國小六年級學童數學閱讀能力、後設認知與認知型式之相關研究

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國立臺中教育大學教育測驗統計研究所

教學碩士論文

指導教授：林原宏

博士

國小六年級學童數學閱讀能力、

後設認知與認知型式之相關研究

研究生：劉若男

撰

中華民國九十八年八月

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中文摘要

本研究旨在探討國小六年級學童的後設認知能力與認知型式，對數學閱讀表現之影響。本研究以中部地區七所國民小學六年級學童，共 309 人為研究對象，採用自編之「國小六年級數學閱讀測驗」及丁春蘭(2003)所編製之「團體藏圖測驗」為測驗工具，探討國小六年級學童數學閱讀與後設認知的能力，以及數學閱讀與後設認知兩者的關係，並分析不同認知型式的學生在數學閱讀與後設認知的表現。經統計分析後，茲將研究結果摘述如下：一、學生在數學閱讀表現與後設認知能力的高低，皆依次為「閱讀理解」、「數學背景知識」、「數學特殊技能」。二、學生數學閱讀表現與後設認知能力之間，有顯著的相關存在。三、學生的後設認知能力對數學閱讀表現具有解釋力，顯示後設認知能力愈佳之學生，其在數學閱讀的表現上也愈好。四、「場地獨立型」學生在數學閱讀的表現上優於「場地依賴型」學生。五、「場地獨立型」學生在後設認知的能力上優於「場地依賴型」學生。六、男女生在數學閱讀表現、後設認知能力及認知型式上的比較。 (一)不同性別的學生在數學閱讀能力上沒有顯著的差異。 (二)男、女生在「數學特殊技能的後設認知能力」達到顯著差異，且男生的表現較女生為佳；在其他的後設認知能力上則無顯著差異。 (三)不同性別的學生在認知型式上沒有顯著的差異。本研究之結果與發現，可提供有關國小學生數學閱讀教學及教材編製之參考，以及未來進一步研究之建議。

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A Study of Mathematics Reading , Metacognition and

Cognition Style for Sixth-Grade Students

Abstract

The purpose of this study is to investigate the relationship among mathematics reading, metacognition and cognition style for the sixth-grade students. Three hundred nine six-graders from seven different elementary schools located in Taiching, Na ntou, Zhanghua were selected for this study.

The tools used in the study were “Mathematics Reading Test for Sixth -Grade Students” designed by the researcher and “Group Embedded Figures Test” designed by Chun-Lan Ding (2003). The main purpose is to receive the sixth-graders’ ability of mathematics reading and meta cognition, and the relation between each other. The cognition style of each student would be realized as well. F urthermore, the researcher explores the characteristics of field-independent and field-dependent students in mathematics reading and meta cognition.

The results of this study are as follows:

1. In the performance of mathematics reading and meta cognition, the students perform best in “reading comprehension ”. The next is the “prior knowledge of mathematics”, and the “mathematics-specific skills” is the worst.

2. The students’ ability of mathematics reading and meta cognition is significantly interrelated.

3. The students’ ability of metacognition can effectively explain the ab ility of mathematics reading.

4. The field-independent students are superior to the field-dependent students in the ability of mathematics reading.

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5. The field-independent students are superior to the field-dependent students in the ability of metacognition.

6. Comparing the difference of mathematics reading, metacognition and cognition style between boys and girls.

(1) There is no significant difference of mathematics reading between boys and girls.

(2) There is significant difference of “ metacognition of mathematics-specific skills” between boys and girls. Boys perform better than girls.

(3) There is no significant difference of cognition style between boys and girls.

The results of the study can offer the consultation for teaching diagnosis and teaching design. Some recommendations for further research are provided by the researcher.

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目

錄

第一章緒論……… ……..………...1

第一節研究動機………..1 第二節研究目的……… ………….7 第三節名詞釋義…...……….. 8 第四節研究範圍……...……….. 9

第二章文獻探討………... 11

第一節數學閱讀的內涵與相關研究 ……….. 11 第二節後設認知的意義及相關研究 ……….. 36 第三節認知型式之理論與相關研究 ……….. 58 第四節數學閱讀之數學背景知識 ……… ...…74

第三章研究設計與實施………... 81

第一節研究架構………….……….. 81 第二節研究步驟………. ..82 第三節研究對象….……….. 83 第四節研究工具……….……….. 83 第五節資料分析.……….. 96

第四章研究結果與討論………... 99

第一節學生在數學閱讀的表現及後設認知能力 ………...99 第二節學生數學閱讀表現與後設認知能力之相關 ……….. 104 第三節學生後設認知能力對數學閱讀的解釋力 ……….. 109 第四節不同認知型式在數學閱讀表現之分析 ……… ..112 第五節不同認知型式在後設認知能力之分析 ……… ……..115

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第六節不同性別在數學閱讀、後設認知能力與認知型式的差異 …………118

第五章結論與建議………. 121

第一節結論……….. 121 第二節研究限制………. 126 第三節建議……….. 127

參考文獻……… ………131

一、中文部分……….…………..………..131 二、英文部分……… ..………..………….1 38

附錄………1 45

附錄一國小六年級數學閱讀測驗第一次預試題本 ……….145 附錄二國小六年級數學閱讀測驗第二次預試題本 ………..…..159 附錄三國小六年級數學閱讀測驗正式題本 ………..………173 附錄四團體藏圖測驗……… ……..183 附錄五授權書……… ..191

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表目錄

表 2-1-1 Polya (1945)的怎樣解題提示表….……….… ...26 表 2-1-2 胡炳生(1991)的解題思考步驟程序表……… ...29 表 2-1-3 數學解題歷程之階段歸納表 ……… ...33 表 2-2-1 各種後設認知評量方法優缺點比較表 ………...51 表 2-3-1 國外研究者對認知型式的定義 ……… ...60 表 2-3-2 國內研究者對認知型式的定義 ……… ...61 表 2-3-3 場地獨立與場地依賴的認知型式特性 ………...68 表 3-2-1 有效研究樣本人數分配表……… ...83 表 3-3-1 第一次預試之試題分析表………...85 表 3-3-2 第一次預試後保留之試題，其因素分析轉軸後的成分矩陣………...87 表 3-3-3 第二次預試之試題分析表………..88 表 3-3-4 正式測驗試題之因素分析轉軸後的成分矩陣……..………90 表 3-3-5 正式測驗試題之難度分析表………..……… 91 表 3-3-6 正式測驗試題之鑑別度分析表 ………...………93 表 3-3-7 後設認知能力對照表……… ....…………...95 表 4-1-1 學生在數學閱讀表現各題之平均數及標準差 …………..…………...100 表 4-1-2 學生在數學閱讀三分測驗之解題表現與差異 ………..………...101 表 4-1-3 數學閱讀三分測驗之相關分析表 ……….……...101 表 4-1-4 學生在「數學閱讀的後設認知能力」各題平均數及標準差………..…….102 表 4-1-5 學生在「數學閱讀的後設認知能力」三分測驗之表現與差異…………103 表 4-1-6 後設認知能力三分測驗之相關分析表 ……….………...104 表 4-2-1 數學閱讀表現與後設認知能力之積差相關分析表 ………….…………...104

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表 4-2-2 數學閱讀能力與後設認知能力之典型相關分析統計摘要表...………...108 表 4-3-1 後設認知能力對數學閱讀三分測驗之迴歸分析摘要表 ……….………...110 表 4-3-2 後設認知能力對數學閱讀整體測驗之迴歸分析摘要表….…….………..111 表 4-4-1 認知型式與數學閱讀表現之相關分析表……….…………...112 表 4-4-2 場地獨立與場地依賴的學生在數學閱讀表現之獨立樣本 t 檢定分析表..113 表 4-4-3 場地獨立型、居中者與場地依賴型學生在數學閱讀測驗之多變量變異數分析摘要表.…...….……...….………...114 表 4-4-4 場地獨立型、居中者與場地依賴型學生在數學閱讀測驗多變量分析之事後比較摘要表…………...……….………...…….…...114 表 4-5-1 認知型式與後設認知能力之相關分析表 ….….………..115 表 4-5-2 場地獨立與場地依賴的學生在後設認知能力之獨立樣本 t 檢定分析表..116 表 4-5-3 場地獨立型、居中者與場地依賴型學生在後設認知能力之多變量變異數分析摘要表...117 表 4-5-4 場地獨立型、居中者與場地依賴型學生在後設認知能力多變量分析之事後比較摘要表...117 表 4-6-1 不同性別的學生在數學閱讀表現之獨立樣本 t 檢定分析表...118 表 4-6-2 不同性別的學生在後設認知能力之獨立樣本 t 檢定分析表...119 表 4-6-3 不同性別的學生在認知型式之獨立樣本 t 檢定分析表...119

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圖目錄

圖 2-1-1 McKenna and Robinson (2002)的學科讀寫能力認知成分 ………...15

圖 2-1-2 由下而上的閱讀歷程模式……… ...18

圖 2-1-3 由上而下的閱讀歷程模式……… ...18

圖 2-1-4 交互閱讀歷程模式……… ...19

圖 2-1-5 Gagne, Yekovich and Yekovich (1993) 的閱讀理解模式...21

圖 2-1-6 Krulik and Rudnick (1984)之解題過程流程圖………...28

圖 2-1-7 Mayer (1992)的數學問題解題分析……… 31 圖 2-1-8 胡炳生(1991)的解數學問題系統圖……… ...34 圖 2-2-1 Flavell (1981)的認知監控模式……… ...39 圖 2-2-2 Brown (1987)的後設認知模式……… ...41 圖 2-2-3 Paris (1987)的後設認知模式……… ...42 圖 2-2-4 Sternberg (1985)的智力三維論示意圖……… ...44 圖 2-2-5 Borkowski (1988)的後設認知模式……… ...46

圖 2-2-6 Englert and Palincsar (1988) 閱讀歷程互動模式……… 54

圖 2-2-7 Griffith and Ruan (2005) 的有技巧的閱讀監控過程 ………...55

圖 2-2-8 Lester (1985)的數學解題認知─後設認知模式……… 56

圖 3-1-1 研究架構圖……… ...81

圖 3-2-1 研究流程圖……… ...82

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第一章

緒論

第一節

研究動機

迎接二十一世紀的來臨，國民教育應包含終身學習的基本內涵，培養學生主動探究、解決問題、資訊與語言之運用等能力 (教育部，2003)。當我們面臨日新月異的世界時，透過閱讀，建立自學能力，可以隨時吸取新知、迎接未知的挑戰，且依然保有一生受用無窮的智慧。經由大量閱讀之後，累積了豐富的背景知識，才能賦予所見所聞更深的意義，而背景知識也是孕育創造力、發展獨立思考能力的基礎，面對不確定的未來時，終身學習能力能成為最大的保障 (齊若蘭，2003)。劉貴濂(2002)也提出，通過閱讀教材，學生可以進行自我教育，培養自由的思想和獨立的人格，學會研究的方法和技術，從中體會到人與技術的和諧關係，為終生學習奠定必要的心理基礎。為了在現今資訊豐富的社會中有良好的適應，閱讀能力應包含不同面向。首先，生活中有著各類訊息，需要個體吸收與瞭解，此類訊息可能是以文字、圖像、聲響及符號等型式來呈現；其次，在學校的教學現場中，各學科的學習也有其獨特的學科閱讀能力。其中，許多訊息的擷取及學科的閱讀必須涉及數學能力，因此數學的閱讀尤其重要。另外，個人的後設認知(metacognition)能力會影響其學習與自主認知，認知型式(cognition style)也會對學習者的學習及思考方式造成影響。數學閱讀、後設認知及認知型式三者之關係甚少見諸於文獻，亦正是研究者所欲探究的三大主題。

壹、數學閱讀能力是適應時代的需要

人們往往會把閱讀的範圍侷限於語文閱讀。不過隨著科技進步、社會發展，各類訊息快速擴充，對閱讀也應有更廣泛的定義。乃至於生活中的各種符號、標誌、圖片、流行語、各類說明書等，只要是具有獨特、固定之含意的，或是需要

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以其他學科知識為基礎，進而了解其中之意義的，都應屬於閱讀的範疇。現代及未來社會要求人們具有的閱讀能力已不再只是語文閱讀能力，而是一種以語文閱讀能力為基礎，包括外語閱讀能力、數學閱讀能力、科技閱讀能力在內的綜合閱讀能力(邵光華，1999)。因此每個人在生活中所接觸的一切事物，都應包含在閱讀的範圍裡。特別的是，許多學科又以數學知識為基礎，舉凡物理及化學的方程式、音樂每小節的拍數及音符長短、財務金融的股票走勢圖，及地理的地圖繪製及報讀等，人們必須具備有數學能力之後，才能以數學能力為基礎進而學習其他學科。因此，數學不只是一種溝通語言，更是所有科學──自然科學、社會科學、管理科學的工具與語言(Astrid, 1994；引自秦麗花，2003)。我們已經生活在一個數學的世界裡，若要想讀懂社會這本用數學語言寫成的書，加強數學閱讀能力的培養是時代的需要(劉貴濂，2002)。因此，國際大型測驗也開始重視數學閱讀能力的重要性，如：參加 PISA 測驗的學生必須閱讀短篇故事、網路信件、雜誌報導及統計圖表等各種型式的資訊，然後回答問題(齊若蘭，2003)。

貳、國小學童在數學文字題的表現不佳

對身處教育現場的研究者而言，學生數學能力的落差現象是亟欲關心的議題。在課室中，我們可以發現有些學生能解決數學文字題，有些則無法理解，這些無法進行解題的學生可能會說「我不知道要從哪裡著手」或「我不了解題目的意思」。大多數學生能處理單純的計算問題，但若把相同的數字放在文字題中，可能會有學生不能準確地了解題意，導致無法進行解題。另外，在大部分的情況下，當學生解數學文字題時，如果答案是對的，老師通常會認為學生的作答沒有問題，但有可能學生在解題過程中出了錯，但是最後答案碰巧答對，造成老師對於學生能力高估。如果學生的答案是錯誤的或是整題空白，老師

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可能也無法清楚辨別學生是在哪一個答題的過程中出了問題，因此老師也無法針對個別學生的需要給予適當協助。在教科書中，數學題目的呈現大部分是以數學文字題的型式， Fuentes (1998)指出，當命題是以文字的型式表現時，在學生能採取適當的算法之前，他們必須先讀懂題目。林佳蓉與涂金堂(2000)也提出數學的應用問題牽涉到許多不同類型的能力，例如學童需要具備語文能力，才能理解題目的意思；需要具備表徵的能力，才能將語文符號轉換成數學符號；需要懂得如何使用解題策略的能力，才能找出解題的方向；需要具備運算的能力，才能計算出答案。因此當學生在解數學文字題時，只要缺乏其中某項能力，就無法算出正確的答案。影響學生數學文字題解題能力低落可能為閱讀困難、數學句法及符號理解發生障礙、解題策略或計算能力不佳等其中一種或兩種以上之能力，研究者將以上述原因進行探討，因此「數學閱讀」便是研究者所欲探究的主題，協助教師能根據不同認知情況之學生提供適合其需求的教學，藉此幫助不同數學閱讀困難的學生。

參、數學閱讀的相關變項有待探討

對於數學閱讀，有些研究著重於數學應用問題的解題。古明峰(1990)研究發現接受不同輔導與教學的實驗組在數學應用題能力測驗的解題表現與控制組比較，並沒有顯著差異。葉家綺(2004)的研究中發現，常見的學校數學文字問題，其簡短的敘述已去情境化，強調的是計算能力。有些對數學閱讀的研究則著重於閱讀理解與數學文字題之相關。曹宗萍(1988) 研究發現閱讀理解能力愈高的兒童，在數學成就表現上愈好。張景媛(1994)指出語言知識可能形成兒童了解數學的障礙。林麗華(2006)研究證實數學文字題測驗與中文閱讀理解測驗達顯著相關。

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在數學文字題解題表現方面，許多研究者也探討了性別此變項。1970 年 Henney 研究四年級國小學童，女生在文字題後測之閱讀分測驗上的平均得分顯著高於男生(引自陳世杰，2005)。陳濱興(2001)研究國小四年級學童，女生在數學解題歷程之理解題意上優於男生。蕭美琪(2003)研究國小二年級學童，發現男女學童在乘法解題各歷程中與整合認知能力等方面的表現沒有差異。在數學解題的認知歷程方面，Mayer (1992)提出解決數學問題的步驟為問題轉譯(problem translation)、問題整合(problem integration)、解題計畫與監控(solution planning and monitoring )及解題執行(solution execution)。陳立倫(1999)探索兒童解答數學文字題的認知歷程，研究結果反映孩童在理解題意上的不足。蔡啟禎(2004) 的研究發現，資優生會因不同的題目而有不同的解題歷程，會隨著思考而隨機調整其解題歷程。

對於數學閱讀的教學實踐方面也有許多研究者重視。McIntosh and Draper (1996)解釋習題與答案的關係，提出教學策略的綱要與例題，以改善學生在數學文本的閱讀。Adams (2003)提供與閱讀數學有關的多樣化例題，透過不同的文字、數字與符號傳達數學觀念。胡新與雷斌(2003)探究培養學生數學閱讀能力的方法，如給學生自主學習探索的時間和空間、重視概念的形成過程、重視數學語言的學習、加強閱讀指導等。以上為許多對於數學閱讀不同角度的研究，而研究者為了探究學生在數學閱讀相關變項的表現，因此欲針對數學閱讀的認知成分進行探討。高文君、韓聯郡與高紅偉(2006)研究數學閱讀能力的構成，包括數學語言的理解應用能力、閱讀推理能力、聯想記憶能力、概括數學材料的能力和後設認知能力。范文貴、張守波和朱鳳林(2000)剖析了影響數學應用能力結構的主要因素：數學閱讀能力、建立數學模型能力、計算與估算能力、檢驗與評價能力。郭劉龍(2004)提出數學閱讀能力的基本成分：語言轉換能力(文字、符號及圖形等三種語言的轉換 )、邏輯思維能力(分析能力與概括能力)、後設閱讀能力(閱讀過程的自我意識、自我監控

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的能力)。目前國內只有少部分研究文獻進行關於數學閱讀的成分內涵之探究，陳美芳 (2001，2003)為了解學生對數學內涵的閱讀能力，參考語文閱讀能力評量的架構，發展了「數學閱讀能力測驗」，在學生閱讀完一段短文後，評量學生對短文內容的理解，包含字面的理解、推論及應用等三層次，共有六題，題型為選擇與填充兩種型式，測驗取材包含課本、數學史中的故事及學童生活經驗。秦麗花(2003) 以國小四年級數學「角度」為素材，建立數學閱讀理解模式，包含學科特定閱讀技能(數學先備知識、數學圖示理解、數學詞彙符號理解、數學作圖程序理解)、一般語文理解與數學閱讀背景知識。研究者參閱上述關於數學閱讀認知成分的研究，並依據 McKenna and Robinson (2002)提出的學科讀寫能力的三種認知成分：一般讀寫技巧 (general literacy skills )、學科特殊讀寫技巧 (content-specific literacy skills )及學科背景知識(prior knowledge of content )，將數學閱讀分析為閱讀理解、數學特殊技能及數學背景知識等三成分。因此，本研究欲考驗此三成分是否能有效解釋數學閱讀之理論建構。

肆、後設認知能力對數學閱讀表現的影響

除了閱讀之外，後設認知(metacognition)也會影響個人在各領域的學習與問題解決能力。後設認知是指一個人對於任何認知現象的覺知與調整，也是個體對自我的記憶、理解及其他認知活動的監控，其核心意義便是「認知的認知」 (cognition about cognition)( Flavell, 1979; Flavell, Mille r& Miller, 1993)。學習者對後設認知策略的掌握就形成了自主認知能力，具備了自主認知能力就學會了如何進行學習(雷丹，2008)。學習不成功者並不缺乏具體的認知策略和技能，其失敗的關鍵是由於他們沒有掌握該在什麼時候、在哪種情況下採用哪種策略或技能 (吳

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增生，1994)。許多研究發現後設認知與數學解題有密切關係，Pugalee (2001)從學生進行數學解題時所記錄下來的過程中，表現出了定位(orientation)、組織(organization)、執行(execution)、確認(verification)等後設認知行為。李長柏(2001)研究國小數學簡單機率解題實作評量與後設認知的相關，研究顯示後設認知與數學解題具有相關性。李清韻(2003)研究國小六年級學生數學溝通能力與後設認知能力之相關，發現數學溝通能力愈高者其後設認知能力亦高。蔡久瑜(2003)探討國二學習障礙學生和一般學生後設認知與數學解題的相關，發現學障學生和一般學生之後設認知能力存有差異，且後設認知能力較佳的學生，其數學成績也較學障學生高。性別在數學解題中之後設認知能力的差異性，也是研究者所欲探討的。皮磊 (2008)調查中專生數學後設認知的水平，結果顯示女生數學後設認知得分較高。張軍翎(2008)進行中小學生的邏輯推理能力、後設認知與學業成績的比較，發現中小學生在後設認知上不存在男女性別間的顯著性差異。由於後設認知能力會影響問題解決的策略選取技能，因此研究者欲探究學童後設認知能力是否會影響其在數學閱讀的表現，且是在何種成分中有所影響，以及後設認知與數學閱讀兩者之間的相關情形。

伍、不同認知型式者在數學閱讀的表現

現今之國小課程理念是以學童的生活為中心，教師應尊重每位學童的個性，配合學童的身心能力發展歷程，適度激發其個人潛能，以培養其適應現代生活之需要，而學童的認知型式(cognition style)會對其學習及思考方式造成影響，因此認知型式也是研究者所欲探討的題材。認知型式為人類思考、記憶、問題解決、組織及訊息處理時，所偏好的習慣或方法(Messick, 1976; Riding & Rayner, 1998)。Witkin and Moore (1974)將認知型

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式定義為場地獨立性(field independency)及場地依賴性(field dependency)兩面向，場地獨立者較熟練於建構及分析性的活動，場地依賴者則考慮整體性。許多研究顯示了認知型式在某種程度上與能力有關，場地獨立者在語言及數學上有較好的學習能力 (Armstrong, 2000)，在閱讀理解上也有較好的表現 (Rosa, 1994)。丁春蘭(2003)分析國小學童乘除問題的解題表現，發現場地獨立型學生在乘除文字題的解題能力優於場地依賴型學生，顯示在乘除文字題中，學生的解題表現，受其本身認知型式的影響。林麗惠(2000)研究國小六年級學生原住民與非原住民學童的認知風格、推理表現與問題解決之相關，發現場地獨立型的學童在推理表現及問題解決皆有較好的表現。在認知型式之性別因素上，許多研究者也進行探討。彭賢、馬素紅與李秀明 (2006)對大學生認知型式與其性別差異的研究中，發現男、女生的認知型式存在著顯著的性別差異，男生在思想及感覺較佳，女生在感情和直覺較佳。康雅芳(2006) 研究國小五年級學童認知風格、數學態度與數學解題表現之關係，發現認知型式不因性別不同而有場地獨立或場地依賴的差異存在。不同認知型式的學童在學習及思考方式上會有不同的表現，本研究擬探討不同認知型式的學童在數學閱讀及後設認知上的表現。

第二節

研究目的

基於上述的研究動機，本研究旨在探討學童的數學閱讀與後設認知之能力，以及數學閱讀與後設認知兩者的關係，並分析不同認知型式的學生在數學閱讀與後設認知的表現。綜合以上所述，本研究之目的分述如下：

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一、分析學生在數學閱讀及後設認知能力的表現。二、探討學生的數學閱讀表現與後設認知能力之相關性。三、探討學生的後設認知能力對其數學閱讀表現之解釋力。四、探討不同認知型式的學生在數學閱讀表現的差異性。五、探討不同認知型式的學生在後設認知能力的差異性。六、探討不同性別的學生在數學閱讀表現、後設認知能力及認知型式的差異性。

第三節

名詞釋義

本研究旨在探討國小學童之數學閱讀與後設認知、認知型式之間的關係，茲將本研究之重要名詞，分別說明與界定如下：

壹、數學閱讀

研究者依據學科讀寫能力的三種認知成分，將數學閱讀分析為閱讀理解、數學特殊技能及數學背景知識等三成分，自編「國小六年級數學閱讀測驗」。這三個成分表示數學閱讀下的不同因素向度，研究者以自編測驗瞭解學生在這三個成分的表現，並檢視數學閱讀的認知結構。

貳、後設認知

後設認知(metacognition)是指自身認知過程的認知和意識，包含在何種問題情境下應該運用何種認知策略、如何最佳地發揮自己能力的知識，並且在解決問題的過程中所使用的調節機制，如計畫、監控、調節、評價等，本研究以信心評量法來測驗學生的後設認知能力。

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參、認知型式

認知型式(cognition style)為人類思考、記憶、問題解決、組織及訊息處理時，所偏好的習慣或方法。其中，場地獨立者較熟練於分析性的活動，場地依賴者則考慮整體性。本研究以其在丁春蘭(2003)所編製之「團體藏圖測驗」上的得分來區分，得分在全體受試人數一個標準差以上為場地獨立者，而得分於全體受試人數一個標準差以下為場地依賴者。

第四節

研究範圍

壹、就研究對象而言

本研究之研究對象為九十六學年度公立國民小學之六年級學童，樣本取樣來自於中部地區，包括臺中縣、臺中市、彰化縣及南投縣等四縣市，抽取其中 7 所國民小學的 11 個班級，樣本維持原來班級進行研究。

貳、就研究內容而言

本研究旨在探討國小六年級學生在數學閱讀測驗的解題表現，以及其與後設認知、認知型式的關係。然而，影響學生解題表現的因素非常多，本研究無法詳細探究其他變項的影響，如學校因素與教師因素等，因此其他因素則不包括在本研究的範圍內。

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第二章

文獻探討

本研究旨在探討國小六年級學生數學閱讀能力、後設認知與認知型式之相關性。本章分為四個部分加以論述，第一節為數學閱讀之意義、重要性及成分探討；第二節為後設認知之意義與理論模式；第三節係認知型式的理論與相關變項之探究；第四節則為數學閱讀之數學背景知識的內容。

第一節

數學閱讀的內涵與相關研究

壹、數學閱讀的意義、重要性及成分

一、數學閱讀的意義數學是一種語言 (卲光華，1999；教育部，2003)，是描述科學的語言 (高文君、韓聯郡、高紅偉，2006)，人們會使用數學進行溝通、解決問題、從事遊戲、創造藝術作品與機械工具 (Adams, 2003)。MacGregor and Price (1999) 認為數學的本質為分析組織、對於陳述做出選擇，而且是操作的表現，因此數學閱讀是一種綜合的語言學。 Wakefield (2000)認為由於數學具有下述特徵，所以數學的確可被稱為一種語言：使用口頭或書寫的符號來傳達抽象的概念、有一致的符號及規則、線性的及連續的算式、可藉著練習增進了解、需要記住符號與規則才能成功、初學者需要觀念轉化及闡明、符號的順序會影響意義、需經過譯碼才能進行傳達、要有流暢的直覺和洞察力、背景經驗是未來發展的基礎、算式有無限的可能性等。數學閱讀是一個完整的心理活動過程，包含語言符號(文字、數學符號、術語、公式、圖表等)的感知和認讀、新概念的同化和順應、閱讀材料的理解和記憶等各種心理活動因素，同時它也是一個不斷假設、證明、想像、推理的積極認知過程(卲光華，1999)。Adams and Lowery (2007) 認為閱讀數學是進行數學活動

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的重要成分，數學活動包括解決文字的關聯、計算、設計及解釋圖表、回答問題、以及表達概念之間的關係，數學裡的文字包含了術語以及特殊的觀念，學生必須要先閱讀數學文本，才能進行數學的活動，因此當個體能操縱數學，表示其已讀懂數學的語言，對於概念及過程也有了適當的瞭解。當學生擁有了優秀的數學背景，可以幫助他們進行數學概念的聯結，也有助於其他科目的學習(Donoghue, 2001)。由以上可知，當我們傳達及理解數學時，必須透過言語、文字、數字、符號、公式、圖表及算式來表徵，以進行數學活動，而閱讀能力會限制個體數學知識的獲得，表示數學脫離不了閱讀的範疇，因此數學與閱讀是密不可分的。二、數學閱讀的重要性早從中國古老的數學書《九章算經》中，可得知數學與閱讀是形影不離的，以當中的第六卷第八題為例，「石一十七斤，行七十六步，五十返。今負籠重一石，行百步，問返幾何？答曰：四十三返、六十分返之二十三。術曰：以今所行步數乘今籠重斤數為法，故籠重斤數乘故步，又以返數乘之，為實。實如法得一返。」由此題能發現中國古代的數學題目、答案及解析全是以文字的方式來表徵，人們必須透過讀懂文字來學習數學，因此從中國古代起便有了數學閱讀。現今許多的研究者及組織，也相當重視數學閱讀。美國的數學教師協會 (National Council of Teachers of Mathematic s，簡稱 NCTM)於 2000 年曾提出，當學生以口頭或書寫的方式和別人溝通數學時，他們的數學觀念會較清楚，此方法可提供閱讀數學的基礎，也顯示了做數學不只是操作數字和符號，也可以培養和分享數學概念，透過多樣化的方式進行較深入的學習。

Carl (1991)認為教師應該教導學生閱讀並理解數學文本，以便將新概念應用在其他問題上。從文本中學習是在身處在現代的社會裡最重要的技巧，不

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同於典型課堂上的教學，理解具有挑戰性的文本此能力，是成功最重要的關鍵之ㄧ(McNamara, 2004)。Shepherd (2005)相信學生需要閱讀數學，以成為獨立的學習者，並提出了上數學課的方法，如讓學生確信他們可以有趣的讀懂數學、教導學生如何主動的閱讀數學文本。邵光華(1999)認為數學閱讀有著重要的教育意義，其獨特的作用是其他教學方式所不可替代的，因此提出重視數學閱讀的四個重要性：(一)重視數學閱讀有助於數學語言水準的提高及數學傳達能力的培養，應鍛鍊數學語言的理解力與表達力；(二)加強數學閱讀有助於數學教科書作用的發揮，以充分利用教科書的教育價值；(三)符合現代終身教育、終身學習的教育思想，以隨時調整自己來適應社會發展的變化；(四)有助於個別化學習，其關鍵為要先教會學生閱讀，使每個學生都能得到充分發展。在現代的社會中，數學閱讀是必備的能力，個體必須以數學閱讀為基礎，進而將學習範圍擴展至其他學科，且達到自我學習的目標，教師應重視學生的數學閱讀能力，以培養適應新時代的人們。三、數學閱讀的成分本研究欲建立數學閱讀的模式，探究學生在數學閱讀相關變項的表現，因此針對數學閱讀的認知成分進行探討。目前對於數學閱讀成分的討論，有以下不同的觀點。 1981 年 Cloer 提出影響數學閱讀理解有三個關鍵，分別為數學詞彙知識、語文段落閱讀及連貫各細節之技能 (引自秦麗花，2003)。范文貴、張守波和朱鳳林(2000)為培養中學生的數學應用能力，對數學應用能力結構進行分析，認為影響數學應用能力結構的因素有四方面：數學閱讀能力、建立數學模型能力、計算與估算能力、檢驗與評價能力。郭劉龍(2004)以心理學層面提出數學閱讀能力的基本成分：語言轉換能力(文

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字、符號及圖形等三種語言的轉換 )、邏輯思維能力(分析能力與概括能力)、後設閱讀能力(閱讀過程的自我意識、自我監控的能力)。辛自強(2004)以數學閱讀的過程角度建立層次，認為學生在數學閱讀理解的過程模式有四個步驟：(一)理解詞彙和符號，這些詞彙有些是數學中專門的術語，有些則是日常語詞，準確理解詞彙的內涵是正確理解問題的前提；(二)詞彙和符號之間的互譯，將問題情境以方程式列出，或根據方程式編製應用題；(三)理解數學問題，必須掌握數學的語法結構；(四)建構合適的問題模型，將概念性知識、解題方法和策略的程序性知識聯繫起來，最終達到問題的解決。高文君、韓聯郡和高紅偉(2006)研究數學教學模式，研究數學閱讀能力的構成，包括數學語言的理解應用能力、閱讀推理能力、聯想記憶能力、概括數學材料的能力和後設認知能力。可知數學閱讀所涉及的因素乃包含語文閱讀、文字與數學之間的轉換、數學詞彙與符號的理解、數學策略的分析能力、計算及自我監控能力。另外，部分研究者發展數學閱讀的評量工具，以進行數學閱讀成分的探究。陳美芳(2001，2003)研究數學學習障礙者的數學閱讀，其目的為了解學生在數學中的閱讀，以探究學生數學學習的困難，因此參考語文閱讀能力評量的架構，發展了「數學閱讀能力測驗」，在學生閱讀完一段短文後，評量學生對短文內容的理解，包含字面的理解、推論及應用等三層次，共有六題，題型為選擇與填充兩種型式，測驗取材包含課本、數學史中的故事及學童生活經驗。秦麗花(2003)以國小四年級數學「角度」為素材，建立數學閱讀理解模式，研究實徵資料顯示數學閱讀包含學科特定閱讀技能 (數學先備知識、數學圖示理解、數學詞彙符號理解、數學作圖程序理解)、一般語文理解與數學閱讀背景知識等認知因素；若再結合情意因素，則加入學生對數學文本的情意，兩模式的模式適合度都很適切。

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讀寫技巧 (general literacy skills )、學科特殊讀寫技巧 (content-specific literacy skills)及學科背景知識 (prior knowledge of content )，如圖2-1-1所示：

圖2-1-1 McKenna and Robinson (2002)的學科讀寫能力認知成分

研究者參閱上述關於數學閱讀認知成分的研究，並依據 McKenna and Robinson (2002)提出的學科讀寫能力的三種認知成分：一般讀寫技巧、學科特殊讀寫技巧及學科背景知識，將數學閱讀分析為閱讀理解、數學特殊技能及數學背景知識等三成分。其中，閱讀理解為語文閱讀理解；數學特殊技能是分析數學題目的運思過程，如日常語言與數學符號語言間的轉換、依據數學邏輯推論問題間概念之關係；數學背景知識則為學生已學得之數學知識，如本研究之對象為國小六年級學童，其所具備的數學背景知識即為九年一貫能力指標之六年級分年細目。本研究之分析，視此三成分為有效解釋數學閱讀之理論建構，以下分別對此三成分進行探究。學科讀寫能力學科背景知識一般讀寫技巧學科特殊讀寫技巧

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貳、閱讀理解及其相關研究

一、閱讀理解的意義對於閱讀理解的意義，行為學派與認知學派持著不同的觀點。行為學派將閱讀理解視為技巧的運用，具備良好的閱讀技巧則能產生高層次的閱讀理解；認知學派則將閱讀理解視為複雜的心理歷程，是閱讀者主動建構文章內容的過程。 (一)將閱讀理解視為技巧的運用傳統行為學派將閱讀理解視為技巧的應用，認為閱讀者是被動的接受訊息，所有的意義都是存在文章內容中，閱讀者只要經由閱讀即可理解，1965 年 Smith 將閱讀分解為解碼及理解兩種技巧，1980 年 Rosenshine 認為教導孩童必要的技巧可以改善他們的閱讀(引自 Dole, Duffy, Roehler & Pearson, 1991)。閱讀理解是一種閱讀技巧的表現，當閱讀者的閱讀技巧愈良好則可產生愈高層次的閱讀理解，不同的閱讀理解層次依序為 (Evans, Evans & Mercer, 1986; Swaby, 1989；引自鄭毓霖，2003)： 1.字義的理解：是指從字句語意中可了解文章的主要思想、概念。 2.推論的理解：根據文章訊息，配合自己的經驗知識去推理隱含的意義。 3.評鑑的理解：依據文章傳遞的資訊，讀者產生自己的見解，其中包含價值判斷、做決定、拒絕或接受某些意見等技能。 4.批評的理解：分析所閱讀文章的內容格式，包括明瞭文章的邏輯性與一致性，也能分辨文章字句的型式和語態等技能。 (二)將閱讀理解視為複雜的心理歷程認知學派認為閱讀理解是複雜的心理歷程，是閱讀者利用已有的先備知識，以及從文本中得到的線索，進而解釋與建構文本的意義，且監控閱讀的進行，學生主動帶入文本的知識和策略可以促進其學習 (Dole, Duffy, Roehler & Pearson,

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的條件為以下四個概念(Goodman & Burke, 1980; Rumelhart, 1977；引自李慧慧， 2006)： 1.閱讀理解需依賴閱讀者本身具有的知識及經驗，即基模觀點會影響閱讀者的閱讀理解能力。 2.閱讀理解是將語言意義化的過程，也是一種對語言賦予意義的過程。 3.閱讀理解即是解決問題，因此閱讀理解是閱讀者思考活動的過程。 4.閱讀理解需要閱讀者主動運用既有基模，也就是知識及經驗，去與文本進行互動結合，以貫通文章內容獲取意義。二、閱讀理解的歷程閱讀理解的歷程有許多模式，包含重於解碼歷程的「由下而上模式」、注重於理解歷程的「由上而下模式」、以上述兩項歷程同時交互發生的「交互作用模式」、強調閱讀理解是循環過程的「循環模式」及以訊息處理論觀點的「訊息處理模式」，以下就此五種閱讀理解歷程進行探討 (林清山，1990；柯華葳，1993； Gearheart & Gearheart, 1989 ；引自胡永崇，1996)：

(一)由下而上模式(bottom-up model) 由下而上模式特別重視刺激感覺，即從字義的接觸，進而擴展到內在表徵的知覺，其重點在於字彙或文句本身的處理，而非閱讀者所擁有的既有知識與經驗。語言學的模式、行為學派的刺激與反應聯結理論、及基本認知歷程等，皆以由下而上模式為理論基礎。語言學著重於基本字彙的音韻、語形、語序分析，及字義與文句理解的基本歷程；行為學派重視字義學得的刺激反應之制約歷程；基本認知歷程則重視閱讀的知覺、記憶等基本心智歷程。由下而上的閱讀歷程模式如圖 2-1-2 所示：

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圖 2-1-2 由下而上的閱讀歷程模式 (Reutzel & Cooter, 1996) (二)由上而下模式(top-down model) 由上而下模式重視閱讀者以其既有知識或經驗，將閱讀材料賦予意義或加以組織的歷程，其重點在於閱讀者的知識背景與其對閱讀行為的監控，而非閱讀材料本身。基模理論(schema theories)強調閱讀者的既有知識與確認文章架構對文章理解之影響，及閱讀策略與後設認知對文意理解的影響等高層認知歷程，皆為由上而下模式的理論基礎。此外，閱讀者對閱讀活動或意義理解過程的主動涉入，也是由上而下模式所重視的變項。由上而下的閱讀歷程模式如圖 2-1-3 所示：

圖 2-1-3 由上而下的閱讀歷程模式 (Reutzel & Cooter, 1996) 意義文章段落語句字彙字母知識經驗情緒讀者意圖意義

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(三)交互作用模式(interactive model) 交互模式重視由下而上及由上而下歷程的同時交互發生，閱讀時同時涉及閱讀者的基本認知歷程與高層認知歷程。若閱讀材料的字彙與文句為閱讀者所熟識，則可能較偏向由上而下的模式；若為閱讀者所不熟識，則可能較偏向由下而上的模式。交互作用模式亦強調由上而下及由下而上等兩項歷程的互補，閱讀者若認字較少或較慢，但他對於文章已有一些概念，則由上而下的模式可以幫助他理解；若閱讀者沒有一些既有知識，則屬於認字能力的由下而上模式，可以幫助他瞭解這篇文章。交互閱讀歷程模式如圖 2-1-4 所示：圖 2-1-4 交互閱讀歷程模式(Rumelhart, 1985) (四)循環模式(recycling model) 循環模式強調閱讀理解是一個循環的過程，閱讀者每看到文章中的一個字，即對此字產生解釋，此項解釋會對下一個字有期望，而期望則又與下一個字相結合且產生命題，然後再統整整個段落的所有命題進而理解文意。若期望與下一個進入的字意不能相配合，或與前面的命題不合，閱讀者會回頭再找另一個解釋，因此，解字、形成命題、統整，三者不斷地循環直到閱讀者覺得自己已理解文意為止，即為閱讀的循環模式。型態綜合體摘取重點圖像的輸入句法知識語意知識拼字知識字彙知識視覺刺激最有可能的詮釋

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(五)訊息處理模式

Gagne, Yekovich and Yekovich (1993/1998) 將閱讀的歷程分為解碼 (decoding)、文意理解(literal comprehension)、推論理解(inferential comprehension)、以及理解監控(comprehension monitoring) 。 1.解碼：破解書面文字符號並使其具有意義，又包含配對(matching)歷程及譯碼(recoding)歷程。前者指從書面看到的文字，會與閱讀者已知的文字型態相配對，並從長期記憶中活化對該字的意義，是用來辨識存在於個人視覺字彙辭典 (sight vocabulary)當中的文字；後者指書面文字會被轉譯成聲音的型式，而其聲音便會活化存在於長期記憶裡該字的字義。 2.文意理解：在解碼歷程中所辨識出的文字與聲音等型態屬於輸入的一部分，它們會刺激文意的理解歷程，文意理解的功能便是由書面文字來追溯推論每個字義，它包含了字義取得(lexical access)與語法分析(parsing)兩個過程。前者會運用解碼過程中所得的訊息來辨識及選擇適當的字義，即由所有被活化的知識當中，選取合於該字的正確解釋；後者會將個別字詞的意義組合而形成較大的意義單位，如一個片語、子句或簡單句，在組合時會使用句法和語言學的原則，將一些字組合在一起，以形成有意義的概念。 3.推論理解：此歷程提供閱讀者對於他們所正在閱讀的事物，有更深層且較廣博的理解，包括整合(integration)、摘要(summarization)及詳細論述(elaboration) 等三個歷程。整合歷程是把兩個或兩個以上的命題結合在一起，可以使得文章中的概念具有更連貫性的敘述性表徵；摘要歷程的功能是要使閱讀者在其敘述性記憶內產生一個全盤性的或是一個巨觀的結構，來涵括一篇文章中的主要概念；詳細論述是在該意義表徵上藉由帶入先前的知識來增進相關訊息，藉由新的資訊連結到一些已熟悉的訊息上，閱讀者於日後便較容易提取這些新訊息。 4.理解監控：其功能在於確保閱讀者能夠有效率又有效能地達成閱讀目標，若涵蓋更廣的技能已被稱為後設認知 (Baker & Brown, 1984; Flavell, 1 979)。理解監

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控包含目標設定 setting) 、策略選擇 (strategy selection) 、目標檢視 (goal-checking)以及修正補強(remediation)等四個歷程。在開始閱讀的時候，閱讀者會先設定一個目標，並選擇使用某一種閱讀策略來幫助其達成目標，如所設定的目標為得到全篇文章的大意，此時可採取的策略則可能是去瀏覽文章當中的標題。目標檢視的目的是要確認閱讀者的目標是否達成，但目標檢視的歷程可能能會打斷原本正常的流程，此時修正補強的歷程便會被活化以用來處理引發閱讀理解障礙的原因。Gagne, Yekovich and Yekovich (1993)的閱讀理解模式如圖 2-1-5 所示：

圖 2-1-5 Gagne, Yekovich and Yekovich (1993)的閱讀理解模式 (引自胡永崇，1996)

三、影響閱讀理解的因素

1988 年 Englert and Palincsar 提出一個熟練的閱讀者從事閱讀時，至少涉及四項相關知識以建構文意(引自胡永崇，1996)：

(一)字彙知識(word knowledge)

對文章所含字彙的辨識或字義的理解能力，字彙知識亦即閱讀時的解碼技巧，包含字型與語音等兩方面的知識，閱讀者必須能辨識字形、字的結構及讀出字音，才能瞭解字義。

(二)文脈知識(syntactic or contextual knowledge)

由前後文句、段落的脈絡關係，推測未熟識之字彙或概念的意義。如由「一不小心從高樓掉下，一命嗚呼」的文脈，推測「嗚呼」的意義。

(三)語意或背景知識(semantic or background knowledge)

閱讀者所擁有與閱讀材料有關的既有背景知識，此項背景知識除有助於閱讀理解監控

文意理解

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者理解文章所明確陳述的語意之外，更有助於閱讀者對文章未明確陳述之文意加以推論或預測。有效的閱讀者除需擁有與學習內容有關的知識外，尚需於閱讀時能即時引發此項相關知識，因此閱讀理解即是背景知識與閱讀材料之間的互動歷程。 (四)文章結構的知識(text knowledge) 藉由文章架構的確認，以幫助理解文意或記憶文章內容的能力。一般的故事，大約包含五個主要成分：1.情景(setting)，如人物、時間、地點；2.問題事件 (problem events)；3.人物對事件的內在反應與解決問題的方法；4.解決的結果；5. 結局。閱讀者若能掌握此一故事結構，則有助於對故事文章的理解與記憶。 1989 年 Lerner 提出閱讀理解有三個具有互動關係的變項：閱讀者，包括閱讀者的背景知識、字彙辨識能力、後設認知能力、及閱讀動機等；閱讀材料，包含文章的架構、句型句法的完整性、內容的前後一致性等；閱讀情境，為閱讀情境的氣氛、閱讀目的、師生互動等。Lerner 並認為閱讀具有以下五個性質：(一) 閱讀理解取決於閱讀者對閱讀材料所擁有的既有知識與經驗，閱讀即閱讀者面對文字材料時，根據自己的相關知識與經驗基礎，對文章做主動的意義建構歷程； (二)熟練的閱讀者亦同時是閱讀材料所含字彙的熟練辨識者；(三)閱讀理解的歷程是一種有策略的思考歷程；(四)閱讀理解必須有適當的動機，閱讀者須對閱讀材料做主動的介入；(五)閱讀理解是自然語言發展的擴充，口語經驗、閱讀經驗與練習機會、生活與文化經驗等皆為影響閱讀理解的重要因素 (引自胡永崇，1996)。 Mayer (1987/1990) 認為閱讀者在閱讀理解的歷程中，會根據四種技巧： (一)運用先前知識(prior knowledge) 閱讀者對文章主題的先前知識會影響他對文章的記憶內容，會記憶些什麼決定於文章的內容與閱讀者對閱讀作業所採取的觀點。閱讀者對他們擁有大量先前知識的文章，比起對他們未擁有先前知識的文章，可以回憶較多訊息，做較多的推論，和造成較少的錯誤。

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(二)運用文章結構有技巧的閱讀者知道文章的巨觀結構 (macrostructure)，亦即知道將文章分解為幾個概念，和知道這些觀念在階層性大綱中彼此間的關係。 (三)做推論在閱讀理解的過程裡，常需要閱讀者去做推論。隨著兒童的發展，兒童越來越能夠做推論，賦予文章某種意義，並且推論的能力與回憶總量有高相關存在。 (四)運用後設認知知識後設認知是指一個人對自己認知歷程的知識和覺察，對有效的閱讀很重要。與閱讀有關的後設認知有三項：1.理解監控，指一個人對自己是否瞭解自己正在閱讀什麼的察覺，一個具有良好理解監控技能的閱讀者會常常自問所閱讀的是否有意義；2.自我檢核，覺察是否正確的將文章加以譯碼，以及覺察自己是否已從文章中得到足夠的訊息；3.對閱讀目標之敏感度，即根據自己的目標來調節閱讀的技巧。本研究之「國小六年級數學閱讀測驗」的施測過程是先讓受試者閱讀完文章後，再回答後續之題目。因此學生必須先對文本進行解碼，進而將字詞組成有意義的概念；而在「閱讀理解分測驗」中，有些試題是測驗學童整合與摘要的推論理解過程，以及推論的技巧。另外，受試者也必須對文章及題目進行後設認知的歷程，以達到有效的閱讀理解，並且在作答後對能正確答對題目的把握做自我檢核。四、閱讀理解在性別之研究 1974 年 Maccoby 研究發現女生在十一至十二歲時的語言能力優於男生，而在高中階段時，女生在拼字、理解複雜的語法結構、理解言語中的邏輯關係、閱讀理解及寫作流暢性皆優於男生 (引自靳洪剛，1994)。羅彥文(1995)研究國中學生國文閱讀學習，發現女生在國文閱讀理解成就上的表現顯著優於男生。錡寶香

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(1988)研究國小二年級至國中三年級聽覺障礙學生的國語文能力，研究發現聽障女生的國語文能力優於聽障男生。董宜俐(2002)編製國小六年級學童中文閱讀理解測驗，研究結果發現學童之閱讀理解能力在性別間無顯著差異。謝美寶(2002)研究國小學生閱讀態度、家庭閱讀環境與閱讀理解能力之關係，發現不同性別之國小學生其閱讀理解能力沒有顯著差異。李雅惠(2006)研究概念構圖教學對八年級學生閱讀理解能力與國文學習態度之影響，發現男女生的閱讀理解能力沒有顯著差異。綜合以上可知，閱讀理解在性別上的研究可歸納為兩種情形，一些研究發現女生在閱讀理解的表現顯著優於男生，但是其他研究則發現男女生的閱讀理解能力並無顯著差異。由於閱讀理解在性別變項上還未有一致定論，因此，研究者欲對此變項進行探討。

參、數學解題及其相關研究

一、數學解題的意義數學解題意義有三種不同的解釋：(一)解題是數學學習的目標(goal)，學習解題是學習數學的主要理由，特殊的問題、演算程序甚或各種數學的內涵，均為達成此目標所採用的材料而已；(二)解題是一個過程(process)，是將先前所學的知識運用到新的或不熟悉的情境中，要視不同情境選擇適當的解題方法、程序、策略及解題原則；(三)解題是個人在未來社會中所需要的、重要的基本技能 (basic skill)(Branca, 1980；引自陳龍安，1988)。解題是指面臨一種情境，沒有一種保證可以解決的算則，個人必須運用所有可獲得的資源去完成解答 (Lester, 1980；引自葉明達、柳賢，2003)。數學解題的意義可以分為三個層面來探討：(一)心理學，解題是一種情境，個人在此情境下，想要達成某一目標，但路徑被阻塞而產生問題，需要解題者運

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用數學概念、原理與方法等，即是將解題視為「人為了達成某種目標而做的一些活動」；(二)社會學，將數學解題視作為老師給學生的任務，當學生在解題任務中會與老師產生微妙的關係，彼此猜測對方的心意，由自我的觀點來解釋對方的行為；(三)數學，數學問題是數學建構的開端和思考的工具，因為數學是數學家在形成問題和解決問題的過程中創造出來的 (Kilpatrick, 1985；引自楊瑞智，1994)。 Mayer (1987/1990) 認為數學解題是解題者在面對數學情境或問題時，無法立即解決，而需要運用已有的數學概念、原理及方法，經過思考及計畫，並且加以執行、驗證，而使數學問題能獲得解決的一種歷程。劉錫麒(1993)把數學解題的研究歸納為兩個取向，一個是強調引導問題結構轉換的策略取向，另一個是重視問題結構的表徵取向，並輔以省思的歷程：(一) 解題是在問題空間中的搜尋歷程，此觀點最早由完形心理學派所提出，根據完形模式，解題是探求問題各層面的關係，以達到結構的理解歷程，亦即對問題的初步完形不斷轉換以達成解決的歷程。因此，問題的解決是問題被不斷重新敘述，而這些不斷變化的敘述是由策略推理所引導；(二)解題是問題表徵的重組歷程，會受到解題者先備知識與經驗的影響，知識會影響問題訊息的表徵，對計算及解題程序的應用也有密切的關聯。因此，數學的結構化知識是影響解題的重要因素；(三)解題是不斷省思的歷程，解題策略運用需要不斷的省思，問題表徵的成立也必須經由省思的歷程。因此，解題歷程的關鍵是省思。二、數學解題的歷程本研究將數學閱讀分析為閱讀理解、數學特殊技能及數學背景知識等三成分，其中屬於數學範疇的為數學特殊技能及數學背景知識。研究者欲探討此兩種成分之意涵，因此先對各研究者所提出的數學解題歷程進行探究，經整理與歸納後，再從中抽取出分別屬於此兩種成分的知識與能力。各研究者的數學解題歷程模式茲分述如下：

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(一)Polya 的數學解題歷程

Polya (1945/2006)在其《怎樣解題》(How to solve it)一書中，提出數學解題的四個步驟：首先，要了解問題，必須很清楚地知道，什麼是要尋找的答案；第二，要了解問題裡存在的各個關係，例如已知數和未知數之間有什麼關係，並據此擬定一個計畫，來求得答案；第三，確實動手執行計畫；最後，要回顧整個解答過程，驗算答案並討論它的意義。Polya 的怎樣解題題示表如表 2-1-1 所示： 1945 年 Polya 提出的四階段論，並非固定的由一到四階段循序漸進，相反的，它是充滿彈性的，例如當擬定計畫出現問題時，解題者可能會重新理解題意、擬定計算，根據計畫解決問題，若又再次發現無法解題，則又重新回到之前的階段，亦即解題歷程是一個不斷循環的過程 (引自楊瑞智，1994)。表 2-1-1 Polya (1945)的怎樣解題提示表階段提問 1.了解問題 (1)未知數是什麼？已知數是什麼？條件是什麼？ (2)解答能夠滿足這些條件嗎？已知的條件是否足夠決定未知數？太少？太多？或是彼此有矛盾？ (3)畫個圖。採用合適的記號或符號。 (4)你能把條件的各個部分分開並且寫下來嗎？ 2.擬定計畫 (1)你是否看過這個題目？或是看過相同、但以不同方式表達的題目？ (2)你是否知道什麼相關的題目？你是否知道什麼定理可以派得上用場？ (3)仔細看未知數！並試著想想有什麼類似的問題，有相似或相同的未知數。 (4)這裡有個你以前解過的問題，你能運用它嗎？你能運用它的結果？或是方法？是否需要引入什麼輔助元素，才能讓這個解決的問題派上用場？ (5)你能否把問題重新敘述一遍？或是用不同的話再說一次？回到定義看看。

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表 2-1-1 Polya (1945)的怎樣解題提示表(續) 階段提問 2.擬定計畫 (6)如果不能解決眼前的問題，試著先從一些相關問題著手。考慮一些相關但比較容易解決的問題，例如，比較一般化的問題？比較特殊的問題？相似或類比的問題？你能否只解決問題裡的某個部分？只考慮條件的某個部分，而先忽略其他部分；再看看離真正的未知數有多遠，還可以做什麼改變？你能從已知數中找到什麼線索？未知數或已知數可以怎麼改變 (必要時，同時改變二者)，來讓它們彼此更接近一些？ (7)你是否已經使用了所有的已知數？你是否已經用了所有的條件？你是否已考慮了與問題相關的所有必要觀念？ 3.執行計畫 (1)把你的解題計畫付諸實現，仔細地檢查每一個步驟。你能否清楚地確定每一個步驟都是正確的？你能否證明每個步驟都是正確的？ 4.驗算與回顧 (1) 你可以驗算所得的答案嗎？能不能檢驗你的論證過程？ (2)你能否用不同的方法得出相同的答案？你能否一眼就看出答案來？ (3)你能否把這個結果或方法，應用到別的問題上？

(二)Krulik and Rudnick 的數學解題歷程

1984 年 Krulik and Rudnick 提出數學問題解決流程圖，它顯示出一個問題解決者解決一個問題的策略，其過程中聯合了許多的子技巧 (subskill)以求得解答，如圖 2-1-6(引自吳德邦、吳順治，1989)：

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圖 2-1-6 Krulik and Rudnick (1984)之解題過程流程圖 (三)胡炳生的數學解題歷程胡炳生(1991)認為，人在解題時的思維活動，大致按「觀察－聯想－轉化」的步驟進行。思維活動要靠問題來激發，沒有問題就沒有積極的思維活動，在解題的思維活動中，總是不斷設問，不斷回答和解決這些問題，並設計各種圖、公式，不斷改進它們，來使解題獲得進展。胡炳生根據經驗，並參照 Polya 的建議，列出解題思考步驟程序表，如表 2-1-2：閱讀問題 1.辨別事實真相。 2.辨別題目的種類 3.了解字彙、生字。 4.想像。探究問題 1.資料之合理性。 (1)缺少了什麼？ (2)多餘的是什麼？ 2.組織和展現資料。 (1)地圖。 (2)表格。 (3)曲線圖。 (4)圖表。 (5)代數的敘述。 3.運算的概念。 4.概算。選擇策略 1.算式的理解。 2.回顧舊經驗。 3.猜測和嘗試。 4.模擬或試驗。 5.變形。 6.組織列式。 7.邏輯演繹。解決問題 1.各種計算技巧。 2.代數技巧。 3.幾何技巧。驗算 1.概算。 2.答案合理嗎？

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表 2-1-2 胡炳生(1991)的解題思考步驟程序表步驟思考程序 1.觀察 (1)要求解(證)的問題是什麼？它是哪種類型的問題？ (2)已知條件(已知數據、圖形、事項及其與結論部分的聯繫方式 ) 是什麼？要求的結論(未知事項)是什麼？ (3)所給圖形和式子有什麼特點？能否用一個圖形(幾何的、函數的或示意的)或數學式子(對文字題)將問題表示出來？能否在圖上加上適當的記號？ (4)有什麼隱含條件？ 2.聯想 (1)這個題以前做過嗎？ (2)這個題以前在哪裡見過嗎？ (3)以前做過或見過類似的問題嗎？當時是怎樣想的？ (4)題中的一部分(條件、結論、式子或圖形)以前見過嗎？在什麼問題中見過的？ (5)題中所給出的式子、圖形，與記憶中的什麼式子、圖形相像？它們之間可能有什麼聯繫？ (6)解這類問題通常有哪幾種方法？可能哪種方法較方便？試一試如何？ (7)由已知條件能推得哪些可知事項和條件？要求未知結論，需要知道哪些條件(需知)？ (8)與這個問題有關的知識(基本概念、定理、公式等)有哪些？ 3.轉化 (1)能否將題中複雜的式子化簡？ (2)能否對條件進行劃分，將大問題化為幾個小問題？ (3)能否將問題化歸為基本命題？ (4)能否進行變量替換、恆等變換或幾何變換，將問題的型式變得較為明顯一些？ (5)能否形、數互化？利用幾何方法來解代數問題？利用代數(解析)方法來解幾何問題？ (6)利用等價命題律(逆否命題律、同一法則、分段式命題律)或其他方法，可否將問題轉化為一個較為熟悉的等價問題？ (7)最終目的：將未知轉化為已知。 (四)Mayer 的數學解題歷程

Mayer (1992)在其所著「Thinking, problem solving, cognition」一書中，提出了解數學問題需要問題表徵 (problem representation)及問題解決(problem solution)

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兩個階段，而每個階段又分為兩個步驟。

1.問題表徵：將問題的陳述(包括文字和圖案)，轉換為內在的心理表徵，問題表徵又包含問題轉譯(problem translation)及問題整合(problem integration)。 (1)問題轉譯：把每個句子或主要的子句轉換為內在的心理表徵，此過程需要

語言知識(linguistic knowledge)和語意知識(semantic knowledge)。

(2)問題整合：把訊息結合成連貫的架構，此過程依賴基模知識 (schematic knowledge)。

2.問題解決：從問題的內在心理表徵求得解答，問題解決又分為解題計畫與監控(solution planning and monitoring )及解題執行(solution execution)。

(1)解題計畫與監控：展開和記錄解決問題的計畫，需要策略知識 (strategic knowledge)。 (2)解題執行：實行計畫，需要程序知識(procedural knowledge)。 Mayer (1992)表示解決數學問題時，也同時需要具備五種知識，他利用一道數學題目來說明。「每邊長 30 公分的正方形地磚，每塊地磚要 0.72 元，如果用此地磚鋪滿一個長 7.2 公尺、寬 5.4 公尺的長方形房間，一共需要多少元？」解決此問題需要的知識如下： 1.語言知識：瞭解文字的意思，讀懂題目中的語詞，例如知道「地磚」的意思。 2.語意知識：與實際生活有關的知識，例如知道 1 公尺等於 100 公分，或正方形有四個等長的邊。 3.基模知識：分辨問題型式的知識，例如知道要用公式「面積＝長×寬」來解決面積問題。 4.策略知識：知道如何從可利用的知識類型中，使用計畫及監控問題解決方法之技巧，例如設置以找出房間的面積以及發現所需地磚的數量為目標。

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5.程序知識：知道如何執行一連串操作的知識，例如計算 38.88 除以 0.09。 Mayer (1992)的數學解題歷程可以和他所提出的解決問題的五種知識相融合，以圖 2-1-7 來說明四個解題過程以及解決問題過程中所需的知識種類：問題陳述階段知識類型地磚問題的例子語言知識語意知識基模知識策略知識程序知識長 7.2 公尺、寬 5.4 公尺的長方形房間。 1 公尺等於 100 公分。這是一個面積問題，面積＝長×寬。首先，房間面積是 7.2×5.4；第二，每塊地磚面積是 0.3×0.3；第三，用房間面積除以地磚面積，找出所需地磚的數量；第四，全部的花費是所需地磚的數量 ×0.72。 7.2×5.4＝38.88 0.3×0.3＝0.09 38.88÷0.09＝432 432×0.72＝311.04 圖 2-1-7 Mayer (1992)的數學問題解題分析 (五)趙振威的數學解題歷程趙振威(1996)提出解答數學問題一般可分為四個步驟： 1.審題：清楚數學問題的題意。要清楚：這是什麼題？題中的已知條件(如已知數、已知圖形、已知事項等)是什麼？題中的問題或結論是什麼？圖中涉及哪些概念，他們的含義是什麼？並在此基礎上，引入適當的符號，或畫出適合題意的圖形，把題中的條件與問題清楚地表示出來。問題表徵轉譯整合問題解決計畫與監控答案執行

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2.探索解題方法：尋求已知與未知之間的聯繫，實現由已知向未知轉化，這是解答數學問題的關鍵。須靈活運用各種常用的思維方法，精心展開由此及彼的聯想。也就是在深刻分析已知條件，充分發掘概念特徵，反復推敲圖形性質的基礎上，聯想有關的定義和規律，聯想常用的解題方法，聯想已經解過的數學題，聯想鄰近學科的數學知識，以確定解題的方法。 3.給出解題：在找到解題方法後，把它付於實踐。要細心檢驗每一步解答，做到正確無誤。 4.分析解題：對所完成的題解進行深入的思考，也就是要好好想一想：題目中包含了哪些基本概念？它們是怎樣聯繫起來的？解題時運用了哪些定理和公式，不用它們而用別的行不行？解題時運用了哪些基本方法？這題有沒有更為簡捷的解法？這題與過去解過的問題有何類似之處？能不能對這類數學題加以概括，引出一般性的結論？解題時要注意哪些方面的問題，以避免引起錯誤。這不是一個必須的步驟，但出於學習和認識的目的，平時練習時做好分析回味工作，是很有效益的。它不但能加深對原題的印象，而且對於擴大解題效果、拓寬解題思路、積累解題經驗、題高解題能力，都有著不容忽視的潛在作用。將以上五位研究者所提出的數學解題歷程整理後，發現各研究者對於解題歷程所抱持的觀點不同，所以區分出不同的階段，也各有其階段名稱。然而，階段間是互相連貫且彼此相關的，解題的進行也是階段不斷循環的過程，因此歷程之間無法絕對的切割，不過可依其相似的特性大致歸納為四個階段。由表 2-1-3 的數學解題歷程之階段歸納表可知，階段一是解題者對問題進行閱讀與了解；階段二為依據對問題的了解，探究問題的條件後擬訂解題計畫並選擇解題策略；階段三則是執行解題計畫，以得到答案；階段四乃是檢驗答案的正確性。

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表 2-1-3 數學解題歷程之階段歸納表

歷程提出者階段一階段二階段三階段四

Polya (1945) 了解問題擬訂計畫執行計畫驗算與回顧

Krulik and Rudnick

(1984) 閱讀問題探究問題選擇策略解決問題驗算胡炳生(1991) 觀察聯想轉化 Mayer (1992) 問題轉譯問題整合解題計畫與監控執行趙振威(1996) 審題探索解題方法給出解題分析解題由以上可知，數學特殊技能為分析數學題目的運思過程，即包括計畫的擬定、策略選擇等，因此屬於數學解題歷程第二階段所應具備之能力；數學背景知識則為個體所具備之數學知識，若擁有此知識及技巧才能進行解題以得到答案，所以是屬於數學解題歷程第三階段的範疇。三、影響數學解題的因素 Krutetskii (1976/1993) 分析出數學能力中影響學生數學解題成果的因素，包括九項：(一)型式化數學材料的能力；(二)一般化數學材料的能力；(三)數學演算能力；(四)邏輯推理能力；(五)簡捷思考能力；(六)逆向思考能力；(七)彈性思考能力；(八)數學記憶力；(九)空間概念能力。胡炳生(1991)提出解一個數學題，好像是在腦海中構建一項思維工程，不論數學問題的大小、難易、及複雜程度如何，構建這樣一項思維工程，都不是孤立事件，有許多因素影響著它的成功或失敗：(一)數學知識是解題的基礎，包括數學課本中的概念、定理和符號系統；(二)數學解題方法是解題的基本手段，數學方法有三個層次，分別為解題的具體方法和技巧、數學解題的通法及數學解題中的思想原則和策略；(三)數學思維方法，即在解題的思維過程中所應遵循的熟悉化、簡單化和多樣化原則，以及把數學題目進行歸納之策略；(四)解題經驗，把某些數學知識、某種數學解題方法和題目中的條件進行組合；(五)邏輯，應遵循

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型式邏輯和辯證邏輯的幫助；(六)思維品質和對數學的興趣；(七)語文知識、其他學科知識及社會生活知識。其解數學問題的系統圖如圖 2-1-8：圖 2-1-8 胡炳生(1991)的解數學問題系統圖蕭龍生(1993)認為成功解題涉及五個因素：(一)型式的認識，熟練的解題者較能夠察覺記憶中訊息儲存的型式；(二)表徵，為解題者將問題內化的過程，表徵與工作環境的交互作用會構成更精緻的問題表徵，直到問題解決；(三)了解，無法適當的了解問題會導致解題失敗；(四)記憶基模，為用來描述表徵概念的知識集合，完善組織的知識體是解題者的資產；(五)後設過程，對認知過程的監控及認知活動的評鑑。李靜瑤(1994)研究國中二年級學生解題的歷程，發現解題成敗之關鍵包括： (一)是否理解題意；(二)能否了解目標狀態；(三)數學知識完備與否；(四)能否注意到問題中所有的條件；(五)能否屏除無用的條件；(六)能否應用相關知識或公式；(七)是否有完備的程序性知識；(八)能否評估自己的解題過程；(九)自信心； (十)變通性；(十一)解題的耐力；(十二)對數學的態度或信念等。邏輯數學解題方法解數學題數學思維方法興趣思維品質社會生活知識和經驗理化等學科知識語文知識解題經驗數學知識