（一）通過分數的部份-全體關係測試
對兒童的部份-全體概念上的測試可分為：（1）數值（整數）的部份-全體關 係測試；（2）分類的部份-全體關係測試；（3）分數的部份-全體關係測試。
要求兒童如「全部花片的五分之二有4片」推算出「全部的花片共10片」這樣的 問題，基本上是個「由分數所指示的部份推算出單位（1）所指示的全部」的問 題。這類問題是用來探究兒童是否掌握分數（
5
2）中的部份-全體意義的。而這 類的問題中最簡單的形式一般而言，均具備兩項性質，不但（1）使用的分數是
單位分數，如 數的部份-全體關係測驗」（Fractional Part-whole Test，Ning，1992）。通過這種 測試的兒童，表示能利用部份-全體運思，由部份推算全體，其部份-全體概念是
274.雯：三分之一是 3 片拿出了 1 片，還剩 2 片。
研究者提問後，小雯回答3個。由於她答錯了，於是研究者再重複一次題目，
她則正確的回答2個，理由是三分之一是3片拿出1片，還剩2片。
究竟小雯是一時恍惚才造成行270中的失誤，亦是行270才是小雯真正的部 份-全體概念，由原案1的表面來看，很難判定。因為具有隱約的（implicit）部 份-全體關係的學童在回應分數的部份-全體測試時，是有可能表現出與小雯同樣 的解題活動的（甯自強，民82b）。
但在進一步的引述小雯其它原案的表現前，原案中小雯在行272-274上的表 現仍值得一述。儘管研究者在行271加以質疑後，她才修正答案。但是她以行274
「三分之一是3片中拿出1片，剩2片」的想法來解決「布外1片是全部的三分之 一，求布下的花片數值」的問題，顯然「剩下2片」指的就是「布下花片」；而3 片則是由「拿出1片」和「剩下2片」所構成的全體。既然全部是3片，布下是2片，
所以「拿出1片」應該就是布外顯露的1片花片。由於研究者並未提過「3片」的 字眼，因此全體「3片」可能是與三分之一的分母「3」相關聯的。她用3扣除1或 全體扣除布外部份，得到2，以「還剩2片」來回答布下花片的數值。小雯在行 272-274的表現應可以推論她可以由部份推得全體，但因行270的恍惚表現，所 以行272-274的解題表現是不是可以用來推論她具備部份-全體概念的有效證 據，需要參考小雯其他的表現才能綜合校正。
2. 成功的由真分數部份推測全體和另一部份
原案2和原案1的差別是已知的部份由單位分數改為真分數詞七分之二，並展示 真分數所指示的量，要問布下的花片有幾個？小雯成功的由真分數部份推測至 全體和另一部份，以下是她的解題活動：
原案 2
279.師：把眼睛閉起來（研究者把 2 片放在布外，5 片放在布下），好，眼睛張開，你所看 的這 2 個花片是全部的七分之二，那布下有幾個花片？
280.雯：5 個花片。
281.師：你怎麼知道的？
282.雯：七分之二就是全部有 7 片，拿出了 2 片，裏面剩 5 片。
研究者提出2片是全部的七分之二，布下花片是多少？她給予正確的答案（5
片），並解釋七分之二就是全部有7片，拿出了2片，裏面剩5片。
在行282中，小雯提出比原案1更清楚的解釋，直接表明了全部就是有7片，
拿出2片後，以「裏面剩5片」來回答布下花片的數值。「裏面」所指的當然是布 下花片的數值。既然全部是7，布下是5片，顯然「拿出2片」就是布外顯露的部 份。在此原案研究者仍然未提及「7片」的字眼，小雯顯然是參照了是七分之二 中的分母「7」來確定全部的花片數值。全體確定後再扣減布外的2片，就是布 下花片的數值。換言之，小雯可以從七分之二和其內容物（2片）推得全部是7片，
再由全部7片花片扣減布外2片花片或全體扣減布外的數量，最後求出布下有5 片。由此原案看來，小雯確能成功的由真分數部份推測全體與另一個部份。
3. 單位分數內容物為多個的情形下，成功的由單位分數部份推測全 體
原案
3
的佈題擴充了「分數部份-
全體測試」，把單位分數內容改為複數個，單位 分數的內容物已知來求另一部份的數量。在這個測試，小雯由已知的單位分數 詞所指示的部份-全體關係，由部份的內容物推得全體量，再進一步求得另一個 部份。小雯的解題活動如原案3所記錄：原案
3
283.師：眼睛再閉起來，(研究者把 4 個花片放在布下，2 個花片放在布外顯露出來)…張 開眼睛，你所看的這 2 個花片是全部的三分之一，那布下有幾個花片？
284.雯：4 個。
285.師：為什麼？
286.雯：2 乘以 3 等於 6，6。
287.師：6 是什麼意思？
288.雯：共有 6 片，拿出 2 片還剩下 4 片。
289.師：所以布下有幾片？
290.雯：有 4 片。
291.師：布下的花片是全部的幾分之幾？
292.雯：三分之二。
293.師：為什麼？
294.雯：因為共有 3 等分，拿出了一等分，拿出了三分之一，還剩下三分之二。
研究者佈題完後，小雯用心算回答4個。研究者追問其解題過程，但她只回答「2 乘以3等於6」，研究者繼續詢問「6」是什麼？她清楚的說明「共有6片，拿出2片，
還剩4片」。最後，研究者再提問：布下的花片是全部的幾分之幾？小雯回答三 分之二，理由是共有3等份，拿出了一等份，就是拿出三分之一，還剩下三分之 二。
從行288「共有6片，拿出2片還剩下4片」，與行294「因為共有3等分，拿出了一 等分，拿出了三分之一，還剩下三分之二」的說明中，研究者認為小雯已能夠 說明全部有3份（6片），布外是1份（2片）（全部的三分之一），布下是4片（全 部的三分之二）。和前2個原案一樣，研究者並沒提過「3份」或「1份」，但小雯 卻能自發性的把全部視為3份，布外2片花片視為1份，顯然是分別關聯到分量的 分數詞三分之一中的分母「3」和分子的「1」。
在行286-290中，她用2乘以3來確定全體量，全體建立後，再由全體扣減布外的 花片，得到布下的花片為4片。基本上全體是由已知的部份（2片）以集聚3等份 的活動來重建，這顯示小雯能掌握分量的分數詞「三分之一」所指示的部份-全 體關係。是以，在單位分數的內容物為複數個的情境下，小雯能成功的由單位 分數部份推測全體與另一部份。相似的問題請參閱附錄B行313~320。
4. 單位分數內容物為多個的情形下，成功的由真分數部份推測全體
原案4的佈題所提出的分量使用了非單位分數詞的真分數詞，要求小雯由部
份推測全體與另一個部份。小雯先求出單位分數的內容物，再由單位分數部份 數量推得全體量，並進一步解決另一部份的數量。原案4記錄了小雯的解題過 程：
原案 4
489.師：你眼睛再閉起來….眼睛張開。現在你所看到的有幾片？
490.雯：6 片。
491.師：有 6 片紅色的花片，是全部的三分之二，布下有幾片？
492.雯：3 片。
493.師：你怎麼算的？
494.雯：三分之二有 6 片，三分之一就有 3 片，3 乘以 3 等於 9，9 片拿出 6 片，還剩 3 片。
此原案研究者所佈的問題情境是6片為全部的三分之二，布下的花片是多 少？ 小雯短暫思索後，回答布下有3片，並解釋說三分之二有6片，三分之一就 有3片，3乘以3等於9，9片拿出6片，還剩3片。
從行494解釋中可以知道她是從三分之二是6片，推得單位分數三分之一是3片，
再重複原案3的做法，把3片乘以3倍算出全部的數值是9片，再減去布外的6片花 片，得到3片，即為布下的花片。由「6片是三分之二，三分之一就有3片」「3乘 以3等於9」顯示她能掌握三分之二是三分之一的2倍關係；三分之一和全體的關 係則為3倍關係。三分之一是來自於三分之二(6片)的分割，而全體則是以三分之 一(3片)來加以重建的。對小雯而言，三分之二是由三分之一構成的全體，也是 構成全體的部份，因此，三分之二(6片)被視為一測量數，「6」為可迭次的單位。
由以上分析看來，小雯由已知的真分數詞和內容物，推得全體量的方法是把真 分數中的內容物進行子分割求得單位分數的內容物，再乘以分母所指示的倍 數，最後推得全體量與另一部份的數值。相似的問題情境請參考附錄B行 471~488、行507-514、行524~527。
綜合以上四個原案，在第一個原案中小雯在分數的部份-全體測試曾一度恍 惚而給予錯誤答案，但隨即修正答案成功解題。而原案2成功的解決單位分數為 單一個時，真分數部份推得全體的問題；原案3、4更是成功解決單位分數為複 數個的由單位（真）分數推得全體與另一部份的問題。能解決原案2的問題至少 是明顯的部份-全體概念；能解決原案3、4至少要測量運思的程度。倘若她的部 份-全體概念只是隱約的部份-全體概念，應該不可能解決原案2~4的問題，因此 研究者認為原案1是因為一時恍惚而造成行270的失誤，行271-274的解題活動是 成功有效的。亦即，小雯可以成功通過「分數的部份-全體測試」。
由小雯能成功的解決單位分數的內容物為複數個的情境，由單位分數（真 分數）部份推測至全體，且整個訪談活動從未失敗過來看，研究者認為小雯是
以測量運思來同化問題情境，分數概念則是巢狀分數。