1片餅乾，再乘上 12，算出 12 人需要的總量。
此處和花片問題做個比較，花片問題對小雯而言似乎較容易視為一個複合單位 是可共變的（同一測度空間策略），但人和餅乾的等比例問題小雯則傾向用單價 法或不同測度空間策略。相同的解題活動也出現在物品的量和價格的問題，這 些不同類量的問題都是先算出每單位是多少，再去乘以總量。研究者判斷其主 要的原因是可能是受到生活經驗或學校的例行性數學問題的影響。事實上，他 如果把此類的等比例問題看成花片的問題，或適當的調適解題基模成複合單位 為「每 3 個就要 7 片」，此題是很容易的。但小雯在解決不同類量的等比例的問 題是採用單價法，此解題類型也尚未使用於花片的問題中。如果小雯能使用於 花片問題，先算出紅、黃花片的比值關係，再依此比值去算出共變後的花片數 量，研究者認為小雯可以理解原來紅、黃花片的比值關係等於共變後的比值關 係，此所謂「比值保留概念」或等比例運思的解題類型（Ning, 1992）。相似的 問題情境如附錄B行 891-919。
（五）初步經驗「每 x 個..就有 1 個」的策略
在小雯利用對分策略來解決等比例問題後，研究者設計一個須3-等分割的等 比例問題，原本是預期小雯能成功的做3-等割活動來解題，但是卻意外的發現 她先確定一盒中紅、黃色花片之間的關係，再以此關係來解決另一等比例問題。
紅、黃色花片的關係是把某量定為「1」，也就是「每x個..就有1 個」的策略（every 4 for 1）（Lamon, 1994）或稱為「比值法」。以下是她的解題活動：
原案 31
2344.師：再試試看另外一題，老師知道布下有 36 片紅色的，黃色有 9 片，老師拿出一些 後，算一算紅色剩 12 片，你知道黃色剩幾片嗎？
2345.雯：紅色 36 片，黃色 9 片。(依題目在解題本 4.13，寫上紅色 36 片，黃色 9 片)..12..36，….12 片，..
2346.師：你想怎麼解決？你的問題卡在那裏？
2347.雯：36..就是 36 有 9 片黃色的，9、4，36，12 片，…9 片，36，…
2348.師：你有困難的地方在那裏？
2349.雯：就是 36 片，有黃色 9 片，12 片紅色，黃色有幾片？..1 片嗎？不是，除以 4，……(25 秒)..每 4 片紅色，就會有 1 片….（小聲的說）
2350.師：你剛剛說什麼，可以大聲一點嗎？
2351.雯：每 4 片紅色，就會有 1 片黃色的。所以…就會有 3 片。
2352.師：你剛剛說..
2353.雯：每 4 片紅色，就會有 1 片黃色的。
2354.師：你怎麼推斷的？
2355.雯：4 乘以 3 就等於 12 啊！所以有 3 片。
2356.師：老師想問，為什麼你知道，每 4 片紅色，就會有 1 片黃色的？
2357.雯：36 全部就分成 9 等份。
圖 4.13
在此原案研究者提出紅色36片時，黃色有9片；紅色12片時，黃色是幾片的 對等關係的問題。在小雯寫下題目後，口中一直小聲的唸著「12…36」，並沉默 了許久，研究者決定介入以瞭解挫折的原因（行2345-2366）。但是她並沒有回 答，反而口中自言自語的說：36有9片黃色的…。她似乎將解題的焦點轉向紅色 花片和黃色花片之間的關係。接著，她以不太確定的語氣說「每4片紅色，就有 1片黃色」。研究者認為這是小雯解對等問題上的一個重大的成就，於是請她大 聲說出來，她說「每4片就會有1片，所以就會有3片。」。研究者再探詢如何推 斷的，但是她卻回答4乘以3等於12，所以黃色就有3片。可是研究者想問的是為 什麼每4片紅色就有1片黃色的。於是，研究者再說明一次問題。最後，她說把 全部分成9等份所得。
在行 2345 中，她口中唸著「12…36」許久，但行 2347 中卻提到「9、4，
36…」，最後在行 2349 中提出每 4 片紅色的，就有 1 片黃色的。研究者認為在 行 2345 中，小雯曾嘗試著要找出 12 和 36 之間的關係，但未盡其功。最後，才
轉而找尋紅色和黃色之間的關係。
36片紅色花片和9片黃色花片的關係，以36分9等份的說法，來確定36和9的 關係~4倍。確定關係之後，她使用「每4片紅色的就有1個黃色的」的字眼來描 述紅色花片和黃色花片之間的關係。當兩對等量中某一量為「1」時，另一量是 多少，此謂「比值法」。這是小雯在花片的問題情境中，第一次也是唯一的一次 以這種方式來描述。
在行2355中，小雯以4乘以3等於12，算出黃色就有3片。這是源自於「每4片 紅色的就有1個黃色的」，12片就是3個「4」，所以黃色就有3片。整個解題策略 是利用原來的比的關係「每4片紅色的就有1個黃色的」來解決等比例問題。而 前面所提到的解題方法則是看集聚合成（分割）前後的紅色花片之間的關係，
再把黃色花片同時乘以（除以）n倍，此兩種方法有很大的不同。
研究者認為使用比值策略對小雯來說有幾個重要的意義：一、這是比值的 概念。二、能利用原比例的比值，來求得另一等比例的問題，表示原來比值是 可被保留，也就是原來的比經合成運思（分割）所得的比，其比值是不變的。
如果此策略能成為一個類型，也可以說明有效性，小雯的分數概念就質變為有 理數概念。雖然此策略對受訪者來說，只是一個解題經驗，未達察覺或瞭解的 程度，不過我們可以從此看出，她往有理數概念進展的可能性。
綜合以上的分析，小雯比的關係的概念有以下五種類型，依序如下：（1）
認為「比」有如一個複合單位，前、後項是可共變：小雯可聯合考慮兩對等量，
並視為一個複合單位是可合成和分割的，前、項是可共變的；（2）未有比值的 保留概念；（3）能夠選某一標準來比較「比」的大小；（4）使用「單價法」策 略解決等比例的問題；（5）初步經驗「每x個…就有1 個」的策略。
玆將此節小雯的分數運思模式的重點摘要如下：
一、部份-全體關係
（一）通過分數的部份-全體測試：無論單位分數的內容物為單一個或複數個，
小雯均能由單位分數或真分數詞經由逆溯活動求出全體以及布下的花片數。
（二）雙向的部份-全體關係：小雯具有雙向的部份-全體關係：除了具有單向的 明顯的部份
-
全體關係外，也能瞭解部份至全體方向和全體到部份方向兩個方向 的部份-
全體關係，並建立明顯的兩個層級的部份-全體關係和兩量的雙向關 係。以下 5 種解題類型說明了雙向的部份-全體關係的性質：1. 明顯的部份-全體關係：小雯認為部份移出之後，全體不會因此而摧毀。脫嵌 而出的部份可以獨自運作的單位，有如一個新的全體。
2. 部份至全體方向的部份-全體關係：也就是所謂的合成性的部份-全體關係。小 雯可以由分數詞經由合成運思，確定與另分數詞之間的關係。
3. 全體至部份方向的部份-全體關係：也就是分割性的部份-全體關係。小雯可 以由分數詞經由子分割活動，確定與另一分數詞之間的關係。
4. 明顯的兩層級的部份-全體關係：「明顯的兩階層的部份-全體關係」是指小 雯能同時處理三個階層的高低單位且不會失去其數值，也就是能控制兩個層 級的部份-全體關係。
5. 掌握兩分數的雙向關係：所謂的雙向關係是指存在兩個量，小雯可以任意以 某量為單位（基準量），來解決另一量和此單位量的關係。當比較量比基準量大 時，基準量必須以合成運思（以及分割活動）來建立兩量的關係，反之，則以 分割活動來建立。
二、子分割基模
（一）具有內蘊化的子分割活動：無論在連續量、離散量或單位量內容物未知 的情境下，小雯不需要具體活動或表徵活動，即藉由心智操作能預期子分 割活動後的結果，也就是子分割活動已達心智運思的階段，是謂內蘊化知 識。以下提出五種解題類型作為佐證：
1. 能預期二分之一比三分之一多。
2. 在心中把 2 條巧克力分給 3 人。
3. 能進行心智運思的分配活動，並有效說明活動結果與全體的關係。
4. 在單位量為未知數的情境下，能預期單位量不同，子分割數相同，分得量也 會不同。
5. 在單位量為未知數，能預期全部可分成 5 個五分之一盒。
（二）聯合等分配活動和剩餘量的撕裂活動進行等分除：小雯能聯合等分配活 動和剩餘量的撕裂活動，來解決總數比欲分割量還多的等份除問題，其中剩 餘量的撕裂數是直覺或嘗試性。能把二次分配的結果合計為一等份的內容 物，此為乘法分配性概念。依問題情境的不同，小雯的解題類型分為下面兩 種：
1. 剩餘量為 1 時，撕裂數就是分割數：例如，7 片餅乾等分為 3 份，第一次等 分配後，剩餘量為 1。此時，小雯就把這 1 片再等分為 3 份（原來的分割數）。 2. 剩餘量大於 1 時，尋找合適的撕裂數：當剩餘量大於1的時候，小雯以嘗試的
方法尋找撕裂數，是否符合條件的判準是剩餘量的總撕裂數是否能被窮盡的 分成數等份。
（三）以撕裂活動建構共測單位以整數化分數的內容物：當在連續量或單位量 內容物未知的情境中，小雯以直覺或嘗試性將全體撕裂為若干等份，其準則是 由此所建立的分數內容物一定是整數的。能整數化分數的內容物，就能進一步 的解決分數的合成、分解、比較以及單位量轉換的問題。以下提出兩種解題類 型作為佐證：
1. 先將全部等分為 12 等份，以建立三分之一和十二分之一之間的關係：小雯利 用第一次子分割活動的結果來當做共測單位，以整數化分數的內容物，進而解 決兩異分母的分數的等值比較問題。
2. 將異分母分數的内容物整數化的嘗試：如果兩分母互質時，她會先直覺的撕 裂成若干等份，再試試看其分數的內容物是不是整數個，如果不是就再嘗試
另一撕裂數，直到分數內容物符合整數的條件。
（四）子分割的結果是可再分割的：對小雯而言，第一次子分割後的結果是可 再分割的。而分數再分割的目的有三個目的，一是確定活動結果的數值；
二是解決等值比較問題；三是解決分數的單位分數倍的問題。此三類問題
二是解決等值比較問題；三是解決分數的單位分數倍的問題。此三類問題