數學科創意教學對國中學生學習成效之影響
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(2) 數學科創意教學對國中學生學習成效之影響. 誌. 謝. 走到了這一刻，一時間有點百感交集。從小一直住在離師大很近的地方，但 進入師大的路對我來說卻一度很遙遠，這就是所謂世界上最遙遠的距離吧！今日 終於能從師大的大門走出來，驕傲地成為師大的一份子，心中充滿不少感激。 首先，感謝我的指導教授何榮桂老師。身為教育部電算中心主任，公務繁忙， 且在師大還有課務，仍百忙之中抽空細心指導，指引我最正確的方向，使我在論 文寫作的過程中，始終有一盞明燈照亮著。大至論文的結構、方向，小至細節、 格式，在老師的協助與提點下，使我的論文架構愈來愈具體，內容愈來愈明確。 有了老師的指引，使我今日能完成此畢業之作。且每每與老師面談，老師的噓寒 問暖，給予我不少鼓勵。和老師談及目前的教育時事、教學現場，老師精闢的見 解與觀點，更使我獲益良多！ 其次要感謝的是兩位口試委員—簡茂發老師與郭靜姿老師。簡老師德高望 重、受眾人景仰，卻對學生的拙作，認真一字不漏的批閱，並給予精闢的指導。 教師慈祥的笑容與言語，更化解了學生心中的緊張情緒。郭老師在資優教育上的 專業是大家有目共睹的，對於論文重點式的提點，在統計上的細心建議，給予本 研究更豐富的內涵，使學生在構思的過程中，多了許多想法，也使整篇論文的內 容趨於完整。 接下來要感謝的是親愛的 CD98 摯友們—陳瑾、琪婷，無論是論文寫作期間 的噓寒問暖、加油打氣，抑或是口試時的從旁協助、細心關懷，都使我心中溫暖 i.
(3) 不已！而 CD98 的全體同學，我更忘不了以往和大家一同成長、相互扶持的日 子，每每上課總能讓我忘卻白天上班的煩惱與疲勞，大家在歡笑中學習新知、發 揮想像，甚至能使我在教學現場中產生不少新點子，這三年著實令我成長不少！ 學校的同事們是督促我成長與完成論文的動力。感謝素惠總是時時關心我的 論文進度，並在統計上給予超有力的協助與指導。麗雅是讓我能進入師大 CD98 就讀的最大動力，因為當初的鼓勵，使我今日能學有所成，謝謝你！感謝八導的 同事們總能時時體諒我這一年的忙碌，和你們同一屆是我的榮幸！校內的數學領 域教師團隊，是我在進行教學研究與討論時的好夥伴，感謝大家給予我在創意教 學課程方面的專業意見，以及教具和點子的支援，今後大家也要繼續為數學教學 努力！ 今年畢業的兩班小孩們，儘管我們的相處只有短短一年，對你們仍感到依依 不捨！感謝你們在課堂上的熱烈反應、對活動的熱情參與，祝福你們有著充實而 美好的未來！ 最後要感謝的是我最最最親愛的家人，尤其是最支持我的爸媽。上夜間班的 兩年期間，我總是能在用完熱騰騰的飯菜後，帶著飽足赴師大上課。妹妹和弟弟 總是有新的點子，引發我在教學上的靈感。家人們的關心與扶持，永遠是我最強 大的後盾，使我得以無後顧之憂的在教學與學習上精進自己。如今學有所成，我 把榮耀歸於你們！ 因為熱愛教學，於是當了教師；為了精進教學，於是在職進修。感謝身邊每 一位貴人的協助，希望未來有機會成為別人的「貴人」。儘管論文已完成，但在 創意教學這一塊，這僅是個起點，今後仍會有更多教學上的新點子出現，期待自 己在教學上更上層樓！ 欣穎 ii. 謹誌於師大. 2012.7.10.
(4) 數學科創意教學對國中學生學習成效之影響. 摘 要. 本研究旨在探討數學科創意教學對國中學生學習成效之影響。研究目的有 四：一、瞭解國中生學習數學的困擾。二、探討國中生適用的「數學科創意教學」 方法與策略。三、評估「數學科創意教學」實施後，對國中學生數學科學習成就 的影響。四、評估「數學科創意教學」實施後，對國中學生數學科學習態度的影 響。 本研究的研究對象為九年級學生，實驗組三十人，控制組三十人，採用準 實驗研究法等組前後測設計，教學實驗時間為期一學期，研究工具為二年級下學 期三次段考成績及三年級上學期三次段考成績，作為前後測，進行單因子共變數 分析，以觀察學習成效。另以數學科學習態度量表，觀察學生對數學科學習態度 的改變。 本研究結果如下：一、「數學科創意教學」提升了學生的段考數學成績表 現：實驗組學生在「段考數學科成績」上的表現顯著優於控制組的學生。二、 「數 學科創意教學」加強了學生的數學學習態度：實驗組學生在「數學學習態度量表」 的表現顯著優於控制組學生，在「學習習慣」 、 「自我信念」 、 「數學理念」等三個 分項差異達顯著水準。最後，研究者根據研究結果提出具體建議，做為數學教學 及未來相關研究之參考。. 關鍵詞：創意教學、學習成效、數學科學習態度量表. iii.
(5) The Study of Learning Effect of Creative Mathematics Teaching for the Junior High Students. Abstract This study aimed at the following goals:(1) to explore the difficulties of the junior high students in learning Mathematics; (2) to design suitable ways and strategies to the “Creative Mathematics Teaching ” for the junior high students; (3) to evaluate the effectiveness of the “Creative Mathematics Teaching ” and to analyze the changes in Mathematics learning achievements of the junior high students; (4) to evaluate the effectiveness of the “Creative Mathematics Teaching ” and to analyze the changes in Mathematics learning attitudes of the junior high students. The research employed the method of an unequal group pretest-posttest. This study dealed with the experimental group 30 people and the control group 30 people of the junior high school students, and adopted them in the process of the instruction for one semester. The research tools included: the monthly examinations in Mathematics and the Mathematics Learning Attitude Scale for the Junior High School Students. The collected data were analyzed by independent samples one-way ANCOVA. As a result, the conclusion of this study were as follows: (1) Students’ Mathematics achievements were raised after applying the Creative Mathematics Teaching. The performance in the monthly examinations of the experimental group was much better than that of the control group, and the scores between the two groups were significantly different. (2) Students’ attitudes toward Mathematics learning were improved after applying the Creative Mathematics Teaching . In the Mathematics Learning Attitude Scale for the junior high school students, the performance of the experimental group was much better than that of the control group. The scores were significantly different in total scales, and in “ways of learning ”, “self-conviction ” and “rational concepts of Mathematics ” subscale. Finally, according to the results, this research may provide additional advice for further improvement within the field that may benefit future researchers and other teachers. Key words: creative teaching, learning effect, Mathematics learning attitude scale. iv.
(6) 目 次 謝誌...................................................................................................................... i. 中文摘要.............................................................................................................. iii. 西文摘要.............................................................................................................. iv. 目次...................................................................................................................... v. 表次...................................................................................................................... vii. 圖次….................................................................................................................. viii. 第一章. 緒論...................................................................................................... 1. 第一節. 研究動機........................................................................................... 1. 第二節. 研究目的........................................................................................... 10. 第三節. 名詞釋義........................................................................................... 11. 第四節. 研究問題........................................................................................... 14. 文獻探討.............................................................................................. 15. 第一節. 數學學習與教學理論研究............................................................... 15. 第二節. 創意教學理論研究........................................................................... 22. 研究方法.............................................................................................. 35. 第一節. 研究架構........................................................................................... 35. 第二節. 研究假設……………....................................................................... 37. 第三節. 受試者………………...………........................................................ 38. 第四節. 研究工具........................................................................................... 39. 第五節. 實施程序........................................................................................... 43. 第六節. 資料處理與分析............................................................................... 47. 第二章. 第三章. v.
(7) 第四章. 研究結果與討論.................................................................................. 51. 第一節. 數學科創意教學課程……............................................................... 51. 第二節. 數學科創意教學對學生段考成績影響之分析............................... 65. 第三節. 數學科創意教學對學生學習態度影響之分析............................... 74. 結論與建議.......................................................................................... 77. 第一節. 結論…………………....................................................................... 77. 第二節. 建議…………………....................................................................... 80. 參考文獻.............................................................................................................. 83. 附錄一 數學科創意教學課程教案................................................................... 91. 第五章. 附錄二 數學學習態度量表.............................................................................. 149. vi.
(8) 表. 次. 表 2-1. 歐美各國教材及教法之現代化趨勢................................................... 18. 表3-1. 數學科學習態度量表之分量表信度及總信度…............................... 42. 表3-2. 實驗設計............................................................................................... 48. 表 4-1. 數學科創意教學策略........................................................................... 53. 表4-2. 實驗組與控制組之前、後測總分平均數、標準差與T分數……….... 65. 表4-3. 兩組學生在九上段考數學科平均成績「組內迴歸係數同質性」的 檢定摘要表........................................................................................... 表4-4. 66. 八下段考數學科平均成績與九上段考數學科平均成績之共變數分 析摘要表…....................................................................................... 67. 表4-5. 實驗組與控制組之前、後測總分平均數、標準差與T分數................ 68. 表4-6. 兩組學生在九上第一次段考數學科平均成績「組內迴歸係數同質 性」檢定摘要表..................................................................................... 表4-7. 69. 八下段考數學科成績與九上第一次段考數學科平均成績之共變數 分析摘要表....................................................................................... 69. 表4-8. 實驗組與控制組之前、後測總分平均數、標準差與T分數................ 70. 表4-9. 兩組學生在九上第二次段考數學科平均成績「組內迴歸係數同質 性」檢定摘要表..................................................................................... 表4-10. 70. 八下段考數學科平均成績與九上第二次段考數學科平均成績之共 變數分析摘要表............................................................................... 71. 表4-11. 實驗組與控制組之前、後測總分平均數、標準差與T分數................ 71. 表4-12. 兩組學生在九上第三次段考數學科平均成績「組內迴歸係數同質 性」檢定摘要表..................................................................................... 表4-13. 72. 八下段考數學科平均成績與九上第三次段考數學科平均成績之共 變數分析摘要表............................................................................... 73. 表4-14. 全量表之平均數、標準差與T分數...................................................... 75. 表4-15. 分量表之平均數、標準差、平均差異與t值.......................................... 76. vii.
(9) 圖. 次. 圖 2-1 ATDE 模式............................................................................................... 24 圖 2-2 Guilford 智能結構論(SOI Model)........................................................... 26. 圖 2-3 Guilford 創造思考教學模式................................................................... 26 圖 2-4 曼陀羅思考法在數學教學上的應用(b)…............................................. 31 圖 2-5 曼陀羅思考法在數學教學上的應用(b) …............................................ 31 圖 2-6 曼陀羅思考法在數學教學上的應用(b) …............................................ 32 圖3-1. 數學科創意教學對國中生學習成效影響之研究架構圖...................... 36. 圖3-2. 數學科創意教學研究實施流程圖.......................................................... 44. 圖 4-1 數學科創意教學課程架構圖.................................................................. 53. 圖 4-2 第二章. 圓--補充講義........................................................................... 57. 圖 4-3 立體相似形-迷你漢堡............................................................................. 58. 圖 4-4 校內同心圓廣場(a) ................................................................................ 60 圖 4-5 校內同心圓廣場(b) ................................................................................ 60. viii.
(10) 第一章 緒論. 本章共分為三節，第一節探討本研究之研究動機，第二節為研究目的，第三 節為名詞釋義，第四節為研究問題。依序分述如後。. 第一節 研究動機. 數學課堂上的雙峰現象是一直都存在的問題。我們從幼稚園開始學數數，國 小學加減乘除、幾何圖形，愈到中、高年級，雙峰現象更明顯。到了國中，學生 的數學程度落差更大。有沒有可能在課堂上盡可能兼顧到每一種程度的學生？ 如 何引發學生的學習動機與學習興趣？這些都是身為國中數學教師的研究者一直思 考的問題。 長期以來，台灣的學生受到升學考試的束縛，學校教育「以考試領導教學」， 於是我們的教育體系訓練出一群「考試機器」 ，學生個個很會解題，但只限於應付 考試，缺乏主動思考、活用知識的能力。數學是科學之母，是活的知識，有悠久 的發展歷史，也和人類文明與日常生活息息相關。因此對於數學的學習，更應著 重創造思考與應用理解的能力，將此「活的科學」善用於各種領域，以適應現今 多樣化的社會環境，對未來也將更具挑戰性。 擺脫以往的聯考時代，現今的升學方式不再是「一試定終身」 ，多元入學的方 1.
(11) 式改變了知識導向的填鴨式教育，取而代之的是多元的學習方式：教材多元—教 科書不再只有國立編譯館出版，版本開放，教學媒材愈來愈豐富，教學設備也愈 來愈齊全；教法多元—教師可利用資訊融入教學、合作教學、協同教學、小組教 學……等方式，達到有效引導學生自主學習的目的；評量多元—不僅只用少數主 科測驗成績來評定學生成就，改以綜合所有領域的表現來做為評定標準；評量方 式也不只限定於紙筆測驗，改以觀察學生不同形式的表現，作為學習成果的指標。 以往我們常說：我們拿過去的教材，用現在的教法，來教未來的學生。這樣 的方式在現今的學校教育中已不合時宜。現在的學生面對的是一個一直在改變的 世界，加以高科技媒體充斥，教學方法若只是原地踏步，僅用舊有板書、課本的 教學方式上課，已難吸引大部分學生的興趣，尤其是和基礎科技發展息息相關的 數學教育。中小學數學教育最主要的目的，就是要讓學生們對數學有最基礎的認 識，以及對未來發展的興趣。國民中小學九年一貫課程綱要中，數學學習領域的 基本理念就提到「數學教學 (含教材、課本及教學法) 應配合學童不同階段的需 求，協助學童數學智能的發展」 。因此學校教師們在設計教學上，勢必要加入更多 創意才行。 本研究的研究動機有三：壹、數學的重要性；貳、大部分學生不喜歡數學；參、 有效教學。茲分述如後：. 壹、數學的重要性 首先，在各類知識領域中，數學可說是人類文化中最重要的資產之一。我們尊 稱數學為「科學之母」 ，因為它是很多學科的基礎，與各種科學息息相關，在很多 技術層面與應用科學中，無論是人文科學或自然科學，皆被廣泛使用。數學涵蓋 的範圍廣，小至生活應用，大至各項研究，都與數學脫不了關係。 2.
(12) 笛卡兒曾說：「數學是次序和計量的科學」，牛頓也認為：「數學原理就是量的 原理」(吳柏林、張鈿富，1996)。古人以結繩記事、石板刻物等計數方式，開始了 數學的發展。長久下來，數學成了一種世界性的共通語言，協助我們在科學的領 域中互相溝通，處理各種從基礎到進階、從單一到複雜的問題。 在九年國民教育，甚至未來十二年國教，數學永遠都是重要科目。現階段的中 學生，不論上高中、高職或五專都要學數學；大學中除了文學院之外，其他學院 皆有與數學相關的科目。要是更進一步進入研究所，統計學也是數學學問中重要 的一門。可見在學習的道路上，數學總是寸步不離的在我們身邊，足見其在基本 學科中的重要地位。 數學這一科目有其獨特性，也因此在九年一貫的七大學習領域中，數學始終自 成一個領域，未與科學類其他學科合科。數學科的知識，也深深影響其他領域， 並為其他領域所應用，如社會領域、自然與生活科技領域等。 正因數學的重要地位，以至於在各個學習階段中，數學都是必須要好好學習的 重要科目。. 貳、大部分學生不喜歡數學 很多曾經身為學生的人，或是現今教育體制下的大部分學生，對數學一科總是 又愛又怕。愛的是，數學的「投資報酬率」高。以升高中的國中基本學力測驗為 例，各科滿分皆八十分，但題數不同。數學在五大領域中題數最少，僅三十四題， 平均下來每答對一題就得二點多分。然而學生卻又害怕數學，因為深深為學習數 學所苦。若問大家，求學時期最討厭的科目為何，大部分的人都會回答：數學。 這是怎麼一回事？以下分別就「教材」、「教學活動」、「教學過程」、「評量方式」 3.
(13) 與「學習經驗」等方向一一說明：. 一、 制式化的教材 數學教科書的編排，多呈現以下順序：生活事例、原理原則、重點或公式、例 題、隨堂練習、自我評量、習作。課程進行的順序通常是：先引起學生動機，使 新教材與學生生活作連結，或以舊經驗喚起學生的基本概念，然後正式進入主題。 當所有重點皆提示過、練習也做完後，接著便是自我評量與習作，如此完成一個 單元的學習。 自從教科書開放版本後，學校不再以部編本為主，在各教科書廠商的競爭下， 課本的內容愈趨多樣化，舉例方式常以學生的生活事例為基礎，使數學更貼近日 常生活。然而在引起動機後就出示抽象的原理原則，仍會使部分學生失去學習興 趣。尤其國中階段的數學，有些原理原則背後的證明與來源，礙於學習階段與學 生能力，無法一一在課本中列示，更令學生感到教材內容的抽象，進而失去學習 意願。. 二、 枯燥的教學活動 1995 年台灣導演陳玉勳的著名國片「熱帶魚」的電影片段中，有一幕場景格 外令人印象深刻，想必曾引起許多人的共鳴：在某國中教室裡，明明在上課，空 間中卻充斥著肅殺的氣息，只見一位老師拿著長長的棍子站在講台旁，三位學生 面對黑板，其中有兩位正絞盡腦汁的在努力解題，在黑板上「豆豆豆……」的留 下一行行數學算式，只有站在中間的男同學，也就是本片的主人翁阿強，看著老 師抄的數學題目不知所措。當其他兩位同學已解完題回到座位上，阿強轉過身來、 舉起雙手，只見老師手中的棍子重重的打在他的手掌心上……。 4.
(14) 這是以往上課時常會出現的場景，然而嚴肅的學習情境，對一些理解力與創造 力的發揮，可能會大打折扣(吳柏林、張鈿富，1996)。大部分的學生都具有以下心 理： 1.. 喜歡遊戲、聽故事、幽默笑話。. 2.. 喜歡輕鬆自在無拘束的氣氛。. 3.. 喜歡被獎勵、讚美。. 4.. 不喜歡被批評、害怕被懲罰。. 5.. 不喜歡艱深難懂、麻煩、傷腦筋的事。. 如果把課程深淺、學生程度優劣、時間長短等三個因素加以排列組合，至少會 有八種情形(吳柏林、張鈿富，1996)，那麼教師要如何授課才好？若要趕進度，少 數程度不及的學生學習會感到吃力；若要兼顧到每位學生、因材施教，又會有進 度上不完的壓力。 歷史課可以聽歷史故事；地理課可以想像環遊世界；音樂課可以唱唱歌、聽聽 音樂；家政課可以做做點心和手工藝；美術課可以恣意畫圖和欣賞作品；體育課 可以追、趕、跑、跳……那麼數學課呢？老師示範、學生練習，所用的教具也常 以板書為主，教學方法上顯得比較單調。這樣的教學法，學生的專心度難長久維 持，不但無法引起學生的學習興趣，還容易使學生失去耐心和專注力。在無心學 習的情況下，自然無法把這門學科學好。. 三、 刻板的學習過程 按照一般教科書的編排模式，教學的重點會放在解題策略上，亦即遇到什麼樣 的題目，就用該題目應有的方式作答。很明顯的，這就是所謂的「考試引導教學」。 5.
(15) 以往即重視文憑的台灣，一切皆以考試為導向，老師教考試會考的，學生學考試 會考的。數學強調理解和運算，因此學生對數學的理解通常是：熟背定理公式、 原理原則，熟練解題過程，考試時見招拆招，以為「貝多芬」即可「拿高分」。這 樣的訓練方式，長久以來忽略「思考」這一部分的層次，不知不覺訓練出一批很 會考試、反應不錯，但缺乏能自行思考、主動思考的學生。如果題目再多點變化 與「轉彎」，恐怕學生就迷路出不來了！. 四、 評量方式 雖「例題-練習」這樣的方式，在學習上是有系統的，學生可透過「模仿」的 方式練習做題。但現今升學考試的模式有時間上的限制，校內課程多強調訓練學 生的計算能力，以致課後練習不少，久而久之磨掉學生的耐性，漸漸對數學感到 厭煩。 其次，數學的評分方式強調「正確答案」，因此批改過程中，答案的對錯根據 一定的標準，對就是對、錯就是錯，沒有任何商量的餘地。計算過程正確，但答 案錯誤，全錯！題目看錯，雖計算過程合理，還是全錯！學生辛辛苦苦寫出來的 算式，遭到全盤否認推翻，必定感到無比懊惱，相對的也削減了對數學一科的學 習興趣。. 五、 學習經驗 數學的學習是循序漸進的，每一階段的知識都建構在前一階段的舊經驗上，一 層一層的增加新內容，一步一步的加深加廣，然後整合起來，呈現螺旋型的學習 結構，簡單來說，就是由簡單到複雜，由單一到複合。 6.
(16) 然而若有其中一階段的學習不甚理解，勢必影響到後面的學習。久而久之，當 學生愈來愈聽不懂，面對題目不會做，考試總考不好，因而產生「習得無助感」 (learned helplessness)，即一再的學習挫敗所帶來「避免失敗」的消極心理，覺得自 己就是數學不好，乾脆放棄數學保全其他科，當然從此也不會再喜歡數學，更影 響到後續階段的學習。. 参、有效教學 愛因斯坦發現相對論的當下，並不是坐在書桌前苦讀，而是在某個炎炎夏日， 他在山坡上神遊時，腦中突然浮現出來的靈感，有一種「啊哈！」的突然展現， 這不也是創造力發揮的結果嗎？所以對於知識的學習與腦力的發展，並不一定要 在死板板的環境或氣氛中，有時運用左、右腦交錯協調，讓左腦管理的數學、語 言、邏輯、知識，與右腦的藝術、想像、音樂、色彩互相激盪，反而能產生更燦 爛的火花。 美國加州大學Austin教授再一次發現人類的腦在形成腦形及連結方面具有無 可限量的潛能(吳柏林、張鈿富，1996)。同時在使用腦力時，若遇到任何問題，並 非我們自己腦袋所具備的基本能力不足，而是我們接收的訊息不足，或對於要從 事方法的知識不夠所致。 張玉成引述A. F. Osborn 的說法，將創造的能力比喻為「潛藏在人類頭腦中的 金礦」，最為珍貴(張玉成，2002)。Sternberg 和 Lubart (1995, 1999)也曾提到：「創 造力是人類資源中最豐富的潛能，是每一個人都具有的基本特質；且創造力不是 天生不變的，它是可以發展與培養的」(鄭英耀、莊雪華、顏嘉玲，2008)； Williams(1972)提出人人都有創造的潛能，並認為創造力是人類資源中最豐富的潛 能，是每一個人都具有的基本特質；創造力不是天生不變的，它是可以發展與培 養的。許多研究均指出：創造力是可透過訓練發展的(Garaigordobil, 2006)。而從其 7.
(17) 他相關研究也可得知：創造思考是可經由教學而獲得或予以增強的，而且透過創 造思考學習，有助於學生心智能力的發展。因此，教師在教學的歷程中，可運用 各種啟發學生創造思考的策略，促進學生發展創造思考的能力，並能達到有效學 習的目的。 羅綸新指出，我國教育處於急遽變動的時刻，正需注入新活力，導向新方向。 尤其在資訊快速變化、知識更替頻繁的時代裡，倡導創造力及創意教學正是時勢 所趨，也能切中開創我國知識經濟的需求。因為在知識經濟的環境中，創新、創 造、創意是決定國家經濟發展的主要動力。這種創新或創造的表現，在教師身上 可同時具備兩種相近的涵意：「創意教學」(creative teaching)與「創造力教學」 ( creativity teaching )。其中，表現在教師自身的創造力，使教學更具創意，這便是 所謂的「創意教學」 (羅綸新，2003)。 許多科目或領域，可利用創意教學，加強學習的效果。例如：國立政治大學廣 告系副教授陳文玲，在大學部和研究所都開設了創意課程，選課情況踴躍；環球 技術學院美容造形設計系，創意哲學和藝術美學的教法都很另類，生動活潑的概 念提升了學生的創意理念，使創意作品源源不絕。既然在大學及研究所階段可以 開設這樣創意教學的課程，那麼對於國中階段的數學科教學，是否也能融入創意 教學的教學方法？ 數學能力的培養與訓練，不單單只有數學本身的理論，更需學會如何應用， 因此是多方面的，可從日常生活的實例做起，親自動手做、實際觀察，或加一些 創意巧思在裡面，甚至融合創意思考技法，從中學習數學知識，培養邏輯思考， 訓練解決問題的能力。 研究者初進國中任教時，對於班上數學科表現不好的學生有一種很深的隔閡 感。由於研究者從小在數學方面表現不差，對於數字的領悟力也優於其他同學， 8.
(18) 因此對於在數學科表現不好的學生，一開始非常不能理解，但又不想放棄任何一 位學生，因此花了很多心思深入了解學生的思維方式，並研究發展能促進學習成 效的教學方法。如今教導數學一科已有八年的時間，對於目前國中階段的數學教 材與課程內容已有充分的研究與認識。為達到有效教學的目的，這幾年在教材教 法上持續下功夫，儘管面對每一屆不同性質、不同程度的學生，仍不斷調整並選 用最適合的數學教學方式。後來有幸進入研究所就讀，在一門門創意課程的刺激 與和同學間的交流下，在教學中激盪出許多豐富的火花，因此萌生「創意教學」 的想法。 有鑑於此，在教學現場，為求學生能夠學得有興趣、易吸收、有成就感，決定 在教學活動中融合「創意教學」的構想，從現有教材進行改編，設計出有趣的教 學方法與遊戲，發展出適合的創新評量模式，讓學生能改變對學習數學的想法， 進而提升信心，並從中找到成就感，對數學不再感到懼怕。. 9.
(19) 第二節 研究目的. 根據研究動機，本研究的研究目的有以下四點： 一、 探討國中生適用的「數學科創意教學」的方法與策略。 二、 發展出一套適用於國中生的「數學科創意教學」方式。 三、 評估國中生在「數學科創意教學」實施之後，在數學學習表現上的轉變。 四、 分析國中生在「數學科創意教學」實施之後，在數學學習態度上的差異情 形。. 10.
(20) 第三節 名詞釋義. 壹、 創意教學 此部分以「創意教學」、「國中數學教學」與「數學科創意教學」來說明。. 一、創意教學 創意教學是教師自身發揮個人的創意，施行於教室內的實際教學行動。表現 在平日教學中最明顯的有下列四點(羅綸新，2003)：. 1. 不斷地思索產生新的教學想法或觀念。 2. 不斷地創作出新教材及組織新的教學內容，使教學內容更豐富，在結構及組 織上有變化、有創意，更能深入淺出。 3. 創新的教學方法或策略，這也是最容易讓學生直接感受到的部分。有創意的 教學，不枯燥、有活力、別出心裁；不斷地提出新奇的問題，給學生意想不 到的回饋；異於往常的座位安排或討論方式等，導引學生樂於學習、討論並 思考。 4. 創新的評量方法及技術，除了設計多元的、含過程性的、變化題型的評量外， 有時可跳脫傳統或現存的方法，以更不一樣的評量工具或程序，以達到評估 學生學習的方法或技術。. 由此可知，創意教學屬於啟發式的教學方式，重視多元教材、教法與評量方 式，並強調師生互動，有適當的溝通與回饋。 11.
(21) 二、國中數學教學 國中數學教學是根據教育部所頒布的國民中小學九年一貫課程綱要--數學學 習領域之基本理念、課程目標及分段能力指標，設計出適用於國中學生之數學教 學活動。 本研究中的數學教學，是指國中數學老師，在固定授課節數之下的教學。九 年級的課程安排中，每週共有五節課，每節課45分鐘。數學科教材是採用康軒文 教集團出版的國中數學第五冊課本與習作，課堂上並運用電子書輔助教學。. 三、數學科創意教學 數學科創意教學，是在一般數學課中，教師在教學活動設計上發揮創意，活 用各式各樣的教學方法或策略，進行數學教學，以提升學生對數學科的學習動機， 並加強學生基本運算、解題、邏輯思考及解決問題等能力。 張振成(2001)認為創意教學就教師而言，乃是鼓勵教師因時制宜，變化教學方 式，以培養學生創造思考及解決問題能力的教學。 本研究之數學科創意教學，是指研究者在一般數學科授課時數下，以康軒版 教科書為主要教材，配合自編補充教材，輔以各種教學媒體及教學活動，有計畫 性的融入有趣、有效之創新教學策略，並且結合相關評量方式，進行多元評量。 最後希望透過數學科創意教學的實施，兼顧不學生生的需求，激發學生的學習態 度，並提升其數學學習成就。. 貳、 學習成效 12.
(22) 數學學習成效係指學生在進行學習活動之後，在數學科所表現出來的評量成 績，以及學習態度上的轉變。 本研究中所指的數學學習成效，分為認知與情意兩部分，分述如下： 一、 認知方面：學生在學校段考數學科成績。本研究將取新北市某國中的兩班 同年級學生，分別為實驗組與控制組，以其八年級下學期三次段考，以及 九年級上學期三次段考，共六次成績作為學生學習成就指標。八年級下學 期三次段考成績作為前測，九年級上學期三次段考成績作為後測。這兩個 學期的教材內容皆以幾何題材為主，在學習上具有相關性，因此做為比較 的依據。 二、 情意方面：學生在數學科學習態度量表上的得分表現。進行實驗教學之後， 對兩組學生分別進行數學科學習態度量表施測，以此比較兩組學生在數學 學習態度上是否有差異。. 13.
(23) 第四節 研究問題. 基於研究目的，本研究的研究問題有以下四點： 一、 國中生在「數學科創意教學」實施前，在數學學習表現的情形為何？ 二、 國中生在「數學科創意教學」實施前後，在數學學習表現上是否有差異？ 三、 國中生在「數學科創意教學」實施後，在數學學習表現上是否有提升效果？ 四、 國中生在「數學科創意教學」實施後，在數學學習態度上是否有差異？. 14.
(24) 第二章 文獻探討. 依據第一章之研究目的與問題，本章主要在探討相關理論基礎與研究，共分 為兩節：第一節為數學教學與學習理論研究、第二節為創意教學理論研究，依序 分述如後。. 第一節. 數學教學與學習理論研究. 本節就數學教學與學習的類別、應用實例、課程設計、現代化教材發展進行 探討，茲分述如後：. 壹、 現代數學涵蓋類別 生活在這世上的每一天，總會遇到很多待解決的問題，因此我們必須時時思 考如何應用所知與所學來解決問題。而解決問題的根據，就在於我們學習過的舊 經驗。數學和我們的日常生活究竟有何相關？關聯程度又有多少？由以下現代數 學所涵蓋的幾大類別，就可說明數學與日常生活的相關程度(吳柏林、張鈿富， 1996)：. 一、 代數：加、減、乘、除的運算，整數、有理數、實數的概念，對稱、完備性 15.
(25) 質等。 二、 幾何：點、線、面的空間圖形，三角函數與關係，曲面的計算，位向拓樸解 析等。 三、 分析：無窮大、無窮小的概念、極限與連續的應用，邏輯推理與組織，類比 等。 四、 統計與機率：平均數與變異數的應用，抽樣調查，相關、估計、檢定、預測 等。 五、 應用數學：在電腦、工程、經濟、商業、生物、醫農等科學上之應用。. 貳、數學教學應用相關實例 根據吳柏林、張鈿富(1996)兩位教授的主張，數學能力的培養與訓練例子俯拾 即是，只要我們多留意生活周遭的一些事物，就會發現我們常應用到數學的相關 概念。以下有各種老少咸宜的常見遊戲，便是非常好的例子：. 1. 撲克牌：定義、規則的理解，某張牌或某種牌出現的機率。另可以撲克牌上的 數字進行代數的運算，例如：平常大家常玩的「撿紅點」就運用到加減法； 「牌 七」可理解數字大小與排序。 2. 五子棋：數數目，點、直線、斜線、曲線、面的辨識，端點跳越與轉彎的概念， 平面位置的表示方式。尤其運用在國一下學期教材中的直角座標平面，觀察棋 子的所在，以座標表示位置。 3. 象棋：大小次序的觀念，如何佈局與組織，棋子的相對速度，互動的意識，平 面位置的表示方式。也可運用在直角座標平面，觀察棋子的所在位置，以座標 表示。. 16.
(26) 4. 圍棋：面積大小的計算，正負值的計算，存活的手氣估計，投資比較分析，如 何在劣勢下求生存。 5. 美術拼圖：平面幾何圖形的變化、色彩類比、有名的著色(四色)問題。 6. 音樂：拍子、分數、頻率、波動與共鳴的關係。 7. 積木、玩具：立體空間的印象，電流的抽象概念或結構組合。玩具的運用對於 剛脫離小學畢業的國一學生來說別具吸引力。 8. 電腦程式設計：邏輯推理、耐心與毅力的考驗等等。現今三 C 的運用對學生來 說稀鬆平常，若能引領他們更進一步的接觸電腦程式，一旦學生自己本身有興 趣，便能主動學習。. 參、數學課程設計 有時在數學教學時，為了節省時間，或以考試為取向，認為基本概念的背後 理論或證明不重要，因而跳過不提，直接教導演算方式，督促學生進行繁複的演 算和重複的練習，如此反而會造成學生囫圇吞棗，不但增加了負擔，也易使學生 失去學習興趣，形成「習得無助感」(learning helplessness)，因為在學習上的一再 挫折，造成了避免失敗的消極心理。這樣的教學也讓學生養成了不切實際的學習 方法，影響日後的求知方式。 數學為科學之母，是既嚴謹又具系統性的學問。人的認知發展，根據皮亞傑 的認知發展論(張春興, 1992)，是從具體運思期到形式運思期，也就是由低階到高 階，由具體到抽象的學習過程。因此在數學教學上，自然也要配合知能的發展循 序漸進，由簡而繁，由易而難，由傳統理論到現代理論。無論是教學過程、學習 進度及成就評量皆應如此，學生的學習效果才能紮實。 17.
(27) 肆、現代化教材發展 教材具有引導學習的效果，因此教科書的選擇在教學過程中具有重要地位。 在九年一貫的教育改革的過程中，國中階段的數學科教材已進行簡化，將一部分 較深的內容，如：等比數列與級數、三角函數等部分，放到高中階段再學習，另 將教材的順序進行更動，前半一至三冊以學習代數為主，後半四到六冊以學習幾 何為主。儘管開放民間版本，各大版本的單元順序也大致相同，僅內容發揮不同 版本的特色。相較於其他領域，數學科算是各版本差異較少的科目。 教科書除了傳授本科知識外，也須盡到文化傳承的責任，並應隨著時代演變 而更新，才能將最新的知識教授給學生。 「芬蘭驚豔」的作者吳祥輝在走訪芬蘭各 學校的過程中，他驚訝地在芬蘭的小學數學科課本中發現台北的一零一大樓，同 一頁圖中還有當時未完工的杜拜哈里發塔。課本中的該單元是同單位長度的比 較，利用世界各地著名的高樓，給學生對於高度的印象，學習長短與差別的概念， 間接地也給予學童世界觀及國際觀，因此除了數學概念的學習，更有數學科外的 新知。曾旅居芬蘭，著有「沒有資優班」 、 「每個孩子都是第一名」的作家陳之華， 在她的書「成就每一個孩子」中提到：雷奧・帕金博士(Dr. Leo Pakhin)覺得芬蘭數 學教育最成功的地方，就是讓孩子學習了解，在日後的生活中甚麼時候可以運用 到這門科學。可見現代化的教材，不僅應教授最新的知識與技能，更應帶著學生 與未來接軌。 除了芬蘭，歐美各國早就汲汲於數學教材及教法的現代化，進行趨勢如同下 表 2-1 所示。. 表 2-1 歐美各國教材及教法之現代化趨勢 18.
(28) 資料來源：吳柏林、張鈿富(1996)。新數學教材教法與教學實習 : 創造思考教學硏究. 國. 別. 美國. 重. 點. 1. 「問題解決」應是學校數學教學的焦點。. 現代化趨勢與特色 1. 集合與函數。. (An Agenda 2. 數學的基礎技能，不只是計算的熟練，還 2. 數學邏輯。 應涵蓋其內容理解。 3. 統計與機率之應 for Action) 3. 應充分活用電算器與電腦。 4. 嚴正的效果與效率教學。 5. 教學計劃與學生學習成就評量，不能只藉. 用。 4. 電腦程式與流程 圖。. 傳統考試，而應更進一步做廣泛之評量。 6. 為因應多樣的學生，應提供更多的數學學 習內容，使具有可選擇的彈性課程計畫。 7. 教師應求自身及同事有更高水準之專業素 養。 8. 數學教學受社會支持，是建立在個人與社 會等層次的對數學重要性之共識，應再提 升其層次。. 英國(以 SMP 及 Addison Wesley 版本為 主). 1. 重視函數與對應觀念。. 1. 拓樸變換。. 2. 重視運算的形式及結構。. 2. 路 節 點 ( 倫 敦 網. 3. 座標幾何，向量導引。. 路為例)。. 4. 以計算機為背景的算法及結構流程分析。. 3. 極限觀念。. 5. 依變換觀念之幾何圖形教學。. 4. 相關電腦課程。. 法 國 ( 以 1. 培養學生觀察能力與分析能力。. 1. 極限概念。. Mathematique 2. 能具體化現實世界的問題，進而數學化。 2. 初等微積分。 3. 相關電腦課程。 s, Fernand 3. 能夠用符號或名詞表達數學的概念。 Nathan 出版本 4. 激發想像力，養成系統性的看法及想法之 習慣。 為例) 德 國 ( 以 1. 論證的必要性(理解、鑑賞及驗證數學文. 1. 藉鏡射、平移、. 獻)。 Nordrhein-We stfalen 州課程 2. 培育創造的能力，對傳統無法解決的問題 能找出替代方法。 標準為例). 旋轉說明對等圖. 3. 組織已知的事實，分析其道理並應用在新 問題上。. 形。 2. 拓樸幾何經驗。 3. 機率的模擬。 4. 電腦程式與流程. 4. 透過比較、關係、估算、測量過程，分析 數學的形式。. 圖。 5. 微分積分概念。. 5. 能將實際的問題給予圖表化，用語言解 釋，以數學模式表達。 19.
(29) 由以上歐美各國數學教學潮流中可觀察到： 1. 問題解決成了數學教學的重點：數學的學習並不只有學術與理論，而是要真正 將數學應用的日常生活中。 2. 強調活用電算器與電腦：隨著電腦科技的發展，各領域與電腦結合已是必然趨 勢。數學的演算若與電腦科技結合，將使演算過程更有效率，空間幾何的概念 更容易演繹。 3. 培養學生觀察力與創造力：數學不再只是培養學生的計算能力、理解與推理能 力的科目，同時還要訓練學生有想像力、挑戰心、好奇心、冒險心，也就是創 造能力！. 伍、數學概念的引入 要知道一個人的數學好不好，問概念性問題即可知曉。概念一旦建立了，有 了原理原則，對於方法的應用自然沒問題，就能達到解決問題的教學目標。當學 生學習一個新概念時，第一次的學習格外重要，會在腦中留下深刻印象，並影響 到日後其他漸進知識的學習。因此，教師身為引導者，必須有些方法，協助學生 建立概念(吳柏林、張鈿富，1996)： 1. 配合學生生活經驗：熟悉的事物容易引起共鳴，增進學習興趣。 2. 利用模型圖表等實物教材：視覺刺激對學習的引導格外有效，當實物出現眼前， 概念自然容易建立。因此某些單元可利用道具示範，甚至讓學生親手操作，加 深印象。例如：在體積與容積單元中介紹， 「錐體的容積是同邊形柱體的三分之 一」 ，讓學生親自做實驗，將錐體中的水倒三次入柱體中，形成深刻印象，永遠 不會忘記。 20.
(30) 3. 由舊經驗引入新概念：很多教材的編寫皆應用到此原則，在教學上可運用小學 階段，或前階段學過的內容，引起學生的學習動機。 4. 採用對比方法：對比的事物在比較上反差大，會讓人留下深刻印象，有助於概 念的建立與穩固，更可遞移到日後其他概念間的相互比較。 5. 利用逆反關係：數學強調邏輯思考、前因後果的推理，逆反關係的推導，符合 學習數學的思考方式。 6. 運用概念的推廣與特例的聯繫：數學概念建立後，要能有所應用，因此概念的 推廣有助於日後應用。有相關的特例佐證，也會讓學習者加深印象。基本學力 測驗愈來愈重視生活化的題型，正是希望學生能應用數學概念到日常生活中， 並運用正確概念及方法解決問題，達到學習數學的真正目標，而不是將數學放 在知識的象牙塔中。. 21.
(31) 第二節. 創意教學理論研究. 本節主要探討創意教學的核心概念、創造思考教學模式、創意教學相關研究， 以及本研究之數學科創意教學。. 壹、創意教學的核心概念 要培養學生的創造思考能力，就要先培養教師擁有創意教學的核心概念。依 據 陳 龍 安教授(2004) 的說法，創意教學的 核心概念 ASK(Attitude 、 Strategy、 Knowledge)的理念是：創意教學先從『問』開始，再由教師安排妥善問題情境， 或提出創造思考問題，鼓勵學生從思考中產生質疑好奇，引發打破沙鍋問到底的 決心。而ASK 是由態度(Attitude)、策略技法(Strategies & Skills)、知識(Knowledge) 三項元素所組成：. 1. 教師的態度(Attitude)：態度包含三個因素，情緒的或情感的、理智的和行動的 態度，創意教師的態度要強調PEC(Positive、Enthusiastic、Confident)也就是積 極、熱情與信心。 2. 創意教學所需要的策略、技法(Strategies & Skills)：創意教師要懂得運用工具或 方法。創意教學就是教師在各科教學中，妥善運用各種創造思考的策略，以啟 發學生創造力的一種教學模式。 3. 創意教學不是無中生有，要有知識(Knowledge)：包括內容和程式性知識。所謂 內容知識，即是以創意解決該問題所需的概念和原則等等的內容，即英文中 22.
(32) 的”Knowing what”；而程式性知識，則是解決問題所需的各種策略，即英文中 的”Knowing How”。由此可知，創意教師需具備專門而廣泛的知識。. 貳、創造思考教學模式 瞭解創意教學的核心概念後，接著介紹有關創造思考教學模式。. 一、陳龍安「問、想、做、評 (ATDE)創造思考」教學模式 啟發學生的創造思考能力是否應依循固定模式？學者們意見紛紜。陳龍安 (1990)參考了多種「創造思考」的教學模式，提出了「問、想、做、評」(ATDE) 的教學模式。所謂的ATDE是由問(Asking)、想(Thinking)、做(Doing)及評(Evaluation) 等四個要素所組成，其模式如圖2-1所示：. 23.
(33) 修. 想. 問. 評 鑑. Evaluation. 學生的知識背景 教學目標 (創造力). Thinking. 環 境. Asking. 評 鑑. Evaluation. 支 持 性 的. 正. 支 持 性 的 環 境. 做 Doing. 修. 正. 圖2-1 ATDE模式（引自陳龍安，1997，頁86-88）. 圖2-1所代表的意義如下： 1. 問(Asking)：提出問學生的問題或是安排問題情境，特別重視聚斂性(convergent) 問題及擴散性(divergent)問題，也就是提供學生發展創造思考能力與問題解決的 機會。 2. 想(Thinking)：教師提出問題後，鼓勵學生進行思考想像，並給予充分思考的時 間，以尋求創意。 3. 做(Doing） ：運用各種教學活動，從做中學習，從實際活動中尋求解決問題的方 法，並能付諸行動。 24.
(34) 4. 評(Evaluation)：暫緩批評，欣賞創思，重視形成性評量與自我評鑑方法，使「創 造思考」由萌芽而進入實用性的階段。 在ATDE模式中，非常強調學生的知識及經驗基礎， 「創造思考」教學絕非「無 中生有」 ，而是「推陳出新」 。因此在學生起始行為上，應提供擴散性思維的機會， 讓學生充分發揮潛能。. 二、Guilford創造思考教學模式 關於創造智慧的理論，以Guilford(1967,1988) 提出的智能結構論(The Structure of Intellect Model, SOI Model)最為完整。Guilford以三向度的立方體表示智能結構 (如圖2-2)，這三向度分別是思考的「運作」(operations)、「內容」(contents)與「產 物」(products)，三個向度底下又分成若干類別。Guilford將這三維中的類別交互作 用，以各類別的第一個字母進行排列，用來代表一種人類的智慧能力。在這三維 的 交 互 作 用 中 ， Guilford 認 為 與 創 造 力 最 有 關 係 的 包 括 擴 散 思 考 (Divergent production , D )的運用與轉換(Transformation, T)後的成果。 Guilford根據此理論，設計出一種以解決問題為主的教學模式(structure of intellect problem solving model)，強調問題的解決必須以知識經驗為基礎，再運用 擴散性或聚斂性思考的運作，進而獲得問題的解決(如圖2-3)。. 25.
(35) 圖2-2 Guilford智能結構論(SOI Model). 圖2-3 Guilford創造思考教學模式. 26.
(36) 三、Buzan的心智圖(Mind Mapping)教學模式 (一)意涵 心智圖法(Mind Mapping)是由英國哥倫比亞大學社會學家Buzan所提出的一種 創造思考技法。Buzan在大學時期依據達文西做筆記的方法，進而發展出全腦圖像 思考繪圖法。它運用一種特殊的筆記技巧，將主題置於正中央，然後以放射狀的 方式，把相關聯的事物延伸記錄下來，並藉由顏色、圖案、代碼將擴散思考的內 容具體化，不僅極具個人特色，還能增進創造力，有利於分析、溝通和記憶，並 協助日後回想。 心智圖如同腦海中的一幅地圖，將每一個主題標出詳細的路線，以視覺綱要 呈現，提供學習者一個概觀地圖，協助學習者蒐集、整理大量資料，以追求左右 腦的平衡，並提昇學習者的工作效率、學習效果及生命的成就感，是很好的分析 工具(孫易新，2007)。 Buzan & Buzan(1996)認為心智圖的整合技巧，是要改變傳統條列式的思考邏 輯，以及聚斂式的歸納思考模式，以擴散式的思考模式做呈現。由於心智圖法具 有水準思考與垂直思考的特性，讓大腦思惟能進行自由放射、自由聯想，因而產 生無限的創意。因此心智圖擴散式思考，不僅可以幫助人類創造發明，也可經由 練習與教學予以增強。 由Buzan提出的心智圖具有四個特色： 1. 將主題具體化成一個核心概念。 2. 由核心概念放射出數條分枝，同時連結其他概念。 3. 由關鍵字為主的分支概念中，在分出次要概念。 4. 所有的分枝形成一個相互關聯的結構圖。. 27.
(37) 將Buzan的心智圖特色融入教學，可以具有四項功能： 1. 分析：分析繁瑣的事物，助於瞭解。 2. 記憶：運用大腦的長期記憶和歸納整理能力，可隨時輕易喚起。 3. 創意：充分使用大腦想像力、圖形、色彩、量化及邏輯等能力，使創意產生無 窮變化。 4. 溝通：應用全腦技巧進行思考，左右腦的理性與感性得以平衡發展，有助於人 際溝通。. (二)用法 心智圖製作方法如下： 1.. 選定個人想瞭解或解決的核心概念。. 2.. 個人經由腦力激盪或自由聯想，並使用圖像或代碼紀錄所有的想法。. 3.. 畫下心智圖，並寫上關鍵字，同時將不同的關鍵字以線條箭頭及符號等相連 結，以增進聯想的效果。. 4.. 由關鍵字中衍生相關分枝，並選定一個次要概念的關鍵字。. 5.. 初步完成後，可用顏色、圖形、符號或形狀…等，強調重要處，以利記憶，加 深印象。 將Buzan的心智圖特色實際運用於數學科的教學中，在協助學生進行聯想的部. 分格外有用。幾何部分的概念千變萬化，需要有適當的方法理出頭緒，做有系統 性的整理。教學時以心智圖展現定理，學生以此進行聯想，也有助於日後複習。. (三)應用. 28.
(38) 心智圖在日常生活中是一套相當實用的學習工具，經孫易新(2001 , 2002)的統 計，凡是學過心智圖的學生，平常經常使用心智圖技能，對於提昇讀書效果、計 劃構思、作筆記、進行創意思考及彙整大量資料等，都有很大的幫助。錢秀梅(2001) 於研究中表示，學生在於校外教學、開學生會、開慶生會、會議記錄、每日行程 作息、備忘錄等方面，對於處事、問題解決等都有很大的幫助，又可以提昇心智 繪圖法的技能。 錢秀梅(2001)在「心智圖法教學方案對身心障礙資源班學生創造力影響之研 究」中指出，在圖形創造思考方面，接受心智圖教學方案的身心障礙資源班實驗 組，其獨創力顯著高於沒有接受心智圖教學者。 理論概念由於抽象程度較高，若僅靠教師的解釋，學生是難以掌握的，必須 讓學生用自己的語言表述並加以運用，方可充分掌握。檢驗學生理論概念是否掌 握的最有效的方法，就是讓學生運用理論概念來進行分析，釐清數學知識中的抽 象概念，並能加以應用。. 四、曼陀羅教學模式 (一). 意涵. 「曼陀羅」一詞源自於佛教用語，是梵語 mandala的音譯，是將佛、菩薩等 尊像或種子字、三味耶形等，依照一定的方式加以配列的圖像(許素甘，2004；陳 丁榮，2002)。 曼陀羅思考技法，是從佛教密宗「天圓地方」的宇宙概念，延伸成為結合「水 平思考」、「垂直思考」的多層次九宮格圖像式的思考法(胡雅茹，2011)。日本人 今泉浩晃先生，根據印度佛教曼陀羅圖騰，設計出一種有助於進行擴散性思維的 思考策略(許素甘，2004)。 29.
(39) 曼陀羅思考法兼具文字與圖像、廣度與深度，能刺激大腦的聯想力、邏輯力 與創造力(胡雅茹，2011)。由此可見，曼陀羅是一個整合系統，先徹底分段、探究 從何種要素開始，再一一加以整合、重組，接著經過幾次的分解、組合至最後階 段，便會出現類比式的全面圖像，形成曼陀羅思考的結構(許素甘，2004)。. (二). 用法. 首先，利用一幅狀似九宮格圖的九格區域，將主題寫在中央，然後根據主題 所引發的各種想法或聯想寫在其餘的八個空格內，每個空格的內容都與主題相 關。更有甚者，可由一九宮格進階延伸出另外八個九宮格，形成更有規模、更龐 大的系統圖形。. (三). 應用 曼陀羅思考法應用廣泛，能實際運用在「每天的時間管理」、「人脈分析」、. 「目標設定」、「筆記整理」、「創意發想」(胡雅茹，2011)。 研究者根據曼陀羅的性質，將其應用在九年級數學科第五冊第三章「幾何與 證明」中的「3-2 三角形的外心、內心與重心」課程上，並繪製成如下圖 2-4、2-5、 2-6 的表格。. 30.
(40) 三心大集合-三角形的外心 正三心合一 等腰三心共線. 中垂線(垂直平分線)交點. 外心到三頂點等距。. 外心 O. 中垂線上任一點到線段兩. 直角斜邊=2R. (外接圓圓心). 求外接圓半徑畢氏定理. 端點等距 . . ∠BOC =. . 銳角：∠BOC =2∠A. . 直角：∠BOC =180. . 鈍角：∠BOC = 360 ─2∠A. 不同種類位置不 同：. . 銳角：內。. . 直角：斜邊中點. (商高定理). 上。 . 鈍角：外。. 圖 2-4 曼陀羅思考法在數學教學上的應用(a). 三心大集合-三角形的內心 正三心合一 等腰三心共線 直角-. 內心 I. 兩股和=斜邊+2r 面積=. (內)角平分線交點. r s. 相等。 角平分線上任一點到角. (內切圓圓心). ∠BIC= 90 +. 內心到三邊垂直距離. ∠A. 的兩邊垂直距離相等。. 永遠在內。. (s 為周長) 圖 2-5 曼陀羅思考法在數學教學上的應用(b). 31.
(41) 三心大集合-三角形的重心 正三心合一. 中線交點. 等腰三心共線 直角OG= 斜邊 六塊積-. 重心 G. 一指神功！. 用指頭或一枝 筆可撐 起 整個平放的。. 重心到頂點的距離. 三中線把分成六塊面 積相等的小三(小)！. 永遠在內。 =中線. 圖 2-6 曼陀羅思考法在數學教學上的應用(c). 幾何學是國中數學教材中的重頭戲，尤其九年級第五冊的數學教材又以幾何 學為主體。有趣的是，在幾何學中最複雜的部份，是邊數最少的圖形，這當然非 圓形和三角形莫屬了。這兩種圖形的定理相當多，而當這兩種複雜的圖形進行結 合，又會冒出許多特殊的性質。儘管課本中、課堂上，數學教師都會一一為學生 解說這些定理的來源甚至是性質的證明，但要能應用以解決問題，才能算是真正 的學會。因此利用曼陀羅的九宮格聯想來幫助學生做複習，能使重點整理更有條 理與概念。 這三個「心」的表格中，位於同一方格位置的概念是相同的。例如：表格正 上方表示此「心」的來源；右下方表示此「心」在三角形中的位置；左方表示在 直角三角形中這些「心」的特色；而左上角則是在特殊三角形中這些「心」的共 同特點。. 五、小結 32.
(42) Michalko曾經在Cracking Creativity: The Secrets of Creative Genius (譯作：創意 的技術 - 100位天才的9種思考習慣)中，並列介紹曼陀羅法與心智圖兩種技巧。不 一定每個人都是天才，或是能成為天才，但運用這些傑出者的思考習慣，或許可 以幫助我們對知識的吸收與管理更有效率，並產出更多創意的構想。 創造思考是每個人都具有的能力，但它並不等同於智商，是可逐步培養的一 種技能。創造思考教學模式有很多種，不論任教科目為何，都應因時地宜、配合 單元來使用，以達到教學的最佳效果。一般而言，在實施數學科創意教學時，應 該要注意下列問題： 1.. 首先，要在有限的教學時間裡，使學生適當、有效的了解數學的原理原則， 並讓學生在吸收之後，能將原理原則加以運用在解題策略上，並能達到解決 問題的最終目的，更進一步啟發心智能力。唯有透過適當的教學策略，例如 心智圖法、曼陀羅法……等，方可達成教學的目的。. 2.. 其次，為配合學生的心智能力，並根據Bloom(1956)所提出的認知的六個層 次：知識、理解、應用、分析、綜合、評鑑，可以採用Guilford創造思考教學 模式。. 3.. 最後，在考慮教材設計的架構與教學策略時，應該思考學生學習數學知識的 興趣與意願，方能達成創造思考的教學目標。. 33.
(43) 34.
(44) 第三章 研究方法. 本章主要目的在說明本研究「數學科創意教學」對國中生學習成效的影響所 運用之研究方法與程序。全章共分為五節：第一節為研究架構，第二節為研究假 設，第三節為研究對象，第四節為研究工具，第五節為實施程序，第六節為資料 處理與分析。依序分述如後。. 第一節 研究架構. 本研究設計「數學科創意教學」方案，並以準實驗研究法的等組前後測設計， 進行實驗教學，主要透過量化分析資料，瞭解數學科創意教學對學生學習成效之 影響。 依據上述研究目的與文獻探討，以「數學科創意教學」為自變項， 「國中生的 學習成效」為依變項，探討進行數學科創意教學後，國中生學習成效之改變，以 此推論教學成果。 本研究之研究架構圖如圖3-1所示：. 35.
(45) 實驗組 30 人. 國中生 段考成績 九上三次段考總成績 九上第一次段考成績 九上第二次段考成績 九上第三次段考成績. 數學科 創意教學. 國中生 學習態度 數學科學習態度量表. 控制組 30 人. 學習習慣分量表 自我信念分量表 數學理念分量表. 圖3-1 數學科創意教學對國中生學習成效影響之研究架構圖. 36.
(46) 第二節 研究假設. 根據研究問題，本研究提出以下之研究假設：. 假設一：接受「數學科創意教學」後的實驗組學生在「九年級數學科段考」之成 績與控制組學生無差異。 1-1：實驗組學生在「九年級上學期第一次數學科段考」之平均成績與控制組學生 之平均成績無顯著差異。 1-2：實驗組學生在「九年級上學期第二次數學科段考」之平均成績與控制組學生 之平均成績無顯著差異。 1-3：實驗組學生在「九年級上學期第三次數學科段考」之平均成績與控制組學生 之平均成績無顯著差異。. 假設二：接受「數學科創意教學」後的實驗組學生在「數學科學習態度量表」之 得分與控制組學生無差異。. 37.
(47) 第三節. 受試者. 這次進行準實驗教學的班級，是位於新北市都會區鬧中取靜的中型學校，有 三十二年歷史，所在地區為人口稠密的工商業區，學校與社區關係密切。 目前校內三個年級普通班共三十五個班，其中包含音樂資優班三個班，另設 有特教班一班，補校三班，以及附設幼稚園。國中部共有一千多名學生。普通班 各年級皆採常態分班，因此在課業表現上差距不大。 學生家長多為在地人口，教育與社經背景中等。 本研究中的實驗組與控制組學生皆為九年級學生，兩組皆為常態分班，因此 成績無顯著差異。. 38.
(48) 第四節. 研究工具. 本研究所使用到的研究工具有：數學科創意教學課程、數學科段考試卷，以 及數學科學習態度量表。其中，數學科段考試卷用以評定學生的學習成就，屬於 認知面；數學科學習態度量表用以評定學生的學習態度，屬於情意面。. 壹、數學科創意教學課程設計 一、課程設計原則 本課程根據九年一貫課程分年細目，以及九年級數學科各單元教學目標設計 而成，設計原則如下： （一） 將以「教師」為主軸的講述式教學，改成以「學生」為主體的探索式學 習，搭配教師的輔助說明及講解，使學習上更相得益彰。因此在整體教 學時間分配上，教師不再獨占整個教學時間，而是站在輔助、補充與總 結、鼓勵的角色。 （二） 為激發學生的學習興趣，當學生上台發表時，有充分的時間與空間表達 自己或小組的意見，教師站在鼓勵的立場，不多糾正或評論，最後總結 出單元重點。 （三） 激發學生發揮想像力與創造力，藉此增加多元思考能力，使知識的理解 更全方位。. 39.
(49) 二、課程設計理念 （一） 配合現行課程與教材，加入生活化題材，並加深加廣。 （二） 融合學生生活經驗於課程中，使數學與學生的生活相結合。 （三） 結合實體教具及實境教學，引發學習動機，並能有持續性的興趣。. 三、課程教學目標 （一）. 使學生對數學產生興趣，改變學生排斥與討厭的心理。運用遊戲與活 動，使學生覺得數學有趣，對上數學課的興趣增加。. （二）. 使學生感受到數學的用處，能實際運用於生活當中，解決日常問題， 並能與其他領域做結合，而非只是存在於課本中的白紙黑字而已。. （三）. 使學生在學習上更有意義，感覺到自己能力的提升，並能增加自信， 能自我探索，進而提升自我學習力。. （四）. 使學生在累積學習後，融會貫通形成自我的知識脈絡，提升邏輯思考 能力。. 四、 課程教案 本創意教學課程教案，根據研究需要，以九年一貫課程分年細目、國中九年 級數學科各單元教學目標為基礎，設計出國中數學科第五冊各單元教案，內容詳 列學生先備知識、教材實際內容、現實情境可用之教學資源、詳細各節教學活動、 時間分配，以及可用的教學方法與評鑑方式等，教學活動中更加入創意教學元素， 40.
(50) 以及創造思考技巧等。例如：在每一單元結束前，以心智圖法做單元的總整理與 複習，讓學生自己有融會貫通的能力。 本教案為本研究實際教學時之重要參考依據，亦屬於本研究的一部分。各單 元教案詳列於附件一：數學科創意教學課程教案。. 貳、 段考試卷 本校學生每學期有三次段考，主要的出題內容以課本為主、習作為輔，並參 照國中基本能力測驗的出題模式，題型共分為選擇題、填充題、計算題、證明或 說明題、應用題等。出題教師為本校數學科教師輪流命題，並設有審題制度。段 考成績主要用以觀察學生數學學習表現改變的情形，並作為學期成績評量的其中 一項指標。. 參、 數學科學習態度量表 本量表根據研究需要，參考余酈惠(2001)及涂孝臣(2005)的「數學科學習態度 量表」 ，綜合指導教授的意見，並參考研究者任教學校之數學科教師團隊所給予的 建議修定而成。其中27至35題之「工職數學III」 ，為本研究需要改為「國中數學第 五冊」，以作為評量九年級學生數學科學習態度之工具。本量表採五點李克特氏 (five-point. Likert. scale) 的 計 分 方 法 ， 正 向 題 共 24 題 ， 計 有. 1,2,3,4,9,10,11,12,13,14,15,17,18,19,20,21,22,29,30,31,32,33,34,35 等 題 ， 計 分 方 式 為：非常同意5分、同意4分、沒意見3分、不同意2分、非常不同意1分。反向題共 11題，計有5,6,7,8,16,23,24,25,26,27,28等，計分方式為：非常同意1分、同意2分、 沒意見3分、不同意4分、非常不同意5分。量表內容詳見附件二：數學科學習態度 量表。 41.
(51) 本量表共有35題，以因素分析分成三個分量表，分別是「學習習慣」、「自我 信念」以及「數學理念」 ，並以 Cronbach α值確認其信度。茲將量表的分項信度及 總信度整理如表3-1。 表3-1 數學科學習態度量表之分量表信度及總信度 因素分層. 題號. 分量表信度. 學習習慣. 1,9,11,12,13,14,15,17,18,19,20,21,22,23,24,25. .897. 自我信念. 2,3,5,27,29,30,31,32,33,34,35. .923. 數學理念. 4,6,7,8,10,16,26,28. .715. 42. 總信度. .938.
(52) 第五節. 實施程序. 本研究者自行設計的數學科創意教學課程，為期一學期，希望此一系列的教 學活動，能改變學生對數學學習的刻板印象，及以往學習數學的不愉快經驗，進 而重拾對數學學習的信心，在學習態度上更積極，在數學成績上有所進步，並能 表現在升學上。更進一步則希望讓不同程度的學生，都能在學習上得到新奇與成 就感，進而喜歡學習數學。在此同時，也希望能夠精進教學者在教學現場的專業 能力與教學技巧。. 壹、實施流程 本研究過程的實施流程，大致上分為輸入階段、處理階段與輸出階段。輸入 階段為文獻探討與數學科學習態度量表的形成；處理階段分為文獻分析、數學科 創意教學的實施與數學科學習態度量表的問卷調查；輸出階段為段考數學科成績 的比較，以及數學科學習態度量表的分析。詳細實施流程圖，如圖3-2所示：. 43.
(53) 圖3-2. 數學科創意教學研究實施流程圖. 對於本研究的實施流程，詳細分述如下：. 一、提出本研究「數學科創意教學」的構想 本研究擬設計「數學科創意教學」課程，並瞭解教學後之成效。藉由運用多 元教學活動、學習策略與評量方式，讓學生在段考的成績有所進步，改變對數學 科的學習態度。. 二、蒐集相關文獻 透過蒐集相關文獻資料，以及前人的研究成果，深入瞭解數學教學與創意教 學的相關理論，以作為規劃本研究架構及課程設計的理論基礎。. 三、確定研究工具 本研究採用九十九學年度數學科八年級下學期三次段考成績作為前測，一百 44.
(54) 學年度數學科九年級上學期三次段考成績作為後測，以此進行量化研究，以比較 前後測成績上的差別。 此外為了解學生在數學科的學習態度，修訂數學科學習態度量表，以進行學 習態度上的分析。. 四、設計教學課程 透過閱讀相關文獻，依據理論歸納出課程目標後，以此作為「數學科創意教 學」課程設計之基礎，以培養數學學習興趣及數學基本能力為主，進一步思考各 種可行的創意教學策略，設計課程內容。. 五、進行前測，之後實施教學 在課程實施之前，學生已有八年級下學期三次段考成績，以此作為前測成績。 選擇與實驗組平均成績最接近的班級作為控制組。研究者將對實驗組進行數學科 創意教學，並在教學過程中觀察學生學習表現與反應，隨時調整教學內容與創意 教學策略。控制組則進行一般傳統課堂教學，以講述教學法為主，搭配板書運用。. 六、蒐集相關資料 研究過程中，研究者紀錄學生九年級上學期三次段考成績，並讓兩組學生進 行數學科學習態度量表施測，在學期結束後，利用以上資料進行資料整理與結果 分析。. 七、資料整理與結果分析 45.
(55) 研究者整理實驗組與控制組八年級下學期三次段考成績，與課程實施期間的 九年級三次段考成績，兩組進行比較。另將數學科學習態度量的施測結果，兩組 進行比較。. 八、撰寫研究報告 研究者以量化分析呈現研究結果，並依研究結果提出具體建議，撰寫研究報 告，提供需要的教師與相關人員作參考。. 46.
(56) 第六節. 資料處理與分析. 本研究旨在探討「數學科創意教學」對國中學生數學學習成效之影響。研究 者多方蒐集不同資料，包括實驗組與控制組之八下三次段考與九上三次段考共六 次成績，以及數學科學習態度量表等數據，進行資料處理和分析。最後以量化分 析呈現資料結果。以下說明本研究的資料處理與分析。. 壹、 實驗設計 為探討「數學科創意教學」對國中學生數學學習成效之影響，整個實驗過程 以「班級」作為研究單位，採用準實驗研究法的等組前後測設計。參與的兩個班 級中，ㄧ班為實驗組，ㄧ班為控制組。 在教學實驗處理前，先比較兩組八年級下學期三次段考數學科成績的班級平 均，之後選擇與實驗組平均成績最接近的班級作為控制組。在實驗處理階段，實 驗組由研究者進行「數學科創意教學」 ，時間為期一學期，每週五節課，每節課四 十五分鐘。控制組無任何實驗處理，進行原本該時段的數學科教學課程，以傳統 講述教學法為主，輔以板書教學。實驗組與控制組之前測、實驗處理、後側，與 如表3-2 所示。. 47.
(57) 表3-2 實驗設計 組別. 前測. 實驗處理. 後測. 實驗組. O1. X1. O2. 控制組. O3. X2. O4. 茲將表3-2 中各符號所代表的意義，說明如下： O1、O3：實驗組與控制組之前測 (八年級下學期三次段考數學科成績) O2、O4：實驗組與控制組之後測。 (九年級上學期三次段考數學科成績). X1：實驗組接受研究者「數學科創意教學」課程之實驗處理。 X2：控制組接受一般數學教學課程。. 實驗組與控制組在教學實驗處理前，已有八下三次數學科段考平均成績。之 後實驗組接受「數學科創意教學」 ，控制組進行一般傳統數學教學。實驗課程進行 期間，蒐集九上三次數學科段考平均成績，待實驗課程結束後，整理並比較兩組 成績之T分數，並採用單因子共變數分析，分析實驗期間兩組各次段考平均成績之 情形，以觀察實驗組接受實驗教學後的改變。 實驗教學結束後，兩組分別進行「數學科學習態度量表」施測，將結果進行 因素分析，以獨立樣本T檢定分析比較兩組在總量表與分量表之差異，以了解實驗 組在進行數學科創意教學之後，學習態度上與控制組有何不同。. 48.
(58) 參、 研究變項 茲將本研究有關的變項說明如下：. 一、自變項 本研究之自變項為數學科創意教學，分為實驗組與控制組，實驗組接受為期 一學期的「數學科創意教學」 ，控制組無任何實驗處理，進行原本該時段班級例行 性的一般傳統數學教學。為考量學生需求，本研究結束後，研究者仍會對實驗組 持續進行數學科創意教學，直到實驗組由國中畢業。. 二、依變項 本實驗的依變項為九年級上學期三次段考成績，以實驗對象在段考上的得分 為代表。另施測數學科學習態度量表，以全量表及分量表的得分作為測量學生學 習態度的依據。. 三、控制變項 本實驗的控制變項有以下幾點： (一) 受試者方面：本研究之實驗組與控制組，均為同一學校中常態編班下的 九年級學生。班級中的男女比例、家庭社經水準、文化背景等皆大致相 同。 (二) 測驗方面：為了能夠精確地測量到兩組學生的真實能力，在測驗實施的 過程中力求標準化，因此在現實條件的限制下，嚴格控制受試情境：受 試場地為原班教室，施測時間皆為 60 分鐘，測驗內容完全相同，施測 情境與指導語大致相同。 49.
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