本節分別從分數的意義，兒童的分數活動基模、分數詞意義、以及近年來 有關兒童分數概念的研究來回顧相關的研究。
一、 分數的意義
Freudenthal（1983）主張分數的起源是「分割」一物件的活動記錄與結果，
分數可以表現真實現象的分割情況。呂玉琴（民 84a）則指出分數的概念起源測 量學，是用來解決不滿一個單位量的量的數值問題，透過將原單位量加以等分 割，得到的單位分量的重複，因而得到與被測量量等價的量，以分割的份數和 重複單位分量的次數並置，作為被測量量的指標。
Russell（1903）認為分數 n
m為當 xn=ym 時存在於 x 與 y 之間的關係，則
m 與 n 不為 0 的情況下，
n
m是一種一對一的關係。Kieren（1976）提出分數的 解釋是比（ratios）、部分整體比（part-whole comparisons）、商（quotients）、小 數（decimals）、運算子（operators）、測量（measures）、有序數對（ordered pairs）。
Behr et al.（1988）將分數視為：1.「部分／全體」的概念；2.比例：強調兩量的 關係；3.比值：用一個數值來代表兩數量的關係；4.商：兩數相除的結果；5.操 作：分數一種轉換。
另外， 依據 82 年課程標準所編的國小數學科教學指引第十冊（國立編譯 館，民 86）也有如下的說明：「當使用分數數詞來描述有理數時（以
5
3為例）至 少可以從六種角度來說明分數詞意義：1.部分與全體的比較：全體為 5，3 是 5
的部分；2.除法的活動；3.算子：對於物件 1，進行運作，將 1 分割為 5 份，再 取出其中的 3 份；4.小數的另一種記法；5.比的意義：表示兩數量的相對關係（3：
5）； 6.測量：用來測量一個不滿一個單位量的量的數值問題，或是兩量的對等 關係進行數值化（比值）（頁 5）。」。
在探討分數意義的學習方面，Larry 與 Joseph（1978）主張兒童在學習分數 初步概念，必須掌握：1. 確定單位量；2. 認知等分大小；3. 找出等分割數；4.
所取份數與等分割數比較等四項要素。皮亞傑等人（1960）則認為，兒童如果 能理解分數的意義，必須具有：1. 能將整體分割；2. 能決定部分量；3. 分割量 必須窮盡；4. 能決定分割數和全體的關係；5. 所有的分割量皆相等；6. 知道部 分是來自全體，且全體是存在的；7. 知道部分的總和會等於全體，全體是不變 的。在 Larry 與 Joseph、皮亞傑的研究中，均強調兩個重點：1.能對全體做等分 割。2. 部分和全體的關係。但皮亞傑的「全體不變」的概念，更是以心理學來 解釋分數的意義（李端明，民 86）。
如果數學概念是來自解決有關數量問題的經驗，則知識的獲得應該經歷「經 驗」、「察覺」、「理解」的學習階段，而不是無中生有的（甯自強，民 82c）。綜 合以上的討論，若兒童的分數概念是發展的，必然不同於成人的分數概念。當 分數應用於日常的生活情境，其意義是複雜且多元的，因而在分析分數概念時 均以成人的觀點來解釋，雖然可以做為編製教材的參考，但是卻無法說明兒童 的分數概念是什麼，以及兒童的分數概念到成人觀點的分數知識的中介歷程。
二、 兒童分數活動基模
在許多非正式符號表徵的分數概念研究中，強調兒童在建立分數概念時，
需要使用許多不同的具體物或圖形（Hunting, 1983; Kieren, Nelson & Smith, 1985;
Pothier & Sawada, 1983, 1990）。除此之外，分割活動（partitioning）更是理解有 理數的基礎和關鍵（Behr et al. , 1983; Kieren, 1976, 1983; Mack, 1990）。Behr 與 Post（1988）在針對幼稚園到國小二年級的兒童的數學教學研究中發現：將一圖
形切成數等分或將一個集合分成數個相等的子集合是分割概念是理解分數的基 礎和技能。Kieren（1983）在國際數學教育會議中指出：分割機制在分數概念學 習中的地位如同數數對於數概念的發展一樣重要。由以上的研究可知，如果數 學知識是來自於具體活動的抽象，要研究兒童的分數知識的起源，具體的分割 經驗的研究是相當有意義的。
在具體的分割經驗的研究方面，Piaget、Inhelder 與 Szeminska（1960）使用 連續量的具體物（紙張）研究 4~7 歲兒童對面積的分割行為，以探究分數知識 的活動基模的起源。其研究發現兒童的分割行為可分為五個階段：
1. 四歲到四歲半的兒童對一物分為兩半感到困難，更談不上注意部分和全體之 間的關係。
2. 四歲~六歲的兒童，能將規則的圖形（如長方形、圓形）分半，但無法等分 為三分。其解決的方式為取三分後，忽略剩餘的部分。也就是無法窮盡全體。
3. 六歲~七歲的兒童，已可以等分三分。在有具體物下，能知道部分的總和等 於全體。
4. 七到十歲，兒童能以預期的基模執行三等分，表示兒童了解部分和全體之間 的關係。
5. 十歲的兒童能做六等分的分法。先等分三分再把每一個分量做等分。
Nik Pa（1987）則是利用臨床晤談法研究 9 位 10、11 歲兒童的分數基模，
發現以下四種類型：
1. 撕裂基模（splitting scheme）：可一次或多次的撕裂一連續量，但不見得會窮 盡或分得很公平。
2. 碎裂基模（fragmenting scheme）：將一量同時製成數個部分。可以窮盡全部，
但不一定分得很公平。
3. 分割基模（partitioning scheme）分割面積大小相等的部分，以及使用數概念 分割集聚單位。
4. 多對多比較基模（many to many comparison scheme）：比較分子和分母所指 涉的項目。
以上的研究均集中於兒童的分割行為。但分割的行為如何和分數概念連 結，則是我們所要關心的。甯自強（民 82e）區分子分割活動基模試圖把分割的 行為和分數概念做連結。甯自強將子分割活動區分為離散量的分散
（separating）活動和連續量的破裂（breaking）活動或撕裂活動。子分割活 動基模的品質區分如下：
1. 子分割結果未單位化：最簡易的分散活動是能進行一個一個的分配（dealing）
活動；最原始的破裂活動則是撕裂活動。但如前面所述，分配活動或撕裂活 動後的部分未必窮盡全體或每個部分都等價。
2. 子分割結果單位化：是指兒童選取某種標準，將子分割每次所得的結果，視 為單位量的活動。離散量的子分割後的結果是一堆一堆的，連續量則是一個 一個的。此時，子分割後的結果未必是等價的。子分割後的量能等價與否，
是進一步以分數描述量的基礎。
3. 子分割單位數值化：如果子分割的過程中含有並置（juxtaposed）的活動，並 置是將兩個量合併加以考慮，各個量仍然維持其獨立的性質，此時子分割單 位具有數值化的功能。而子分割單位數值化的結果，則是單位分數。
研究者綜合以上的文獻資料發現兒童分割活動基模的演化可以以下圖表示：
分割活動
的實施
每一部分 等價的
做部分-全體 可窮盡全體 的並置
圖 2.3 兒童分割活動基模的演化