（二）分數的比較
2. 以表徵活動來比較
解題活動依對感官材料的依賴程度分為感官活動、表徵活動、心智活動三
類。其中的表徵活動是指兒童在缺乏具體物的情境下，仍能自行提供素材來進 行解題活動，屬於內化的知識。在連續量的情境下，相異分母的真分數的比較 活動、求等值分數或求兩分數之間的分數，小雯採取的策略是先表徵出來再比 較的方式。
（1）以表徵活動來比較三分之二和四分之三
這是小雯第一次遇到異分母分數的比較時，採取畫圖的策略來比較。以下 是她的做法和說明：
原案 45
1850.師：三分之二條繩子和四分之三條繩子，那一條比較長？
1851.雯：….四分之三條。
(畫出圖 4-17，第三個長條形等分為 4 等分其中的 3 等份塗上斜線，第四個長條形 等分為 3 分，其中 2 等份塗上斜線)
1852.師：為什麼是四分之三條？
1853.雯：我這樣比較，這是三分之二條， 四分之三條比它長，這樣子….
1854.師：你是畫圖？
1855.雯：對！畫圖用比的。
圖 4.17
此原案研究者提出的問題是：三分之二條繩子和四分之三條繩子，那一條 比較長？小雯在畫出圖 4-17 後(上面的長條形等分為 4 等分其中的 3 等份塗上斜 線，下面長條形等分為 3 分，其中 2 等份塗上斜線)，回答四分之三，並用圖 4-16 指著四分之三來說明四分之三比三分之二長。我想確定她是直接用想的或透過
表徵活動才知道，於是問她是否用畫圖。她同意我的猜測，並強調是畫圖用比 的。
原案 45 和原案 11 最大的差別是比較的分數改為真分數詞。從行 1851 的表 徵活動來比較四分之三和三分之二來看，顯然真分數詞的比較她並不能直接透 過抽象思考來解決，而是透過畫圖的方法來比較。以甯自強（民 82c）區分的解 題活動的方式來看，當兒童的心智活動無法運作時，就會退到表徵活動，表徵 活動則是屬於內化的解題活動類型。綜合以上所言，異分母的真分數比較活動 是透過表徵活動進行的。相似的問題情境請參閱附錄B行 1850-1855、行 1856-1860、行 1970-1975。
（2）以畫圖方式（表徵活動）來把每一個五分之一都切成 3 等份
除了先利用子分割活動建立共測單位外，另一個尋找等值分數的活動類型 為把分數再次分割的表徵活動。以下原案是小雯把每個五分之一都切成 3 等份，
來尋找五分之四的等值分數，其解題表現如下：
原案 8
1861.師：嗯！你知不知道五分之四條繩子和十五分之多少條的繩子一樣長？
1862.雯：…(把斜線的部分，每一等份再切 3 等份).. 十五分之十二條。
1863.師：為什麼？
1864.雯：因為 15 除以 3 等於 5，這裡分成 5 等分，15 是 5 的三倍，所以五分之一小等份 切成三等分，五分之四就是四等分，一等分都要切成三等分，然後就是 12 等 分，所以是十五分之十二。
圖 4.18
在此原案中研究者探詢小雯如何解決五分之四等於十五分之幾的等值分數 問題。她以畫圖來解決問題，給予十五分之十二的答案，其畫圖的解題模式如 行 1864 所說明的：先畫出一長條形，再等分割 5 等分，其中 4 等分畫上斜線表
示五分之四，再由算式確定 15 和 5 的倍數，得知每個五分之一都要切成 3 等分，
依序截割 4 個五分之一，得到 12 等分，即十五分之十二。
此原案在我們曾分別以部份-全體關係與子割活動的觀點討論過，此處不再 重述。觀察行 1862 的解題活動，她先確定五分之一和十五分之一之間的關係，
然後把每一個五分之一都分成 3 等份。於是，全體是 15 份，斜線部份就是 12 份，所以畫斜線的五分之四就是十五分之十二。整個求等值分數的過程均透過 畫圖來進行，因此小雯的等值分數的比較活動的另一類型為透過表徵活動，把 原來的子分割單位做再次的等分割。類似的解題類型請參閱附錄B行
1865-1872、行 1873-1882、行 2002-2015。
（3）以切得更小來尋找兩分數之間的分數
研究者設計尋找兩分數之間的分數的問題來探究受訪者的分數綢密性概 念。小雯能以表徵方式把一條繩子等分為若干等份，再標示出兩分數的位置，
如果兩分數之間找不到分數，以「切的更小(更多)」的策略來解題。原案 46 中，
研究者請她剪一條比二分之一條長比三分之二條短的繩子，其解題活動如下：
原案 46
2090.師：好！你會不會剪二分之一的繩子？
2091.雯：會！
2092.師：你會不會剪三分之二的繩子？
2093.雯：會！
2094.師：你可不可以剪出一條繩子，比二分之一長比三分之二條還短？
2095.雯：(畫圖 4.19，先畫出一條線，將線切為兩等份，再畫出另一條線，切為三等分，
然後再畫出一條線等分之六等份，在第三等份和第四等份的下方為上二分之一
和三分之二，最後每一等份再分一半，共 12 等份)…十二分之七。
2096.師：你是怎麼算的？
2097.雯：我原本把它分成六等分，二分之一就是 3 等分，三分之二就是有 4 等分，這樣 子中間一半不知道是什麼，就要把它分得更小，6 乘以 2，我把它分成 12 等分，
二分之一就有 6 等分，三分之二就有 8 等分，中間還有一個 7，第 7 等分，這 樣就比二分之一還要大，比三分之二還要小。
圖 4.19
在研究者提問後，小雯首先畫出一條線，將線切為兩等份，再畫出另一條 線，切為三等分，然後再畫出一條線等分六等份，在第三等份和第四等份的下 方為上二分之一和三分之二，最後每一等份再分一半，共 12 等份，並回答二分 之一和三分之二之間是十二分之七。接著，我要求她解釋，她說：原本要把全 部分成 6 等份，二分之一就是 3 等份，三分之二就是 4 等份，但中間無法用分 數命名，所以把全部分為 12 等份，二分之一和三分之二分別是 6 等份和 8 等份，
中間就是十二分之七。
行 2095 她運用以往的解題經驗以把全部等分為 6 份，二分之一、三分之二 就能分別以 3 等份，4 等份來使之整數化，並依此標示二分之一和三分之二的位 置。這過程顯示她是用 3 等份和 4 等份來掌握二分之一和三分之二。接下來，「中 間的一半不知是什麼，就要把它分得更小，6 乘以 2…分成 12 等份。」，再觀察 行 2095 中的活動，顯然小雯決定要把每一等份再切一半的主要原因是六分之四 和六分之三之間沒有切痕，她不知如何確認在六分之三和六分之四之間的分 數。把全部切為 12 等份之後，於行 2097 中，她說「二分之一就有 6 等份，三 分之二就有 8 等份，中間有還有一個 7…」此說法可以證明她是分數內容物來掌 握分數的次序關係。因此，能做這樣的決定（把全部切得更小）顯示小雯能預 期：一、分數是可以再分割的。二、兩分數之間是有其他的分數存在的。三、
能預期切得更多，就是切得更小，切得更小就可以找到「切痕」，來確定六分之 三和六分之四之間的分數。
（4）認為切得更多份就可以找到更多的分數（察覺分數的綢密性的初步概念）
對小雯而言，兩分數之間不只有一個分數，她認為把全部切得更多份，兩 分數之間就會有更多的分數。以下的問題是她成功解題後，研究者所提的類似 題：剪一條繩子比二分之一長，比四分之三條短，並進一步的詢問還有沒有其 她的分數符合條件？原案 47 所記錄的是她的想法。
原案 47
2098.師：厲害喲！你可不可以剪出一條繩子，比二分之一長，比四分之三還短？
2099.雯：(畫圖 4-20，分別把線段分成 2 等份和 4 等份，再畫出一條線段分成 4 等份後，
在第 2 等份寫上二分之一，在第 3 等份寫上四分之三，最後每一等份再切為一 半)….八分之五…。(小聲的說)
2100.師：你算出來的答案是多少？
2101.雯：八分之五！
2102.師：你怎麼知道的？
2103.雯：分成四等分，四分之三就是有 3 等分，二分之一就是有 2 等分，中間的話不知 道怎麼唸，我把分母變大，4 乘以 2 等於 8，我就把它分成 8 等分，二分之一 就有 4 等分，四分之三就有 6 等分，中間就有一個第 5 等分，所以是八分之五。
2104.師：還有沒有其她的答案？除了八分之五之外，還有沒有其她的答案是符合比二分 之一長比四分之三短的？
2105.雯：(畫圖 4.21 畫出一條線段分成 4 等份後，在第 2 等份寫上二分之一，在第 3 等份
寫上四分之三，最後每一等份再切為 3 等份)….
2106.師：你現在是要切成幾等分？
2107.雯：12 等分……..十二分之七還有十二分之八。
2108.師：所以又有另外一個答案了？
2109.雯：嗯！
2110.師：為什麼這兩個答案都可以？
2111.雯：因為我把它分為十二等分，四分之三有 9 等分，二分之一有 6 等分，中間有第 7 還有第 7 和 8 兩等分，所以這兩個都比二分之一還要長，比四分之三還要短。
2112.師：Ok！你想想還有沒有其她的答案？
2113.雯：還有。
2114.師：為什麼？
2115.雯：把它分得更多，就還有很多，如果分成 16 等分，也可以算出比二分之一還要長 比四分之一還要短的。
圖 4.20
圖 4.21
一開始研究者提問：剪出一條比二分之一長比四分之三短的繩子。她首先 畫出兩條線段，分別分成 2 等份和 4 等份。然後再畫出一條線段分成 4 等份，
在第 2 等份寫上二分之一，第 3 等份寫上四分之三，最後把每一個四分之一再 切一半共 8 等份，小聲的回答八分之五。小雯解釋她是先分成 4 等份，四分之 三就是 3 等份，二分之一就是 2 等份，中間不知怎麼唸，於是把分母變大，分 成 8 等份，四分之三就是 6 等份，二分之一就是 4 等份，所以是八分之五。令 研究者更有興趣的是在二分之一和四分之三相距的空間內，她是如何的看待其 她的分數？於是進一步追問是否還有其她符合條件的繩子。她把全部由等分 8 等份修改為等分 12 等份，利用分數詞的算子意義求得四分之三有 9 等份，二分 之一有 6 等份，並把四分之三和二分之一具體的表徵於數線上，再由數線找出 十二之七和十二之八是符合條件的(行 2105~2111)。最後，我再詢問還有其他的 答案嗎？她回答把它分得更多就還有很多，例如分成 16 等份也可以。
在第 2 等份寫上二分之一，第 3 等份寫上四分之三，最後把每一個四分之一再 切一半共 8 等份，小聲的回答八分之五。小雯解釋她是先分成 4 等份，四分之 三就是 3 等份，二分之一就是 2 等份，中間不知怎麼唸，於是把分母變大，分 成 8 等份，四分之三就是 6 等份，二分之一就是 4 等份，所以是八分之五。令 研究者更有興趣的是在二分之一和四分之三相距的空間內，她是如何的看待其 她的分數？於是進一步追問是否還有其她符合條件的繩子。她把全部由等分 8 等份修改為等分 12 等份，利用分數詞的算子意義求得四分之三有 9 等份，二分 之一有 6 等份，並把四分之三和二分之一具體的表徵於數線上，再由數線找出 十二之七和十二之八是符合條件的(行 2105~2111)。最後，我再詢問還有其他的 答案嗎？她回答把它分得更多就還有很多，例如分成 16 等份也可以。