1×3＝（2＋
3
1）×3。因此，小雯聯合等分配活動和撕裂
活動以解決等分割問題意味著她能以乘法分配律來解決等分除問題。
（三）能先實施撕裂活動建構共測單位以嘗試整數化異分母數的內
容物
能嘗試整數化異分母的內容物是指在連續量或單位量內容物未知的情境下，小 雯能先將全體分為若干等份，以建立異分母分數的內容物。分數的內容物假如 不是整數，她就修正分割數，直到分數的內容物是整數為止。如此，她就能以 整數型態掌握異分母的分數，並進一步解決分數的四則問題。
先將全體分為若干等份，並能整數化分數的內容物，這其中的一等份就是 異分母分數的「共測單位」。所謂的「共測單位」是指能同時測量兩個不同單位 所建構的量。例如：以整數來說，兩條繩子分別是 6 公分和 8 公分，如果我們 用 1 公分為單位來測量這兩條繩子，可分別得到測量數 6 和 8；用 2 公分為單位 來測量，分別可得測量數 3 和 4，但如以 3 公分為單位來測量，卻無法完整的測 量 8 公分。上述的 1 公分和 2 公分是這兩條繩子的共測單位，3 公分不符合條件，
則不是共測單位。易言之，全體一定要是共測單位的倍數。
以本研究所設計的問題為例，在給予離散量的分數問題，即是給予了共測單位。
例如：全部有 6 片花片，分別拿走二分之一和三分之一，要求剩餘量。1 片花片
（全部的六分之一），便可同時用來測量二分之一和三分之一，各可得測量數 3 和 2，從另一方面來說，3 片花片和 2 片花片分別也是二分之一和三分之一的內 容物。有了內容物即能順利的解決後續的分數問題。另外在分數算則上所謂的 通分，例如：二分之一和三分之一通分為六分之三和六分之二，就是同時轉換 以六分之一為單位分數，六分之一就是共測單位。
但是在未度量的連續量中，要解決如：一條繩子剪切全部的三分之一和五分之 一，求剩餘量問題。就得自行建構共測單位，再從共測單位求出分數的內容物，
才能解決問題。在整個訪談中，研究者認為小雯最有特色的活動類型就是共測 單位的建立，以整數化分數的內容物。以下的原案是她利用子分割活動建立共 測單位，來整數化分數的內容物，以解決分數四則的問題。
1. 先將全部等分為 12 等份，以建立三分之一和十二分之一之間的關係 原案18是研究者在第一次訪談中，小雯自發性的利用第一次子分割活動的結果 來當做共測單位，以整數化分數的內容物，進而解決兩異分母的分數的等值比
較問題。其解題活動詳如以下所記錄：
原案 18
31.師：好！接下來，你可不可以把這一條巧克力，在心中分給 12 個人，12 個男生？
32.雯：嗯！可以！
33.師：那一個人可以分得多少條？
34.雯：十二分之一。
35.師：可以分得全部的十二分之一？
36.雯：對！
37.師：你可以把這條巧克力分給 3 個女生嗎？
38.雯：可以。
39.師：每一個女生可以得幾條？
40.雯：….十二分之四條。
41.師：為什麼會十二分之四條？
42.雯：….
43.師：好，我再重複一次題目喔！一條巧克力分給十二個男生，每一個可以得到…
44.雯：十二分之一條。
45.師：如果分給三個女生，每一個女生可以得到幾條？
46.雯：十二分之四條。
47.師：為什麼是十二分之四條？
48.雯：12 除以 3 等於 4。
49.師：12 是從那邊來的？
50.雯：12 是切成 12 塊分給男生那一些。
51.師：所以你把它切成 12 塊。
52.雯：對！然後每個女生 4 小塊。
53.師：每一個女生可得 4 小塊。
54.雯：對！
55.師：幾個男生合起來會跟一個女生一樣多？
56.雯：一個女生？
57.師：對！一個女生？
58.雯：4 個男生。
59.師：4 個男生。為什麼？
60.雯：一個男生得到十二分之一呀！一個女生得到十二分之四，十二分之一乘以 4 等於 十二分之四，所以四個男生等於一個女生。
一開始，研究者提問要把一條巧克力分給12人，1人可以得到多少？接著，小雯 成功的給予了十二分之一的答案。再來，研究者在行37中提問，要把一條巧克 力分給3個女生，每一個女生可以得到多少？有趣的是，答案卻不是我原先預期
的「三分之一」，而是「十二分之四」。在研究者的追問下，她並沒回答。於是，
研究者認為可能小雯誤解了題目的意思，於是再重複一次題目。但她仍然回答 十二分之四，理由是用12除以3等於4，其中的12塊是來自於分給男生那一些。
最後我提出：幾個男生所得的量和一個女生所得的一樣多？她回答4個，並解釋 說：男生得到十二分之一，女生得到十二分之四，十二分之一乘以4等於十二分 之四，所以是4個男生。
為什麼原來一個女生應該分得三分之一條，卻認為是十二分之四？從行48中「12 除以3等於4」與行50的「12塊是分給男生那一些」的解釋中，我們可以發現分 割的主體由原來的1條巧克力，轉變為12塊。對小雯而言，全體(1)經過第一次的 等分割活動後，有如離散量12塊。於是，她把問題情境同化為全體12等份，再 分給3人和12人的等份配問題。如此，原來每一個女生所得量是全體的三分之 一，則整數化為「4小塊」，也就是全部的十二分之四。其中「1小塊」就是十二 分之一和三分之一的共測單位。
是以，在兩單位分數的分母有倍數關係時，小雯利用其中的倍數分母將全體先 實施撕裂活動，全體「1」就質變為有如集聚單位「12」，這樣就可把分數內容 物整數化，藉此再利用部份-全體並置把原本異分母的分數通分為同分母，最後 再進一步解決兩分數之間的關係。類似的解題活動請參閱附錄B行14-29、行 37-54、行55-60、行1020-1042、行1043-1056、行1057-1066。
2. 將異分母分數的内容物整數化的嘗試
如果兩分母互質時，她會先直覺的撕裂成若干等份，再試試看其分數的內 容物是不是整數個，如果不是就再嘗試另一撕裂數，直到分數內容物符合整數 的條件。以下的問題情境為單位量內容物未知時，她嘗試的先將全部等分為若 干等份，以解決移走全部的二分之一和三分之一的剩餘量，其解題活動如原案 19：
原案 19
1731.師：還是這一盒花片，我們把二分之一盒放進紅布下，把三分之一盒放在綠布下，
剩下的放進黃布下，黃布下有多少盒？
1732.雯：….mm…你再說一次！
1733.師：二分之一盒放進紅布下，把三分之一盒放在綠布下，剩下的放進黃布下，黃布下 有多少盒？
1734.雯：六分之一。
1735.師：為什麼？
1736.雯：因為我把一整盒分成六等分，二分之一是六分之三，六分之六減六分之三還剩六 分之三，然後六分之六的三分之一是兩堆，六分之二，剩下的六分之三再減掉六 分之二還剩下六分之一，所以黃布下放的是六分之一。
1737.師：你怎麼會想到要分做 6 堆？
1738.雯：我就把它分成 10 堆，那二分之一是 5 個，那三分之一不知道是多少，那加多一 點，20！三分之一還是不能分呀，我就變少一點，把它分成 6 堆！
在研究者提問後，小雯似乎沒聽清楚，於是我再一次重複問題，她正確的回答 六分之一。做法是她先把一盒分成6等分，二分之一是六分之三，三分之一是六 分之二，依次拿出六分之三，六分之二，最後得到黃布下就是六分之一。研究 者仍然對分6堆的理由感興趣，繼續追問(行1737)，她的解釋是先嘗試分10堆，
可是三分之一不知道是多少，再試分20堆，三分之一還是不能分，最後才找到 分6堆。
雖然行1736中，小雯的說法是「二分之一是六分之三…」，乍看之下，她似乎直 接由原來分數二分之一直接通分為六分之三。但特別注意，她在前頭仍然需「把 一整盒分成六等份」，而且也提到「六分之六的三分之一是兩堆，六分之二」顯 示她是先以「堆」來掌握二分之一和三分之一，也就是先以看分數的內容物是 幾堆，再以部份-全體的份數並置來達到通分的目的，最後解決二次拿走後的剩 餘量問題。
究竟把全體分成6等份是如何決定的？她在行1738的解釋「我就把它分成10堆，
那二分之一是5個，那三分之一不知道是多少，那加多一點，20！三分之一還是 不能分呀，我就變少一點，把它分成6堆！」，這裏我們可以清楚的看到她從10堆 改為20堆，再改為6堆的嘗試過程。10堆和20堆都不可以是因為「三分之一不能 分」或「不知道多少」。由此可知，小雯認為分數的內容物應該要是整數才可以。
是以，在單位量內容物未知的情境下，小雯先把全體嘗試的分為數等份，以整 數化分數的內容物，再進一步異分母分數的四則問題。類似的問題情境請參閱 行1174-1177。連續量情境的解題活動和上述原案雷同，請參閱附錄B行
1208-1221。
綜合以上的分析，當問題情境為連續量或未知量時，小雯先以子分割活動嘗試 性的把全體分為若干等份，此時問題情境轉變為離散量一般，依據分數再表現 的活動，就能建立分數的內容物，以便處理分數的四則問題。其中分數的內容 物一定得是整數，若不符合條件，則重新再嘗試新的分割數。換言之，先前的 子分割活動的目的在整數化分數的內容物，異分母分數的掌握則是透過整數型 態的運作。