第一節 國中多項式乘法的錯誤類型與迷思概念分析
美國數學教師協會(National Council of Teacher Mathematics,簡稱 NCTM),
在 2000 年的『學校數學的原則和標準』(Principles and Standards for School Mathematics)當中提到不管在工作或學習上,代數能力是重要的。例如,在工 作上使用物理法則、運用人口模型和分析統計結果等都需要代數的語言表示;而 在高等代數中,除了研究數與量之間的關係,還需要操弄抽象化的結構與符號來 解決問題。因此在國中代數方面的學習,需要建立良好的基礎。
3. 當 f ( a ) f ( b ) > 0 時, f ( x ) = 0 在 與 a b 之間可能有根,也可能無根。
4. 定理的反方向不一定成立,即方程式 f ( x ) = 0 在 a 與 b 之間至少有一個實根 時,則 f ( a ) f ( b ) < 0 不一定成立。
5. 牛頓法(整係數一次因式檢驗法):求有理根,或整係數一次因式。
若在 a 與 b 之間至少有一個實根時, f ( a ) f ( b ) 不一定小於零。
註:
1. 要講至少一實根,不能講恰有一實根。
2. 利用整係數一次因式檢驗定理,可解決有理根的問題,但是就一般的方程式 而言,並非全是有理解,此時要找出解,尤其是高次的方程式,通常不是一 件容易的事情,此時可以利用勘根定理。當多項式方程式之實根不能用因式 分解的方法求得時,我們用勘根定理求其近似根。
y x 的圖形,即 y x 3 6 x 2 12 x 4 的圖形可由 y x 3 經變換而 得,但 y x 3 6 x 2 11 x 4 就無法由 y x 3的圖形經變換而得之。
(3) 求 y x 3 x 的圖形與 x 軸的交點,其目的在說明 y x 3 x 的圖形與 y x 3 圖形形狀是不同的; y x 3的圖形是由左而右都是遞增的,而 y x 3 x 的 圖形是由左而右遞增,之後又遞減,之後又遞增的形狀,至於在哪個位 置改變增﹑減的方向,目前不建議說明,但利用電腦繪圖,可知道大致 的情況。
m d ( x ) | f ( x ) m ( x ) + g ( x ) n ( x ) 。
註:經過線性組合得到多項式 f ( x ) m ( x ) + g ( x ) n ( x ) ,看似更複雜,但當 消去最高次項或最低次項或未知數時,實際上已經把問題簡化。
(3)利用輾轉相除法原理:適用於不易分解,且次方較高者。