第一章 音樂的追本溯源
第一節 泛音原理
一、泛音原理的起源
早在古希臘時期畢達哥拉斯 (Pythagoras, BC. 580-BC.500) 就已發現音樂與 數字排列、數學比例的關係，在和聲上的8 度、5 度、4 度完全音程是最和諧的 聲響，是和聲理論的雛型，音程除了與音階、旋律有密切的關係，也與哲學相關，
希臘哲學家認為音樂理論投射出宇宙的秩序。85 已預示了泛音發聲原理的存 在。
但畢達哥拉斯並未留下音程理論相關著作，他的論述僅為之後的作者引述學 生口述的斷簡殘篇而被記錄下來。目前發現最早相關的理論著作是亞里士多塞諾 斯 (Aristoxenus of Tarentum, BC.360-BC.300) 所著《和聲的要素》(Elementa
harmonica)，但也僅部份被保存下來，成為研究希臘音樂理論的主要資料。在書
85 希臘音樂理論相關部份參考自 Donald Grout, J.Peter Burkholder and Claude V. Palisca. A History of Western Music 8th (New York; London: W.W.Norton & Company, 2010), 13.
中論述到講話時聲波的持續上下滑動、每次振動的間隔，聲音的持續音高是由這 些分離的音程所構成。所以一個單音包含很多固定比例的音高，一個音程是兩個 不同的音符所組成，一個音階是由兩至三個不同的音高依序上行及下行所構成。
86 所以希臘音樂理論已為音程概念奠定基礎。
但一直到1636 年，才首先由法國神學家、數學家、音樂理論家梅森 (Marin Mersenne, 1588-1648) 在著作《宇宙和諧》(Harmonie universelle) 提出泛音原理，
在撥絃時會聽見一連串微弱的音高，根據里曼 (Hugo Riemann, 1849- 1919) 在
《音樂辭典》所寫下的定義，呼應了梅森的理論：「泛音就是金屬撞擊出來的所 有聲響，給予一個整體的名詞。…所以不僅是一種現象，也不是連接聲音的感知，
所以泛音是真實存在的，就像之後的叮噹聲被形容為鏗鏘聲或叮噹聲，甚至出現 不同的音色 (clang-colour)。」87
除此之外，英國數學家沃利斯 (John Wallis, 1616-1703) 也於 1677 年闡述兩 位牛津科學家諾布爾 (William Noble) 及辟高特 (Thomas Pigot, 1657–1686) 再 次證明一根絃可振動出可被整除的等分。88 證明音程距離的比例關係。法國物 理學家索維爾 (Joseph Sauveur，1653-1716) 用絕對頻率的計算來解釋泛音原理，
他也是率先提出泛音跟音色的關係，成為日後的音響學基礎。89
所以無論是樂器、人聲或其他自然界發出的音聲，皆包含多個頻率，而所產 生的聲波是具周期性的，聲音可以分解成多個不同頻率，並以其倍數增加頻率，
也就是音程之間的固定比例。弦樂器或管樂器可對空氣震盪以產生聲音，並且可 同時以不同的頻率震盪，形成泛音列。(參見【表 1-4-1】赫茲的部數遞增)
二、泛音原理的定義
泛音列是劃分成等分的部分（如8 度為 1/2，5 度為 2/3，4 度為 3/4，依此類
86 Grout, Op. cit., 15.
87 Hugo Riemann, Dictionary of music. (London: Augener, 1908), 563.
88 “A letter to the publisher concerning a new music discovery, “ Philosophical Transactions 12 (April 1677), 839-42. 轉引述到 Thomas Christensen Rameau and Musical Thought in the Enlightenment (Cambridge University Press, 1993), 136.
89 Christensen, Op. cit., 136.
推）振動而產生的，振動的等分與音高成反比，所以泛音的等分越細小，音高就 越高；泛音的頻率與基音的頻率形成簡單的比率（如 8 度為 2:1，5 度為 3:2，8 度為 4:3，依此類推）。(泛音與基音的關係可參見【表 2-1-1】、【譜例 2-1-1】及
【圖例2-1-1】)。
【表 2-1- 1】以 C2 為例，泛音與基音的關係
泛音順序 與基音的關係 與前一音的關係 與前一音的頻
率比例
以 C2 音
為例 赫茲
基音 完全 1 度 完全 1 度 1:1 C2 65
第 2 泛音 完全 8 度 完全 8 度 2:1 C3 130
第 3 泛音 完全 5 度 完全 5 度 3:2 G3 195
第 4 泛音 完全 8 度(15 度) 完全 4 度 4:3 C4 260
第 5 泛音 大 3 度(10 度) 大 3 度 5:4 E4 325
第 6 泛音 完全 5 度(12 度) 小 3 度 6:5 G4 390
第 7 泛音 小 7 度(14 度) 小 3 度 7:6 Bb4 455
第 8 泛音 完全 22 度(8 度) 大 2 度 8:7 C5 520
【圖例 2-1- 1】泛音與基音的振動頻率比例關係與泛音列
【譜例 2-1- 1】以 C2 開始的泛音列90
泛音的比例可經由振動頻率的精確計算產生正確的數值。根據《牛津線上音 樂辭典》的論述，1822 年，根據法國數學家傅立葉 (Jean-Baptiste Joseph Fourier, 1768-1830) 分析，實驗證明無論波形是多麼的複雜，都可以分解成一組簡單的 正弦波，波長和振幅的正弦波的疊加，皆有一定的比例，產生共振頻率。基頻與 其他泛音所產生的相對大小與頻率關係會隨著時間進行不斷變動，影響所聽到的 聲響，也確立了單一音符的音色，在會隨著頻率增加使聲音亮度遞增，音色取決 於波型。91
根據駐波原理更可求出這些頻率的倍數關係，所有的弦樂器、管樂器和打擊 樂器的發聲原理都是靠駐波來實現。駐波是兩個振幅、波長、頻率皆相等的連續 正弦波動波組成，以相反的方向前進，當兩波交會時即可形成駐波，駐波的波形 無法前進，因此無法傳播能量。基音和不同泛音的能量比例關係是決定一個音的 音色的核心因素。最基本的駐波為基音，再減去1/2 的波長，則為高 8 度的音高，
再按照泛音列的比例依次出現1/3, 1/4, 1/5 的波長，因此會產生完全 5 度、8 度、
大3 度，以此類推。【圖例 2-1-2】為絃樂的駐波形式。
90 圖片來自於 3D The Harmonic Series，
http://legacy.earlham.edu/~tobeyfo/musictheory/Book1/FFH1_CH3_OLD/3D_HarmonicSeries.html
91 Guy Oldham, Murray Campbell and Clive Greated, Oxford Music Online, (2017/03/17).
【圖例 2-1- 2】振幅為零的點稱為節點或波節 (Node)，振幅最大的點位於兩節點 之間，稱為腹點或波腹 (Antinode)
除了分析泛音組合所形成的聲波，包絡線的高低起伏也是決定音色要素，通 常呈波浪形，代表聲音從開始到結束之時間內振幅的改變模式，是聲音在音量變 化上的特性輪廓，包絡程序包括：起振、穩態、衰減。可標示出該聲音在音量變 化上的特性，是週而復始的規律循環。
19 世紀物理學家亥姆霍茲 (Hermann von Helmholtz, 1821-1894) 提出拍音現 象，聲音的強度會使頻率產生交錯疊加，所產生的強弱不均的現象，在聽覺上如 同拍打一般，拍音現象解釋在泛音之間的音程和諧與否所產生的誤差。更進一步 產生不同的音律，來解釋每個音符經由不同的配器、在旋律與和聲中的不同位置，
會產生出不同的音高。只有當彼此靠近的頻率才能引起本質的相同彈性附體以共 鳴方式振動時，才會感覺到拍動的聲音。92
小結論
泛音原理所產生的物理現象，牽動著聲音的歷史，再單純的音樂都有固定的 比例關係，之後的三個章節依循音樂歷史的脈絡，從旋律、和聲、複音音樂的發 展逐一研究。呼應佩爾特在沉潛的7 年中，回歸音樂的源頭，致力於鑽研中世紀 及文藝復興時期的音樂，在1976 年復出後提出鐘聲風格，是以現代手法回歸中 世紀的風格與音樂理論的源頭，向早期音樂致敬，從鐘聲的共鳴對應自然界的定
92 Burdette Green and David Butler, “From acoustics to Tonpsychologie,” edited by Thomas Christensen Western Music Theory (Cambridge University Press, 2002), 260-261.
律，因此他的音樂被早期音樂專家伍茲 (Richard Utz, b. 1961) 稱為是「後現代中 世紀風格」(Postmodern Medievalisms)93。泛音列的前四個泛音是完全音程，也是 最接近基音的音高，本研究之後的三節所探討的旋律、和聲、複音音樂，皆從完 全音程開始產生。歐洲與亞洲的一些傳統民謠從中世紀前就已有持續音 (drone) 與主旋律相伴演唱／演奏，而持續音通常為中心音 (tonal center) 或調式終止音 (final)。94 所以在佩爾特的作品中常會出現持續長音，尤以低音最多，正是來自 於泛音原理，以低音產生分音，如同鐘聲的共鳴，讓聲響的細微分子往上延伸，
讓聲音產生回饋，聽見旋律的產生、和聲的關係、複音的結構。