以下就分數之間的關係為整數倍、分數倍、帶分數倍的三種問題情境來討 論小雯的解題活動類型：
1. 分數之間的關係為整數倍，以乘法算式來確定兩分數之間的關係
在合成性的部份-全體關係的運思下，無論在連續量或是離散量情境下，如 果分數關係為整數倍時，小雯直接以乘法算式來確定兩分數的關係。原案 7 的 問題情境是全部為 12 片花片，分別在紅布、綠布和黃布下置入全部的十二分之 八、十二分之三、十二分之一。在小雯解決二次拿走量後的剩餘量問題後，研 究者進一步探詢她對十二分之一和十二分之三兩分數關係的看法，如原案 7：
原案 7
1296.師：我們說黃布下面是全部的幾分之幾？
1297.雯：十二分之一。
1298.師：十二分之一的幾倍會和十二分之三一樣多？
1299.雯：三倍。
1300.師：你怎麼知道的？
1301.雯：1 乘以 3 等於 3。
小雯認為十二分之一的 3 倍和十二分之三一樣多，確定的方法是由 1 乘以 3 等 於 3 的算式。行 1301 的解釋中，顯示十二分之一和十二分之三的關係確定是透 過分子的乘法算式，也就是解決 1×□＝3，□的解。此原案的十二分之一即為基 準量，也就是欲轉換的單位量。是以，小雯以分子的乘法算式來確定兩分數關 係為整數倍的問題。類似的解題活動請參閱附錄B行（連續量情境）行
1102-1105、行 1106-1115、行 1148-1153、行 1887-1890，（離散量情境）行 1298-1301、行 1337-1340、行 1420-1423、行 1424-1427、行 1430-1433、行 1622-1625、行 1626-1629、行 1698-1701。
2. 分數之間的關係為分數倍時，並置比較量和基準量
如果比較量比基準量小時，其關係就為分數倍。小雯的解題策略是把比較 量內嵌基準量之內做部份-全體的並置。當同分母時，以分子做並置；在異分母 時，則是將分數所指示的內容物做並置。以下分別討論同分母和異分母的解題 活動：
（1）同分母的分數，以分子做並置
無論在連續量情境或離散量情境，同分母的分數關係，小雯把比較量和基 準量的分子做內嵌並置。其詳細的解題活動如下：
原案 59
1302.師：好！十二分之三的幾分之幾會和十二分之一一樣多？
1303.雯：三分之一。
1304.師：你怎麼想的？
1305.雯：十二分之三就三個(左手比出 3 個手指頭)，十二分之一就一個(左手比出的 3 個 手指頭，折下其中的一個手指頭)，就是它的三分之一。
小雯認為十二分之三的三分之一和十二分之一一樣多。她的解釋是：「十二 分之三有 3 個，十二分之一有 1 個」，並以手指(左手比出的 3 個手指頭，折下 其中的一個手指頭)來表三分之一。
行 1305 的中，小雯認為十二分之三就是 3 個；十二分之一就是 1 個，顯示 部份十二分之三和十二分之一都自全體脫嵌為 3 和 1 的整數型態，這是加法性 分數的成就。接著以 3 隻手指折下 1 隻手指的確定其分數關係，其中 3 隻手指 是基準量，1 隻手指則是比較量，把 3 隻手指折下 1 隻顯示比較量內嵌於基準 量中，此時基準量已被視為全部，比較量則是部份。是以，小雯以比較量內嵌 基準量中的部份-全體並置策略解決兩分數關係為分數倍的問題。相似的解題活 動請參閱附錄B行 1116-1121、行 1122-1125、行 1154-1159、行 1160-1163、行 1239-1248、行 1341-1344、行 1345-1348、行 1630-1639、行 1640-1643、行 1895-1898、行 1899-1902、行 1940-1943、行 1944-1947。
（2）異分母分數時，並置分數的內容物
原案 60 的問題情境為全部 15 個花片，研究者提問三分之一的幾分之幾是 五分之一？小雯把比較量的內容物內嵌並置於基準量的內容物來解決異分母分 數之間的關係。其解題表現如下：
原案 60
1420.師：三分之一的幾分之幾會是五分之一？
1421.雯：三分之一的幾分之幾….12345…五分之三！
1422.師：你怎麼知道的？
1423.雯：因為三分之一有 5 片，五分之一有 3 片，然後 5 片的 3 片就跟五分之一一樣多。
她認為三分之一的五分之三會是五分之一的理由是透過分數詞的算子意義 計算出分數詞所指示的分量，三分之一有 5 片，五分之一有 3 片。接著她把 5 片當成新的全部(單位量)，3 片當成部分，把部分個數—全體個數的並置，確認 了三分之一和五分之一的關係。
行 1423 中「三分之一有 5 片，五分之一有 3 片」可看出她先找出異分母所 指示的內容物。雖然說明中已經沒有先伸出 5 隻手再折下 3 隻的表徵活動，但 是接下來的「5 片的 3 片」就是表示把比較量內嵌到基準量中。以測量活動的觀 點來看，就是把比較量 3 片用基準量 5 片來測量，所得測量數「
5
3」；單位量由
「1 片花片」轉換為「5 片花片」。由此原案可知，當異分母的問題情境，小雯把 比較量的內容物內嵌於基準量的內容物中做部份-全體並置策略解決分數之間 的關係。相似的問題情境請參閱附錄B行 1491-1496。
當問題情境為連續量時，小雯則是先把全體進行撕裂活動，以建立共測單 位，此時，問題就同化為離散量情境。解題活動類型和上述雷同，詳情請參閱附 錄B行 1976-1979、行 1980-1983、行 2032-2035、行 2046-2049、行 2050-2053、
行 1749-1752、行 1753-1756、行 1813-1816、行 1817-1820。
由以上兩個例證顯示，當兩分數之間的關係為分數倍時（比較量小於基準 量），小雯利用比較量內嵌基準量中，再做部份-全體的並置來解題。
3. 兩分數之間的關係為帶分數倍，同時以重複和並置策略來解題
分數關係為帶分數倍時，指的就是比較量比基準量大。在雙向部份-全體的
運思下，小雯解決這類的問題時，先重複基準量的倍數，直到合成結果和比較 量之間的差距量比基準量小，再把差距量和基準量做部份-全體並置，最後把重 複的次數加上並置的結果。其解題表現如下：
原案 61
1891.師：九分之二條的幾倍會跟九分之五條一樣長？
1892.雯：… (46 秒)二又二分之一倍。
1893.師：為什麼？
1894.雯：因為九分之二的二倍就有九分之四，它要跟九分之五一樣多，就不能再一倍，
如果再一倍就有 2 個，就九分之六，所以就要再一個，這個九分之一就是九分 之二的二分之一，所以二再二分之一就是二又二分之一。
此原案的問題情境為一條繩子，研究者提問九分之二條的幾倍會跟九分之 五條一樣長？經過一番思考，小雯回答二又二分之一倍。她的解題方法是先把 九分之二重複 2 次，得到九分之四，因為重複 3 次就超過九分之五，得九分之 六了。九分之四和九分之五還少一個，就是九分之一，也就是九分之二的二分 之一。最後把重複次數~2 與剩餘量和基準量的分子並置~
2
1加起來，得到二又
二分之一。
利用九分之二重複 2 次得到九分之四，顯示九分之二已被當成可重複計數 的單位。接著她解釋為什麼只重複 2 次是因為 3 倍就超過九分之五了，而九分 之四和九分之五還少九分之一。在這裏，九分之二對她而言似乎是合成九分之 五的單位，利用重複的策略，隨時把合成的結果跟九分之五來比較，當不夠時 繼續向上計數合成，超過時則是退回上一個的重複次數。九分之一是重複合成 結果和比較量九分之五的差距。最後此差距量再和基準量做部份-全體並置，是 差距量用基準量測量所得的測量數，亦即把差距量的原單位量是「1」轉換為基 準量「9
2」為單位量。
兩分數之間的關係的問題情境，是要由原單位量「1」轉換為以基準量為單
位。小雯解題策略基本上是重複和部份-全體並置的聯合運作，運作後的結果即 是兩分數之間的關係。重複的次數和並置的結果所得到的數值，均可以表示基 準量（單位量）複製比較量的活動過程。相似的解題活動請參閱附錄B行 1690-1693、行 2036-2039。