小雯具有雙向的部份-全體關係：除了具有單向的明顯的部份
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全體關係外，也能瞭解部份至全體方向和全體到部份方向兩個方向的部份
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全體關係，並建立 明顯的兩個層級的部份-全體關係和兩量的雙向關係。詳細的解題類型分述如 下：1. 明顯的部份-全體關係
兒童在累進合成運思時，部份是內嵌於全體之中的，此時的分數概念為起 始單位分數，是所謂的「內嵌並置類型」。其特徵是部份的移出會導致全體的潰 散。相對的，當兒童引入了部份
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全體運思後，部份始能自全體脫嵌而出，也就 是部份自全體移出後，全體不會因此而摧毀，因為原本的部份已也同時複製了，此時的部份已成為可以獨立運作的單位。如果兒童能使用部份所形成的新的單 位和原單位的兩階單位而不混淆，這就是所謂的「明顯的部份
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全體關係」。原 案5小雯能用三分之一條巧克力來合成2條巧克力，顯示他能區別三分之一條和 一條巧克力的兩階單位而不混淆。以下是她的解題表現：原案 5
118.師：你可不可以用三分之一條巧克力，合成 2 條巧克力？
119.雯：可以！
120.師：2 條巧克力，需要幾個三分之一條？
121.雯：5 個三分之一條。
122.師：老師的意思是說：你剛剛是不是切三分之一條巧克力，我現在需要幾個三分之一 條，才能合成 2 條巧克力。
123.雯：還需要幾個？
124.師：不是還需要幾個！
125.雯：6 個。
126.師：為什麼？
127.雯：一條有 3 個三分之一，兩條就是 6 個。
起先，小雯回答需要5個三分之一，給予了錯誤的答案。因為先前的訪談都
顯示小雯應該可以區別單位量和子分割單位，因此研究者認為她可能誤會了題 意，於是再重述了一次題目，果然她以為還需要幾個。經過了溝通，她瞭解了 題意後，正確了算出需要6個，理由是因為一條有3個三分之一，兩條就是6個。
行127中，「一條有3個三分之一，兩條就是6個」，其中小雯用「個」來計數三分 之一，這顯示出部份（三分之一）對她而言是可以計數且獨自運作的單位。由 於三分之一條是一條巧克力的部份，所以我們可以把三分之一條視為「低階單 位」，一條則是「高階單位」。她能由一條有3個三分之一，推得兩條就是6個，
可見她能夠使用兩階單位而不失去數值，正確的掌握三分之一條和一條之間的 關係。此時部分獨立於全體之外(part-of-whole)，是為明顯的部份-全體關係。測 量運思是部份-全體運思的重組，因此明顯的部份-全體關係概念相容於測量運思 的巢狀分數概念。相似的問題情境請參閱附錄B行142~147。
2. 部份至全體方向的部份-全體關係
部份至全體方向的部份-全體關係也就是所謂的合成性的部分-全體關係
（The integrative part-of-whole sense），其部分-全體關係的建立是由合成運思把 單位分數合成為新的全體，其方向是由部份到全體(Ning,1992)。以下列舉兩種 解題活動類型來彰顯部份至全體方向的部份-全體關係。
（1）由部份推測至全體
從我們曾推論小雯在原案1的行271-274的解題活動是成功有效的。換言 之，小雯可以由單位分數及其內容物，推測至全體，通過「分數的部份-全體測 試」。其詳情如下：
原案 1
269.師：(研究者在受訪者的面前放置 3 片花片，其中 2 片花片用布覆蓋著，1 片顯露在外 面。)好！眼睛張開，你所看的這一個花片是全部的三分之一（做出把全部圈起來 的手勢），那布下有幾個花片？
270.雯：3 個。
271.師：布下有 3 個花片？老師再問一次，你所看的這一個花片是全部的三分之一，那布 下有幾個花片？
272.雯：2 個。
273.師：為什麼是 2 個？
274.雯：三分之一是 3 片拿出了 1 片，還剩 2 片。
研究者提出1片是全部的三分之一，布下有幾個花片？小雯回答3個。由於 她答錯了，於是研究者再重複一次題目，她正確的回答2個，理由是三分之一是 3片拿出1片，還剩2片。
在行274的說明中，全部有3片是關聯至題目給予的布外花片的分數詞中的 分母「3」。小雯能由部份推測至全體顯示部份-全體概念的方向是由部份至全 體。
（2）以乘法來確定真分數和單位分數之間的倍數
在單位內容物為單一個的離散量情境下，研究者提出單位分數的幾倍和真分數 一樣多，小雯在解決此類的問題的方法是把單位分數的分子（1）用乘法來確定 單位分數和真分數之間的倍數，詳情如下：
原案 6
1296.師：我們說黃布下面是全部的幾分之幾？
1297.雯：十二分之一。
1298.師：十二分之一的幾倍會和十二分之三一樣多？
1299.雯：三倍。
1300.師：你怎麼知道的？
1301.雯：1 乘以 3 等於 3。
原案6的問題情境是全部為12片花片，分別在紅布、綠布和黃布下置入全部的十 二分之八、十二分之三、十二分之一。在小雯解決二次拿走量後的剩餘量問題 後，研究者進一步探詢她對十二分之一和十二分之三兩分數關係的看法。小雯認 為十二分之一的3倍和十二分之三一樣多，其理由是1乘以3等於3。
研究者提出的題目是十二分之一和十二分之三的關係，並不是1和3之間的關 係，可是小雯卻以「1乘以3等於3」來解決，可見她是把十二分之一和十二分之 三的關係，同化為1和3之間的關係。「1」和「3」應該關聯自十二分之一和十二 分之三的分子，或是十二分之一和十二分之三的內容物。但不論是何種推論，
她以「1乘以3」來確定十二分之一和十二分之三的關係，可以看出她是利用集 聚活動來確定兩分數之間的關係，也就是十二分之一和十二分之三關係是透過 合成活動來聯絡的。以部份-全體關係的方向性來看，是由部份（十二分之一）
至全體（十二分之三），此所謂「合成性的部份-全體關係」。類似的問題請參閱 行附錄B1337-1340。
3. 全體至部份方向的部份-全體關係
全體至部份方向的部份-全體關係也就是所謂的分割性的部份-全體關係（The subdivisional part-whole sense）(Ning,1992)，其部份-全體關係的建立是把一個單 位視為全體，由全體進行子分割活動以建立部份和全體之間的關係，它的方向 性是由全體到部份。以下提出小雯的兩種具有全體至部份方向的部份-全體關係 的解題類型。
1. 把部分視為新的全部
引入部分-全體運思後，除了能使部分獨立於全體之外，小雯更進一步的把兩個 獨立出來的部分，做新的部分-全體關係的連結。原案8問題是在全部數量為15片 花片的離散量情境下，研究者詢問兩單位分數的關係小雯把基準量的內容物視 為新的全部，利用比較量的內容物內嵌於基準量的內容物中，以部份-全體的並 置關係來解題，其詳情如下：
原案 7
（全部數量為 15 片花片的離散量情境）
1420.師：三分之一的幾分之幾會是五分之一？
1421.雯：三分之一的幾分之幾….1、2、3、4、5…五分之三！
1422.師：你怎麼知道的？
1423.雯：因為三分之一有 5 片，五分之一有 3 片，然後 5 片中的 3 片就跟五分之一一樣多。
研究者提問後，小雯口中唸唸有詞，最後回答五分之三。我詢問原因，她解釋 說三分之一有5片，五分之一有3片。然後5片中的3片就跟五分之一一樣多。
在行 1423 的解釋「5 片中的 3 片」中可看出，三分之一和五分之一關係（五 分之三）的建立是透過分數內容物的運作，其運作的方式則是把五分之一（比 較量）的內容物內嵌於三分之一（基準量）的內容物，最後用部分個數和全體 個數的並置，確認了三分之一和五分之一的關係。5 片和 3 片原來都是全體 15 片中的部份，但在部份-全體關係的建立過程中，三分之一（5 片）被視為新的 全部。
小雯能把一分數詞看做是另一分數詞的分數倍，顯示她至少能夠：1.部分（5 片 花片）要能獨立於全體（15 片花片）之外，變成新的全體。2.還能在新的全體 做子分割活動。由此看來，小雯的部分-全體的關係具有可分割性，其部份-全體 關係的建立是由新的全體（三分之一）到部份（五分之一）。類似的問題情境請 參閱附錄B行 1491-1496、行 2032-2035。
2. 具體化的兩層級部份-全體關係
另一個可分割性的部分—全體關係的解題類型為子分割活動內嵌於原來的子分 割單位，活動的結果產生了具體化的兩階層的部份-全體關係。而所謂的「具體 化的部份-全體關係」是指透過子分割活動將一單位量分割為一個集聚單位，利 用整數型態來掌握全體與部份之間的關係。例如：一條巧克力和五分之一條巧 克力之間的關係，是透過子分割活動，把1條等分為5小塊，五分之一就是1小塊，
一條就是5小塊。一條和五分之一條的關係就宛如1小塊和5小塊的關係。小雯不 僅能具體化一個層級的部份-全體關係，更能以此為基礎，再以子分割活動內嵌 原來的子分割單位，把兩層級的部份-全體關係具體化，此解題類型表現出部份 -全體關係的可分割性與全體到部份方向的部份-全體關係。
原案8是小雯用表徵活動成功的解決五分之四條繩子和三分之二條繩子的比較 問題後，研究者提出五分之四條與十五分之多少條的等值分數問題，她把每一 個五分之一再等分為3等份，把兩個階層的部份-全體關係具體化，以整數型態 運作來解決等值分數問題，其解題表現如下：
原案 8
1861.師：嗯！你知不知道五分之四條繩子和十五分之多少條的繩子一樣長？
1862.雯：…(把斜線的部分，每一等份再切 3 等份).. 十五分之十二條。
1863.師：為什麼？
1864.雯：因為 15 除以 3 等於 5，這裡分成 5 等分，15 是 5 的三倍，所以五分之一小等切 成三等分，五分之四就是四等分，一等分都要切成三等分，然後就是 12 等分，
所以是十五分之十二。
圖 4.1
研究者探詢小雯如何解決五分之四等於十五分之幾的等值分數問題。她先以畫 圖來解決問題，給予十五分之十二的答案，其畫圖的過程如行1864所說明的：
研究者探詢小雯如何解決五分之四等於十五分之幾的等值分數問題。她先以畫 圖來解決問題，給予十五分之十二的答案，其畫圖的過程如行1864所說明的：