（三）選定某一標準來比較「比」的大小

小雯在解決比例的比較問題，能夠利用分割比的前、後項策略，把其中的一個 量固定，直接比較另一量的值。以此原案為例，問題情境是100克的水加20克的 糖和600克的水加140克的糖，那一杯水比較甜？小雯利用等分割策略，把水量 都定為100克，成功的解決比較甜度問題。解題活動詳如原案29：

原案 29

2413.師：好！現在老師要泡糖水來煮湯圓，100 克的水加入 20 克的糖，另外一杯 600 克 的水加入 140 克的糖，那一杯比較甜？

2414.雯：（在研究者佈題的同時，小雯也記錄題目在解題本，如解題記錄 4.10）600 除以 6…等於 100，140 也除以 6 等於..23.2，第二杯比較甜！

2415.師：為什麼？

2416.雯：600 克的水除以 6 的話就是 100 克，把它變成第一杯一樣都是 100 克，那 600 克的水有 140 克的糖，水除以 6 糖也要除以 6，等於 23.2 克，這個 100 有 20 克的糖，這個 100 有 23.2 克的糖，所以這邊的比較甜。

圖 4.10

在研究者提問後，小雯的做法是把600克的水和140克的糖同時除以6，第二 杯的糖是23.2克，所以第二杯比較甜。而他在說明中，強調除以6的原因是把它 變成和第一杯一樣都是100克，所以同時除以6，接著再比較糖的份量，23.2克＞

20克，第二杯比較甜。

此題中的「甜度」其實就是水和糖之間的比值，也可說是每單位的水有多 少糖。小雯為了比較甜度自發性的「把它變成和第一杯都是100克」，接著以23.2 克（每100克）大於20克（每100克）來判斷600克的那一杯比較甜。顯然水100克 是比較的基準，她把每單位水量定為100克，兩杯的甜度對她來說是「23.2 克／

100 克」與「20 克／100 克」。我們姑且不論她140除以6得23.2的錯誤的計算過 程，但這裏隱含著兩個重要的概念：1.能選取一個比較的基準，也就是比較的基 準都是100克。2.能選取某一比較的基準，受訪者必須「相信」經過等分割活動 後，第二杯中的每100克的水甜度是一樣甜的（糖份是平均分佈在水中的）。

從此原案看來，小雯對比例問題的比值的比較能把其中一量定為相同基準，再 比較另一量，她也具有密度的初步概念和比的初步數值化。假如她能選用「1」

來當基準並比較另一量，這樣比的關係就能用比值數值化，這是有理數概念的 成就，顯然她未達此程度。此解題類型相容研究者先前的假設，小雯的分數概 念是巢狀分數，尚未達到有理數概念。類似的問題情境請參閱附錄B行

2417-2420。

（四）在不同類單位的情境下，「單價法」策略解決等比例問題

可能受到學校學習經驗的影響，小雯的解題策略是採取「單價法」，算出每一單 位有多少個（元），再進一步解決等比例漏值的問題。詳如原案 30：

原案 30

924.師： 不！3 個外星人一天需一 7 片！你養了 12 個外星人，你要準備多少餅乾給他們 吃？

925.雯：7 除以 3…一….(寫下 4.11 的直式算則)，(畫圖 4.10)一個人吃先拿兩片，剩下 一片，切成三等分，一個拿二又三分之一，一個吃一又三分之一，先拿整數，乘

以 12….246 24 剩下三分之一，三分之一，….123…三個…36 三分之一，三 個是一…

926.師：三分之一有 12 個是多少？

927.雯：4 個….，24 個…28 個。

928.師：你怎麼算的？你先算什麼，後算什麼？

929.雯：我先算整數， 整數乘以 12 等於 24，三分之一乘以 12 等於 4，24 加 4 等於 28。

圖 4.11

研究者提出「3 個外星人一天需一 7 片！你養了 12 個外星人，你要準備多 少餅乾給他們吃？」的等比例問題，小雯先算出 1 個人所吃的餅乾數為

3 21塊，

再把 3

21乘以 12，得 28 塊。

原來這題的目的是要看小雯是否能將人數和餅乾數聯合考慮，並把它視為 複合單位，透過前後項共變來解題。但由行 925 的解題過程看來，顯然是利用 單價法或稱為不同測度空間策略（Lamon, 1994），其解題模式以下圖說明：

人 餅乾 7÷3＝2 3 1

×2 3

1（片／人）

3 ──＞ 7 ×2

3 1

12 ──＞ （28）

圖 4.12 不同測度空間策略（Lamon, 1994）

小雯先算出一個人一天需要吃 2 3

1片餅乾，再乘上 12，算出 12 人需要的總量。

此處和花片問題做個比較，花片問題對小雯而言似乎較容易視為一個複合單位 是可共變的（同一測度空間策略），但人和餅乾的等比例問題小雯則傾向用單價 法或不同測度空間策略。相同的解題活動也出現在物品的量和價格的問題，這 些不同類量的問題都是先算出每單位是多少，再去乘以總量。研究者判斷其主 要的原因是可能是受到生活經驗或學校的例行性數學問題的影響。事實上，他 如果把此類的等比例問題看成花片的問題，或適當的調適解題基模成複合單位 為「每 3 個就要 7 片」，此題是很容易的。但小雯在解決不同類量的等比例的問 題是採用單價法，此解題類型也尚未使用於花片的問題中。如果小雯能使用於 花片問題，先算出紅、黃花片的比值關係，再依此比值去算出共變後的花片數 量，研究者認為小雯可以理解原來紅、黃花片的比值關係等於共變後的比值關 係，此所謂「比值保留概念」或等比例運思的解題類型（Ning, 1992）。相似的 問題情境如附錄B行 891-919。