國中一年級學生文字符號概念試題編製與迷思概念分析

全文

(1)國立臺中教育大學教育測驗統計研究所理學碩士學位暑期在職進修專班碩士論文. 指導教授：胡豐榮博士. 許天維博士. 國中一年級學生文字符號概念試題編製與迷思概念分析. 研究生：林庭立撰. 中華民國一百年七月.

(2)

(3) 謝辭四年的努力終於得到豐富的收穫，能夠順利在職進修完成四年的研究所學業，並取得碩士學位，完成了自己的夢想，我的內心充滿了無限感恩，非常感謝很多人的幫忙，我才能達成階段性的目標。四年中從測統所學到許多的能力，讓我在撰寫此篇論文時能得心應手，最要感謝的是我的指導老師胡豐榮博士和許天維博士，。當我埋頭在冰冷的論文中時，他們在工作繁忙的時候，仍不時給予我無私的教導以及關切下，感受到了溫暖，讓我更有信心可完成，也感謝劉湘川博士、郭伯臣博士和辛俊德博士，在口考時費心審閱論文，並能提出寶貴的建議與修正，使得本論文可以更加的完善。感謝測統所的同學一路陪我走過這段忙碌卻充實的研究生活，國明、資貴、淑珍感謝你們的幫忙讓我能順利畢業。也感謝我的朋友政緯、智潁、明耀在有空的時間都陪我抒發壓力，感謝我的爸，媽無時無刻的關心，最感謝的是我的老婆盈帆，一路支持我到最後，給我關容與包含，讓我可以一邊教書一邊安心的進修，我要把這份榮耀送給我老婆。要感謝的人太多了，我會把感謝放在心裡，當你們需要幫忙時我會毫不遲疑的回報你們的，謝謝。. I.

(4) II.

(5) 摘要本研究主旨在探討國中一年級學生對文字符號概念試題與迷思概念分析，利用TESTER For Windows 2.0 繪製出的S-P圖表來診斷學生抽象符號概念的學習類型，找出編製異常的試題和學習上需要注意的學生，並藉由TestGraf 98試題分析軟體做試題選項特徵曲線，以檢驗試題編製的適切性和分析學生答題情形的迷思概念，從中獲得有關改進教學的參考。本研究以臺中市某國中一年級學生為研究對象，研究結果如下：一、試題特性分析 (一)試題的平均難度為 .59，題目難易度適中。 (二)試題的平均鑑別度為 .59，屬於鑑別度優良的試題。 (三)試卷的信度為 .898，表示試題內容與測驗目標具一致性，是一份優良的試卷，並且具有良好的內容效度和專家效度。二、S-P表分析透過研究結果顯示，從國中一年級學生所分析獲得的 S-P 表及學生注意指數，雖然有些微差異，但皆在可接受之差異範圍，五個班學習狀況都成常態分佈，有兩班同學表現相近，學習情形沒有包含太多的異質因素成分在內，屬於良好的學習穩定狀態。三、測驗的試題選項特徵曲線由各選擇題的選項特徵曲線來看，全部有98%的誘答選項具有誘答力，而且正確選項的曲線皆是漸近上揚的，表示具有良好的鑑別度，能力愈高的受試者通過率愈高，能力愈低的受試者通過率則愈低。關鍵詞： S-P 表、文字符號、學生注意係數、問題注意係數、選項特徵曲線。. III.

(6) Item development of abstract symbol concepts and misconception analysis among grade seven junior high school students. Abstract A study on item development of abstract symbol concepts and misconception analysis among grade seven junior high school students.Using the Tester for Windows 2.0 to draw S-P chart to analysis students’learning type of abstract symbols concepts, to identify abnormalities of the questions and students who needs to pay attention. Besides, TestGraf 98 software is used to create item options characteristic curves, to test the appropriateness of questions and analyze student’s answers misconception. Derive a reference to improving teaching The study objects were the first-graders at some junior high school in Taichung County.Our results are as follows. 1. About the Characteristics of the questions and test paper, we obtain that (1) The questions are of medium level with an average difficulty .59 (2) The questions are a best measurement with an average discrimination .59 (3) The reliability of Cronbach is .898 and the contents of items and the goals of the testing are in unanimity is a best measurement with good content validity and expert validity. 2. About the analysis of S-P chart , we obtain that the results show that the first graders at junior high school student’s S-P chart analysis and caution index for students, which means that students＇achievements on learning are broadly within the same range and this range is considered acceptable, and the learning types of all studentsin five classes are in normal distribution. The performances in two of three classes are close. Learning situations does not contain too many heterogeneous elements are a good learning steady state. 3. About the Item options characteristic curve of the test , we obtain that by the characteristic curve of multiple-choice options , 98% distracters have distraction. IV.

(7) between all items. And all the correct curves are asymptotically rising, indicating good discrimination, the higher capacity of the subjects by the higher rate, the lower the ability of the subjects by the lower rate. Keywords：S-P chart, abstract symbols, caution index for students, caution index for questions, Option-Characteristic Curve.. V.

(8) VI.

(9) 目錄第一章. 第二章. 第三章. 第四章. 第五章. 緒論………………………………………………………………. 1 第一節. 研究動機與背景………………………... ……………. 1. 第二節. 研究目的與待答問題…………………………………. 4. 第三節. 名詞解釋………………………………………………. 4. 第四節. 論文限制………………………………………………. 5. 文獻探討…………………………………………………………. 7 第一節. 學生文字符號概念的認知發…………………………. 7. 第二節. 九年一貫數學領域文字符號課程……………………. 13. 第三節. 文字符號概念與相關研究探討………………………. 23. 第四節. 試題編製與分析理論…………………………………. 34. 研究方法…………………………………………………………. 63 第一節. 研究架構………………………………………………. 63. 第二節. 研究對象與試題來源…………………………………. 64. 第三節. 研究工具………………………………………………. 64. 第四節. 研究流程………………………………………………. 70. 第五節. 資料處理與分析………………………………………. 71. 研究結果與討論………….…………….…………….………….. 73 第一節. 正式試卷試題特性的分析………….…………….…... 73. 第二節. S-P 表分析結果探討……………….…………………. 76. 第三節. 學生答題情形分析……………………...…………….. 87. 研究結果與討論…………………………………………………. 133 第一節. 研究結果………………………………………………. 133. 第二節. 建議與後續研究方面…………………………………. 138. VII.

(10) 參考文獻. ……………………………………………………………….. 140 一、中文文獻…………………………………………………….. 140 二、英文文獻. 附錄. 144. ……………………………………………………………….. 146 附錄一：單選選擇題試題檢核表………………………………... 146 附錄二：國中一年級學生文字符號概念預試試卷…………….. 147 附錄三：國中一年級學生文字符號概念正式試卷…………….. 151. VIII.

(11) 表次表 2-2-1 與文字符號有關的能力指標………………………………………… 15 表 2-2-2 與文字符號有關的分年細目…………………………………………. 17 表 2-2-3 國小代數題材安排特色表……………………………………………. 19 表 2-2-4 符號代表數的四個層次表………………………………………….... 21. 表 2-3-1 Collis 的學生文字符號概念的三個層次表………………………… 24 表 2-3-2 Küchemann 的六個文字符號概念的層次表……………………….. 25 表 2-3-3 英國學生初等代數概念了解發展層次表…………………………... 26. 表 2-3-4 臺灣學生初等代數概念了解發展層次表…………………………... 28. 表 2-3-5 學生對文字符號的意義有不同的看法表…………………………... 31. 表 2-3-6 記號/制約問題表……………………………………………………... 32. 表 2-3-7 全國國中生在文字符號概念的主要錯誤型態表…………………... 33. 表 2-4-1 難度等級評定表…………………………………………………….... 44. 表 2-4-2 鑑別度等級評定表…………………………………………………… 45 表 2-4-3 選項誘答力分析表…………………………………………………… 46 表 2-4-4 S-P 曲線圖的基本類型……………………………………………….. 54 表 2-4-5 試題使用 S-P 表和試題選項特徵曲線分析的相關研究…………... 60. 表 3-2-1 正式施測對象一覽表……………………………………………….... 64. 表 3-3-1 預試試卷的文字符號概念雙向細目表……………………………... 65. 表 3-3-2 預試試卷的難度和鑑別度指數指標………………………………... 67. 表 3-3-3 預試試卷的信度分析………………………………………………… 68 表 4-1-1 正式試卷試題難度和鑑別度一覽表………………………………… 73 表 4-1-2 正式試卷試題難度等級分布表…………………………………….... 74. 表 4-1-3 正式試卷試鑑別度等級分布表…………………………………….... 74. 表 4-1-4 正式試卷試題的信度分析………………………………………….... 75. IX.

(12) 表 4-1-5 正式試卷的文字符號概念雙向細目表……………………………... 76. 表 4-2-1 試題的注意係數表………………………………………………….... 80 表 4-2-2 試題診斷分析表…………………………………………………….... 80 表 4-2-3 學生診斷分析表…………………………………………………….... 82 表 4-2-4 各班學生類型比較表……………………………………………….... 84 表 4-2-5 五個班學生的學習類型分類表…………………………………….... 86. 表 4-3-1 文字符號概念分類試題的平均難度和鑑別度表…………………… 87 表 4-3-2 正確選項的選答人數及選答率統計表……………………………... 88. 表 4-3-3 各選項的選答人數百分比值總表………………………………….... 89. 表 4-3-4 A 型之正確答選項特徵曲線統計表……………………………….... 92. 表 4-3-5 B 型之正確答選項特徵曲線統計表………………………………… 93 表 4-3-6 C 型之正確答選項特徵曲線統計表………………………………… 94 表 4-3-7 D 型之正確答選項特徵曲線統計表……………………………….... 95. 表 4-3-8 E 型之正確答選項特徵曲線統計表………………………………… 96 表 4-3-9 a 型之誘答選項特徵曲線統計表……………………………………. 96 表 4-3-10 b 型之誘答選項特徵曲線統計表…………………………………... 98. 表 4-3-11 c 型之誘答選項特徵曲線統計表…………………………………... 99. 表 4-3-12 d 型之誘答選項特徵曲線統計表…………………………………... 100. 表 4-3-13 S-P 表與選項特徵曲線分析試題的比較表………………………… 102 表 4-3-14 選項誘答力分析法的比較表……………………………………….. X. 103.

(13) 圖次圖 2-4-1 S-P 表製作說明圖…………………………………………………….. 49 圖 2-4-2 整體測驗品質之診斷圖……………………………………………... 50 圖 2-4-3 試題診斷分析圖……………………………………………………... 52 圖 2-4-4 學生診斷分析圖……………………………………………………... 53 圖 2-4-5 選項特徵曲線圖(一) ………………………………………………… 57 圖 2-4-6 選項特徵曲線圖(二) ………………………………………………… 58 圖 2-4-7 選項特徵曲線圖(三) ………………………………………………… 58 圖 2-4-8 選項特徵曲線圖(四) ………………………………………………… 59 圖 3-1-1 研究架構圖…………………………………………………………... 63. 圖 3-4-1 研究流程圖…………………………………………………………... 70. 圖 4-2-1 甲班的 S-P 表圖形…………………………………………………… 77 圖 4-2-2 乙班的 S-P 表圖形…………………………………………………… 77 圖 4-2-3 丙班的 S-P 表圖形…………………………………………………… 78 圖 4-2-4 丁班的 S-P 表圖形…………………………………………………… 78 圖 4-2-5 戊班的 S-P 表圖形…………………………………………………… 79 圖 4-2-6 試題診斷分析圖……………………………………………………... 81. 圖 4-2-7 試題編製圓餅圖……………………………………………………... 81. 圖 4-2-8 五班學生診斷分析圖………………………………………………... 82. 圖 4-2-9 甲班學生診斷分析圖………………………………………………... 83. 圖 4-2-10 乙班學生診斷分析圖………………………………………………. 83 圖 4-2-11 丙班學生診斷分析圖………………………………………………. 83 圖 4-2-12 丁班學生診斷分析圖………………………………………………. 83 圖 4-2-13 戊班學生診斷分析…………………………………………………. 83 圖 4-2-14 五個班 A 與 A’型學生比較圖……………………………………... XI. 84.

(14) 圖 4-2-15 五個班 B 和 B’型學生比較圖……………………………………… 85 圖 4-2-16 五個班 C 和 C’型學生比較圖……………………………………… 85 圖 4-3-1 試題 25 之正確選項特徵曲線圖……………………………………. 92 圖 4-3-2 試題 6 之正確選項特徵曲線圖……………………………………… 93 圖 4-3-3 試題 2 之正確選項特徵曲線圖……………………………………… 94 圖 4-3-4 試題 19 之正確選項特徵曲線圖…………………………………….. 95 圖 4-3-5 試題 9 之正確選項特徵曲線圖……………………………………… 96 圖 4-3-6 試題 20 之選項特徵曲線圖………………………………………….. 97 圖 4-3-7 試題 3 之選項特徵曲線圖…………………………………………… 98 圖 4-3-8 試題 21 之選項特徵曲線圖…………………………………………. 99 圖 4-3-9 試題 29 之選項特徵曲線圖………………………………………….. 100 圖 4-3-10 正確答選項特徵曲線形狀分類統計圖……………………………. 101 圖 4-3-11 誘答選項特徵曲線形狀分類統計圖………………………………. 102 圖 4-3-12 試題 1 之試題選項特徵曲線圖……………………………………. 104 圖 4-3-13 試題 2 之試題選項特徵曲線圖……………………………………. 105 圖 4-3-14 試題 3 之試題選項特徵曲線圖……………………………………. 106 圖 4-3-15 試題 4 之試題選項特徵曲線圖……………………………………. 107 圖 4-3-16 試題 5 之試題選項特徵曲線圖……………………………………. 108 圖 4-3-17 試題 6 之試題選項特徵曲線圖……………………………………. 109 圖 4-3-18 試題 7 之試題選項特徵曲線圖……………………………………. 110 圖 4-3-19 試題 8 之試題選項特徵曲線圖……………………………………. 111 圖 4-3-20 試題 9 之試題選項特徵曲線圖……………………………………. 112 圖 4-3-21 試題 10 之試題選項特徵曲線圖…………………………………… 113 圖 4-3-22 試題 11 之試題選項特徵曲線圖…………………………………… 114 圖 4-3-23 試題 12 之試題選項特徵曲線圖…………………………………… 115 圖 4-3-24 試題 13 之試題選項特徵曲線圖…………………………………… 116. XII.

(15) 圖 4-3-25 試題 14 之試題選項特徵曲線圖…………………………………… 117 圖 4-3-26 試題 15 之試題選項特徵曲線圖…………………………………… 118 圖 4-3-27 試題 16 之試題選項特徵曲線圖…………………………………… 119 圖 4-3-28 試題 17 之試題選項特徵曲線圖…………………………………… 120 圖 4-3-29 試題 18 之試題選項特徵曲線圖…………………………………… 121 圖 4-3-30 試題 19 之試題選項特徵曲線圖…………………………………… 122 圖 4-3-31 試題 20 之試題選項特徵曲線圖…………………………………… 123 圖 4-3-32 試題 21 之試題選項特徵曲線圖…………………………………… 124 圖 4-3-33 試題 22 之試題選項特徵曲線圖…………………………………… 125 圖 4-3-34 試題 23 之試題選項特徵曲線圖…………………………………… 126 圖 4-3-35 試題 24 之試題選項特徵曲線圖…………………………………… 127 圖 4-3-36 試題 25 之試題選項特徵曲線圖…………………………………… 128 圖 4-3-37 試題 26 之試題選項特徵曲線圖…………………………………… 129 圖 4-3-38 試題 27 之試題選項特徵曲線圖…………………………………… 130 圖 4-3-39 試題 28 之試題選項特徵曲線圖…………………………………… 131 圖 4-3-40 試題 29 之試題選項特徵曲線圖…………………………………… 132. XIII.

(16) XIV.

(17) 第一章緒論本研究主要以試題分析曲線和 S-P 表分析法，來探究國中一年級學生對文字符號概念的理解情形和學習情況，以作為日後教學時的參考。本章總共分為四節，第一節介紹本論文的研究動機；第二節介紹本論文的研究目的；第三節名詞解釋；第四節則是研究限制。. 第一節研究動機與背景未知數(unknown number)是在解方程式中有待確定的值。以前在中國古代並不是用符號來表示未知數，而是用籌的方式來解方程式。直到宋、元時代的「天元術」，用「立天元」表示未知數，並在相應的係數旁寫一個元字當作為記號。到元朝朱世傑(約 13 世紀)用天、地、人、物來表示四個未知數，進而建立四元高次方程組的理論。古希臘的 Diophantine(約 246-330)利用字母來代表未知數，可是之後的進展很慢。過去不同的未知數常常會用同一個符號來表示，容易混淆，所以在 1559 年法國數學家 Buteo(1490-1570)開始使用 A、B、C 表示不同的未知數。到了 1637 年 R'ene Descartes(1596-1650)在《幾何學》中始用 x、y、z 表示正數的未知數（引自杜瑞芝，2000）。探討代數歷史演進的研究非常多（王懷權，1987；Kieran, 1992) ，並且有著一致的看法，他們認為符號發展的歷史在上可分為三個時期。第一個時期，逐字式(rhetorical algebra)：Diophantus (250 A.D.)之前，以口語化且自然語言來描述解特定方程式的過程，並沒有使用特殊的符號或是記號來表示未知數。第二個時期，簡字式(syncopated algebra)：Diophantus (250 A.D.)之後，以符號來代表未知量(unknown quantities)，例如在文藝復興時期，使用p代表加，m代表減。可是只求特定方程式的解，並沒有求出方程式的一般解，例如把 ax2+bx=c 和 ax2+c=bx 和 bx+c=ax2 三個方程式視為不同的方程式。第三個時期，符號式(symbolic algebra)：Vieta (1549-1603)以符號代表某一給定的數，進而求出方程式的一般解，例如會以 ax2+bx+c=0 來代表所有的一元二次方程式。. 1.

(18) 九年一貫課程數學學習領域課程分成「數與量」、「圖形與空間」、「統計與機率」、「代數」和「連結」五大主題，以具體操作(一至三年級)、類化具體表徵(五至六年級)、符號表徵(七至九年級)四個階段（引自教育部，2008)。過往數學教育最大的問題之一是國小六年級與國中一年級的銜接問題。就像是數學領域主任曹亮吉的說法：「整個數學就是在六、七年級搞壞。從對數學還可以的，變成很討厭數學，就是在六、七年級」（引自周筱亭，2000）。對於國內的中等學校數學教育來說，我們常常以解決文字符號問題作為培養問題解決能力的重要方式，而代數的概念更是學生學習數學的一個關鍵點，亦是學生往後學習更高深的數學的基礎（引自王如敏，2004）。從國內的許多研究也發現到，大部分的國一學生都無法將文字符號視為特定未知數（引自袁媛，1992；陳慧珍，2001；謝和秀、謝哲仁，2002），而處在文化不利的原住民學生更是到了高一時期仍無法達到此階段（引自黃志賢，2001）。國一到國三的數學課程內容，有關文字符號的概念更是遍佈在其中，如果在國一階段的關鍵期，學生在學習上遇到了困難，加上沒有老師適時的給予指導以及課堂討論，對學生往後其他有關抽象概念的學習必定產生更嚴重的挫折，因此教師不得不多加注意。國外已有不少學者研究文字符號方面的發展。Herscovics and Kieran(1980)針對兒童心中的方程式概念進行探討，Wagner(1981)研究改變方程式及函數中的文字符號對中學生的影響，Carraher & Schliemann(2000)首先在美國波士頓某公立小學三年級班級進行文字符號概念的研究國內有關國中生對於文字符號概念的研究成果也相當豐富，郭汾派、林光賢、林福來（1989）研究國中生文字符號概念的發展，袁媛（1993）研究國中一年級學生對文字符號概念與代數文字題的概念，蔣宇立（2000）從後設認知的觀點來研究國一學生進行學習數學符號所產生焦慮，謝和秀（2000）與謝明昆（2002）分別探討國中一、二年級學生文字符號概念及代數文字題之解題研究，楊榮達（2006）與王如敏（2004）分別研究國中一、二年級學生解一元一次方程式的錯誤類型。. 2.

(19) 根據研究者的教學經驗及一些相關研究（引自郭汾派、林光賢和林福來， 1989；Booth,1988)發現學生在文字符號概念的學習上是有困難的。一般來說，許多數學的教師常常以經驗或直覺來判斷數學認知發展過程，並不以實際的行動去了解學生的認知，等到了經過評量後才發現到學生的學習有錯誤或概念困難的地方，但是往往由於時間的因素，教師並沒有去進行補救教學。因此，造成學生在日後代數概念的學習上更加困難，如果教師可以在教學前先了解學生在學習文字符號的認知發展、迷思概念等，那就可以根據學生的學習狀況來進行教學內容的調整，以幫助學生建構數學知識。本研究擬採用單選的選擇題來命題，且透過一份依據九年一貫數學領域正式課程綱要所編製出來的文字符號概念測驗，並採用日本學者Takahiro Sato於1970 年代所創的S-P表分析 (Student-Problem chart analysis)，和Ramsay(2000) 結合高低試題鑑別指數與核平滑無參數估算法，發展出的TestGraf98 軟體(A program for the graphical analysis of multiple choice test andquestionnaire data) ，來分析國中一年級學生文字符號概念測驗的答題資料，期望了解此試題的好壞，以及國中一年級學生在文字符號概念的學習情況和理解情形。透過試題的編製與分析，將可以幫助我們了解文字符號概念的理解情形，並提供一個方向來協助教師進行相關文字符號概念之教學，以避免教學的設計與學生認之間的差異，並可掌握學生學習困難的地方，加強其觀念，進而提升學習效果。. 3.

(20) 第二節研究目的與待答問題壹、研究目的本研究計旨在編製一份能診斷出國中一年級學生文字符號概念的試題，並利用 S-P 表分析和 TestGraf98 之繪圖功能，繪製出每道試題的選項特徵曲線，並加以分析國中一年級學生文字符號概念的學習情況和理解情形，作為教師進行文字符號教學時的參考。. 貳、待答問題為達成上述研究目的，本研究欲探討的問題如下：一、分析國中一年級文字符號概念測驗的試題與試卷特性。二、應用 S-P 表分析探究文字符號概念的編製情形與學生學習類型。三、探討國中一年級文字符號概念測驗學生的答題情形。四、探討國中一年級學生對文字符號概念的理解情形和迷思概念。. 第三節名詞解釋茲將本研究所提之重要名詞詮釋如下：一、國中一年級學生本研究之國中一年級學生，是九十九學年度一年級的學生，是國小一到六年級都接受九年一貫課程的學生，所適用之數學課程皆依據九十年實施的九年一貫課程數學學習領域暫行綱要（教育部，2001）。本研究於九十九學年度下學期實施，學生已完成國一上的數學課程，剛邁入國一下學期。二、未知數未知數(unknown number)是在解方程中有待確定的值，也用來比喻還不知道的事情。在數學中，我們常常用符號 x 或者 y 來標記未知數，並且我們可以將它們用在等式或者不等式關係中來幫助我們解決問題。三、符號符號是概念的表徵，每個符號都有其所代表的概念，此概念為認知個體所詮 4.

(21) 釋。以文字符號列成方程式時，符號即具有未知數的意義。四、S-P 表(Student-Problem Table)分析 S-P 表分析法，為日本學者 Takahiro Sato 於 1970 年代所創，利用「圖形化」的方法分析學生在試題上的作答反應。該方法分析每位學生及每個試題的作答反應組型，獲得每位學生的學習診斷資料，並藉由學生在試題上的作答、反應，利用圖形化分析，以提供教師了解學生學習並改進教學之參考。五、文字符號概念迷思本研究所謂的迷思概念是指學生對文字符號常犯的錯誤、混淆不清的觀念或對文字符號的疑惑，產生不正確的文字符號概念。. 第四節論文限制一、研究內容本研究測驗主要內容以九年一貫數學領域中，「能由命題中用 x 、 y 等符號列出生活中的變量，並列成算式」、「能嘗試以代入法或枚舉法求解，並檢驗解的合理性」、「能熟練符號的代數操作」相關概念教材。二、研究對象本研究以臺中市某國民中學一年級五個班，共 137 位的學生為研究對象，因此本研究結果，僅適宜堆推論至相同條件的國中學生，不宜過度推論。三、研究方法本研究係以所編製的文字符號試題為研究工具，透過 S-P 表分析和 TestGraf98 軟體來探究國一學生在文字符號的概念結構。總之，研究結果受到施測人數、測驗試題類型以及研究者主觀判斷因素影響，對於研究結果不宜過度推論。. 5.

(22) 6.

(23) 第二章文獻探討本研究旨在編製一份能診斷出國中一年級學生文字符號概念的試題，以作為教師教授文字符號時的參考。本章共分為三節，第一節為學生文字符號概念的認知發展，第二節為九年一貫數學領域文字符號課程，第三節為文字符號概念與相關研究探討。. 第一節學生文字符號概念的認知發展在皮亞傑的認知發展理論中，兒童的智能發展並非只是在知識數量上的增加，而是在智能行為上的品質改變，他一再的提到認知物體需要對物體採取行動，轉變它，同化它，終而將認知納入運思結構之中，也就是個體智能的發展是指個體在環境中生活適應的歷程，並非由知覺直接衍生而成的，個人智能的高低乃是遺傳與環境交互影響的結果，因此教育的目的之一，就是希望在設計的環境之下充分發展兒童的智能。所以，皮亞傑的認知發展理論，不但是行為發展的重要理論，更是學習行為的理論根據(引自 Piaget，1952 )。皮亞傑認為發展會以階段的形式出現，經過平衡歷程從一階段演化至下一個階段。兒童會在環境中遭遇到的經驗，以及當經驗發生時他們所具備的認知歷程和結構，從兩者之間尋求一個平衡，若兒童既有的思考模式和基模足以面對環境的挑戰，那麼兒童便處於一個平衡的狀態；可是有時候兒童所接收到的訊息與其既有的基模搭不上時會導致認知失衡，於是兒童會試圖藉由同化來重建平衡，也就是將新訊息併入其原有的基模之中的一種歷程；然而，也有可能需要藉由改變原有基模以納入新訊息，也就是調適。這兩種歷程共同作用的結果，將賦予個體具有更高的適應性（引自張春興，1991)。皮亞傑經過多年研究，發現自出生到青少年成長期之間，個體的認知發展，在連續中呈現階段性的特徵，皮亞傑按照個個體基模功能特徵不同，分為四個階段。皮亞傑用以下四個時期來說明個體智能發展的情形：. 7.

(24) 壹、感覺動作期從出生到二週歲，幼兒靠身體的動作以及由動作獲得的感覺去認識他周圍的世界，在這個時期間，手的抓取和口的吮吸是幼兒用以探索世界的主要行為動作，憑感覺動作以發揮基模功能，幼兒除了最初感受外界的刺激外，亦能表現反射行為，然後就具備和環境交互作用的能力（引自王文科，1994），由反射行為到以目標為導向的行為，進而形成「物體恆存性」的觀念。感覺動作期的幼兒認知發展的主要成就為獲得「物體恆存性」的觀念，所謂「物體恆存性」是指當物體不在人的知覺領域，以致無法被察覺、聽見或看見時，仍會被認定存在。「物體恆存性」的觀念是的發展是與生俱有的，或者經由後天學習而得，是幼兒在感覺動作期中所展現出的一系列尋找物體的行為逐漸學習而得，此種概念對以後的學習至為重要，一方面削弱自我中心觀念讓他能區分自己與獨立於他而存在於外界現實二者，為未來保留概念的發展奠定重要基礎（引自王文科，1994）。當物體形象能永存在幼兒的基模中，這表示幼兒已開始從具體實物中學到些許的抽象概念，幼兒不僅能當場模仿動作，而且還能在事後憑自己的記憶去模仿這些動作，此種能力稱為延後的模仿。（引自張春興，1991）皮亞傑也將感覺動作期再細分為六個階段： (1)反射：及無意識動作---出生至一個月。 (2)初級循環反應：首次重複性的習慣--- 一至四個月。 (3)次級循環反應：使有趣景象得持續---四至十個月。 (4)方法與目的的統合---十至十二個月。 (5)三級循環反應：方法的發現---十二至十八個月。 (6)表徵思考：使幼兒能因突來得領悟發現新方法---十八個月至兩歲(階段六為真正的感覺動作智慧和前運思齊之間的過渡期) 。. 貳、前運思期前運思期的意思是指兒童的思維方式尚未完全達到合理地步之前的一段期間，又稱象徵(符號)期(symbolic stage) ，年齡大約是在二至七歲的兒童，能夠開. 8.

(25) 始運用語言、文字、圖形等符號去思考問題、表達不存在於它外圍環境的東西，亦即兒童可以運用一種東西去表達另一種東西，此時期的兒童，已經可以開始學習較為抽象的簡單文字、數字和圖形，兒童會表現出延宕的模仿，可分為前概念階段和直覺思考階段，基本上觀察 Piaget 的理論可以發展這個時期有二個最主要的特徵在呈現：符號功能(symbolic function)與裝扮遊戲(pretend play)。符號功能是指兒童能使用文字和心像來表徵經驗，因此能對不再出現的物體進行思考，甚至加以比較。而裝扮遊戲(pretend play)是指說幼兒常會假扮成某一人物，將一些道具看成與角色有關的物件，用以搭配自己所裝扮的角色。Piaget 認為裝扮遊戲是一項非常重要的活動，可促進兒童社會化、情緒以及智力的發展。例如：常玩裝扮遊戲的學前兒童比不玩裝扮遊戲的同齡兒童更具有合群性且較受歡迎。前運思期和感覺動作期的兒童主要差異點，在於感覺動作期的兒童限於個體對環境的直接交互作用，而前運思期的兒童則已經開始使用代表環境的符號（引自王文科，1994）。前運思期兒童的認知發展，因為缺乏心理運思的特性，只能採取直線式思考方式，不能概念化的轉變時間或空間，思考邏輯的缺陷在於他們思考僅限於自己所「見」，「用自己的角度看世界」，而對別人的觀點很難了解其原因，它們傾向以結果當作過程的的中心，思考能力的六個限制分別為「具體」、「不可逆性」、「自我中心主義」、「集中」，「狀態對轉變」、「直接推理」，屬於同一性等較明顯之特徵。此階段的兒童不能解答次序問題，不能比較部分與全體的關係，以及未具有保留能力，皮亞傑認為是兒童僅能集中注意一方面，無法分散自己的注意力，以致無法面面顧到事件的各個細節，這些問題需到具體運思期才能解決（引自王文科，1994）。. 叁、具體運思期具體運思期是指七至十一歲的兒童，已經開始用具體事例為基礎來進行邏輯推理，面對問題時能依循邏輯思考法則來解決具體的問題，多數已能從對事物的分類、比較中了解其間的關係，此處「具體」 (真正的、可觀察的)乃是關鍵。前. 9.

(26) 運思期的兒童，因為受到知覺的支配，無法解決可逆性、保留、自我中心、次序等問題，傾向於「由所見而知」，但具體運思期兒童則可以突破限制「由所知而知」，並且有三項特徵，其一由籠統而至分化的思考，其二由絕對至相對的思考，其三由靜態至動態的思考，可是能仍有一定的極限，他們無法建立假設性的能力或利用抽象化來執行他心裡的動作，他的動作邏輯、思考基礎還是決定於現實，他們還不能夠想到那些造成結果的可能性變化，比如說，下棋中所牽涉的戰略，對這階段的兒童是比較困難的。總之，實物經驗的邏輯思考對這時期的兒童遠勝於直覺的可能性。不過整體而言，這個階段的兒童，對於可逆、保留、分類、排列順序等概念都已經逐漸形成，而「去集中化」的思維特徵更是具體運思期兒童思維成熟的最大特徵，面對問題情境思維時不再只憑知覺所見的片面事實去做判斷，是根據情境的內隱實質(inferred reality)去思維解決問題。例如：把紅色的飛機放在綠色的玻璃紙後面，雖然眼睛所看到的是灰黑色，但是仍知道實際上飛機是紅色的。同時，此階段的小朋友不僅能分類且具有「類包含」概念，分類時還能區分主類(大類)與次類(主類中包含的各次類)之間關係的能力。例如：黃花 10 朵，綠花 3 朵，是黃花多還是花多？→→花多但前運思期的兒童的回答→→黃花多，在具體運思期的兒童已經知道類包含，因此是花多。兒童的心理活動從出生的感覺動作期到前運思期，進而到具體運思期，所有運思的方式與分類概念使得兒童可以移動推理以達到思考的可變性，也能聽取別人的建議。. 肆、形式運思期十一歲以上的青少年，思考能力逐漸趨近成熟，能用概念的、抽象的邏輯方式去推理；擺脫受外在具體事物的迷惑與依賴，直接進行思考動作，且其思考脫離具體的世界，不只是侷限於事實的分類或推理，更是能進入廣泛的形式思考空間之中，可以顯現此時期的青少年已具有統一連貫的思考結構 (引自 Piaget Mays，1972)。這個年齡的青少年，已可以學習數學中代數與幾何的抽象觀念。. 10.

(27) 張春興（1996）綜合皮亞傑本人與其後心理學家的研究發現，認知發展達到形式運思期的青少年，在思維方式具有以下三個特徵：一、假設演繹推理(hypothetic-deductive reasoning) 形式運思期思考的第一個特徵，就是邏輯思維的基本形式之一。就其廣義的來說，能超越人的知覺與記憶限制，進而從事推理的形式。先對問題情境提出一系列的假設，然後根據假設進行驗證，進而得到答案，因此經驗並不是主要的探討對象，皮亞傑曾以擺動吊錘實驗為例，要求受試者解答在吊繩長短、吊錘重量、推動力量三種變化中，何者是影響錘擺速度的因素。在形式運思期水平者，應該能按假設演繹推理方式尋求答案：先假設其一為影響因素，將另兩因素固定做實驗，只變化其假設之影響因素，以確認其假設；另外兩因素也以同樣方式求證。二、命題推理(propositional reasoning) 在這時期的青少年，不必一定按照現實或具體的資料作依據，只憑一個說明或一個命題，即可進行推理。例如：「要是你當老師，你怎樣管理班上吵鬧的學生？」。未達到形式運思期者會因此問題並非現實層面而無法回答；而達形式運思期水平者，應能按自己的想法，以超越現實的思維，說出一番道理。三、組合推理(combinatorial reasoning) 在面對多項因素所形成的複雜問題情境時，認知發展達到形式運思期的青少年，可以根據問題的條件，提出假設，然後一方面孤立某些因素，一方面組合另些因素，進而在系統驗證中獲得正確答案。例如：設有一個問題，已知導致問題結果 C 者，可能與 A、B 兩因素有關，對此問題的組合推理思維方式不外是以下各種可能： (1) A 或 B 均可各自產生 C (2) A+B 產生 C (3) C 的原因既非 A 也非 B (4) A 可能是原因但非 B (5) B 可能是原因但非 A. 11.

(28) 人到 11 歲之後才會進入到皮亞傑認知理論中的形式運思期，但並不代表每個人的能力都相同，然而，皮亞傑對青少年的形式運思能力描述與實驗研究不如兒童的多，因此許多人對皮亞傑的形式運思理論有較多的爭論，例如，許多研究都顯示，大約不到半數的青少年能夠運用形式運思的能力來解決問題。另有學者甚至指出，正常智力與中等社會背景的青少年，甚至於成人的發展都仍未達形式運思期(Blasi and Hoeffel, 1974)。Epstein (1979)的研究更是發現 15 歲的青少年竟然只有 13%能做成熟的形式思考，具有形式運思能力者也只有 32%而已，到了 18 歲，兩個比率也只提高到 19%與 34%而已。儘管如此，下列仍有 7 個效標可以作為鑑定青少年是否已進入形式運思期階段。具體運思的效標： 1.青少年是否需要對事物作正確的解釋？ 2.青少年是否能夠不用明確的教導而從某一項工作轉移至另一項工作？ 3.青少年是否能夠看出二個觀念之間的關聯？ 4.青少年是否只能逐字的解釋內容與材料？形式運思的效標： 5.青少年是否有能力去知覺二個觀念之間的關聯？ 6.青少年是否能夠不要教師的指導就能從事複雜的工作？ 7.青少年是否能夠超越表面的訊息而作深層的解析與應用？在文字符號概念的認知發展上，兒童大約在 11 歲進入形式運思期，而發展邏輯、抽象等概念，這些概念都是學習文字符號概念與方程式的基礎，所謂形式運思是指個體能夠以有條理與可轉換的方式進行心智活動。根據皮亞傑的論點，青少年已經有邏輯與推理的形式運思能力，具有思考現實不存在的事物、各種可能性、假設、未來世界的心智能力。不過青少年的形式運思能力非一朝一夕的改變，而是經由不同理念與情境的激盪所日漸發展與擴充的，因此不同青少年的形式運思能力發展及質量都有極大的個別差異。謝和秀（2001）也提到世界各國也大多在七或八年級將文字符號的概念納入課程之中(中(Pegg &. 12.

(29) Redden,1990，引自謝和秀，2000)。我國也是到了國中階段，課程中才正式提出利用文字符號來表示數的通性，來代表一般數，進一步的用它代表未知數，幫助學生解決問題，培養學生發展演繹、推論、歸納等的抽象思考能力。. 第二節九年一貫數學領域文字符號課程因應快速變動的二十一世紀1並且處於高度文明化的世界中，在國家發展的需求及社會的期待之下，教育部進行國民教育階段的課程與教學革新，並於87年 9月公佈「國民教育階段九年一貫課程綱要」(以下簡稱九年一貫課程綱要)，並於 90學年度正式實施。九年一貫的課程設計是以學生為主體，以生活經驗為重心，以知識的完整面為教育的主軸，以終身學習為教育的目標，培養現代國民生活所需的基本能力。而數學知識及數學能力，已經逐漸成為日常生活及職場裡應具備的基本能力。九年一貫數學學習領域的課程綱要，是由下列四個原則來界定：一、參考施行多年年且具有穩定基礎的傳統教材。二、採用國際間數學課程的必備核心題材。三、考慮數學能作為科學工具性的特質。四、現有學生能夠有效學習數學的一般能力。基於以上的認知，九年一貫數學學習領域的教學總體目標為： (一)培養學生的演算、抽象、推論及溝通的能力。 (二)學習應用問題的解題方式。 (三)奠定下一階段的數學基礎。 (四)培養欣賞數學的態度及能力。其中，國民中學階段的目標則為： (五)能理解坐標的表示，並且能熟練代數的運算及數的四則運算。 (六)能理解三角形和圓的基本幾何性質，並學習簡單的幾何推理。 (七)能理解統計和機率的意義，並且認識各種簡易統計方法。具體而言，九年一貫數學學習領域的教學目標為：. 13.

(30) (一)第一階段(國小一至二年級)：能初步掌握數、量、形的概念，這階段的重點在自然數及其運算、長度及簡單圖形之認識。 (二)第二階段(國小三至四年級)：在數的方面是要能熟練自然數的四則運算，以培養流暢的數字感；此外，應該可以初步學習分數與小數的概念。在量的方面則以長度學習為基礎，學習各種量的常用單位及其計算。幾何上則開始發展以角、邊等要素認識幾何圖形的能力，並能從操作認識幾何圖形的性質。 (三)第三階段(國小五至六年級)：在小學畢業前，應能熟練小數與分數的四則運算；能使用常用數量關係，解決日常生活的問題；能認識簡單的平面與立體的幾何性質，並理解其面積或體積的計算；能製作簡單的統計圖形。 (四)第四階段(國中一至三年級)：在數的方面，能認識負數與根號數的概念與計算方式，並能理解坐標表示的意義。在代數方面則解方程式、熟悉函數的關係，並要熟練代數式的運算。幾何方面要學習圓與三角形的基本幾何性質，認識線對稱圖形縮放的概念，且能學習簡單的幾何推理。並且能理解統計與機率的意義，且認識各種簡易統計方法。課程目標是希望能達成培養學生的演算能力、抽象能力、推論能力及溝通能力；學習應用問題的解題方式；奠定高中階段的數學基礎，並且能培養學生欣賞數學的態度及能力。九年一貫的代數課程希望能達成下列目標（引自教育部，2003）： (一)讓學生能掌握代數符號、代數方法的概念與使用方式。 (二)培養學生觀察生活周遭的數量樣式、數量關係與情境，並能用文字符號或變數的概念描述其規律之能力。 (三)讓學生能夠掌握解決數與量、幾何、機率與統計及其他相關學習領域中問題所需要使用的代數方法。 (四)發展學生以符號化、一般化、系統化的代數思維來進行解決生活周遭問題的基本能力。 (五)培養學生欣賞代數方法的能力。. 14.

(31) 注：代數符號包括：關係符號如：＝, < , >；運算符號如：+, -, ×, ÷；未知數符號如：□, 甲, 乙, x, y；函數符號如： f (x) 等等。代數方法包括：將問題中的操作或關係以代數概念或運算呈現、代數推理、應用分配律、應用等量公理、解一元一次方程式、解二元一次方程式、解不等式、配方法……等。壹、能力指標與分年細目數學學習領域將九年一貫國民教育區分為四個階段：第一階段為國小一至二年級，第二階段為國小三至四年級，第三階段為國小五至六年級，第四階段為國中一至三年級。另外，將數學內容分為「數與量」、「幾何」、「代數」、「統計與機率」、「連結」等五大主題。前四項主題的能力指標以三碼編排，其中第一碼表示主題，分別以字母 N、S、 A、D 表示「數與量」、「幾何」、「代數」和「統計與機率」四個主題；第二碼表示階段，分別以 1、2、3、4 來表示第一、二、三、四階段；第三碼則是能力指標的流水號，用來表示該細項下指標的序號。指標雖然以主題與階段來區分，但仍有若干能力指標是採跨主題方式同時編列，如「數與量」、「幾何」，用以強調其連結，此類指標皆以相關的連結編碼註記。第五個主題「連結」亦以三碼編排，第一碼以字母 C 表示主題，第二碼分別以字母 R、T、S、C、E 來表示察覺、轉化、解題、溝通、評析；第三碼流水號，表示該細項下指標的序號。以下節錄與文字符號有關的能力指標，如下表 2-2-1 所示：表 2-2-1 與文字符號有關的能力指標 A-4-01 A-4-02 A-4-03. A-4-04. 能夠運用符號代表數，表示常用公式、運算規則及常見的數量關係(例如：比例關係、函數關係)。能夠理解數的四則運算律，並且知道加與減、乘與除是同一種運算。能夠運用 x、y、…符號來表徵問題情境中的未知量及變量，並將問題中的數量關係，寫成恰當的算式(等式或不等式)。能夠理解生活中常用的數量關係(例如：比例關係、函數關係)，並恰當運用於理解題意，且將問題列成算式。 15.

(32) 表 2-2-1 與文字符號有關的能力指標(續) A-4-05. 能夠理解等量公理的意義，並且做應用。能夠理解解題的一般過程，知道解出方程式或不等式後，還要驗算其. A-4-06. 解的合理性。. A-4-07. 能夠熟練一元一次方程式的解法，並且用來解題。. A-4-08. 能夠理解一元一次不等式解的意義，並且用來解題。. A-4-09. 能夠理解二元一次方程式的意義。. A-4-10. 能夠理解直角坐標系，並且能計算坐標平面上兩點間的距離。. A-4-11. 能夠在坐標平面上，畫出一次函數或二元一次方程式的圖形。. A-4-12. 能夠熟練二元一次聯立方程式的解法，並且用來解題。能夠用符號代表數，表示常用公式、運算規則以及常見的數量關係(例. A-4-01. 如：比例關係、函數關係)。能夠理解數的四則運算律，並且知道加與減、乘與除是同一種運算規. A-4-02. 則。. 九年一貫的能力指標是依主題及階段學習的能力而訂定，然而因為多數指標須採分年進階式的教學才能達成其教學目標。因此，由階段能力指標演繹出更加細緻的分年細目及詮釋，以方便分年進階式的教學進度目標能更明確掌握。分年細目、能力指標與分年細目詮釋之內容，應為教師教學以及教科書編輯的主要參考依據。除此之外，教師教學及教科書編輯也可依詮釋內容為基礎，在深度與廣度上有適度的延伸。分年細目的編排亦以三碼為主，其中第一碼表示年級，分別以 1，…，9 表示一至九年級；第二碼表示主題，分別以小寫字母 n、s、a、d 表示「數與量」、「幾何」、「代數」和「統計與機率」四個主題；第三碼則是分年細目的流水號，表示該細項下分年細目的序號。以下節錄與文字符號有關的分年細目如表表 2-2-2 所示：. 16.

(33) 表 2-2-2 與文字符號有關的分年細目分年細目. 對照指標 A-4-01. 7-a-01. 能夠熟練符號的意義，以及其代數運算。. 7-a-02. 能夠用符號算式記錄生活情境中有遇到的數學問題。. A-4-03 A-4-04. 能夠理解一元一次方程式和其解的意義，並且能由具體的情. A-4-03 A-4-06. 7-a-03. 境中列出一元一次方程式。. A-4-02. A-4-07. 7-a-04. 能夠以等量公理解一元一次方程式，並做驗算。. A-4-05 A-4-07. 7-a-05. 能夠利用移項法則來解決一元一次方程式，並做驗算。. A-4-07. 7-a-06. 能夠理解二元一次方程式和其解的意義，並且能由具體情境 A-4-03 中列出二元一次方程式。 A-4-09. 7-a-07. 能夠理解二元一次聯立方程式和其解的意義，並且能由具體 A-4-03 情境中列出二元一次聯立方程式。 A-4-12. 7-a-08. 能夠熟練使用代入消去法與加減消去法來解二元一次方程式的解。. A-4-12 A-4-01. 7-a-09. 能夠認識函數。. 7-a-10. 能夠認識常數函數和一次函數。. A-4-01 A-4-04. 7-a-11. 能夠理解平面直角坐標系。. A-4-10. 7-a-12. 能夠在直角坐標平面上描繪常數函數和一次函數的圖形。. A-4-11. 7-a-13. 能夠在直角坐標平面上描繪二元一次方程式的圖形。. A-4-11. 7-a-14. 能夠理解二元一次聯立方程式解的幾何意義。. 7-a-15. 能夠理解不等式的意義。. 7-a-16. 能夠由具體情境中列出簡單的一元一次不等式。. 7-a-17. 能夠解出一元一次不等式，並且在數線上標示相關的線段。 A-4-08. 7-a-18. 能夠說明 m  x  n 時 y=px＋q 的範圍，並且在數線上圖示。 A-4-11. A-4-04. A-4-11 A-4-12 A-4-08. 17. A-4-03 A-4-08.

(34) 從以上的能力指標與分年細目看來，國中階段的文字符號的教材大都分布在國一階段，而且教材有一定的學習階段，它是以學生對符號的認識為起點，透過以符號代表數的方式，逐步發展出文字符號的相關概念，並培養代數的觀念，以利發展以後對一元一次方程式、二元一次聯立方程式和不等式的能力。貳、文字符號教材分析 Kieran(1992)從代數發展的歷史觀點來看，他認為代數是一種符號化的系統，代數發展的歷史經歷了三個不同的階段：第一階段為修辭階段，人們使用一般化的語言來解特定類型的問題；當有人開始以文字符號來代表未知的數值時，代數的發展才脫離修辭的階段而進入第二階段，是為縮寫階段，此時數學家關心的是文字符號的同一性，而非其通則性；後來有人使用文字代表已知和未知的數值，此時開始進入第三階段，是為符號化階段，不但可以使用文字符號來代表通解，並且已經將代數視為處理數字關係以及證明規則的工具(引自袁媛，1993 ； Kieran，1992）。在民國 82 年版的「國小數學課程標準」中，有關代數題材的內容比較少，比較容易造成學生進入國中後學習的不適應。代數是一個把事物符號化的系統，學習代數的方法之一就是要學習用符號連結數字的關係，也就是將問題情境轉化成方程式（袁媛，1993）。因此，當 97 課程綱要修訂在國小高年級部分時，加入一些題材：包括運用文字符號來理解等量公理、數學表示式等，希望能協助國小學童銜接國中的代數課程。由於算術學習仍然是國小學童學習數學的主體，所以在解題策略的發展上，應該盡量讓學生做多方面的探索，盡量避免讓代數工具過早抑止學生的想像力。所以國小的代數主題，幾乎都是為了國中的代數學做前置鋪陳，有關於四則運算符號與性質的指標，都只是檢查性的指標，在教學與課本的安排上，應該併入數與量的教學中，不該獨立成為特別的教學單元(引自 97 年數學課程綱要修訂）。. 18.

(35) 表 2-2-3 國小代數題材安排特色表國小代數題材安排特色. 說明. A.能夠理解常用到的算術符號使用方. 關係符號如： <、 >、＝；運算符號如：. 式，並且用來列出日常問題的算式，. ＋、－、 ×、÷；文字符號如：甲、乙、. 以進行解題。. □、x、 y。. B.從最基本加減的問題開始，再詳細. 加法結合律、交換律、乘法結合律、交. 安排兩步驟到多步驟的教學次序，並. 換律、乘法對加法的分配律。乘除互逆、. 且依序安排四則運算規律的教學，從. 加減互逆。<、 >、＝的遞移律。. 整數到小數、分數，在具體情境中，瞭解各基本運算的性質，並且應用於不同教學目標的教學。 C.從最基本的加減問題開始，再到四. 橫式的演算與運算律皆是國中代數符號. 則混合計算，讓學生最後能獨立於生. 演算的重要基礎。. 活和具體情境，在形式與程序上，能流暢進行整數計算，其中包括併式演算能力，並且活用運算律於簡化計算。加減互逆、乘除互逆、代入法，反向思 D.協助發展對數學問題的解題策略。考解題、比值解題、比例推理解題，更複雜之混合策略解題(如傳統應用問題) E.能理解等量公理。 (2)國中階段(一年級至三年級) 施東吉（2005）研究分析全國國中以及國小六年級在「一元一次方程式情境測驗」作答反應的部份資料，顯示學生在一元一次方程式解題概念的差異，並且找出學生在一元一次方程式概念發展的趨勢。 (一) 文字符號符號的使用：國一遇到題目有未知數時，大多數學生已經有開始使用文字符號來假設未知數的習慣，只是當國一學生在使用符號時，仍以可能以填充式圖形如○為主， 19.

(36) 比較少使用英文字母(如x)，而且國一學生經常犯「使用同一個○來同時表示多種不同事物」的錯誤，表示國一多數已經會使用可填充式圖形的符號來假設未知數，但對於文字符號的使用和運算，並不能完全瞭解；所以國一對於使用文字符號假設來未知數的想法已漸漸成熟，可是對於文字符號符號的運算性質和使用屬於過渡期，概念尚未成熟。 (二) 解題概念：國一對於文字符號的運算性質和使用屬於過渡期，概念尚未完全成熟，其解題概念如下： (1) 國一對於題目中所給條件的描述與使用，已能做較有效的聯繫。 (2) 將文字符號假設成固定常數的比例較小學六年級為低，顯示國一對文字符號的概念已有較深的認知。 (3) 當題目需假設兩個文字符號解聯立時，若題目簡單，則有部分學生能掌握其中一式的意義，即已具備對題目所給的條件轉換成方程式的能力。但若題目較複雜，由於解聯立的概念尚未發展完全，經常產生將各個線索獨立處理或是將各個線索亂混在一起處理，而且對文字符號符號的運算，會經常犯了同一個符號同時表示成多種不同的事物的錯誤。 97課程綱要已在國小鋪陳代數預備經驗，文字符號是學習代數的一個難關也是關鍵，到國中階段引入「以符號代表數」的觀念，正式踏入代數學習的世界。學生從國中數學接觸代數開始，對之後的數學學習，如解方程式、代數演算、函數關係、多項式、以及幾何連結的直角坐標等，可以說是幾乎再也離不開文字符號的運算。另外，代數的能力包含符號與邏輯的推演，可以培養學生的抽象思考能力。即使是有關幾何推理的素材，也需要藉由代數方法來引導出新性質或新觀念(引自97年數學課程綱要修訂)。. 20.

(37) 國中代數題材安排： A. .以文字符號代表數：是學習代數學的關鍵與難關。這裡有四個層次：表2-2-4 符號代表數的四個層次表層次一. 層次二. 國小綱要已要求使用文字符號來記錄常用使用的公式，由熟悉的公式入手，可以減輕學生對文字符號的恐懼。用文字符號來表示運算律(包括指數律)，學生在此可體認文字符號的簡化並釐清數學敘述的能力。解題時用文字符號來表達問題中的數量關係，作為解方程式的準備，. 層次三. 這裡文字符號所代表的是特別的數，而不是一般的數，因此認知上更加困難。. 層次四. 用一些文字符號來表示一般的數量關係或函數關係，這不只是用文字符號代表數，而是用文字符號來表示關係，是屬於更抽象的層次。. 依據此認知難度，97課程綱要(建議)將第一層次放在國小高年級，第二層次擺在國一初期，第三層次擺在國一上後期解方程式的單元，第四層次則放到國一下中的比例與函數單元。另外，教師必須清楚解釋代數表示式中的常數部分和變數部分的區別(例如：多項式、指數律等)。 B.代數演算與分配律以國小高年級的橫式計算和化簡為基礎，國中要開始學習代數的演算，作為所有代數計算的基礎，其中最為關鍵的就是分配律。在併項演算、乘法公式(包括和平方公式、差平方公式、平方差公式)、分解因式、配方法等這些重要的代數課題中，使用分配律的成熟度都是學習核心。事實上分配律也是根式運算的重要基礎之一。我們要特別指出配方法的學習，是國中代數教學的重點之一，這是因為處理二次形式的問題，遍及了高中、大學數學的代數和幾何題材。 C.解方程式解決應用問題是目前數學教育的重要目標，而解方程式則是解題活動中，既重要且較有系統的一環。整個國中的代數教學中，應該養成學生解題的習慣：觀. 21.

(38) 察題意、以文字符號將問題中的數量關係列成方程式，最後在解出方程式中觀察解的答案是否符合題意。國中會遇到的方程式，包括主要的一元一次方程式、二元一次方程組、一元二次方程式，以及較為次要一元一次不等式與二元一次方程式。其中最根本的解方程式原理為等量公理，二次方程式尚牽涉到分解因式和配方法的想法。要讓學生確實認識配方法的想法對解二次方程式的重要性，而不只是死記公式而已。另外，學生應有機會針對同一問題(例如：雞兔問題類)，觀察以國小方法解題、以一元一次方程式解題、和以二元一次方程組解題上的區別。可以讓學生思考這些方法的差異。 D.函數關係與函數圖形由國小至國中，有很多常用的數量關係最後會總結為函數關係，學生必須理解當一組數x能決定另一組數y時，就是決定了一種函數關係。由於函數關係較抽象，教學上應盡量避免在一開始就引入較抽象又沒有用處的y=f(x)符號，也應避免做出過份抽象的定義。只要學生能從個例中，先熟悉常數函數、一次函數與二次函數的種種計算、性質和圖形，可以到國中最後再總結這些經驗，引入y=f(x)的符號。理解函數的重要關鍵是看到坐標平面上的函數圖形，另一方面，是要能有效率繪製函數的圖形，則必需要更深入理解函數的性質。繪製函數圖形，通常是先從折線圖入手，畫出大概的圖形，然後讓學生知道代點畫法的侷限所在(以二次函數圖形為例較恰當)，引導出學生學習函數性質的動機。. 22.

(39) 第三節文字符號概念與相關研究探討壹、文字符號的概念文字符號在數學的學習內容中是一個基礎的概念，它有分析與顯示整個概念內在細節的功能，而且還有易於溝通和可以用來綜合思考等優點（陳澤民譯， 1995），王懷權（1987）就指出符號的功能之一，就是在於將惱人的煩長敘述，用語言化成簡短的式子，而此功能正是數學語言威力最顯著的根源之一。但由於代數語言的符號化，使得代數更加的抽象；這也使得學生在學習代數語言時，產生了許多的問題。 Küchemann(1981)認為學生對文字符號是否能有意義的了解，在代數學習時是影響學生非常重要的因素。由於學生對文字符號意義詮釋的差異，會影響學生對問題解決的困難程度。研究中發現學生若能完全了解文字符號的意義，則對於以後學習(如方程式、應用問題、多項式)的成就有高度正相關。如果文字符號未能及時成為學生反應問題解決的工具時，則學生無法真正連結文字符號與題意之間的關聯，間接使學生不當的使用符號，也影響代數學習的時機（引自王如敏， 2004）。. 貳、文字符號與數字的區別 Macgregor and Stacey(1997)認為，不能區別文字符號與數字的關係，是學習代數最為困難的地方。Wagner (1983)提出文字符號與數字最大的區別有三點： (1)文字符號與數字的順序---利用整數的觀念來教導學生學習文字符號並不恰當，這樣的引導會讓學生產生迷思概念，會認為字母表順序跟數字的順序一樣都有大小順序的存在，例如：因為 2＜3，所以 a＜b。 (2)文字符號與數字的用途---文字符號可當成變數使用；也讓數學語言有更一般化的方式，而數字則不能。如 S 就代表 student。 (3)文字符號與數字的位置關係---ｍｎ是指ｍ乘以ｎ，但 23 是指 2 乘 10 加 3，而非 2 乘 3。. 23.

(40) 叁、學生文字符號概念的發展層次學者Collis(1975)認為學生解題時之所以會發生困難，是來自於學生對文字符號缺乏有意義的瞭解，他從學生的觀點出發，發現學生對文字符號的概念可分為以下三個層次：表2-3-1 Collis的學生文字符號概念的三個層次表層次. 年齡. 低層次. 10 歲. (Lowest. 〜11. level). 歲. 中層次 (Middle level). 特徵. 舉例. 會使用一個特定的數來代替字. x+3＝9，學生取x＝3 代. 母來代入試驗，但如果第一次. 入，發現 3+3不等於9，. 嘗試失敗，無法符合結果所. 便不再往下做，並認為合. 求，孩童就會放棄。. 乎方程式的數不存在。. 將文字符號視為一群數，學生. 例如：x+3＝9，學生取x. 12 歲. 以「嘗試錯誤」(trial－and－. ＝1、2、3⋯代入，直到. 〜13. error)的方式不斷的對這些數進. 找到x＝6為止。. 歲. 行試驗，看是否符合結果所求，來獲得答案。. 高層次. 14 歲. (Top. 〜15. level). 歲. 將文字符號看成一個數字或是. x+3＝9，因為1+2＝3 → 1. 一般數，因此學生將文字符號. ＝3－2 所以x＝9－3。. 看成一個擁有與數字一樣性質 (而這些性質可能都是先前的經驗)的整體，並利用這些性質進行運算求出答案。. Küchemann在1976 年根據Collis 的文字符號發展階段，延伸發展出六個文字符號概念的層次，並由此六個層次，共設計了51 道題目，並以13 至15 歲的英國中學生為研究對象，進行紙筆測驗，進行調查學生代數方面的學習成就，其區分出的六個文字符號概念層次如下(Küchemann,1981)：. 24.