人或每一堆最多有幾個整數個，再把剩餘的撕裂數等份之後，再進行等分配活 動，最後把兩次分配的結果相加，就是一堆的個數。整個子分割活動包含了等 份配活動和撕裂活動的聯合運作。但隨著剩餘量的不同，其解題活動也不同，
玆將詳情描述如下：
1. 剩餘量為 1 時，撕裂數就是分割數
當第一次等分配後的剩餘量為1時，小雯把剩餘的1再撕裂為x等份，x即為問題 中的等分數(人數)。以下研究者所佈的問題是有7片餅乾等分為3等分，一等份是 幾片？其解題活動如下：
原案 16
732.師：好！老師再放一片進去，裏面有幾片？
733.雯：7 片。
734.師：好，你可不可以在心中分成 3 等分？
735.雯：3 等分？可以。
736.師：每一堆是幾個？
737.雯：二又三分之一片。
738.師：為什麼？
739.雯：6 片分成 3 等份，一等分有 2 個，剩下 1 片，把那一片分成 3 等分，每一堆有 2 又三分之一片。
研究者提問後，小雯給了正確答案二又三分之一片，解題的方法是先把7片餅乾 等分為3份，每一等份有2個，再把剩餘量1片，分成3等分，再把兩次等分的結 果加起來得二又三分之一(行739)。
在行739中，「6片分成3等份，每等份有2個」，顯示小雯已能在心中算出每一等 份有2個，這是因為子分割活動已能抽象運思。「剩下1片」，可見她能考慮全體
（7片）和已分配量（6片）間的差距，再把剩餘量做第二次等分配。剩下1片，
目標卻要分3等份，她的方法是撕裂成3等份。撕裂活動的實施使得原本的1片，
轉換為3個三分之一，就如同集聚單位「3」，如此將可以繼續實施等分配的活動，
直到耗盡全體為止。也就是說，撕裂活動的原始意圖就是要耗盡全體。最後，小 雯將2次等分配的結果加起來，確定數值為二又三分之一，顯示她能掌握以1為 基礎的三階單位（2、1、
3
1）之間的關係。由以上的分析，當數量比分割量多1 時，小雯可以同時聯合等分配活動和撕裂活動來進行等分除活動，其中剩餘量 的撕裂數就是等分數。相似的問題情境請參閱附錄B行774~778。
2. 剩餘量大於 1 時，尋找合適的撕裂數
當剩餘量大於1的時候，小雯以嘗試的方法尋找撕裂數，是否符合條件的判
準是剩餘量的總撕裂數是否能被窮盡的分成數等份。原案17是她成功的把7片餅 乾分成4等份。
原案 17
846.師：你可不可以把這 7 片，分成四等分？
847.雯：(畫圖 4-4)，1、2、3、4、5、6、7，分成 4 堆？…. 拿 4 片之後….
848.師：嗯！
849.雯：分成四等分，拿四片，剩下 3 片，四分之一，(把剩 下的每一個圓等分為三個 三分之一)…不對！7 片一個先拿一片，還剩下 3 片，每一片分成…四分之一等 分，一個拿…不對呀！四分之二，不知道，再算算看。
850.師：快算出來了喔！你是怎麼做的？
851.雯：7 片，一個拿一片剩下 3 片。
852.師：對！3 片，然後你 3 片做了什麼動作？
853.雯：分成 4 等分。
854.師：每一片都分成 4 等分？
855.雯：對！
856.師：然後，現在可不可以分成四堆。
857.雯：一個分給一個，四個，一又四分之一，三等分，1、2、3、4…. 一個拿一又四 分之三。
858.師：你怎麼分的？
859.雯：我把每一塊切在四等分，一等分先給第一個人，(如圖 4.4，把剩下的圓圈中的其 中「第一個」四分之一部分塗上斜線)第二個人，第三個人，她拿這樣一片，這 樣四分之三。
860.師：所以一堆有幾個？
861.雯：一又四分之三。
圖 4.4
一開始小雯把7個中的4個分4堆，每一堆可以得到1個，剩餘3個，再把每一 個等分為3個三分之一。但在發現等分後是9小片，並無法分成4堆，隨即修改撕 裂數，將每一片餅乾分4等份。但是在做第二次等分配時似乎遭遇一些問題，於 是我在行850-856中給予支持性的問話，希望她能繼續解題。在行857、859中，
她把剩餘量的12個四分之一，採取一輪每次分一個的策略，成功的分為4堆，並 確定每一堆的數值為一又四分之三片。
行849中，可以再次看到小雯先處理可以直接等分配的部份，每一堆先拿1個，
共4個，剩餘量為3。接著她利用撕裂活動，把3撕裂為更多「等份」，這樣才能 進一步的進行第二次等分配。但是題目要求分4堆，她卻不見得要把每一片餅乾 分4等份，而是直覺的先分成3等份。發現無法分成4等份，再修改撕裂數，把每 一片分為4的四分之一。這裏可看出，小雯能尋找合適的撕裂數，把剩餘量分為 更多等份，以進行第二次分配。
雖然在行849的後段解題活動似乎遇到困難，研究者在行852~856給予協助，但 在每一片等分為4等份，和剩餘量的分配活動、活動結果的數值確定，此三大解 題的關鍵都是小雯的自發性行為，所以研究者為認為此題的解題活動是有效 的。由此原案可以看到當數量比分割數多1以上時，小雯在第一次等分配後，能 尋找合適的撕裂數把剩餘量撕裂成更多等份，以進行第二次分配。相似的問題 情境請參考附錄B 行806~809、行811~83。
綜合以上的分析，當被分割量的個數比子分割數多的時候，小雯先以心算 確定每一等份的分得量，在剩餘量比等分割數少的情形下得到最初的整數部 分，再考慮和全體差距的剩餘量，利用撕裂活動將剩餘量等分為更多等份，如 此將可再次的進行等分配。其中特別要說明的是如果剩餘量為「1」時撕裂活動 的分割數是參照題目給予的人數當作等分割數，但剩餘量是「2」以上時，小雯 並不見得參照給予的人數，而是直覺或嘗試性的尋找合適的等分割數，因為她 的目的只是要等分為更多的等份來進行二次的分配，而其撕裂的總數量是可以 讓等分割數整除的。能在第一次分配後，考量全體和已分配量之間的差距（剩 餘量），再聯合撕裂活動以進行第二次的分配，最後再把兩次等分配活動的結果 合計，並用一帶分數來表示一等份的個數，此謂真正等分除活動。我們可以用 算式表示出來7＝2×3＋
3
1×3＝（2＋
3
1）×3。因此，小雯聯合等分配活動和撕裂
活動以解決等分割問題意味著她能以乘法分配律來解決等分除問題。