（二）分數的比較
4. 先把全部等分數份，以整數化分數內容物再比較
在連續量或單位量內容物未知的情境下，小雯解決異分母分數的比較問題 時，先自行將全體等分為數份（建立共測單位），再比較分數的內容物。詳情如 下：
（1）連續量情境下，把全部分為 12 等份來比較三分之一和十二分之一
原案 18 是研究者在第一次訪談中，小雯自發性的利用第一次子分割活動 的結果來當做共測單位，進而解決兩異分母的分數的等值比較問題。以下原案 的問題情境是在把一條巧克力等分 12 等分(男生)和等分 3 等分(女生)後，幾個 男生所得的巧克力會和一個女生所得的巧克力一樣多。以下是我們的對話：
原案 18
31.師：好！接下來，你可不可以把這一條巧克力，在心中分給 12 個人，12 個男生？
32.雯：嗯！可以！
33.師：那一個人可以分得多少條？
34.雯：十二分之一。
35.師：可以分得全部的十二分之一？
36.雯：對！
37.師：你可以把這條巧克力分給 3 個女生嗎？
38.雯：可以。
39.師：每一個女生可以得幾條？
40.雯：….十二分之四條。
41.師：為什麼會十二分之四條？
42.雯：….
43.師：好，我再重複一次題目喔！一條巧克力分給十二個男生，每一個可以得到…
44.雯：十二分之一條。
45.師：如果分給三個女生，每一個女生可以得到幾條？
46.雯：十二分之四條。
47.師：為什麼是十二分之四條？
48.雯：12 除以 3 等於 4。
49.師：12 是從那邊來的？
50.雯：12 是切成 12 塊分給男生那一些。
51.師：所以你把它切成 12 塊。
52.雯：對！然後每個女生 4 小塊。
53.師：每一個女生可得 4 小塊。
54.雯：對！
55.師：幾個男生合起來會跟一個女生一樣多？
56.雯：一個女生？
57.師：對！一個女生？
58.雯：4 個男生。
59.師：4 個男生。為什麼？
60.雯：一個男生得到十二分之一呀！一個女生得到十二分之四，十二分之一乘以 4 等於 十二分之四，所以四個男生等於一個女生。
小雯解決了等分給 12 個男生的問題，給予了十二分之一的答案後。研究者在行 37 中，要把一條巧克力分給 3 個女生，但答案卻不是我原先預期的”三分之一”，
而是”十二分之四”，在研究者的追問下，她並沒回答。於是，研究者認為可能小 雯誤解了題目的意思，於是再重複一次題目。在行 47~50，仍然答曰十二分之 四，理由是用 12 除以 3 等於 4，12 是來自於分給男生那一些。於是，每一個女 生得 4 塊，男生得 1 塊，4 個男生和 1 個女生一樣多。最後，再使用分數詞重新 描述男生得到十二分之一，女生得到十二分之四，十二分之一乘以 4 等於十二 分之四。所以是 4 個男生。
「12 塊是分給男生那一些」，對小雯而言，全體已經經過第一次的子分割活 動後，有如離散量 12 塊。12 塊再分給 3 個女生，每一個得 4 塊，即十二分之四。
這裏我們可以發現她是以分數的內容物來達到通分的目的。她把男、女生一個 人所得量都通分為十二分之一和十二分之三，最後再直接運作分子來解決等值 比較的問題。
在兩單位分數的分母有倍數關係時，小雯利用其中的倍數分母將全體先實 施子分割活動，全體「1」就質變為有如集聚單位「12」，這樣可以整數化另外 一個分數的內容物達到通分的目的，最後再直接運作分子來解題。類似的解題 活動請參閱附錄B行 14-29、行 37-54、行 55-60、行 1020-1042、行 1043-1056、
行 1057-1066。
（2）單位量內容物未知的情境下，以自行整數化分數的內容物來確定三分之一 和十二分之四一樣多
單位量內容物未知的情境，小雯同化為連續量的情境，先把全體分為若干 堆以整數化分數的內容物，再以分數的內容物來解題。這裏首先說明此原案之 前的問題情境和解題活動。一開始研究者提問：把一盒未知數量的花片，三分 之一放在紅布下，四分之一放在綠布下，剩下放在黃布下，黃布下有幾盒花片？
小雯畫出 6 個圓圈表示分成 6 堆，三分之一就是 2 堆，四分之一就是一堆又一 半，為了要確定剩餘的量（2 堆又一半），她把全部的圓圈都切一半，共 12 份，
2 堆又一半就是十二分之五。接著，研究者提出三分之一盒和十二分之幾盒一樣 多的等值比較問題，詳細的解題活動如下：
原案 50
1805.師：三分之一盒花片和十二分之幾盒一樣多？
1806.雯：跟十二分之四盒一樣多。
1807.師：為什麼？
1808.雯：三分之一有這麼多(用筆指著三分之一的下面眶起來的部分)，十二分之四也是 這麼多(用筆指著三分之一的下面眶起來的部分)，所以三分之一和十二分之四 一樣多。
小雯直接由之前的三分之一內容物（2 個圓圈）來解題，宣稱十二分之四 也是這麼多（2 個圓圈），所以三分之一等於十二分之四。
圖 4.23
在行 1808 中，小雯從三分之一的內容物 2 個圓圈去求出十二分之四和三分 之一一樣多。求等值分數的問題，對小雯來說似乎是以 2 個圓圈的確定數值的
問題。我們曾在子分割活動中討論小雯確定數值的過程是透過把子分割活動內 置子分割單位，來確認 2 個圓圈是全部的十二分之四。由以上的分析來看，小 雯在解決單位量內容物未知的等值比較問題是透過分數的內容物來運作比較 的。相似的解題類型如附錄B行 1745-1748，行 1809-1812。