三、單位量轉換
2. 分數乘以分數倍時，分割被乘數所指示的內容物
2. 分數乘以分數倍時，分割被乘數所指示的內容物
研究者設計的分數乘以分數倍的問題，主要以分數乘以單位分數為主。小 雯解決分數乘以分數倍的問題時，她同化問題情境為把分數做再次分割的問 題，最後再以分數確定數值。以下就不同的問題情境，提出 2 個原案作為佐證：
（1）連續量情境
原案 53 是在連續量（披薩）的問題情境，研究者提問全部的三分之一的二 分之一是多少？以下是她的解題表現：
原案 53
1196.師：好！全部三分之一的二分之一是全部的幾分之幾？
1197.雯：六分之一。
1198.師：你怎麼算的？
1199.雯：分成六等份，三分之一有 2 塊，那 2 塊分成 2 等分，就是 1 塊，就是六分之一。
1200.雯：一塊就是六分之一？
1201.師：對！
小雯經短暫的思索後，回答六分之一。其解題的方法是把全部分為 6 等份，
三分之一有 2 塊，把 2 塊分成 2 等份，得到 1 塊就是六分之一。
行 1199 中「分成 6 等份」，如此，一塊經撕裂活動後，就質變為集聚單位
「6」，有如離散量一般，這是小雯在解決連續量問題的重要特色。「三分之一有 2 塊，那 2 塊分成 2 等分」這裏可看出三分之一的二分之一的問題，被小雯同化 為把三分之一再一次進行 2-子分割的活動，運作的主體則是三分之一的內容物
（2 塊）。二分之一視為 2-子分割活動，是因為分數詞二分之一指示了量的運作 活動。
整個解題活動包括三個部份，分別是二分之一的再表現、二分之一的活動 指示與確定數值。其中分數再表現是把單位量由 1 轉為 1 小塊(六分之一)，而確 定數值 1 小塊(六分之一)再轉為 1 整塊。由以上的分析得知，小雯解決分數的分
數倍問題是透過分數的內容物的子分割活動。相似的解題活動請參閱附錄B行 1202-1207、行 1249-1258、行 1984-1993、行 1994-1997、行 1998-2001、行 2040-2043、行 2044-2045。
（2）離散量情境
離散量情境解題過程和連續量中雷同，但是離散量問題已給予全部的數量 了，因此就少了先前的撕裂活動。原案 54 是在離散量為 15 片花片下，分母為 三分之一和五分之一，求剩餘量的後續問題。由於離散量 1 具有共測單位的性 質，小雯很順利的解決了剩餘量的問題(請參閱 1382~1389)，進一步的，研究者 要求她解決三分之一的一半是全部的幾分之幾？以下是她的解題過程：
原案 54
1434.師：OK！三分之一的一半是全部的幾分之幾？
1435.雯：5 的一半，..三分之一的二分之一，不對..是…
1436.師：這樣子是全部的幾分之幾？
1437.雯：十二分之(畫圖 4.22，畫出十二的圓圈，並把二又二分之一的圓圈塗上藍色，把 全部的圓圈都切一半)..…二十四分之五！
1438.師：聰明哦！你怎麼想的？
1439.雯：因為如用十二分之幾的話，十二分之二又半不知道怎麼唸，就全部都切一半，
所以是二十四分之五！
1440.師：你二十四是怎麼來的？
1441.雯：把所有的都切一半，12 乘以 2 等於 24
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1455.雯：二十四分之七…二十四分…完蛋了！我想起來了，這裏是 15 1456.師：對呀！剛剛老師也沒有注意耶！
1457.雯：15(圖 4-25 再補上 3 個圈圈)！
1458.師：沒關係！15 片，我們再重新來！
1459.師：三分之一的一半是全部的幾分之幾？
1460.雯：三分之一有 5 片，15..15 加 15 等於 30，三十…二又一半，三十分之五！
圖 4.25
雖然此原案的問題是三分之一的一半是多少？但是小雯視為三分之一乘 以二分之一的問題，因此研究者將此原案列入單位量轉換問題來討論。我們在
子分割活動曾討論過受訪者把全體的花片都切一半來建立共測單位，以確認數 值。此處研究者針對她使用分數詞的情形來做分析。
小雯首先畫出 12 個圓圈來表示全部，接著把其中的二又二分之一塗上藍色，並 解釋十二分之二又一半不知怎麼唸，因此再把全部每一個花片都切一半，共 24 等份，以二十四分之五確定數值。訪談進行到行 1455 時，小雯忽然發現全部應 為 15 片花片，修正答案應該是三十分之五(行 1460)。
行 1435 中「5 片的一半」，由此可見小雯計畫要從三分之一的內容物~5 片 花片來著手。接著她畫出 12 個圓圈來表示全部(這裏是小雯的疏忽，誤把全部 當成 12 片，研究者當時也沒注意)，其中二又二分之一的圓圈塗上藍色表示子 分割活動後的結果（二又二分之一）和全部的關係。此時 5 片已經實施了子分 割活動，得到二又二分之一，因此，分數倍的問題對她而言就是子分割活動。
此時，全部是 12，部分是二又二分之一。她說”十二分之二又半不知怎麼唸”，
對她來說分數詞應是整數的並置，最後她把全部的圓圈都切一半 (行 1437)，她 從中確定藍色部分是全部的二十四分之五。最後她能自發性的發現自己的疏 忽，並修正答案。因此研究者認為這是一個成功的解題活動。
這一題和上一個原案都是三分之一乘以二分之一的問題，小雯並不統一用 分數詞六分之一來回答，而是把三分之一所指示的內容物實施子分割活動，再 確定結果的數值。所以研究者認為，小雯是把分數詞的內容物表現出來，再做 子分割活動來解決分數的分數倍問題。相似的解題活動請參閱附錄B行
1434-1441，行 1442-1447，行 1448-1453，行 1497-1500，行 1501-1514，行 1515-1532，行 1533-1538。在單位量內容物未知的情境，做法一如連續量，請 參閱附錄B行 1757-1758，行 1760-1770，行 1772-1789，行 1821-1824，行 1825-1844。
從原案 53、54 來分析，小雯處理分數的分數倍的問題都視為分數再做子 分割的問題。原來的分數利用分數再表現求出其內容物，分數倍則是實施了子
分割的活動指標，最後再把活動的結果確定數值。簡而言之，她是以分數的內 容物再做子分割活動來解決分數的分數倍問題。