第參章研究方法................................................................................................23 第一節研究設計........................................................................................23 第二節研究樣本........................................................................................25 第三節研究工具........................................................................................30 數學信念..............................................................................................30 數學學習信念......................................................................................31 第四節資料分析........................................................................................33 第五節研究流程........................................................................................35 第肆章研究結果與討論....................................................................................37 第一節數學學科信念之面向與特徵類型................................................37 數學學科信念之面向..........................................................................38 數學與生存..........................................................................................42 數學的本質..........................................................................................44 數學與解題..........................................................................................46 數學與發現..........................................................................................48 第二節數學學習信念之面向與特徵類型................................................51 數學學習信念之面向..........................................................................51 解題過程..............................................................................................54 V.

(9) 正確答案..............................................................................................56 聆聽練習..............................................................................................58 探究解法..............................................................................................59 第三節數學學科信念與學習信念之相互關係........................................62 數學與生存vs.解題過程 .....................................................................63 數學與生存vs.探究解法 .....................................................................64 數學的本質vs.解題過程 .....................................................................65 數學的本質vs.聆聽練習 .....................................................................66 數學的本質vs.探究解法 .....................................................................67 數學與解題vs.正確答案 .....................................................................67 數學與解題vs.聆聽練習 .....................................................................68 數學與發現vs.解題過程 .....................................................................70 數學與發現vs.聆聽練習 .....................................................................71 數學與發現vs.探究解法 .....................................................................72 第四節背景特性之影響............................................................................74 培育機構對信念的影響......................................................................74 不同性別造成信念的差異..................................................................77 第伍章結論與建議............................................................................................79 第一節結論................................................................................................79 VI.

(10) 第二節對未來研究上的啟示....................................................................82 參考文獻..............................................................................................................83 一中文部份........................................................................................83 二英文部份........................................................................................84. VII.

(11) 表目次表 3-1-1：抽樣學校之比較……………………………………………………… 27 表 3-2-2：研究樣本之人數統計表……………………………………………… 28 表 4-1-1：數學學科信念之 KMO and Bartlett's Test…………………………… 38 表 4-1-2：數學學科信念之 Rotated Component Matrix………………………… 39 表 4-1-3：數學學科信念之面向包含題目……………………………………… 40 表 4-1-4：數學與生存面向之各類型人數比例………………………………… 42 表 4-1-5：數學的本質面向之各類型人數比例………………………………… 44 表 4-1-6：數學與解題面向之各類型人數比例………………………………… 46 表 4-1-7：數學與發現面向之各類型人數比例………………………………… 48 表 4-2-1：數學學習信念之 KMO and Bartlett's Test…………………………… 51 表 4-2-2：數學學習信念之 Rotated Component Matrix………………………… 52 表 4-2-3：數學學習信念之面向包含題目……………………………………… 53 表 4-2-4：重視解題過程面向之各類型人數比例……………………………… 55 表 4-2-5：重視正確答案面向之各類型人數比例……………………………… 56 表 4-2-6：強調聆聽練習面向之各類型人數比例……………………………… 58 表 4-2-7：強調探究解法面向之各類型人數比例……………………………… 60 表 4-3-1：數學學科信念與數學學習信念之相關檢定………………………… 62 表 4-3-2：數學與生存面向預測重視解題過程面向之對應類型……………… 63 表 4-3-3：重視解題過程面向預測數學與生存面向之對應類型……………… 63 表 4-3-4：強調探究解法面向預測數學與生存面向之對應類型……………… 64 表 4-3-5：數學的本質面向預測重視解題過程面向之對應類型……………… 65 表 4-3-6：重視解題過程面向預測數學的本質面向之對應類型……………… 66 表 4-3-7：數學的本質面向預測強調聆聽練習面向之對應類型……………… 67 表 4-3-8：重視正確答案面向預測數學與解題面向之對應類型……………… 68 表 4-3-9：數學與解題面向預測強調聆聽練習面向之對應類型……………… 69 表 4-3-10：強調聆聽練習面向預測數學與解題面向之對應類型………………69 表 4-3-11：重視解題過程面向預測數學與發現面向之對應類型……………… 70 表 4-3-12：數學與發現面向預測強調聆聽練習面向之對應類型………………71 表 4-3-13：強調探究解法面向預測數學與發現面向之對應類型………………72 表 4-4-1：各培育機構樣本的數學相關信念與培育階段之相關比較………… 74 表 4-4-2：數學相關信念與培育機構之相關比較……………………………… 75 表 4-4-3：數學相關信念與性別之相關比較…………………………………… 77. VIII.

(12) IX.

(13) 第壹章緒論. 自 1987 年宣佈解嚴以來，台灣在政治、經濟、社會等各方面都有巨大的改變，其中教育改革不但變化劇烈，而且牽涉層面廣泛，迄今仍然爭議頗多，如果將多元化視為這一連串教育改革的重大特色，那麼師資培育的變革無疑是落實這項特色的開拓者，也是牽引未來教育發展的深刻轉變。多元化意味著各種不同思維、不同信念、不同態度的並存，而多樣的信念與態度則引領人們趨向多種不同的作法與目標。就教學面而言，許多研究（Ernest， 1989；Lerman，1990；Schifter，1997）指出，教師如何看待數學的本質，將深刻影響他們的數學教學。然而，當下的師資培育制度所培育的數學教師具有哪些不同的數學信念，而造成其信念不同的因素是否源於培育機構、培育課程或實務經驗等等，顯然是值得在種種改革之後探究的議題。. 第一節研究動機許多研究指出數學教師如何看待數學的本質將影響他們的數學教學，故此，我們可以說，數學信念是數學教師特質的重要指標之一，這些研究探討數學教師. 1.

(14) 的數學信念、教學信念、學習信念等，然而，未來將走向教職的中學數學職前教師之數學信念是否能適切地配合其未來教學，同時，隨著教育改革、師資培育制度改革，當前我國的中學數學師資培育學程是否針對有益的、適切的數學信念來培養中學數學職前教師，這些都是值得探究的問題。因此，引起研究者想進一步深入瞭解中學數學職前教師之數學信念的動機。. 2.

(15) 第二節研究目的本研究主要探討當前我國的中學數學職前教師對數學學科與數學學習的信念。具體而言，本研究的研究問題有下列幾項： 1. 探討中學數學職前教師的數學學科信念之面向。 2. 探討中學數學職前教師的數學學科信念之特徵類型。 3. 探討中學數學職前教師的數學學習信念之面向。 4. 探討中學數學職前教師的數學學習信念之特徵類型。 5. 比較中學數學職前教師的數學學科信念特徵類型與數學學習信念特徵類型之相互關係。 6. 探討培育學校、培育階段、性別等因素是否會對中學數學職前教師造成影響。. 3.

(16) 第三節名詞解釋本研究所使用的相關名詞說明如下： 1. 面向：本研究所稱面向，乃指透過因素分析所得之因素。研究者視為樣本使用特定觀點來解讀因素下的各題目，此觀點反映樣本如何看待數學或數學學習的某些面貌，故稱該因素為信念之面向。 2. 特徵類型：本研究根據樣本在各面向的答題情形，透過模糊分析將全部樣本分為不同族群，各族群所呈現之答題型態則稱為特徵類型，用以表達各族群之特色。. 4.

(17) 第四節研究限制本研究受到人力、時間和經費上的限制，使得研究局限於特定的範圍，因而，本研究有二點研究限制，茲分述如下：一、研究問題：本研究主要探討當前我國的中學數學職前教師對數學學科與數學學習的信念。然而，信念所涵蓋範疇十分廣泛，因此，研究結果能否進一步推衍至所有的數學相關信念，則有待相關研究驗證。二、研究工具：本研究係採用紙筆方式進行問卷調查，由於樣本人數眾多以及受到施測學校所給予之時間限制，故無法進一步對樣本進行訪談，只能根據樣本之回答狀況做量化分析。. 5.

(18) 6.

(19) 第貳章文獻探討. 在本研究中，文獻探討共分成四節，為提供師資培育制度的具體樣貌、介紹數學信念的相關研究，依序探討「臺灣師資培育制度之歷史發展」、「中學數學職前教師之培育現況」、「數學相關信念之內涵」、「數學相關信念之實徵性研究」。. 第一節臺灣師資培育制度之歷史發展日據時期(1895-1945)為臺灣近代西式教育的發軔期，日人於 1898 年設立六年制公學校，目的在使台胞熟習日語，其課程所含算術課，可謂臺灣數學教育之濫觴，由此推之，臺灣的數學師資培育肇始於 1896 年所成立、用以訓練師資的國語學校。然而，公學校招收對象為六歲至十二歲孩童，就中等教育而言，吳文星（民 72）指出，終日據時期，臺灣迄未獨立設置培養中學以上教育師資之機構。 1945 年臺灣光復後，政府承續大陸時期的師範教育制度，將日據時代的師範學校更名，或新設學校，以求健全師資培育。1946 年，第一所中學師資培育機構成立，開始臺灣的中學數學教師培育。然而，光復初期，師資嚴重不足，李園會（民 73）指出，1945 年至 1949 年間，政府遷台前，為解決嚴重「教師荒」. 7.

(20) 現象，乃採取徵選、考選、訓練與講習…等速成管道以補充師資之不足。 1949 年政府遷台後，隨即開始戒嚴時期，政府將師範教育視為精神國防的一部分，政治因素固然強烈影響師資培育制度，卻也促使政府積極提昇師資素質與專業。加上經濟水準落後的社會狀況以及尊師重道的傳統文化，吸引了許多優秀的學生進入師資培育、投入教師行列。 1967 年第二所中學師資培育機構成立，但是，1968 年九年國教驟然施行，教育部指定台大、政大、成功及中興大學開設教育選修科目，並規定只要修滿教育科目 16 學分以上者，即可擔任中等學校教師。這個因素再度造成中學師資培育速成的情形，阻礙師資培育邁向專業化的發展，也降低了師資的素質，這些負面影響隨著往後逐年中學師資數量逐漸飽和，及 1979 年「師範教育法」公布實施後，才稍為獲得改善。「師範教育法」承續過去政府對教育的需求與重視，正式確立由師範校院專責的一元封閉式師資培育制度 1 ，學生公費就學，畢業後分發實習服務，實習一年成績及格者，即可登記為合格教師。但是，隨著經濟程度的提昇，規定期限內不得從事教育以外的工作或升學的公費制度，卻成為降低學生進入師資培育的因素。 1994 年，經過立法院七年的審議，「師範教育法」修訂後更名為「師資培育法」，綜合各家說法（陳奎憙，民 87、賴清標，民 93），其主要特色如下：（1）. 1. 除師範校院外，公立教育院系亦可培育師資，唯公立大學僅政治大學設有教育系。 8.

(21) 「培育多元化」，一般大學均可申請設立教育學程。（2）「自費為主的儲備制」，採自費的儲備方式培育，藉由市場機能調節師資供需，公費生則以就讀師資不足之學系，或畢業後自願至偏遠地區學校服務的學生為原則。（3）「資格檢定制」，修畢師資職前教育課程後，需經過初檢、實習一年、複檢，始能取得教師資格。雖然資格檢定制度結束過去的登記制度，然而，依照「教師法」（1995）規定，初檢採「檢覈」方式辦理，「複檢」由實習輔導機構及實習學校評定成績，合格者輒取得教師證，這樣的檢定制度無法落實品質的把關，直到 2002 年，「師資培育法」修正全文，改實習一年為教學實習課程半年，並將教師資格檢定辦法變更為考試 2 ，而今更接近於「證照制」。. 2. 考量已修習師資培育課程的學生之權益，2003 年 8 月之前進入學程者，依修正前之規定，第一次教師資格檢定考試於 2005 年舉行。 9.

(22) 第二節中學數學職前教師之培育現況過去，臺灣的中小學教師主要來自十二所師範校院以及政大教育系，而中學數學教師幾乎都來自三所師範大學的數學系。「師資培育法」實施之後，許多大學開始培育各類教師，截至 2005 年為止，台灣有 66 所大學持續在培育中小學師資，其中 9 所為師範大學 3 、6 所為設有教育院系之一般大學、51 所為設置師資培育中心之學校，56 所學校設有中學師資培育學程、28 所設有小學師資培育學程。在 56 所設有中學師資培育學程的大學中，31 所具備數學專業課程，可培育中學數學教師，其中 3 所為大型培育機構、3 所為中型培育機構、25 所為小型培育機構 4 。從市場供需的情形來看，根據中華民國師資培育統計年報（2006）的資料，「師資培育法」頒布後，84 學年度教育部核定中小師資培育招生名額 8429 人， 93 學年度達到歷年最高 17665 人，95 學年度則減少為 11301 人。然而，2001 年核定退休教師人數 6870 人，隨著退休制度的變革抬高退休年齡、少子化現象降低中小學班級數及教師配額，2006 年核定退休教師人數業已降至 3964 人。其中，根據教育部中教司（2005）公布的資料，首登專長為中學數學科的在職教師有 3. 此處泛指師範大學及教育大學。原先的十二所師範校院中，嘉義師範學院於 2000 年與嘉義技術學院整合成嘉義大學，臺東師範學院於 2003 年改名為臺東大學，臺南師範學院於 2004 年改名為臺南大學。 4 此處機構規模區分為：大型培育機構為每年培育人數超過總人數之 10%，中型介於 10%與 3% 之間，小型為 3%以下。 10.

(23) 9954 位，其中 1660 位的年齡為 49～65 歲，而 93 學年度開始，預計將畢業的數學科師培生逐年為 764 人、683 人、541 人、385 人、238 人。從 1997 年到 2005 年共核發 4984 張數學合格教師證書，其中 3221 人獲聘為在職教師，獲聘比率為 64.42%。從修業及資格的要求來看，不論是「師範教育法」或「師資培育法」，都規定師資職前教育課程包括普通課程、專門課程、教育專業課程及教育實習課程，同時，中學教師皆必須大學畢業。普通課程為學生應修習之共同課程，即「大學共同必修科目」，和一般大學相同。專門課程為培育教師任教學科、領域專長之專門知能課程，各校自訂，可包含在大學畢業學分內。以數學領域、數學專長為例，下限 30 學分、上限 48 學分，必修至少 24 學分，含分析、代數、幾何、機率、通識、資訊類各 3 學分，選修至少 6 學分。教育專業課程為培育教師依師資類科所需教育知能之教育學分課程，各校自行規劃，中學教師的教育專業課程需包含至少 26 學分，其中 14 學分為必修科目，含 4 學分教育基礎、6 學分教師教育方法學、4 學分教學實習及教材教法。最後，教育實習課程為培育教師之教學實習、導師（級務）實習、行政實習、研習活動之半年全時教育實習課程。目前「師資培育法」以及相關規定中，完成師資培育學程需先修畢上述前三項師資職前教育課程，接著在進入教學實習課程之前，必須符合下列情形之一：（1）師資培育相關學系之學生依大學法之規定，取得畢業資格。（2）設有師資 11.

(24) 培育中心之大學，大學二年級以上通過甄選者，取得畢業資格。（3）設有師資培育中心之大學，碩、博士班在校生通過甄選者，修完碩、博士畢業應修學分。（4）大學畢業後，參加學士後教育學分班。因此，要成為中學數學教師，上述四種情形需修習學分數亦不盡相同，（1）師資培育相關學系之學生，其大學畢業必修學分業已包含部份或全部教育專業課程，必須於選修學分中，修畢數學學科專門課程，總計至少 128 學分。（2）一般大學生不得將教育專業課程列入大學畢業之 128 學分，非數學相關科系學生亦必須於選修學分中，修畢數學學科專門課程，總計至少 154 學分。（3）已取得學士學位者則必須完成或抵免 56 學分以上的教育專業課程及數學學科專門課程。然後完成半年教學實習課程。之後，需要通過教師資格檢定考試以取得教師證，接著參與各地各校的教師甄選 5 ，錄取後才能成為正式的中學數學教師。. 5. 根據全國教師會選聘服務網的資料，95 學年度臺北市國民中學教師聯合甄選數學科報名人數 721 人，缺額 7 人，錄取率 1.19%。同年，國立高中職教師聯合甄選數學科報名人數 567 人，缺額 13 人，錄取率 3.09%。 12.

(25) 第三節數學相關信念之內涵為什麼數學教育要研究信念而非僅止於教學與解題？Schoenfeld（1983）研究既已指出教師教數學的過程基本上依賴於教師的信念系統，特別是教師關於數學本質和意義的概念，以及教師關於數學教與學的心智模型。Ernest（1989）認為影響數學教師教學實務的主要因素之一為教師對於數學本體、數學教學、學生數學學習的觀點。Peterson 等人（1989）甚至發現教師的數學教學信念和學生解題成就之間有相當的正相關。Fenema & Franke（1992）在數學教師專業知識研究模式中，更指出信念對於教師之數學教學知識的發展居於影響性的關係地位。 Schwartz & Riedesel（1994）亦發現國小教師對國小數學的信念與瞭解會影響其教學。在數學相關信念獲得重視的同時，對於其內容，大多數研究者均依數學本身、數學教學、數學學習來分類，進而提出各種不同樣貌的類型。. 數學本身的信念就數學本身的信念來說，Thompson（1984）發現個別教師彼此之間關於數學本質的信念有所不同，他從數學的內容切入，將這些教師區別為兩類，工具取向觀點代表將數學認為是一門由許多不同的規則及定理所組成的科目，而問題解. 13.

(26) 決取向觀點則表示將數學認為是一門富有挑戰性的科目，內容包含許多待解決的問題。 Ernest（1989）考量數學知識之間的聯繫，進一步將教師的數學信念分成三類：問題解決觀－數學為動態、問題導向、可由人類不斷地探討擴大的知識；柏拉圖觀－數學為靜態、完整、由內部互相連結的結構與事實所組成的知識；工具觀－數學為有用且互相不連結的事實、規則與技巧累積而成的知識。另一方面，Lerman（1990）由數學的確定性切入，以參與研究的四位個案教師之數學信念，提出兩種相對的觀點：絕對觀－數學是一種放諸四海皆準的真理，是一種確立的、價值中立的抽象知識；容錯觀－數學是透過人類進行猜測、證明與駁斥等歷程發展出來的知識。研究發現持絕對觀的個案教師，傾向直接教導的教學方式，而秉持容錯觀的個案教師，傾向扮演協助者與促進者的角色。前面幾位將信念分為二、三類彼此對立的類型，與之不同的是，Raymond （1997）將教師的數學信念概分成從傳統觀點到非傳統觀點之間的五種程度。他在國小教師信念與教學實務是否一致的研究中，以 Ernest 的工具觀、柏拉圖觀、問題解決觀為依據，提出一套判別教師信念的標準： 1. 傳統觀 y 數學是互不相關的事實、規則、技巧的集合。 y 數學是靜態的、可預期的、絕對的、確定的、能應用的。 2. 傾向傳統觀 y 數學主要是互不相關的事實、規則、技巧的集合。 y 數學主要是靜態的、可預期的、絕對的、確定的、能應用的。 3. 兼具傳統觀與非傳統觀 y 數學是固定但互相連結的整體。 14.

(27) y 數學是靜態且動態的、可預期又令人意外的、絕對且相對的、含糊且確定的、能應用又具藝術性的。 4. 傾向非傳統觀 y 數學主要是動態的、問題導向的、持續擴張的。 y 數學主要是令人意外的、相對的、含糊的、藝術性的。 5. 非傳統觀 y 數學是動態的、問題導向的、持續擴張的。 y 數學是令人意外的、相對的、含糊的、藝術性的。此外，針對數學與現實的關係，莊淑琴（民 87）將數學本質信念分為動態數學觀與靜態數學觀，持動態數學觀的教師認為數學與生活、文化有密切的關係，可以培養學生應變、推理的能力，對數學抱持著懷疑的態度；持靜態數學觀的教師認為數學只是在聯考上有用、是被有數學天份的人發明的、是真理的象徵。他的信念類型與前人頗有不同之處，顯示數學信念可能有不同內涵，值得個別分析討論。綜合各家說法，關於數學本身的信念大致上可分為三類，（一）工具取向、工具觀，（二）柏拉圖觀、絕對觀、傳統觀，（三）問題解決取向、問題解決觀、容錯觀、非傳統觀。. 數學教學的信念在數學教學的信念這方面，Thompson（1984）並未提出數學教學的信念類型，而是描述個案教師的數學教學信念特徵。在他的觀察中，有的教師認為數學教學應重視數學規則和過程的解說，有的教師則認為數學教學應重視教學內容的意義和數學邏輯推演的過程，也有教師認為數學教學應重視學生處理數學的解題過程。 15.

(28) Waxman & Zelman（1987）則提出兩種類型：傳統教學觀認為數學教學應訓練學生反覆演算、熟練計算過程，建構教學觀則認為數學教學必須提供學生問題解決的機會、啟發學生思考。Jaworski（1988）還提出另一種類型：問題解決觀認為數學教學必須鼓勵學生思考如何解題、為何如此解題、以及如何組織自我的學習。另外，Raymond（1997）依據 Thompson 的觀察，將數學教學信念描述成教師如何看待自己的角色，他將數學教學信念分成五種程度，提出一套判別教師信念的標準： 1. 傳統觀 y 教師的角色是講授、傳播數學知識。 y 教師的角色是指派學生個別作業。 y 教師探索正確答案且不必在意解釋。 y 教師獨自探討數學主題。 y 教師注重技巧與事實的精熟與記憶。 y 教師完全使用課本教學。 y 課堂教學明確無誤地計畫並執行。 y 教師完全用考卷來評量學生。 y 每天依循相同的模式進行課堂與活動。 2. 傾向傳統觀 y 教師的角色主要是傳播數學知識。 y 教師重視正確答案更甚於過程。 y 教師注重記憶更甚於理解。 y 教師主要使用課本教學。 y 教學包含有限度的解題機會。 3. 兼具傳統觀與非傳統觀 y 課堂教學包含多樣的數學活動。 y 教師並重成果與過程。 y 教師同樣注重記憶與理解。 y 教師花費等量的時間來扮演傳播者與輔助者。 y 教案在時間方面明確而其他方面有彈性。 16.

(29) y 教師以相等的分量讓學生進行小組合作與個別工作。 y 教師均等地使用課本與解題活動。 y 教師讓學生同時享受數學並見識它的實用。 4. 傾向非傳統觀 y 教師主要是輔助者與引導者，少量地講課。 y 教師較重視過程更甚於成果。 y 教師注重理解更甚於記憶。 y 教師讓解題是課堂中不可或缺的一部分。 y 教師有限度地使用課本。 5. 非傳統觀 y 教師的角色是引導學習者並布置挑戰題 y 教師的角色是促進知識分享 y 教師十足地重視過程而非成果 y 教師教學時不依循課本 y 教師只提供解題、操作導向的活動 y 教師不設計明確、沒有彈性的課堂 y 教師完全讓學生合作學習 y 教師增進學生的主動性 y 教師幫助學生喜歡並重視數學國內的研究中，莊淑琴（民 87）將數學教學信念分為建構教學觀與傳統教學觀，持建構教學觀的教師主張教學就是讓學生主動去建構知識的過程，講求概念的理解及尊重學生的想法；持傳統教學觀教師主張教學就是灌輸學生知識的過程，強調技能獲得及成績的表現。綜合各家說法，關於數學本身的信念大致上可分為兩類，（一）傳統教學觀、傳統觀，（二）建構教學觀、問題解決觀、非傳統觀。. 數學學習的信念數學學習的信念與數學教學的信念有相當程度的呼應，Raymond(1997) 參考 Underhill 的知識傳遞觀與知識建構觀，將教師的數學學習信念概同樣分成五種程 17.

(30) 度，提出一套判別教師信念的標準： 1. 傳統觀 y 學生是被動地接受知識。 y 學生靠獨自用功來學數學。 y 學生應當重複練習來精熟技巧。 y 學數學只有一種方式。 y 算則的記憶與精熟意味著學習。 y 學生完全從課本與作業中學習數學。 y 許多學生無法學習數學。 y 學生的數學學習完全仰賴教師。 2. 傾向傳統觀 y 學生主要應當重複練習來精熟技巧。 y 學習成效的驗證主要是確認算則的記憶與精熟。 y 學生的數學學習主要仰賴教師。 y 學生主要從課本與作業中學習數學。 y 學生以獨自用功為主。 y 學生大致上是被動學習者，必要時會提出問題。 3. 兼具傳統觀與非傳統觀 y 學生應該同時透過解題與讀課本來學習數學。 y 學生應同時理解並精熟技巧及算則。 y 學生應該等量地獨自用功與小組合作。 y 學習數學有超過一種方式。 y 多數學生能學數學。 y 數學學習同時仰賴學生與教師。 y 努力嘗試可能會幫助數學學習，做到與天生優秀一樣地好。 y 重複練習可能會幫助數學學習，藉由探索的成果所得的領悟也是。 4. 傾向非傳統觀 y 學生主要透過解題活動來學習數學。 y 學生主要透過與同學的合作來學數學。 y 學習的驗證主要是透過解釋理解的能力而非透過熟練算則的記憶與執行。 y 學生的數學學習主要仰賴學生本身。 y 學生學習數學主要是主動的學習者。 5. 非傳統觀 y 學生的角色是主動的探索者。 y 學生只能透過解題活動來學習數學。 y 學生不需要課本與紙筆活動來學數學。 18.

(31) y 學生透過合作互動來學數學。 y 學生是主動的數學學習者。 y 學生都可以學習數學。 y 每位學生依自己的方式學習數學。國內的研究中，莊淑琴（民 87）將數學學習信念分為建構學習觀與傳統學習觀，持建構學習觀的教師反對死背公式，鼓勵學生用自己的方法解題，實施分組討論活動；持傳統學習觀教師強調計算能力及精熟學習，認為只要能得高分的解法就是最好的。綜合各家說法，關於數學本身的信念大致上可分為兩類，（一）傳統觀、傳統學習觀，（二）非傳統觀、建構學習觀。. 19.

(32) 第四節數學相關信念之實徵性研究在最後一節，我們將介紹數學相關信念之實徵性研究，藉以瞭解中小學教師的數學相關信念具體情形。王郁華（民 85）針對台灣南區 253 名中學數學教師實施問卷調查，研究結果發現大部分教師的教學信念受升學導向影響，造成教學行為著重內容意義和規則的解說、認為學生經常不假思索地模仿解題技巧，未能發揮自己學習的能力，但是，所有教師都認為數學教學應該幫助學生思考，建構知識。對於數學的本質分別有持動、靜態數學觀兩類教師，對於學生的學習亦分為主動建構與被動接受兩類。就教師個人經驗成長方面而言，影響教師信念形成的因素，依其強弱程度排序分別為個人的教學經驗、所受的學校教育、個人的宗教信仰及哲學理念。顏銘志（民 85）以高屏地區公立國民小學 1045 位教師為母群體進行問卷調查，結果顯示目前國小教師的數學信念傾向「進步取向」的觀點。 Raymond（1997）在國小教師信念與教學實務是否一致的研究中發現個案教師的數學信念與數學教學實務具有一致性，其信念與實務主要受到教學實務的影響，而師資培育學程的影響有限。 Groves & Doig (1998)透過三位教師的教室觀察及晤談，探討他們對於數學課室中如何進行討論活動的教學信念與教學實務；研究發現三位教師對於數學課室 20.

(33) 之討論活動的看法及所能達成的教學目標相當一致，但為了達成結果所使用的策略卻有所差異。莊淑琴（民 87）針對嘉義縣、市國小教師進行調查，抽取有效樣本共 445 人，他將數學相關信念分為三類，在數學本質方面整體傾向動態觀，而因教師的學歷、畢業系別及任教年級之不同而有顯著的差異。在數學教學方面整體傾向建構觀，而因教師的服務年資、畢業系別及任教年級之不同而有顯著的差異。在數學學習方面整體傾向建構觀，而因教師的性別、服務年資、畢業系別及任教年級之不同而有顯著的差異。甄曉蘭、周立勳（民 88）調查雲嘉三縣 1000 名國小教師發現，當前國小教師的數學教學信念普遍偏向建構論的觀點，而且越偏向建構教學觀的教師，在數學教學之布題越開放，越有應用不同教學理念的意願，同時也越常使用小組討論引導學生學習數學。除性別外，國小教師的數學教學信念並未因年紀、年齡、學校地區與參與研習經驗的不同而有顯著差異。張佩瑛、蔣治邦（民 89）透過「教學信念量表」的施測，選取「傳統取向」與「進步取向」教學信念的中年級國小數學教師各 20 名，在四種學生數學表現情境之下，進行教學處理的訪談，以探討教師教學信念與教學處理的關係。結果顯示：當面對一個程度比較差的學生表現出錯誤解答時，「進步取向」教師較常用「提示思考」類型的教學處理，而「傳統取向」教師較常用「示範觀察」類型的教學處理；當學生表現出錯誤解答時，「傳統取向」教師對程度較好的學生較 21.

(34) 常用「提示思考」類型的教學處理，而面對程度較差的學生使用「示範觀察」類型的教學處理；當學生以非標準化步驟獲得正確解答時，兩種教學信念的教師多採用「接納了解」類型的教學處理。進一步地探討，發現「傳統取向」教師較常使用教師講解策略，而「進步取向」教師則較常提供同儕討論的機會。呂玉琴、溫世展（民 90）以三所師範大學與三所師範學院之暑期進修部的國小、國中與高中現職數學教師為母群體，進行抽樣施測，樣本包括國小、國中、高中教師人數各 142 人、221 人、102 人。他們發現國小教師對於非傳統觀的教學觀比較能夠接受。例如，他們認為學生學習數學的主要目的是幫助解決生活中的問題，學生擁有自行解決數學問題的能力及求知的動機；數學教學活動應與生活結合；重視形成性評量等。國、高中數學教師認為學生學習數學的主要目的是培養邏輯思考的能力。他們比較不能接受非傳統觀的教學理念，認為學生比較沒有自行解決數學問題的能力，比較沒有求知的動機，重視學習結果與考試成績的表現等。雖然國小、國中、高中數學教師對非傳統觀的教學理念的接受程度不一致，但是他們逐漸能夠接受升學考試並非數學學習最主要的目的。由上述研究中，我們發現數學相關信念確實會影響教師的數學教學實務，同時，可能影響教師的數學相關信念的因素有性別、學歷、所受的學校教育、畢業系別、任教年級、服務年資、個人的教學經驗、個人的宗教信仰及哲學理念等許多原因。. 22.

(35) 第參章研究方法. 本章將分別從：（一）研究設計；（二）研究樣本；（三）研究工具；（四）資料分析；和（五）研究流程等五方面，說明本研究之研究方法與步驟。. 第一節研究設計本研究主要是使用「國際科學與數學教師培育與發展研究計畫」（國科會編號 NSC 96-2522-S-003-021-MY2，簡稱 MT21）之問卷施測回收資料進行台灣中學數學科職前教師之數學相關信念現象報導，該計畫因屬發展性研究，故許多題目的選項是採用各國專家意見獨立條列，並無明確的理論結構，研究者分析「MT21」問卷題目，選取出與數學信念、數學學習信念相關的題目，從文獻所提供的觀點將原本無分類結構的題目之選項加以結構化。根據本研究之待答問題，研究者除了欲瞭解我國中學數學科職前教師之數學相關信念，尚欲探討不同培育機構、不同培育階段所造成之差異。故本研究蒐集施測學校之相關背景、相關課程資料，以作為界定樣本、分析探討之用。本研究將取得的資料編碼整理，並利用因素分析、模糊分析、相關性檢定等相關統計方法進行資料分析，藉以瞭解我國中學數學科職前教師之數學相關信. 23.

(36) 念，並據以回答本研究所探究之相關問題。. 24.

(37) 第二節研究樣本本研究配合國際科學與數學教師培育與發展研究計畫，在 31 所培育中學數學. 教師之大學中，選擇 3 所大型培育機構，1 所中型及 1 所小型培育機構作為本研究的師資培育機構樣本；在這五所培育機構中，選出中學數學師資培育課程第一年、中學數學師資培育課程最後一年、即將結束教育實習課程等三階段全部數學科職前教師，再隨機抽取出其中的一半作為本研究數學科職前教師樣本。五所師資培育機構分布於台灣北、中、南部；茲將五所機構的背景資料介紹如下：甲校是一所師範大學，現有 8 個學院、52 個系所，在學學生一萬四千餘人。該校中學數學科職前教師絕大多數來自數學系，該系很重視數學課程與數學教育課程，數學課程包含 48 學分的必修科目以及 18 學分的十一必選六，還有許多與中學數學教材關係密切的選修科目。在師資培育課程方面，學校規定之數學學科專門課程由數學系開設，含高等微積分、代數學，計 31 學分，均包含在數學系必修科目中；而 26 學分的教育專業課程，8 學分為相關科系開設之一般教育科目，其他 18 學分為數學教育科目，皆由該系數學教育領域教授開課；另外還開設許多與數學教學能力相關的選修科目，是台灣開設最多數學教育課程的師資培育機構。該校每年約培育九十多位中學數學教師。 25.

(38) 乙校是一所一般國立大學，現有 9 個學院、33 個學系，在校學生一萬五千餘人。該校的數學師資培育分為兩個管道，教育學系的學生（含雙主修）需修畢數學學科專門課程，其教育專業課程業已包含於學系必修科目中，而其他學系學生則需通過師資培育中心的甄選，始得修習教育專業課程。在師資培育課程中，數學學科專門課程由應用數學系開設，不必含高等微積分、代數學，計 32 學分； 26 學分的教育專業課程由教育系與師資培育中心開設，除數學領域教材教法與教學實習外，並無專門數學教育之科目。每年培育之中學數學職前教師約 10～ 20 位。丙校是一所師範大學，現有 7 個學院、20 個系所，在學學生七千餘人。該校中學數學科職前教師大多數來自數學系。在師資培育課程方面，學校規定之數學學科專門課程由數學系開設，含高等微積分、代數學，計 44 學分，大多包含於數學系必修科目 51 學分中；而 26 學分的教育專業課程除 10 學分之一般教育科目、2 學分之數學教材教法與 2 學分之教學實習外，其餘 12 學分可選修數學系開設之數學教育科目（共 14 學分）。每年培育約七十多位中學數學教師。丁校是一所一般私立大學，現有 8 個學院、30 個學系，在校學生兩萬餘人。該校師資培育中心每年招收 90 名師培生，選擇數學專長的師培生約有一半來自應用數學系，一半來自統計系、會計系等其他學系。數學師資培育之課程規劃含數學學科專門課程，由應用數學系開設，含高等微積分（或以實變數函數論代. 26.

(39) 替），不必含代數學，計 36~40 學分 6 ；26 學分的教育專業課程由師資培育中心開設，除數學教材教法與教學實習共 4 學分外，並無專門數學教育之科目。每年培育的中學數學教師由十餘人至三十餘人不等。戊校是一所師範大學，現有 5 個學院、19 個系所，在學學生七千餘人。該校中學數學科職前教師大多數來自數學系。數學師資培育之課程含數學學科專門課程由數學系開設，含高等微積分、代數學，計 41 學分；26 學分的教育專業課程由師資培育中心開設，除數學領域教材教法與教學實習共 8 學分外，並無專門數學教育之科目；此外數學系開設數門與數學教學能力相關的選修科目。每年培育約八十多位中學數學教師。五所機構在本研究收集資料該年的師資培育狀況如下表：. 表 3-1-1：抽樣學校之比較. 6. 校別. 甲校. 乙校. 丙校. 丁校. 戊校. 學校性質. 師範校院. 公立大學. 師範校院. 私立大學. 師範校院. 機構規模. 大型. 小型. 大型. 中型. 大型. 培育人數. 約 90 人. 約 10 人. 約 70 人. 約 30 人. 約 80 人. 開始培育師資年份. 1946. 1955. 1971. 1995. 1967. 數學專門課程最低學分. 31. 32. 44. 36. 41. 數學專門課程特色. 含高等微積分、代數學. 不必修高等微積分、代數學. 含高等微積分、代數學. 含高等微積分、不必修代數學. 含高等微積分、代數學. 該校數學學科專門課程有多種選擇，替代科目之間學分數不相等。 27.

(40) 教育專業課程特色 (26 學分). 含必修 18 學分為數學教育科目. 數學教育科目僅數學教材教法與教學實習. 含選修 12 學分可為數學教育科目. 數學教育科目僅數學教材教法與教學實習. 數學教育科目僅數學教材教法與教學實習. 茲將中學數學科職前教師樣本的背景資料介紹如下：本研究的研究對象設定為（一）中學數學師資培育課程第一年及（二）最後一年的師培生，以及（三）中學數學實習教師。然而，在修習師資培育課程期間，修習一般教育課程的學生包含數學與非數學師培生，修習專門課程的學生則包含師培生與非師培生，因此，本研究的前兩類研究對象限定為已開始修習數學教育科目的師培生。在確認各校數學教育科目的安排順序後，選擇各校安排在最低年級及最高年級的數學教育科目，對這些班級以及隸屬該校的中學數學實習教師進行施測，其中，甲校於大二即安排數學教育科目，乙校雖於大三即開設數學教育科目，然而，施測期間（下學期）該校並無開設數學教育科目的班級，戊校則僅於大四開設數學教育科目，因此，乙校樣本缺乏中學數學科師資培育課程第一年的師培生，戊校樣本的師培生界定為既屬於師資培育課程第一年的師培生亦屬於最後一年的師培生。樣本的各項屬性如下表所示：. 表 3-2-2：研究樣本之人數統計表學校. 年級. 階段. 男. 女. 小計. 計. 甲. 大二. 一. 29. 12. 41. 124. 28.

(41) 乙. 丙. 丁. 戊總計. 大四. 二. 31. 13. 44. 實習. 三. 30. 9. 39. 大四. 二. 5. 1. 6. 實習. 三. 0. 3. 3. 大三. 一. 9. 7. 16. 大四. 二. 26. 12. 38. 實習. 三. 6. 10. 16. 大三. 一. 3. 5. 8. 大四. 二. 3. 7. 10. 實習. 三. 5. 6. 11. 大四. 一、二. 25. 11. 36. 實習. 三. 39. 25. 64. 211. 121. 29. 9. 70. 29. 100 332.

(42) 第三節研究工具針對本研究的研究問題，研究者將研究工具分為數學學科信念與數學學習信念等兩個部份，茲將兩者說明如下：. 數學信念這部份為關於數學學科信念之六點量表，共計 20 題。對於數學信念的類型，許多研究者提出不同的觀點，研究者參考各家說法，發現過去的研究在描述各種關於數學信念類型時，主要針對數學的內容、數學的來源、數學的確定性、數學的價值，以及數學的特徵等內涵來區隔不同的信念類型。在本研究採用的研究工具中，研究者採用數學內容、數學特徵、數學價值、運用數學、參與數學來描述試題，其中，數學內容包含數學知識與多元解法，數學特徵分為開放且具彈性與嚴謹且邏輯兩類，運用數學即應用數學來解決問題，參與數學則是針對個人參與數學活動的可能性。各信念內涵對應試題如下表所示：. 表 3-3-1：數學學科信念內涵對應試題內涵. 試題. 數學內容知識. ．數學是規定如何解題的許多規則與程序。．數學涉及定義、公式、數學事實與程序的記憶與應用。 30.

(43) 多元解法. ．解決數學問題通常不只一種方法。．數學問題可以用許多方法來解決。. 數學特徵嚴謹、. ．數學思考的特徵是抽象與邏輯。. 邏輯. ．清楚、精確、不含糊是數學的顯著特徵。．數學的本質是嚴謹，正如定義那樣的嚴謹，也就是一種明確精準的數學語言。．數學的基礎是邏輯上的嚴格與精確。．數學的特徵是嚴謹，即定義與形式化數學推論中的嚴謹。. 開放、. ．數學意味著創造力與新點子。. 彈性. ．數學中的許多事情都可以靠自己來發現並試驗。. 數學價值. ．數學帶給社會實質的好處。．數學對各種職業都有所幫助。．數學的許多觀點都與現實有所關聯。．數學有助於人們解決日常生活的問題或事情。. 運用數學. ．解數學題目時，必須知道正確的程序，否則就會迷失方向。．做數學須要大量的練習、正確的程序運用和解題策略。．數學意味著學習、記憶和應用。. 參與數學. ．一個人如果投入數學的解題活動，就可以發現新的東西。（如：連結、法則、概念）．每個人都能夠發現與再發現數學。. 數學學習信念這部份為關於數學學習信念之六點量表，共計 18 題。對於數學學習信念，本研究結合各家說法，並斟酌參考數學教學信念，發現數學學習信念的內涵繁多，Raymond（1997）的判別標準既已包含學習方式、學習目標、知識來源、合作學習、多元學習、學習機會、學習態度、以及學生自主等八種內涵，因此，研究者謹以研究工具之試題進行結構化分析，依其學習方式、學習目標、多元解題來描述各試題蘊含之信念內涵。學習方式分為記憶、聽講、 31.

(44) 研究、練習，學習目標分為解題程序、正確答案，多元解題則包含個人解法與多元解法。各信念內涵對應試題如下表所示：. 表 3-3-2：數學學習信念內涵對應試題內涵. 試題. 學習方式記憶. ．把所有公式背下來，是學好數學的最好方法。. 聽講. ．要想學好數學，學生必須是好的聆聽者。．用心聽老師的講解是學好數學的最佳方法。．我們不值得花時間和金錢讓學生有動手操作數學的經驗。. 研究. ．除了得到正確答案，了解為什麼答案正確也很重要。．把時間花在研究為何某個數學解法有效是很值得的。．觀察「數學專家思考數學時的邊想邊說」，可以讓我們學習到很多。．沒有老師的幫助學生也可以想出解決數學問題的方法。. 練習. ．學生需要做很多的練習，數學才能進步。. 學習目標解題程序. ．學生應該學到正確嚴謹的數學解題步驟。．教師應避免鼓勵非標準程序的解法，因為會對標準程序解法產生學習干擾。. 正確答案. ．假如你解得出某個問題的正確答案，那麼你不瞭解這個問題也沒關係。．必須能夠快速地解出數學問題，才算數學學得好。．解數學問題時，相較於解題過程，應該更強調答案正確。. 多元解題個人解法. ．對於解應用題有困難的學生，教師應該容許他們不斷地做嘗試來解出答案。．教師應該容許學生想出自己的解法來解數學問題。．即使學生自己的解法可能並沒有效率，老師仍應鼓勵學生找出自己的解法。. 多元解法. ．討論特定問題的不同解法，對學生是有幫助的。. 32.

(45) 第四節資料分析本研究利用因素分析、模糊分析、Goodman and Kruskal's lambda 相關性檢定、Chi-square test 相關性檢定等相關統計方法進行量化資料的分析，藉以瞭解我國中學數學職前教師之數學相關信念，並據以回答本研究所探究之相關問題。茲將本研究分析項目敘述如下：. （1）. 數學學科信念與數學學習信念之面向：以因素分析分別萃取數學學科信念與數學學習信念問題的主要因素，並加以歸納，藉以檢視中學數學職前教師的數學學科信念與數學學習信念之面向。. （2）. 數學學科信念與數學學習信念之特徵類型：以模糊分析的統計方法，分別在各個面向上，依樣本的答題情形加以分類，檢視中學數學職前教師的數學學科信念與數學學習信念之特徵類型。. （3）. 數學學科信念與數學學習信念之相關性比較：以樣本在各個面向呈現的特徵類型為資料，以 Goodman and Kruskal's lambda 相關性檢定，檢視中學數學職前教師的數學學科 33.

(46) 信念與數學學習信念之特徵類型是否能互相預測。. （4）. 培育機構之差異性：將樣本分為中學數學師資培育課程第一年及最後一年的師培生，以及中學數學實習教師三種培育階段，先檢驗各培育機構樣本的數學相關信念是否與培育階段有關，再進一步檢驗是否與培育機構有關，以 Chi-square test 相關性檢定統計方式檢視。. （5）. 不同性別之差異性：以 Chi-square test 相關性檢定統計方式分別進行分析，檢視不同男性、女性樣本在數學學科信念與數學學習信念的傾向是否存在顯著性差異。. 34.

(47) 第五節研究流程本研究之研究流程如下：確立研究動機. 擬定研究主題相關文獻探討. 前置作業程序樣本資料蒐集. 研究工具分析. 問卷資料整理. 資料分析處理. 撰寫研究論文圖 3-5-1：研究流程 35. 資料分析方法.

(48) 36.

(49) 第肆章研究結果與討論. 資料蒐集後，研究者按照第三章所述的編碼方式對資料進行編碼，並繼之針對本研究的研究問題進行分析與討論。本章將依據研究的結果分為四節：在第一節中，我們將分別探討中學數學職前教師的數學學科信念之面向，並據以討論中學數學職前教師在這四種面向中個別呈現的不同特徵類型；在第二節中，我們將分別探討中學數學職前教師的數學學習信念之面向，並據以討論中學數學職前教師在這四種面向中個別呈現的不同特徵類型；在第三節中，我們將進一步比較中學數學職前教師的數學學科信念類型與數學學習信念類型是否彼此互相影響；在最後一節中，我們探討不同學校、培育階段、性別等因素是否會對中學數學職前教師的數學學科信念與數學學習信念造成影響。. 第一節數學學科信念之面向與特徵類型這一節研究者透過因素分析探究數學學科信念的各種面向，再透過模糊分析討論樣本在各面向呈現的特徵類型，藉以回答研究問題並作為進一步探討比較之用。. 37.

(50) 數學學科信念之面向從研究資料中，我們將探討數學學科信念的問題透過 SPSS 進行因素分析，採用「主成份法」進行萃取，利用「最大變異法」進行直交轉軸，取特徵值大於 1 者，加以描述因素特性並命名。首先，檢驗此 20 個問題是否適合進行因素分析，透過「KMO 與 Bartlett 球形檢定」，其結果如下：. 表 4-1-1：數學學科信念之 KMO and Bartlett's Test Kaiser-Meyer-Olkin Measure of Sampling Adequacy. Bartlett's Test of Sphericity. Approx. Chi-Square df Sig.. .841 1983.115 190.000 .000. 從表 4-1-1 中可見：Kaiser-Meyer-Olkin 取樣適切性量數＝.841 顯示適合進行因素分析的程度為良好，Bartlett 球形檢定之卡方分配＝1983.12、顯著性＝.00（p 值）達顯著水準，因此，這些觀察變數的取樣適切且適宜進行因素分析。經過萃取特徵值大於 1 的因素後，共有 4 類因素產生，累積總變異量為 52.4%，符合社會科學研究之要求。由這四個因素經直交轉軸後得到「旋轉後的成份矩陣」，依因素負荷量之高低排列，各題加粗之數字表示各因素上最高的因素負荷量，其結果如下所示：. 38.

(51) 表 4-1-2：數學學科信念之Rotated Component Matrixa Component 題號. 1. 2. 3. 4. 17. 0.759. 0.096. 0.149. 0.225. 16. 0.751. 0.013. 0.108. 0.290. 14. 0.735. 0.128. -0.010. 0.060. 11. 0.639. 0.292. 0.068. -0.014. 13. 0.531. 0.419. -0.027. 0.162. 15. 0.526. -0.131. 0.074. 0.514. 8. 0.066. 0.683. 0.163. 0.191. 12. 0.429. 0.647. 0.200. -0.041. 3. 0.201. 0.590. -0.127. 0.246. 18. 0.154. 0.584. 0.389. -0.157. 5. 0.021. 0.582. 0.466. 0.104. 4. 0.050. 0.509. 0.185. 0.351. 1. -0.002. -0.122. 0.694. -0.076. 19. 0.144. 0.134. 0.658. -0.062. 20. 0.132. 0.256. 0.641. 0.149. 9. 0.017. 0.147. 0.538. 0.207. 2. -0.013. 0.185. 0.485. 0.341. 7. 0.230. 0.044. 0.040. 0.774. 10. 0.221. 0.188. 0.231. 0.606. 6. 0.088. 0.356. -0.033. 0.600. Extraction Method: Principal Component Analysis. Rotation Method: Varimax with Kaiser Normalization. a. Rotation converged in 9 iterations.. 根據羅昭強（2007）所提出的觀察變數在因素內的取捨標準：因素負荷量大於 0.5 且與其他因素之負荷量之差大於 0.3 原則上予以保留在該因素中，但尚需參考理論或專家學者的意見，尤其是某題之因素負荷量超過 1 個大於 0.35 時， 39.

(52) 本研究對於因素負荷量接近 0.5 之題目，皆請專家、學者判定其因素類別。依照上述標準，有關數學學科信念的 20 個問題落在四類因素中。本研究依各類中問題之共同特性，將此四類分別命名為「數學與生存」、「數學的本質」、「數學與解題」、「數學與發現」。第一類因素中的題目內涵與數學的價值有關，從樣本的答題取向知道他們認為數學與日常生活、現實情形以及未來職業都有關連，並且對社會帶來實質的影響，稱之為「數學與生存」面向；第二類因素中的題目內涵與數學內容與數學特徵有關，從樣本的答題取向知道他們認為數學的特徵與邏輯、抽象、嚴謹、精確有關，稱之為「數學的本質」面向；第三類因素中的題目內涵與運用數學解題有關，從樣本的答題取向知道他們認為數學與解題的規則、程序及策略都有關連，稱之為「數學與解題」面向；第四類因素中的題目內涵與數學的發現面向有關，從樣本的答題取向知道他們認為數學的開放性、彈性與個人的創造力、發現數學的能力有關，稱之為「數學與發現」面向；這四種面向所包含的題目列於下表：. 表 4-1-3：數學學科信念之面向包含題目信念面向數學與生存. 包含試題 11. 數學帶給社會實質的好處。 14. 數學對各種職業都有所幫助。 16. 數學的許多觀點都與現實有所關聯。 17. 數學有助於人們解決日常生活的問題或事情。. 數學的本質. 2.. 數學思考的特徵是抽象與邏輯。. 3.. 解決數學問題通常不只一種方法。. 4.. 清楚、精確、不含糊是數學的顯著特徵。 40.

(53) 5.. 數學涉及定義、公式、數學事實與程序的記憶與應用。. 8.. 數學的本質是嚴謹，正如定義那樣的嚴謹，也就是一種明確精準的數學語言。. 12. 數學的基礎是邏輯上的嚴格與精確。 13. 數學問題可以用許多方法來解決。 18. 數學的特徵是嚴謹，即定義與形式化數學推論中的嚴謹。數學與解題. 1.. 數學是規定如何解題的許多規則與程序。. 9.. 解數學題目時，必須知道正確的程序，否則就會迷失方向。. 19. 做數學須要大量的練習、正確的程序運用和解題策略。 20. 數學意味著學習、記憶和應用。數學與發現. 6.. 數學意味著創造力與新點子。. 7.. 數學中的許多事情都可以靠自己來發現並試驗。. 10. 一個人如果投入數學的解題活動，就可以發現新的東西。（如：連結、法則、概念） 15. 每個人都能夠發現與再發現數學。. 人類對於一門知識學科的認知有幾個切入的角度，或由形上學探討它的基礎、本質與特徵，或從知識論探討它如何成長茁壯、如何區別其內容的對錯良窳，或從實用的角度探討它如何被運用來解決問題、如何被應用在我們的日常生活中；前述四種數學學科信念的面向由樣本的答題取向所反映，正好契合這些不同的切入角度，「數學的本質」面向呈現數學內涵的形上學，「數學與發現」面向揭示數學內容如何成長擴充，「數學與解題」面向反應數學的問題解決與數學的應用，而「數學與生存」面向則呈現數學與現實生活的聯繫。以下本研究分別討論這四種數學學科信念的面向中，樣本呈現的不同特徵類型。. 41.

(54) 數學與生存在數學與生存面向中，樣本的答題反應他們心目中數學與現實生活的聯繫程度，透過模糊分析的處理，樣本呈現 L1~L6 等 6 種特徵類型，比例如下所示：. 表 4-1-4：數學與生存面向之各類型人數比例類組. L1. L2. L3. L4. L5. L6. 百分比. 25.30. 22.59. 20.18. 16.87. 9.94. 5.12. L1 族群對數學提供社會好處（11）的態度介於『同意』與『非常同意』之間；而數學對各種職業有幫助（14）、數學觀點與現實有關連（16）、數學幫助解決日常生活問題（17）的態度傾向『同意』。此族群認為數學與現實生活有密切關係，也支持數學對日常生活及個人未來發展有重大幫助，並且同意數學對人類社會非常有貢獻，對數學與現實生活的聯繫關係顯示出高度的認同。可以想見 L1 族群可能曾經藉由數學取得許多現實層面的優勢，並且清楚明白數學為人類生活帶來的重大影響，也可以預見他們未來很可能會帶給學生「數學很有實用性」的價值觀，或可說 L1 族群是「數學實用論」的擁戴者。 L2 族群對數學提供社會好處（11）、數學觀點與現實有關連（16）、數學幫助解決日常生活問題（17）的態度傾向『同意』；而數學對各種職業有幫助（14）則介於『些微同意』與『同意』之間。此族群認為數學與現實生活有關係，也同意數學對日常生活及人類社會存在相當程度的貢獻，然而對於數學有助於個人職業的態度則略顯保留。可以說 L2 族群同意數學與現實生活有聯繫，是為「數學 42.

(55) 有用論」的支持者。 L3 族群對於數學提供社會好處（11）、數學觀點與現實有關連（16）、數學幫助解決日常生活問題（17）等的態度偏向『些微同意』；而數學對各種職業有幫助（14）則傾向『同意』。整體而言，此族群接受數學並非虛無縹緲的幻想產品，也同意數學對人們的生活存在某程度的貢獻，尤其關注數學對個人職業生涯的幫助，簡而言之，L3 族群接受數學與現實生活有聯繫，然而較為看重數學對個人的實質影響。 L4 族群對於數學提供社會好處（11）、對各種職業有幫助（14）的態度均為『些微同意』；而數學觀點與現實有關連（16）、數學幫助解決日常生活問題（17）的看法則為『同意』。整體而言，L4 族群認為數學對人們的生活存在相當程度的貢獻，但是對於數學對社會或個人造成實質的影響並不具體肯定或清楚明瞭，他們可能因為各種因素而相信數學是實用，卻沒有確實地瞭解數學如何被廣泛地應用在現實生活中，這個族群或可稱為相信數學實用的族群。 L5 族群在四個題目（11、14、16、17）的態度皆偏向負向（不同意）。整體而言，此族群認為數學不一定帶給人們更美好的生活，而且傾向數學對各種職業的幫助有限，L5 族群有「數學無用論」的傾向，他們可能認為數學僅止升學的工具，對個人的未來並無裨益。L6 的樣本為無法歸類至上述幾類的特別個案，不進行深入討論。整體而言，在數學與生存面向的題目中，多數樣本同意數學與現實有關連、 43.

(56) 帶給社會實質的好處，其中大約一半的樣本明確同意數學對人類的生活存在具體的貢獻、對個人的未來有幫助，而反對這項看法的人則僅占約略一成；從各族群的表現來看，除全面支持「數學實用論」的 L1 族群，較 L1 族群保守、支持「數學有用論」的 L2 族群以及整體傾向反對的 L5 族群外，有特別重視對個人職業實質影響的 L3 族群，以及相對認為數學對職業的影響有其侷限的 L4 族群。. 數學的本質在數學的本質面向中，樣本的答題反應他們心目中數學的形上學內涵，透過模糊分析的處理，樣本呈現 N1~N5 等 5 種特徵類型，比例如下所示：. 表 4-1-5：數學的本質面向之各類型人數比例類組. N1. N2. N3. N4. N5. 百分比. 33.73. 30.42. 14.46. 13.86. 7.53. N1 族群對數學思考是抽象與邏輯（2）的態度介於『同意』與『非常同意』之間，其他題目（3、4、5、8、12、13、18）的態度皆傾向『非常同意』。此族群強烈地認同數學在各方面的嚴謹性與精確性，以及在解題方面的多樣性，N1 族群注重數學的抽象形式，帶有邏輯主義及形式主義的色彩。 N2 族群對數學思考是抽象與邏輯（2）、數學特徵（4）、數學涉及定義等記憶與應用（5）、數學本質（8）、數學基礎（12）、可用許多方法解決數學問題（13）的態度皆傾向『同意』，而對解決數學問題的方法不唯一（3）則偏向『非常同意』， 44.

(57) 數學推論嚴謹（18）的態度介於『些微同意』與『同意』之間。此族群認同數學在本質方面、基礎方面及思考方面的嚴謹性與精確性，以及解題方面的多樣性，但是對形式化數學推論的態度稍微保留，換言之，N2 族群認為嚴謹的形式化推論並不足以代表數學，數學可以是更活潑、更有彈性的學科。 N3 族群對數學思考是抽象與邏輯（2）的態度偏向『些微不同意』，對解決數學問題的方法不唯一（3）與可用許多方法解決數學問題（13）則偏向『非常同意』，而對數學特徵（4）、數學本質（8）等的態度介於『同意』與『非常同意』之間，數學涉及定義等記憶與應用（5）、數學基礎（12）和數學推論嚴謹（18）等的態度皆傾向『同意』。此族群強烈認同數學在解題方面的多樣性，也同意嚴謹性與精確性確實是數學的特徵，不過，在他們注重邏輯的同時，也認為數學思考的特徵並非抽象，顯示 N3 族群可能是能夠具體思考數學物件的族群。 N4 族群對數學思考是抽象與邏輯（2）、數學特徵（4）、數學本質（8）、數學推論嚴謹（18）等的態度皆傾向『些微同意』，而對解決數學問題的方法不唯一（3）則偏向『非常同意』，數學涉及定義等記憶與應用（5）、數學基礎（12）等的態度介於『些微同意』與『同意』之間，可用許多方法解決數學問題（13）則偏向『同意』。此族群認為嚴謹性與精確性不足以全盤代表數學的特徵，數學思考也不是抽象與邏輯，他們可能認為數學有某些面向的特徵並非嚴謹，或者數學容許某些程度的模糊、不精確，另一方面，此族群同樣地認同數學在解題方面的多樣性，或可說 N4 族群相信數學具有多重面貌。N5 的樣本為無法歸類至上 45.

(58) 述幾類的特別個案，不進行深入討論。整體而言，在數學的本質面向的題目中，各類組對數學特徵（4）、數學本質（8）、數學基礎（12）等的態度相近而且皆為正向偏高，此三題指出數學的精確性與嚴謹性，與之相較，對數學思考是抽象與邏輯（2）、數學推論嚴謹（18）的同意程度則參差而略低，顯示樣本對不同數學客體的特徵之認知一致，且與數學運作的特徵之認知相較之下略有不同。而數學在解題方面的多樣性（3、13）的態度則介於『同意』與『非常同意』之間，顯示「解決數學問題的方法不唯一」是一種普遍的觀點；從各族群的表現來看，除具體思考數學物件的 N3 族群對數學思考是抽象與邏輯（2）的態度偏向負向外，其餘各族群的所有態度皆偏向正向，顯示樣本對於數學在各方面的本質有共通的信念，而部份認為數學思考與數學有根本上的差異。. 數學與解題在數學與解題面向中，樣本的答題反應他們心目中數學如何進行解題活動，透過模糊分析的處理，樣本呈現 P1~P5 等 5 種特徵類型，比例如下所示：. 表 4-1-6：數學與解題面向之各類型人數比例類組. P1. P2. P3. P4. P5. 百分比. 31.63. 27.11. 20.78. 17.47. 3.01. P1 族群對數學規定解題（1）、數學解題必須知道程序（9）等的態度皆偏向 46.