台灣與新加坡國中階段教科書統計與機率題目之分析比較

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(1)國立臺灣師範大學數學系碩士班碩士論文. 指導教授：曹博盛博士. 台灣與新加坡國中階段教科書統計與機率題目之分析比較. 研究生：劉峻丞. 中華民國一百零二年六月.

(2) 台灣與新加坡國中階段教科書統計與機率題目之分析比較摘要本研究針對台灣的三個版本與新加坡 Shinglee 出版的 New Syllabus Mathematics 第六版進行國中階段統計與機率領域教科書題目之分析比較。題目分析參考 Anderson 等人 (2001) 所提出之布魯姆(Bloom)認知領域修訂版、Zhu and Fan (2006) 提出的教科書題目表徵形式、PISA 2012 對題目情境的分類與 Yau (2011) 對資訊科技融入題目的分類為本研究主要理論架構。使用內容分析法進行分類與比較。研究發現下面結果：一、統計與機率領域總題目數部分，新加坡較我國的三個版本多，提供學生較多學習解題的機會。二、臺灣與新加坡統計題目皆重視應用與了解層次的題目；機率部分則是重視應用層次的題目。三、臺灣與新加坡教科書統計題目較強調聯合表徵；機率部分，新加坡和臺灣的康軒版與南一版，文字表徵與聯合表徵比例較為平衡，各佔約一半，而翰林版則較為特別，題目重視以文字表徵呈現。四、臺灣與新加坡教科書在統計與機率題目情境部分，皆以個人情境為主。五、臺灣的三個版本皆無資訊融入統計的題目，新加坡有使用電腦網路、Excel 與電算器融入統計的題目；臺灣的三個版本無資訊融入機率的題目，新加坡有使用電腦網路融入機率的題目。. 關鍵詞：教科書、題目、統計、機率. I.

(3) 誌謝記得兩年半前的自己，為了重返母校師大進修的夢想，在教書與帶班閒暇之餘，重拾了久違的高微與線代原文書，再一次過著與數學證明奮戰的日子。研究所考試放榜結果令人十分高興，309 班的孩子們也都順利畢業，心中的大石頭總算放下，準備迎接著兩年留職停薪的學生生活。在研究所的兩年日子裡，最要感謝的是指導教授曹博盛教授，沒有老師的用心指導，這篇論文不可能完成。謝謝曹老師總在峻丞不懂之處，不厭其煩的給予許多的指導，讓自己不論是在學業或是待人處事上有許多的啟發。一路走來，老師您辛苦了！另外要感謝鍾靜教授與張幼賢教授在百忙中審視我的論文，並在口試時給予許多寶貴的建議，讓這篇論文能更加的完整。謝謝承鑫口時前一週替我貼口試海報、信宏學長幫忙做的口試記錄並準備餐點、大嫂與逸然幫忙的信效度分析、還有許多一起修課的同學，謝謝你們的協助，峻丞才能度過研究的低潮期，順利完成這篇論文。感謝我服務的學校-居仁國中能讓我暫時離開兩年，專心完成研究所的學業，也感謝當時任教學生給我的啟發，讓我的論文有了研究的方向。最後要感謝我的父母，對於我的決定，總是給予最大的鼓勵與支持，讓我能無後顧之憂，完成研究所的學業。很高興又通過一個階段的考驗，在此將這份喜悅分享給大家。. 劉峻丞於師大數學系館 M409 民國 102 年 7 月 21 日. II.

(4) 目錄摘要................................................................................................................................. I 誌謝................................................................................................................................ II 目錄............................................................................................................................... III 表目錄...........................................................................................................................IV 圖目錄...........................................................................................................................VI 第壹章緒論.................................................................................................................. 1 第一節研究動機與背景...................................................................................... 1 第二節研究目的與待答問題.............................................................................. 5 第三節名詞釋義.................................................................................................. 6 第四節研究限制.................................................................................................. 6 第貳章文獻探討.......................................................................................................... 7 第一節統計與機率課程的研究.......................................................................... 7 第二節解決題目所需認知能力相關研究........................................................ 17 第三節題目表徵形式相關研究........................................................................ 28 第四節題目情境相關研究................................................................................ 33 第五節資訊融入相關研究................................................................................ 38 第參章研究方法........................................................................................................ 41 第一節內容分析法............................................................................................ 41 第二節研究對象................................................................................................ 53 第三節研究流程................................................................................................ 54 第四節資料分析................................................................................................ 55 第肆章分析與討論.................................................................................................... 58 第一節比較解決題目所需認知能力之差異.................................................... 58 第二節比較題目表徵形式與情境的差異........................................................ 82 第三節比較資訊融入題目的差異.................................................................. 100 第伍章結論與建議.................................................................................................. 111 第一節結論...................................................................................................... 111 第二節建議...................................................................................................... 115 參考文獻.................................................................................................................... 117 一、中文部分............................................................................................................ 117 二、英文部分............................................................................................................ 121. III.

(5) 表目錄表 2- 1 第三階段(6-7 年級)統計與機率能力指標與能力指標闡釋 ......................... 9 表 2- 2 第四階段(8-9 年級)統計與機率能力指標與能力指標闡釋 ....................... 10 表 2- 3 台灣 92 課綱統計與機率領域能力指標與分年細目 .................................. 11 表 2- 4 新加坡統計與機率領域綱要內容(GCE ‘O’ Level)................................ 13 表 2- 5 自行整理 TIMSS 已公佈統計與機率試題學生表現情形 .......................... 18 表 2- 6 布魯姆認知領域教育目標分類修訂版認知向度內容 ................................ 22 表 2- 7 統計認知面向與其認知分類 ........................................................................ 25 表 2- 8 數學學習領域資訊教育議題融入學習指標整理 ........................................ 38 表 3- 1 解決題目所需認知能力分類架構 ................................................................ 42 表 3- 2 題目表徵形式分類 ........................................................................................ 45 表 3- 3 台灣三個版本統計與機率單元 .................................................................... 50 表 3- 4 新加坡統計與機率單元 ................................................................................ 51 表 3- 5 認知能力評分員相互同意度一覽表 ............................................................ 56 表 3- 6 表徵形式評分相互同意度一覽表 ................................................................ 56 表 3- 7 情境評分員相互同意度一覽表 .................................................................... 56 表 3- 8 資訊融入評分員相互同意度一覽表 ............................................................ 57 表 3- 9 相互同意度與信度一覽表 ............................................................................ 57 表 4- 1 統計範例、探索活動、動動腦與練習題數量與百分比 ............................ 59 表 4- 2 統計範例、探索活動、動動腦解題所需認知能力數量與百分比 ............ 60 表 4- 3 統計練習題解題所需認知能力數量與百分比 ............................................ 62 表 4- 4 統計領域解題所需認知能力數量與百分比 ................................................ 76 表 4- 5 機率範例、探索活動、動動腦與機率練習題數量及百分比 .................... 77 表 4- 6 機率範例、探索活動、動動腦數量與百分比 ............................................ 78 表 4- 7 機率練習題認知層次數量與百分比 ............................................................ 80 表 4- 8 解決機率題目認知能力數量與百分比 ........................................................ 82 表 4- 9 統計範例、探索活動、動動腦表徵形式數量及百分比 ............................ 83 表 4- 10 統計練習題表徵形式數量及百分比 .......................................................... 85 表 4- 11 統計領域題目表徵形式數量與百分比 ...................................................... 89 表 4- 12 機率範例、探索活動、動動腦表徵形式數量及百分比 .......................... 90 表 4- 13 機率練習題表徵形式數量及百分比 .......................................................... 91 IV.

(6) 表 4- 14 機率領域題目表徵形式數量與百分比 ...................................................... 94 表 4- 15 統計範例、探索活動、動動腦情境數量與百分比 .................................. 95 表 4- 16 統計練習題情境百分比 .............................................................................. 96 表 4- 17 統計領域題目情境數量與百分比 .............................................................. 97 表 4- 18 機率範例、探索活動、動動腦情題數量與百分比 .................................. 98 表 4- 19 機率練習題情境數量與百分比 .................................................................. 98 表 4- 20 機率領域題目情境數量與百分比 .............................................................. 99 表 4- 21 統計範例、探索活動、動動腦資訊融入題目數量與百分比 ................ 100 表 4- 22 統計練習題資訊融入題目數量與百分比 ................................................ 107 表 4- 23 機率範例、探索活動、動動腦資訊融入題數量與百分比 .................... 108 表 4- 24 機率練習題資訊融入題目數量與百分比 ................................................ 109. V.

(7) 圖目錄圖 3- 1 資訊融入題目舉例 ........................................................................................ 49 圖 3- 2 無融入資訊融入題目舉例 ............................................................................ 49 圖 3- 3 研究流程圖 .................................................................................................... 54 圖 4- 1 統計範例、探索活動、動動腦與練習題百分比 ........................................ 59 圖 4- 2 統計範例、探索活動、動動腦解題所需認知能力百分比 ........................ 61 圖 4- 3 統計練習題解題所需認知能力百分比 ........................................................ 63 圖 4- 4 新加坡新課綱數學第一冊探索活動示例一 ................................................ 65 圖 4- 5 新加坡新課綱數學第一冊探索活動示例二 ................................................ 66 圖 4- 6 新加坡新課綱數學第一冊探索活動示例三 ................................................ 67 圖 4- 7 新加坡新課綱數學第一冊探索活動示例四 ................................................ 68 圖 4- 8 新加坡新課綱數學第一冊評鑑層次題目 .................................................... 69 圖 4- 9 新加坡新課綱數學第二冊創造層次題目 .................................................... 69 圖 4- 10 新加坡新課綱數學第二冊分析層次題目 .................................................. 70 圖 4- 11 新加坡新課綱數學第二冊評鑑層次題目 .................................................. 71 圖 4- 12 新加坡新課綱數學第四冊評鑑層次題目 .................................................. 71 圖 4- 13 新加坡新課綱數學第四冊評鑑層次探索活動 .......................................... 72 圖 4- 14 新加坡新課綱數學第四冊需進行評論示例 .............................................. 73 圖 4- 15 新加坡新課綱數學第一冊應用層次題目 .................................................. 74 圖 4- 16 翰林版國民中學數學三下統計量計算題目示例一 .................................. 75 圖 4- 17 翰林版國民中學數學三下統計量計算題目示例二 .................................. 75 圖 4- 18 翰林版國民中學數學三下統計量計算題目示例 ...................................... 76 圖 4- 19 機率範例、探索活動、動動腦與練習題百分比 ...................................... 78 圖 4- 20 機率領域各冊範例、探索活動、動動腦解題所需認知能力百分比 ...... 79 圖 4- 21 機率領域各冊練習題認知層次百分比 ...................................................... 81 圖 4- 22 統計各冊範例、探索活動、動動腦表徵形式百分比 ............................... 83 圖 4- 23 新加坡第二冊圖形形式題目舉例 ............................................................... 84 圖 4- 24 統計練習題表徵形式百分比 ...................................................................... 85 圖 4- 25 新加坡第一冊含未知數的聯合形式題目 .................................................. 86 圖 4- 26 新加坡第一冊示意圖舉例 .......................................................................... 87 圖 4- 27 新加坡第一冊點圖舉例 .............................................................................. 87 VI.

(8) 圖 4- 28 新加坡第二冊莖葉圖舉例 .......................................................................... 87 圖 4- 29 新加坡第二冊具兩筆資料的莖葉圖舉例 .................................................. 88 圖 4- 30 新加坡第二冊真實圖片題目舉例 .............................................................. 89 圖 4- 31 機率範例、探索活動、動動腦表徵形式百分比 ...................................... 90 圖 4- 32 機率練習題表徵形式百分比 ...................................................................... 91 圖 4- 33 康軒版機率題目附真實圖片實例 .............................................................. 92 圖 4- 34 康軒版機率題目實例 .................................................................................. 92 圖 4- 35 翰林版國民中學數學三下翰林版機率題目呈現示例 .............................. 92 圖 4- 36 南一版國民中學數學三下翰林版機率題目呈現示例 .............................. 93 圖 4- 37 新加坡第二冊幾何機率題目舉例 .............................................................. 93 圖 4- 38 新加坡第四冊真實圖片題目舉例 .............................................................. 94 圖 4- 39 新加坡第四冊電算器求計算平均數與標準差示例 ................................ 103 圖 4- 40 新加坡第四冊使用 Excel 畫盒狀圖步驟一 ............................................. 104 圖 4- 41 新加坡第四冊使用 Excel 畫盒狀圖步驟二 ............................................. 105 圖 4- 42 製作盒狀圖第一步驟示意圖 .................................................................... 105 圖 4- 43 製作盒狀圖第三步驟示意圖 .................................................................... 106 圖 4- 44 製作盒狀圖第四步驟示意圖 .................................................................... 106 圖 4- 45 製作盒狀圖第五步驟示意圖 .................................................................... 106 圖 4- 46 製作盒狀圖第六步驟示意圖 .................................................................... 107 圖 4- 47 新加坡第二冊使用電算器求平均數 ........................................................ 108 圖 4- 48 新加坡第二冊使用網路科技進行資料收集 ............................................ 109. VII.

(9) 第壹章緒論本研究是進行國中教科書統計與機率領域中的題目比較。比較的對象是臺灣佔有率最高的三個版本(翰林、南一、康軒)，新加坡則是新力出版社所出版的新課綱數學教科書。本章共分四節，分別就研究動機與背景、研究目的與待答問題、名詞釋義、研究範圍與研究限制進行說明。. 第一節研究動機與背景我國近年來積極參與國際間數學教育成就評比。自 1999 年我國第一次參加國際教育評量協會(The International Association for The Evaluation of Educational Achievement，簡稱 IEA)所舉辦的 TIMSS-R (Repeat of The Third International Mathematics and Science Study)，之後每隔四年後評比一次，能對連續參加的國家進行縱向趨勢的比較，瞭解參加的國家學生數學成就表現趨勢，在國際間的表現均有令人滿意之表現，排名均在前四名，但若細究我國各領域表現來說，歷年來在統計與機率領域現卻總是相對遜色於對於數與量、代數、幾何領域(曹博盛， 2012b)。歷年來領先群國家中，新加坡在國際間評比表現有目共睹，屢屢創下佳績，表現經常優於台灣，如 TIMSS 2003 整體排名表現第一，統計與機率領域亦排名第一，相較於我國更是達到統計上之顯著差異。此一結果引起許多教育研究人員、教師、社會大眾的興趣與關注，然而，影響新加坡學生數學傑出成就表現的理由可能有許多，其中教科書為重要影響之一(Fan and Zhu, 2000)。Robitaille & Travers (1992) 指出在所有國家中，數學科教師的教學十分依賴教科書，教師可以從中決定該教什麼與如何去教學生，並決定指派何種的練習給學生演練，根據 TIMSS 2003 資料顯示：各國間約有 65%國中八年級教師使用教科書為基本參考資料(primary basis for lessons)，我國部分為 81%，較國際間更加依賴教科書，並為教師重要之教學資源(Mullis, Martin, Gonzalez and Chrostowski, 2004)，在美國 1.

(10) 曾有許多學者與教師鼓勵該州學校採用新加坡作為數學教科書，如科羅拉多州、伊利諾州、馬里蘭州、紐澤西州等，且根據研究指出採用新加坡數學教科書的老師與學生，新加坡數學教科書內所提供題目與其解決問題呈現方式，有助於提升解決問題的能力，顯示新加坡數學教科書在國際間受到重視並有其值得研究之優點(Fan and Zhu, 2000)。黃敏晃 (1990) 提出學習數學最好的方式就是培養解題能力。學生能力的發展始於流利的基礎運算和推演、對數學概念的理解，然後懂得利用推論去解決問題，包括理解和解決日常生活問題，以及在不熟悉解答方式時，懂得自尋解決問題的途徑(教育部，2003)，自 1980 年代以來，解題逐漸變成數學教育的核心，新加坡教育部 2007 年數學科課程綱要同樣以問題解決為核心，而解題需要問題，且我國國中階段數學教科書，題目為重要組成教材內容，研究教科書之題目可以從中瞭解教科書提供何種題目成為學生學習的機會(李建恆、楊凱琳，2012)，其與學生數學上的成就表現具有高度相關性(Törnroos, 2005)，故本研究將聚焦於教科書題目。研究者在教學現場曾經連續三年擔任國三數學教師，使用過三個不同版本教科書(92 課綱)教學，發現國中三年級下學期統計與機率領域數學教科書題目大多偏精熟性之程序性知識且僅需統計知識(literacy)之認知能力即可解決，如計算、報讀或繪製統計圖表等，較少強調統計推論(reasoning)，如預測數據或圖表所給出的訊息或現象、解釋數據所代表的現象等或統計思維(thinking)之題目。 Kien-Kheng and Idris (2010) 建議不應讓學生感受到統計與機率學習僅為記憶或做複雜的計算，以避免學生對統計內容與學習產生負面之學習態度。目前統計與機率教材在跨國間做認知能力比較部分甚為缺少，希望藉由跨國間比較，了解我國與新加坡教科書統計與機率題目在解題時所需之認知能力需求差異為何？梁淑坤 (1996) 提出解題為數學科特性，應重視教科書題目所提供數學情境與表徵。Zhu and Fan (2006) 分析美國與中國數學教科書後，發現圖形表徵這類型. 2.

(11) 的題目，美國教科書有較高的比例。根據 Brenner, Herman, Ho & Zimmer (1999) 的研究發現到美國學生在圖形表徵這類題目得分較中國學生為高。由此可看出表徵為教科書題目分析值得探討的重要向度。另一重要向度為情境，在統計中，情境能提供意義(Cobb and Moore, 1997)，並且學生能在具體的問題情境中，能透過老師的引導、啟發或教導，將所學的數學知識為基礎，形成解決問題所需的數學概念，並有策略地選擇既正確又有效率的解題程序(教育部，2003)。此外，著名國際大型測驗 PISA (Programme for International Student Assessment，簡稱 PISA)，亦將情境列入評量架構中，對其評量試題情境部分為四大類(個人、職業、社會、科學)命題；不久前台北市教育局曾公布 103 年基北區特色招生考試初步規劃說明，強調數學素養，重視情境，並在能情境中發現的問題，利用習得的數學知識與數學方法解決問題，即運用數學概念、運算程序、推理及可用工具，以數學方法解決問題的能力(台北市教育局，2012)，綜合上述，顯示情境在數學教育相當受到重視。在當前的資訊社會裡，電腦與電算器已被廣泛使用於生活中。面對大量資料，如何處理並獲取有用的資訊，已成為現代生活中的重要能力(教育部，2003)，並在九年一貫課程綱要統計與機率領域能力指標分年細目 9-d-08 的說明提到以下兩點：. 一、引導學生使用電腦軟體，如電子試算表或基本計算功能之程式語言;也可以用附加的繪圖功能來製作統計圖表，亦可指導學生使用電算器，處理數量不太多的資料之統計量。二、在處理量大不易完成之計算，或具重複性的資料時，可嘗試使用電腦軟體來計算相關的統計量，如平均數、中位數、眾數、百分位數、四分位數及四分位距等，了解這些統計量在統計實驗中顯示的意義(教育部，2003，頁 177)。. 但在資訊融入部分，我國在機率與統計領域分年細目說明雖有所著墨，但落實於教科書內容似乎付之闕如，此狀況在 PISA 數學測驗解題時，即使身邊有能使. 3.

(12) 用的電算器，學生仍舊容易將這樣的習慣忠實的反應出來，林壽福與鄧家駿 (2012) 受親子天下雜誌訪問指出，臺灣學生在可使用電算器為輔助工具面對問題的情況下，仍相當不習慣，導致因花太多時間筆算或算錯未能順利得分，同樣林柏嘉 (2012) 於自由時報也提到類似觀點，臺灣學生解 PISA 問題時重視筆算，對電算器使用意識缺乏，閱卷時發現牽涉電算器輔助的問題我國學生表現均有待加強。而新加坡教材. 強調使用科技工具融入於數學學習與應用(新加坡教育部，2007)，故將對此部分做進一步深入比較。近年來，一綱多本的實施，市面上教科書版本，如雨後春筍般的出現，雖符合市場自由開放之精神，但對許多老師、學生、家長來說，仍存在許多選擇之困擾，因此本研究選擇分析我國市佔率最高的三個版本，並與新加坡教科書市佔率最高的版本進行比較，希望藉此提供日後教師、學生、教科書編輯者做參考。. 4.

(13) 第二節研究目的與待答問題本研究的研究目的在探討臺灣與新加坡統計與機率國中階段教科書題目所需認知能力、表徵形式、情境、資訊科技融入的差異，並提供教學現場教師、學術研究人員與教科書編輯者編寫之參考。本研究之研究問題如下：一、我國與新加坡國中階段數學教科書中，學生解決「統計與機率」主題的題目所需要的認知能力(記憶、了解、應用、分析、評鑑、創造)有何差異？二、我國與新加坡國中階段數學教科書中，「統計與機率」主題的題目表徵形式 (文字形式、數學形式、圖形形式、聯合形式)有何差異？三、我國與新加坡國中階段數學教科書中，呈現「統計與機率」主題的題目情境 (個人、職業、社會、科學、無情境)有何差異？四、我國與新加坡國中階段數學教科書中，「統計與機率」主題的題目融入資訊科技(電算器、Excel、電腦網路)有何差異？. 5.

(14) 第三節名詞釋義一、國中階段：我國為七年級到九年級，共三個年級，新加坡為國一到國四，共四個年級。二、統計與機率：依我國教育部九年一貫課程綱要(92 課綱)統計與機率能力指標所編列的教材，新加坡為教育部所公布之 2007 年中學數學課綱所編列之教材。三、認知能力：認知指的心理學上指個體經由意識活動而對事物產生認識與理解的心理歷程(教育部國語辭典，2013)。本研究的認知能力為依據 Bloom 認知領域修訂版(Anderson 等人，2001)所區分的六個層次，可分為記憶、理解、應用、分析、評鑑、創造共六個層次。四、表徵形式：表徵為是某種東西的信號，代表著某種事物，傳遞著事物的訊息 (彭聃齡、張必隱，2000)，本研究為題目表徵形式為題目呈現的方式，參考 Zhu and Fan (2006)共分為四類，分別為文字形式、數學形式、圖形形式、聯合形式。五、情境：朗文字典定義為在某個特別的時刻，某處所發生的事件與情況的組合 (situation, 2013)。本研究為數學問題情境，指的是學生於日常生活中可以經驗到或想像的情境(Zhu and Fan, 2006)。六、資訊融入：教科書統計與機率領域教科書題目中，使用資訊科技的方法或設備輔助(如具統計函數功能電算器、試算表軟體 Excel、電腦網路等)，解決教科書的題目。. 第四節研究限制本研究聚焦在台灣與新加坡統計與機率領域教材題目，不宜推論至其他如數與量、代數、幾何主題或非教科書題目之研究對象，也不宜推論至他國版本教科書。 6.

(15) 第貳章文獻探討依照本研究的動機與目的，本章將針對研究內容，分成五節進行相關的文獻探討。第一節為統計與機率課程的研究；第二節為解決題目所需認知能力相關研究；第三節為題目表徵形式相關研究；第四節為題目情境相關研究；第五節為資訊融入相關研究。. 第一節統計與機率課程的研究本節將討論統計與機率課程的重要性，統計與機率在生活上有相當廣泛的應用，許多國家均將之列為課程的重要內容。一、統計與機率教材重要性我們於日常生活中的報章雜誌、新聞、網路等媒體，可接觸到許多統計與機率相關的資訊，像是民意調查、電視收視率、出生率、青年失業率、降雨機率、樂透彩頭獎中獎機率等，而要如何去分析與解讀數字所代表的意義，為現代國民重要的能力(教育部，2003)。我們不難發現機率與統計課程相較其他如代數課程更為生活化，比方說，在數個月的報章雜誌或新聞內容中，我們可能很難遇到使用未知數的情形，更不用說去解一個含未知數的方程式，顯示統計與機率內容在我們日常生活有著更為實用的連結，也能協助我們處理日常生活中所接收到的訊息 (Pereira-Mendoza and Swift, 1981)。近年來，統計與機率的課程逐漸受到重視，我國教育部在民國 84 年公布國民中學課程標準，將教材分成五個領域，分別為數的概念、代數、平面幾何、座標幾何、資料的整理與機率。資料的整理與機率課程則被安排至國民中學第三學年，內容有次數分配、算術平均數、中位數與眾數、相對次數分配與累積次數分配、簡單的機率計算。資料的整理與機率的領域目標則包含以下內容：. 7.

(16) 1.能知道原始資料尚須經過整理與分析後才易於顯示它所蘊含的資訊。 2.在規定的組距與組數下，能將所提供的數據資料整理成次數分配表。 3.能依所提供的次數分配表畫出其長條圖(或直方圖)以及折線圖與圓面積圖。 4.能判讀次數分配表及其長條圖、直方圖、折線圖與圓面積圖。 5.能依所給的次數分配表或其長條圖、直方圖與折線圖說出該群資料的大概趨勢。 6.能依所提供的次數分配表製作其相對次數分配表以及相對次數分配直方圖和折線圖。 7.能判讀相對累積次數分配表及直方圖和折線圖。 8.能比較所提供的兩份同性質資料的相對次數分配表或其直方圖和折線圖。 9.能依所提供的次數分配表製作其相對累積次數分配表及其折線圖。 10.能判讀相對累積次數分配表及其折線圖。 11.能比較提供的兩份同性質資料的相對累積數分配表或其折線圖。 12.能求出所給數據資料或其次數分配的算術平均數。 13.能求出所給數據資料的中位數。 14.能求出所給資料數據的眾數(或眾數組)。 15.知道算術平均數、中位數和眾數有助於表示資料集中的趨勢。 16.知道中位數與眾數較不受極端資料的影響。 17.能舉例解釋實驗機率的意義。 18.能設計及記錄簡單事件實驗，並從其所得數據歸納出該事件的機率。 19.了解實驗機率的試驗過程，並知道機率在大數法則下所得的逼近值。 20.能了解機率的意義。 21.能求簡單事件的機率。 84 版課程標準內容大致上強調對資料進行整理，再進行統計圖表繪製，並對統計圖表進行報讀與解讀、計算中位數、算術平均數與眾數。. 8.

(17) 到了 2000 年，教育部則公布國民中小學九年一貫課程暫行綱要，將九年國民教育分成四個階段，分別是階段一(1-3 年級)、階段二(4-5 年級)、階段三(6-7 年級)與階段四(8-9 年級)。統計與機率為五大主題之一，在國中階段有以下能力指標與對能力指標的闡釋如表 2-1 與表 2-2：表 2- 1 第三階段(6-7 年級)統計與機率能力指標與能力指標闡釋能力指標 D-3-1. 能利用統計量，例如：平均. 能力指標闡釋 1.. 數、中位數等，來瞭解資料. 利用平均數、中位數等，來瞭解資料集中的位置。. 集中的位置。 D-3-2. 能嘗試使用電腦軟體處理大. 2.. 嘗試使用電腦軟體計算大筆資料. 筆資料的統計量計算，並加. 的平均數、中位數等，並能在生. 以應用。. 活上應用。 3.. 計算整筆資料的加權平均數，並瞭解加權平均數的意涵。. D-3-3. 能運用生活經驗來瞭解機會。 4.. 運用生活經驗來瞭解機會。. D-3-4. 能報讀生活中有序資料的統. 5.. 報讀生活中有序資料的統計圖表。. 6.. 將有序資料用折線圖表現，並從. 計圖表。 D-3-5. 能將有序資料整理成折線圖，並抽取折線圖中有意義. 折線圖中解讀其代表的意義。. 的資訊加以解讀。 D-3-6. 能解讀各式各樣的折線圖。. 7.. 解讀各式各樣的折線圖。. D-3-7. 能利用比值和百分率的概. 8.. 利用比值或百分率的概念，報讀. 念，報讀相關的統計圖表。. 相關的統計圖表。. 9.

(18) 表 2- 2 第四階段(8-9 年級)統計與機率能力指標與能力指標闡釋能力指標 D-4-1. 能利用統計量，例如：百分. 能力指標闡釋 1.. 位數，來瞭解資料散佈的情. 利用百分位數來瞭解資料散佈的情形。. 形。 D-4-2. D-4-3. 能將資料整理成圓形百分. 2.. 在提供刻度的圓形上製作百分. 圖，並抽取圓形百分圖中有意. 圖，並從該圖中解讀其代表的意. 義的資訊，加以解讀。. 義。. 能進行簡單的實驗，以瞭解. 3.. 機率、抽樣的初步概念。. 在生活中進行簡單的實驗，以瞭解機率的初步概念。. 4.. 在生活中進行簡單的實驗，以瞭解抽樣的初步概念。. D-4-4. 能嘗試使用電腦軟體進行實. 5.. 驗，以瞭解機率、抽樣的意義。. 嘗試使用電腦軟體進行實驗，以瞭解機率的意義。. 6.. 嘗試使用電腦軟體進行實驗，以瞭解抽樣結果與事實的差距程度。. D-4-5. 能解讀現成資料之折線圖、. 7.. 從真實資料的現成折線圖、圓形. 圓形百分圖、及與百分位數. 百分圖及與百分位數有關的圖表. 有關的統計圖表。. 中，直接抽取有意義的資訊並加以解讀。. 10.

(19) 能自訂主題，蒐集資料，利. D-4-6. 8.. 就自己有興趣的事件自訂主題，. 用統計圖表抽取與主題有關. 蒐集有意義的資料，並利用可表. 的資訊。. 現整體資料的圖表，從圖表中抽取與主題有關的資訊。. 將 90 暫綱與 84 年國中課程標準比較，我們不難發現 90 暫綱較為強調生活化與電腦的使用，並增加百分位數的的概念與並對問題進行資料收集、繪製統計圖表與解讀，其中能力指標闡釋第八點，相當類似於新加坡第一冊的探索問題編排想法，需自訂主題進行資料收集、整理、分析與解讀。電腦融入統計與機率課程的想法，則類似於新加坡的教科書設計，注重資訊科技於課程的使用。. 接著教育部於 92 年公布之九年一貫課程綱要中，將數學領域，分為「數與量」、「幾何」、「代數」、「統計與機率」、「連結」等五大主題，統計與機率則為五大主題之一，並有能力指標與分年細目列出各年級應具備的能力，我國國中階段統計與機率能力指標與分年細目如表 2-3：. 表 2- 3 台灣 92 課綱統計與機率領域能力指標與分年細目能力指標. 分年細目. D-4-01 能報讀百分位數，並認識個體. 9-d-01 能將原始資料整理成次數分配. 在群體中相對地位的情形。. 表，並製作統計圖形，來顯示資料蘊含的意義。 9-d-02 能理解百分位數的概念，認識第 10、25、50、75、90 百分位數，並製作盒狀圖。 9-d-03 能利用較理想化的資料說明常見的百分位數，來認識一筆或一. 11.

(20) 組資料在所有資料中的位置。 D-4-02 能利用統計量，例如：平均數、 9-d-04 能認識平均數、中位數與眾數均中位數及眾數等，來認識資料. 可以某種程度地表示整筆資料. 集中的位置。. 集中的位置。 9-d-05 能認識平均數、中位數與眾數在不同狀況下，被使用的需求度有些微的差異。. D-4-03 能利用統計量，例如：全距、. 9-d-06 能認識全距，並理解全距大小的. 四分位距等，來認識資料分散的情形。. 意義。 9-d-07 能認識第 1、2、3 四分位數，及四分位距。 9-d-08 能理解當存在少數特別大或特別小的資料時，四分位距比全距適合來描述整組資料的分散程度。. D-4-04 能在具體情境中認識機率的概. 9-d-09 能以具體情境介紹機率的概. 念。. 念。 9-d-10 能進行簡單的實驗以了解抽樣的不確定性、隨機性質等初步概念。. 到了 92 課綱，有關生活化、電腦的使用、對有興趣的主題進行資料收集與解讀等部分，則不再出現於課綱內，增加全距、第 1、2、3 四分位數，及四分位距等新的內容。. 在民國 99 至 101 年國中生基本學力測驗中，每次測驗均含有統計與機率的題 12.

(21) 目大約有 3 到 4 題，所佔比例均超過 9%以上，而在國際間著名的 TIMSS 2011 年的評量架構中，也將統計與機率(Data and chance)納入評量範圍，並設定其比重為總題目數的 20%(Mullis, Martin, Ruddock, O’Sullivan, Preuschoff, 2009)；也為 PISA 2012 四個評量主題之一(OECD, 2013)。在國外部分，美國數學教師協會(National Council of Teachers of Mathematics，簡稱 NCTM)於 2000 年所出版學校與數學課程與標準(Principles and Standards for School Mathematics)與新加坡教育部 2007 年所公佈的中學數學課程綱要 (Secondary Mathematics Syllabuses)也將統計與機率列為主題，並對各年級不同課程學習的內容進行安排，根據 TIMSS 2011 百科全書(encyclopaedia)的資料(Mullis et al., 2012)，新加坡國中階段主要可分為快捷課程、普通學術課程與普通工藝課程三種課程，大約 60%的學生會進入快捷課程(四年)；25%的學生會進入普通(學術)課程(五年)；15%的學生會進入普通(工藝)課程(四年)。在四到五年後，學生能參加新加坡-劍橋普通教育證書(普通水準) (Singapore-Cambridge General Cambridge Education Ordinary Level，簡稱為 GCE ‘O’ Level)會考或新加坡-劍橋普通教育證書(初級水準) (Singapore-Cambridge General Cambridge Education Normal Level，簡稱為 GCE ‘N’ Level)會考。學生完成四年的快捷課程或五年的普通(學術)課程後可參加 GCE ‘O’ Level 會考，成績為後中學教育，初級學院/高級中學(Junior Colleges/Centralized Institute)、理工學院(Polytechnics)和工藝教育學院(Institute of Technical Education)入學的重要標準；四年普通(工藝)課程與僅完成四年的普通(學術)課程後可參加 GCE ‘N’ Level 會考，成績為工藝教育學院入學的重要標準，相較 GCE ‘O’ Level 會考，選擇較少。. 新加坡統計與機率領域綱要內容如表 2-4：表 2- 4 新加坡統計與機率領域綱要內容(GCE ‘O’ Level) 統計與機率領域中學一年級：資料處理. 內容一、資料蒐集方法 13.

(22) (一)做測量 (二)做調查 (三)對資料分類 (四)對事件的觀察或結果做出解釋二、繪製與解讀 (一)表格 (二)長條圖 (三)示意圖 (四)折線圖 (五)圓形圖 (六)直方圖三、了解不同的統計統圖表的使用目的與其優缺點四、對統計圖表作簡單的推論中學二年級：資料分析. 一、解讀點圖與莖葉圖二、了解算術平均數、眾數、中位數、能作為資料的代表三、了解算術平均數、眾數、中位數的使用的目的四、計算已分組資料的平均數. 中學二年級：機率. 一、了解機率可用於描述可能性二、求單一事件的機率. 中學三/四年級：資料分析. 一、四分位數與百分位數二、了解全距、四分位距與標準差可用於描述資料的分散情形 14.

(23) 三、解讀累積次數分配表與盒狀圖四、使用平均數與標準差比較兩組資料中學三/四年級：機率. 一、使用可能性圖表或樹狀圖進行簡單聯合事件機率計算二、機率的加法與乘法三、互斥事件與獨立事件. 綜合上述，我們知道統計與機率課程在生活上與國際間均受到重視，列為重要主題並於課程綱要進行安排，課程綱要或課程標準能夠提供教科書編輯者做為編寫的方向，供第一線的教師教學與學生學習之用。. 二、教科書題目的重要性 (一)教科書的重要性教科書提供老師教什麼與學生學什麼的重要依據。在 TIMSS 2011 的研究中提到，台灣 92%以上的數學教師會採用教科書為重要材料進行教學，完全不使用或是列為參考資料則不到 8%(Mullis, Martin, Ruddock, O’Sullivan, & Preuschoff, 2009)。Törnroos (2005) 則指出數學教科書將影響學生的學習機會與其學習成就，顯示進行教科書研究有其重要價值，並受到越來越多數學教育研究人員的重視。國內已有許多對教科書的相關研究，但針對中學統計與機率教材的相關研究不多，目前查詢到的文獻有以下數篇：邱婉嘉 (2010) 對台灣與美國高中信賴區間單元教材內容之分析比較、王馨梅 (2011) 對我國九年一貫數學教科書統計與機率領域之順序性、繼續性及銜接性進行三版本比較、游憶秋 (2011) 對台灣與美國中小學統計課程資料變異概念之教材比較和李建恆與楊凱琳 (2012) 針對統計認知面向與圖表理解角度分析我國國中數學教科書的統計內容。我們可以發現中學階段教科書統計與機率領域與我國做跨國相關的比較研究並不多，而不同研 15.

(24) 究有不同的切入角度進行分析比較，目前並未有對我國與學生成就表現亮眼的新加坡進行有關統計與機率領域國中階段教科書相關的比較研究，而兩國間教科書統計與機率領域有何種差異，值得進一步深入研究。. (二)題目的重要性曹亮吉 (1984) 指出題目象徵著活力，許多理論的發展幾乎來自於研究者想要解決特殊的問題，進而探索發現新的方法與觀點，因此題目對許多數學家來說，有著相當重要的價值。自 1980 年以來，解題被美國數學教師協會列為學校數學學習的焦點(NCTM, 1980)，象徵著解題在教學上逐漸受到重視。而學者劉秋木 (1996) 同樣提出在教學時，可把解題作為基本的教學原則，利用提出問題再解決之方式進行數學教學。就我國國中數學教科書而言，題目為教科書主要組成內容，教科書中很容易發現處處充滿著題目，不論在一開始的引起動機，即以題目的方式呈現供學生思考為何學習此單元內容並提升學生學習興趣，或是提供探索活動等一系列題目供學生學習觀察、分析、歸納、類比與推論，進而習得某些新的概念。此外，題目也提供學生學習解題過程(process)並應用所學內容解題，老師也可透過題目引導學生從解題中，學習發展新的數學概念(Yeap, Ferrucci, & Carter，2006)，並可給學生作為課後練習之用(Bayazit，2012)。我國數學科教師更是將教科書題目視為教學時重要教學素材，具有相當高比例的教師於教學時，將教科書題目忠實或稍作修改呈現題目於課堂供學生學習(徐偉民，2013)，故教科書題目為學生所面對題目的重要來源之一。綜合上述，題目為教科書重要組成材料，近年來更是有許多研究聚焦於分析教科書題目，但較少針對教科書中統計與機率領域的題目進行跨國比較研究，故本研究之研究方向。. 16.

(25) 第二節解決題目所需認知能力相關研究本節將探討對我國學生認知能力於實徵研究的表現。彭聃齡與張必隱（2000）提到認知(cognition)指是對知識的獲得與應用，反應事物本身的特徵與關係。陳李稠 (1999) 指出認知為個人心智活動與心理狀態，綜合運作的複雜歷程。一、認知能力相關實徵研究 (一) TIMSS 統計與機率領域認知能力表現 IEA(International Association for The Evaluation of Educational Achievement，簡稱 IEA)舉辦之 TIMSS 2003 (Trends in International Mathematics and Science Study，簡稱 TIMSS)之結果發現新加坡在參加的 51 的國家或地區中整體排名第一(605 分)，且與排名第四名之臺灣(585 分)表現已達統計上顯著差異，其中在「機率與統計」領域同樣表現優異，臺灣部分同樣排名第四，且與名列第一的新加坡同樣達統計上顯著差異。在 TIMSS 2003 中，我國整體排名第四，新加坡為第一，在「統計與機率」部分，臺灣排名第四，新加坡為第一，而到了四年後的 TIMSS 2007，臺灣整體排名上升至第一，新加坡則下降至第三名，相較其他領域之優異表現(如代數與幾何之第一名)，在「統計與機率」部分，新加坡排名第二，我國連續兩次第四名之表現則相對遜色(曹博盛，2009)。而在最新的 TIMSS 2011 中，我國整體排名第三，新加坡排名第二，而在統計與機率領域(data and chance)，我國排名第三，新加坡排第二，恰好和整體排名有些相似，綜合上述，顯示在近十年的統計與機率領域表現，似乎都有排名(得分) 落後新加坡的情形，在 TIMSS 2011 已公佈試題中，如表 2-5，在統計機率領域新加坡表現相當優異，在已知十八題中，共計 14 題答對率較我國為高，橫跨知道(knowing)、應用(applying)、推理(reasoning)三向度，共有六個題目表現於國際. 17.

(26) 間排名第一，但台灣方面則僅有一題表現第一(IEA, 2013)，不難發現新加坡八年級學生於統計與機率領域有令人亮眼的表現。. 表 2- 5 自行整理 TIMSS 已公佈統計與機率試題學生表現情形台相較於新台灣答對率台灣新加坡答對率試題編號. 科目年級. 內容領域. 新加坡. 認知領域. 答對率優(o)/ (%). 排名. (%). 排名劣(x). M032132. 數學. 8. 機率與統計. 知道. 68. 4. 71. 3. x. M032507. 數學. 8. 機率與統計. 應用. 55. 5. 70. 1. x. M032681A. 數學. 8. 機率與統計. 知道. 80. 6. 82. 4. x. M032681B. 數學. 8. 機率與統計. 應用. 65. 1. 49. 7. o. M032681C. 數學. 8. 機率與統計. 應用. 69. 6. 67. 7. o. M032695. 數學. 8. 機率與統計. 應用. 80. 2. 84. 1. x. M032721. 數學. 8. 機率與統計. 推理. 58. 3. 60. 2. x. M042169A. 數學. 8. 機率與統計. 知道. 76. 5. 81. 3. x. M042169B. 數學. 8. 機率與統計. 知道. 40. 13. 56. 6. x. M042169C. 數學. 8. 機率與統計. 應用. 22. 10. 46. 1. x. M042177. 數學. 8. 機率與統計. 應用. 77. 7. 82. 2. x. M042179. 數學. 8. 機率與統計. 應用. 68. 9. 85. 2. x. M042207. 數學. 8. 機率與統計. 應用. 80. 3. 85. 1. x. M042260. 數學. 8. 機率與統計. 知道. 89. 2. 77. 14. o. M042269. 數學. 8. 機率與統計. 推理. 82. 3. 73. 7. o. M052429. 數學. 8. 機率與統計. 推理. 70. 6. 78. 1. x. M052503A. 數學. 8. 機率與統計. 推理. 22. 14. 40. 3. x. M052503B. 數學. 8. 機率與統計. 推理. 32. 4. 39. 1. x. (二) TIMSS 認知架構應用實徵研究陳怡仲 (2010) 以 TIMSS2007 評量架構探討國小三、四年級統計圖理解能力，TIMSS2007 認知評量架構分為三個向度，分為知道、應用與推理，研究結果發現學生在三者間有顯著差異，知道層次表現顯著高於應用，而應用又更高於 18.

(27) 推理，知道僅需對統計圖報讀出讀資料，不需要做任何運算；應用需對資料作運算或比較；推理則必須對資料做出分析，並預測其結果，該項研究結果與 TIMSS2007 研究結果一致，學生對於較高層次之推理表現相較為弱勢，建議能讓學生多接觸推理類型的題目，增進其不足之處。. 二、我國統計與機率領域相關實徵研究張少同 (2003) 對青少年的統計概念學習進行研究，目的即在了解青少年對「統計」概念的形成與發展，幫助教師設計適合的教學流程，結果發現如下： 1.. 生活中的統計資料：學生生活中常碰到的統計資料大多來自於報章或電視提供的社會事件如死亡率、出生率、意外事故、雨量統計、地震統計、氣溫變化、失業率等。. 2.. 折線圖的預測：使用 87 年度的失業率折線圖供學生預測趨勢為升高或降低，結果在調查的 147 名青少年學生中有 44%的人不知道或不敢預測，顯示學生不能了解趨勢的意義。. 3.. 平均數：甲、資料與平均數之間的差，其和為零的題目，學生表現最差，在全國施測中答對率僅 39%。乙、在平均數的計算方面，年級越高則計算能力愈強。丙、國中階段較低年級傾向於使用眾數來代表資料，而較高年級則傾向於使用平均數來代表資料。. 4.. 加權平均數：在加權平均的部份，七成左右的學生可以由簡單的次數分配表計算平均數但是卻幾乎所有的學生都無法正確計算平均速度。. 5.. 統計圖表：. 19.

(28) 甲、製圖正確率最高為長條圖，再者為為折線圖，最低為圓形圖。乙、大多學生報讀統計圖表並無太大問題，答對率超過 95%，但在解讀部分則相對不佳。 6.. 認知過程：在計算的程序性知識部分，國三生顯著高於國一與國二，另外，較低年級的學生傾向用眾數來代表一組資料，而高年級的學生則是平均數，但是若把資料轉換成圖形表徵，則大部份的學生改以用最大值或最小值來代表一組資料，顯示表徵會影響學生的判斷。. 王建都 (2003) 探討我國青少年對機率的概念了解的情況，透過問卷得出以下結果： 1.. 列出簡易樣本空間元素較無問題；但在列出較複雜的樣本空間元素(樹狀圖或排列)，大多數學生都有困難。. 2.. 多次獨立試驗的結果（隨機過程），因學生未真實體驗過旋轉圓盤的結果，大多數學生不知如何判斷。. 3.. 樣本空間、等機率的樣本空間或不等機率樣本空間中事件的機率、獨立事件的機率、旋轉圓盤、袋中取球、彈珠經由分岔路徑掉落等相關問題，年級越高，表現越佳。. 4.. 對於投擲圖釘的情境學生並不熟悉(如由投擲 100 顆圖釘的結果來預測再同樣投擲 100 顆的結果的可能性)，各年級僅有不到五分之一的學生有此概念。. 5.. 機率概念之層次：研究將機率概念分成三個層次如下：層次 1：投擲對稱物件等機率、投擲硬幣出現的結果與過去歷史無關、三人排列、旋轉分割成等區塊的圓盤得到某一區塊的機率、投擲一硬幣四次出現結果的機率、男女生人數不等選取一男生的機率、袋中含有三種色球取出一些球後再取出一色球的機率、袋中黑球一樣多白 20.

(29) 球數不一樣多取到一黑球的機率、袋中黑白球比例一樣取到一黑球的機率。層次 2：圓盤分割成不等區塊得一顏色區塊的機率、圓盤分割成標誌為 1、 2 的等區塊，得一標誌為 2 區塊的機率、袋中有黑白球取一色球機率的比較，需要能比較分數的大小、彈從分岔路徑掉落到一些位置的機率，隱含應用乘法、加法法則、氣象預報會下雨的機率的意義。層次 3：投擲二枚 5 元硬幣出現情形的機率、判斷三序列的紀錄何者有可能是真正旋轉一圓盤的記錄、袋中黑白球各若干個每次取一球後放回，取六次都是黑球，下次取到黑球的機率、多次投擲圖釘的機率、四人排列的方法數。. 三、教科書題目認知架構相關研究接著將探討與本研究相關的認知評量架構，第一個部分是布魯姆修訂版認知領域架構；第二個部分與其相似之 TIMSS 2011 評量架構(Kien-Kheng and Idris, 2010)，該架構已有許多相關研究成果，可用於了解跨國間學生於不同領域的解題表現與長期學生表現的趨勢；第三個部分則是教科書統計與機率領域題目認知能力相關研究；第四個部分則是布魯姆認知領域修正版相關教科書研究。 (一)布魯姆修訂認知架構 Bloom 於 1956 年提出廣為教育界所採用的教育目標分類，能用於研究教育目標、教學活動與評量，到了 2001 年 Anderson 等人又提出對 Bloom 教育目標分類做出修訂版，葉連祺、林淑萍 (2003) 指出布魯姆修訂後版本將教育目標分類分成兩個向度，第一個是知識向度(knowledge dimension)，用於協助區分教師教什麼，第二個則是認知歷程向度(cognitive process dimension)，用於促進保留 (retention)和遷移(transfer)所習得的知識。認知歷程向度則分為六個主要層次，分別為記憶、了解、應用、分析、評鑑、. 21.

(30) 創造，並可再細分許多類別，詳內容如表 2-6：. 表 2- 6 布魯姆認知領域教育目標分類修訂版認知向度內容相關詞. 定義從長期記憶取回有關的知識. 1. 記憶(remember) 1.1 識別(recognize). 確認(identify). 從長期記憶區到與問題中所呈現資料內容一致的知識. 1.2 回想(recalling). 取回(retrieving). 藉著問題所給的提示，從長期記憶區取回相關的知識學生能從教學訊息(口頭、書面或圖形等形式的溝通)去建構意義. 2. 了解(understand) 2.1 詮釋(interpreting). 轉譯(translating) 改寫(paraphrasing). 學生能將資料從一個形式轉換成另一種表徵形式. 描繪(representing) 釐清(clarifying) 2.2 舉例(exemplifying). 圖解說明. 對一個概念或原理到一個特例子或說明. (illustrating) 實例說明 2.3 分類(classifying) 2.4 總結(summarizing). 2.5 推論(inferring). (instantiating) 分類(categorizing) 歸屬(subsuming). 決定將某事物歸於某一個類別. 摘要(abstracting) 一般化. 學生能以一個敘述來表示所呈現的訊息或摘要出主題或要點. (generalizing) 外推(extrapolating) 內推(interpolating). 從一組例子中找到它們的規律性. 預測(predicting) 2.6 比較(comparing). 對照(contrasting) 比對(mapping) 配對(matching). 偵測兩個想法、物件或其他事物中對應部分的異同. 2.7 解釋(explaining). 建模. 建立一個系統的因果關係模式. (constructing models) 在所給的情況下執行或使用某個程序. 3. 應用(applying) 3.1 執行(executing). 進行(carry out). 在所給情況下執行或使用某個程序 22.

(31) 3.2 實行 implementing) 使用(using). 將一個程序應用於還不熟悉的工作. 4. 分析(analyze). 將材料分解成數個組成成分，並決定這些成分之間以及與整體架構或目的間的關連. 4.1 辨別 (differentiating). 4.2 組織(organizing). 區別 discriminating) 分別(distinguishing) 聚焦(focusing) 選取(selecting). 區分所給材料相關與不相關或重要與不重要的部分. 尋找連貫. 確定在一個結構中，成分元素是否符合或有作用. (finding coherence) 整合(integrating) 概述(outlining) 剖析(parsing) 構造(structing) 4.3 歸因(attributing). 解構 (deconstructing). 確定所給材料中的觀點、偏見、價值或企圖根據規準或標準下判斷. 5.評鑑(evaluate) 5.1 檢查(checking). 協調(coordinating) 偵測(detecting) 監督(monitoring) 測試(testing). 偵測一個過程或結果的不一致獲錯誤；確定一個過程或結果是否有內部一致性；當一個過程被完成時，能確認它的效能. 5.2 評論(critiquing). 判斷(judging). 偵測出結果與外在結果的不一致性，決定一個結果是否有外在的一致性；偵測對所給問題的解決程序的合適性將元素一個組成有條理或具功能. 6. 創造(create). 的整體；將元素重組成一個新類型或結構 6.1 產生(generating). 假設(hypothesizing). 根據標準建立替代的假設. 6.2 規劃(planning). 設計(designing). 建立一個程序以完成某樣工作. 6.3 製作(producing). 建立(constructing). 發明一個新產品. (二) TIMSS 2011 評量架構 TIMSS 2011 測驗評量對象有四年級與八年級學生，評量可為兩個維度，第一個向度是內容維度(content domain)，共可分成四個主題，數(number)、代數(algebra)、 23.

(32) 幾何(geometry)、統計與機率(data and chance)；另一個向度是認知維度(cognitive domain)，可以分為知道(knowing)、應用(applying)、推理(reasoning)。而 TIMSS 2011 的認知維度的內容為所預期學生的行為，詳述如下： 1. 知道包含學生需要去知道的事實、概念、程序。包含以下行為：回想(recall)、辨識(recognize)、計算(compute)、取回(retrieve)、測量(measure)、分類/排序 (classify/order)。 2. 應用則指聚焦在學生應用知識與概念的理解去解決問題。包含以下行為：選擇(select)、表徵(represent)、建模(model)、實行(implement)、解例行性問題(solve routine problems)。 3. 推理則是能解超越例行性的問題，包含不熟悉情境、複雜脈絡與多步驟的題目。包含以下行為：分析(analyze)、一般化(generalize/specialize)、結合/合成 (integrate/synthesize)、辯解(justify)、解非例行性問題(solve nonroutine problems)。 Robitaille , Schmidt, Raizen, Knight, Britton, Nicol (1993) 認為 TIMSS 架構為分析課程材料有利的工具，可用於了解學生對最例行到最複雜的題目的表現需求，並可藉此了解跨國間的課程差異。. (三)教科書統計與機率領域題目認知能力相關研究國內外對統計與機率教科書題目解題認知能力有相關的研究如下： 1.. Jones and Tarr (2007) 針對美國四個版本的數學教科書機率問題做認知需求(cognitive demand)的研究，以瞭解美國教科書國中階段(六、七與八年級) 提供何種的認知層次(cognitive level)題目，認知需求有時又被稱為表現期望 (performance expectations)或表現目標(performance goals)，研究架構依 Stein, Smith, Henningsen, & Silver (2000) 提出之分類，認知需求可分為記憶 (memorization)、無連結程序(procedures without connections)、連結程序. 24.

(33) (procedures with connections)、做數學(doing mathematics)四類，而記憶與無連結程序為較低層次需求(lower-level demands)，無連結程序與做數學為較高層次需求(higher-level demands)。研究顯示較高認知層次題目在個版本間均較為不足，缺乏高認知層次問題，可能讓學生將機率課程視為古典機率的計算，也可能無法擁有理性克服迷思概念的機會，如代表性捷思策略（representativeness heuristics）、可獲性捷思策略(availability heuristics)等常見迷思概念，進而影響學生對機率的判斷與日後機率的學習。 2.. 統計領域部分，Pickle (2012) 於其博士論文同樣對以美國中學階段教科書統計領域題目，分析教科書題目的認知需求(Stein et al., 2000)，結果發現低認知需求問題仍占多數，但在有助於統計概念的理解與改正學生統計的迷思概念等高認知需求題目較為缺少。建議可增加有關修正統計迷思概念的高認知需求題目。. 3.. 李建恆、楊凱琳 (2012) 以統計知識（statistical literacy）、統計推理（statistical reasoning）和統計思考（statistical thinking）三個面向探討我國國中統計教材題目的不同認知面向所佔百分比，其認知架構如表 2-7。. 表 2- 7 統計認知面向與其認知分類統計認知面向. 統計認知類別分類排序計次、表格轉換、計算、簡化、判斷、設計數據、繪製圖. 統計知識像、報讀圖表、解讀圖表統計推理. 解釋、預測、推理. 統計思考. 形成問題、收集數據、選擇分析方法、批判和評估. 結果發現了兩版本之數學教科書題目均著重於統計知識的培養，對統計推理與思考面向的學習機會較為不足。綜合上述架構，本研究的方向為解決題目所需認知能力，研究者發現新加坡具 25.

(34) 有創作等較高認知層次問題，且 Bloom 認知教育目標分類修訂版架構定義與分類較為仔細且完整，故決定以 Bloom 認知教育目標分類修訂版作為本研究認知能力的分類架構。. (四)布魯姆認知領域修正版相關教科書研究此部分將對布魯姆認知領域修訂版架構分析教科書相關材料研究認知向度部分進行文獻探討，內容如下：鐘榆翎 (2007) 利用布魯姆認知領域教育目標修訂版進行低年級數與量主題內容進行比較，用以比較教學目標、活動目標、教學活動與習作的分散情形與一致性，結果發現在分析、評鑑、創造層次問題比例均甚低，並建議適時增加較高認知層次問題，提升學生的思考能力。李牧桓 (2010) 以布魯姆認知領域教育目標修訂版為架構進行芬蘭與台灣一年級數學教科書之相互比較，研究發現兩國間教科書知識向度分散情形類似，在認知部分則有差異，芬蘭在六個向度均有題目，而臺灣相較於芬蘭則缺乏評鑑與創造兩個層次的教學活動，建議我國能參考芬蘭安排開放性問題，提供學生培養較高認知層次能力的機會。劉佳芸 (2004) 使用布魯姆認知領域修訂版架構進行電腦教科書分析，研究教學目標、教材內容與習題的認知比例分佈並探討三者的一致情形，結果發現教學目標、教材內容與習題以較低認知層次為主。教學目標和習題具有高認知層次為少數，並發現有教學目標未落實和教學目標、教材內容與習題一致性不佳的問題，研究則建議能教科書編輯者能留意教學目標、教材內容與習題間是否具有一致性。也建議能依照學生程度選擇適合的教科書。李淑惠 (2009) 對國小社會領域習作高層次思考能力做內容分析，該研究以布魯姆認知領域作分析，用以了解習作題目於認知歷程向度之整體分佈情形，研究結果指出國小社會科習作皆以記憶與了解為主，對於分析、評鑑、創造等較高認. 26.

(35) 知層次題目隨著年級的增加而增加。並提到未必高認知層次比例多的習作，即為好的習作，應針對學生心智能力做出選擇為佳。從上述研究，不難發現布魯姆認知領域修訂版被許多領域所採用為教科書分析架構，用於了解認知向度的分散情形，而大多數研究提出對於能促進學生思考的分析、評鑑、創造層次題目，有較為不足之現象。是否我國與新加坡教材也有類似的現象，值得進一步研究。. 27.

(36) 第三節題目表徵形式相關研究彭聃齡、張必隱 (2000) 認為表徵為是某種東西的信號，代表著某種事物，傳遞著事物的訊息。Lesh, Post,& Behr (1987) 指出表徵為學生內在概念之外在具體化身。表徵的功用在使數學概念具體化，是促進溝通、思考與解題的有效工具(徐偉民、黃皇元，2012) 一、表徵對解題的影響 (一)表徵的分類表徵在解決問題有其重要意義，好的表徵方式有助於對問題的分析與理解，不好的表徵方式則可能妨礙解題，彭聃齡與張必隱 (2000) 把表徵的方式，分為符號表徵、列表表徵、圖解表徵、意向表徵，共四類，藉上述表徵之間的轉換可促進學生的解題，故為解題之重要核心。Chapman (2006)同樣認為在學階段題目大致可分四類，分別是文字、圖形、數學符號以及上述兩者以上之混合。 Lesh, Post & Behr (1987)同樣強調表徵與其間轉換對學習與解題有所助益，定義出五種表徵方式：1.經驗為基礎的描述(experience-based scripts);2.可操作模型(manipulative models);3.圖片或圖表(pictures or diagram);4.口語(spoken languages);5.書寫符號 (written symbols)。 (二)題目表徵對解題的影響本研究則聚焦於教科書題目，不同題目表徵類型，對學生來說，解題有不同之影響，並於國中階段已有許多相關研究。 Moyer, Sowder, Threadgill-Sowder, and Moyer (1984) 研究小學三年級至國中一年級共 854 位學生，研究圖形、文字題、短語題(telegraphic)之不同問題表徵型態對學生解題的影響，也就是說以圖畫、完整敘述、精簡後文字題，提供學生已知條件相同，呈現方式不同之題目做比較研究，結果發現學生在圖形類型問題解題表現較顯著高於其他類問題。胡慧茹 (2009) 探討九年級學生對圖形、數對、代數、文字敘述不同表徵題目 28.

(37) 形式之二次函數問題的解題表現，結果發現不同表徵形式之問題對學生解題表現造成影響，在圖形表徵問題答對率方面較為集中，然而高數學能力學生較為偏好解文字題，而中低數學能力組學生面對較長敘述的文字題時，容易放棄或直接跳過不寫，表示問題表徵型態對學生解題意願與表現有其影響。劉家樟、楊凱琳與許惠玉 (2012) 研究我國小六年級學生在三種相同數學內涵但不同代數試題表徵的解題表現，結果發現學生在故事題、文字題、情境題中，以符號題表現最好，故事題表現最差，部分原因可能來自於受到教科書內容所影響。我們可以發現表徵對學生有其影響。研究者同樣發現不同數學教科書對題目呈現方式有所不同，如給定資料計算中位數，有些教科書的題目以文字搭配數字的方式呈現，而有些以表格的方式呈現，相較之下，表格方式呈現資料的方式，需要報讀的認知能力，無法直接計算，對學生來說較為困難。. 三、數學教科書題目表徵形式相關教科書研究以下將說明幾個呈現題目的表徵形式架構。 Zhu and Fan (2006)將美國與中國教科書中學教科書題目分為以下七類如下： 1.. 例行性與非例行性問題(Routine Problems vs. Non-Routine Problems) (1)例行性問題(Routine Problems)：對學生來說，問題使用一個已知的算法，公式或程序解出，可立即知道作法，更具體的來說，問題被說明要使用某一特定方法(如算法、公式或程序等)，即被稱為例行性問題。 (2)非例行性問題(Non-routine Problems)：如不是例行性問題則為此類。. 2. 傳統問題與非傳統問題(Traditional Problems vs. Non-traditional Problems) (1)非傳統問題(Non-traditional Problems)：共分成四種子類型： . 提出問題型的問題(problem-posing problem)：在問題情境中，利用訊息對問題再提出問題。. 29.

(38) . 謎題型問題(puzzle problem)：讓學生從事富有潛在娛樂性的問題。. . 計畫型問題(project problem)：問題或是一系列問題，包含一個或多個以下過程，包含蒐集資料、觀察、找參考資料、辨別、測量、分析、決定規律、關係、做圖與溝通，通常需耗費大量時間完成。. . 日誌問題(journal problem)：需以寫作表達想法、經驗問題、反思、個人理解、新學到的內容。 (2)傳統問題(Traditional Problems)：不為非傳統型問題，即為傳統問題。. 3. 開放式問題與封閉式問題(Open-ended Problems vs. Close-ended Problems) (1)開放式問題：有多個正確答案的問題。 (2)封閉式問題：答案只有一個正確答案的問題。 4. 應用問題與非應用問題(Application Problems vs. Non-application Problems) (1)應用問題：與日常生活或真實世界有關的問題。 (2)非應用問題：不為應用問題即為此類。應用問題可再分兩類： . 虛擬應用問題(fictitious application problem)：問題條件與資料為教科書編者所設計. . 真實應用問題(authentic application problem)：問題資料與條件來自於學生的真實日常生活情境。. 5. 單步驟問題與多步驟問題(Single-step Problems vs. Multiple-step Problems) (1)單步驟問題：只需一次運算即可解出之問題。 (2)多步驟問題：非單步驟即多步驟問題。 6. 足夠資料問題、無關緊要資料問題與不足資料問題(Sufficient Data Problems, Extraneous Data Problems, and Insufficient Data Problems) (1)足夠資料問題：條件恰好可解出問題。 (2)無關緊要資料問題：給出多餘條件之問題。. 30.

(39) (3)不足資料問題：所給條件缺乏，不足以解出問題。 7. 問題表徵形式(representation forms)：用於描述問題被置於何種情況，用於資料呈現，分為純數學形式問題、文字形式問題、圖形形式問題、聯合形式問題。 (1)數學形式問題：僅以數學式(mathematical expression)表示之題目。 (2)文字形式問題：僅用全為文字敘述之題目。 (3)圖形形式問題：以圖片、圖形、圖表、地圖等為主表示之題目。 (4)聯合形式問題：具有上面兩種或三種形式之題目。研究顯示中國與美國之間在問題表徵部分，有差異存在。數學形式部分，中國比例較高占 53.9%，美國則占 26.9%，在圖形形式問題則美國較高占 8.6%，中國則占 3.3%，綜合來說中國為數學形式為主，其他部分相較於美國均較少，在佈題的多元性，美國部分則較佳，而該差異可能影響學生解題的學習成就，如提供圖形形式問題較多之美國，而在實徵研究中，較喜歡使用圖形、圖片、表格等圖形形式相關方式解決問題(Cai, 1995)，並於該類問題表現較佳。此架構同於 Fan and Zhu (2000) 分析新加坡的二個版本教科書題目，研究對象為國一與國二教材，包含統計單元的題目，但目前尚未有針對臺灣與新加坡國中階段統計與機率領域題目表徵的比較研究，為本研究方向之一。. Bayazit (2012) 對土耳其中學階段(六、七、八年級)教科書做跨年級間比例推理(proportional reasoning)題目比較，用於討論數學教科書對比例概念提供的問題特性與呈現方式有何差異。該研究則以認知需求、表徵呈現方式、情境三方面切入，認知同 Stein 等人之認知需求架構，表徵分類為文字(verbal)表徵、符號 (symbolic)表徵、圖形(pictorial)表徵、兩種以上表徵組合(文字&符號表徵、文字 &圖形表徵、文字&圖形&符號表徵)，情境(context)則區分為純數學情境 (intra-mathematical context)與非純數學情境(non-mathematical context)，研究結果. 31.

(40) 發現書中著重在非程序性計算之高認知需求問題(75%)，而表徵與情境均多元呈現，透過多元表徵與情境有助於學生對概念的理解，為土耳其新數學課程所推薦。尤欣涵 (2010) 台灣、美國與新加坡中學階段幾何領域有關三角形內容做分析比較，對題目分析其情境呈現方式、表徵型態、訊息類型(訊息充足、訊息無關、訊息不足)與知識屬性，研究結果顯示除美國情境數學教科書較重視情境外，其餘版本均強調無情境問題，表徵型態則大多為文字型態，訊息類型則為訊息充足為主，三版本並同樣強調程序性知識。徐偉民、黃皇元 (2012) 針對臺灣與芬蘭國小數學教科書分數教材內容之分析做探討，以「題目」為單位了解兩國教材呈現的異同，對分數主題(分數基本、分數的加減、等值分數、分數乘法、分數除法、分數四則混合運算)、表徵形式、知識屬性等做出分析比較，結果顯示兩國均最為強調數學形式表徵與程序性知識，芬蘭對於分數教材主要為以數學定義、符號方式呈現，並強調計算能力，相較之下，臺灣則以多元表徵呈現概念，並兼顧理解與應用。綜合上述，研究者選擇由 Zhu and Fan (2006)提出的表徵形式分類架構，此架構廣為使用於新加坡跨國教科書題目表徵形式比較(如臺灣、美國與新加坡或是新加坡與中國)，故本研究將採用此架構進行分類。. 32.

(41) 第四節題目情境相關研究朗文字典將情境(situation)定義為在某個地方的特定時間，所有正在發生事情與狀態的組合(situation, 2013)。林碧珍 (2003) 提到對解題的研究者來說，題目的題幹上所描述的情境脈絡稱之為問題情境。一、情境對學生學習上的影響：情境化學習(situated learning)主張人類能在情境中學習到事物所代表的意義，並認為知識包含在學習的情境之內，建議能盡量老師能多加提供真實的問題供學生學習(Sternberg & Williams, 2002，周甘逢、劉冠霖譯)。 Chapman (2006) 認為有真實生活情境的問題，可以使學生明白對學生學習數學的意義，並可以幫助學生發展有關創造、批判與解題的能力。Boaler (1994) 提出數學情境可將教室所學數學與真實生活連結做出良好的示範，並強調問題應與生活做出連結。張新仁 (2003) 出學習與社會文化情境間有其密切關係，認為透過實際情境學習，才能獲得實用的知識。曾慧敏 (2003) 情境學習認為知識應於真實情境中學習，而知識為學習者與情境互動的產物，將受文化與社會脈絡的影響。陳慧娟 (1998) 為知識如同工具一般，需透過使用才能真正了解，並主張教材應於現實生活中取材，供學生探究學習。教育部 (2003) 同樣指出教科書編寫應對內容做跨數學主題、領域，並與日常生活做出連結，從生活中察覺與數學相關的情境。鄭天澤 (1995) 為統計與生活有密切相關，提出統計為配合現實生活環境問題所發展出的一種科學方法，在日常生活中如教育、工業、生物醫學等領域均有關連，有重要的實用價值。鄒聖馨、鍾靜 (2001) 提到真實資料有助於提升學生學習統計的興趣，且學生較能對統計資料進行推論，了解蘊藏當中的意義。林碧珍 (2003) 指出題目中的情境，其功能在於能讓學生想像並利用學生自己的經驗和知識，進行數學化的思考，而情境與學生的真實生活越貼近，則越能進行數學化的思考與有效的數學學習。. 33.