（三）分量和單位量之間的關係
以下分別就 1. 在連續量，單位量為分量的倍數；2. 離散量的情境下，單 位量為分量的倍數；3. 在離散量情境下，單位量不為分量的倍數等三種情境，
分別來討論小雯在確定分量和單位量的關係的解題類型。
1. 連續量的情境下，用部分截割全體確定部分和全體的關係
所謂的「截割」是以部份為單位，再逐次的耗盡全體。原案 56 是小雯利用 截割活動確定分量為全體的六分之一，成功的把單位量由分量「一個扇形」轉 換為「一個圓」，其解題表現如下：
原案 56
1068.師：這個是幾分之幾？(拿出六分之一的扇形) 1069.雯：mm？
1070.師：你可以去拿，沒關係！
1071.雯：我拼拼看，這個一個…
1072.師：你也可以畫！
1073.雯：(試著用扇形來覆蓋圓形三次)六分之一..亂猜的！
1074.師：沒關係！你也可以畫在上面！
1075.雯： (把六分之一的扇形，描繪在空白的圓形上，共把圓形分成六等分)….畫不好…
有點歪…不太準。
1076.師：沒關係！老師再拿一個圓給你。
1077.雯：(把六分之一的扇形，描繪在空白的圓形上，共把圓形分成六等分)..這樣子…
1078.師：這樣子是幾分之幾？
1079 雯：六分之一吧！
1080.師：你怎樣看的？
1081.雯：因為畫完就分成六塊了，所以一小塊就是六分之一。
研究者拿出一個六分之一的扇形，要小雯確定是幾分之幾的圓，她一度以 為只能目視估測，在研究者澄清題意後，她只在二分之一圓中覆蓋三次，就直 接回答是六分之一，並表示是亂猜的。接著，我允許她可以畫在上面，她利用 六分之一的扇形把整個圓截割為六等分，確認我給予的分量即為六分之一。
行 1071、1073 的覆蓋活動與行 1077 的描繪活動的，都可以視為截割活動，
因為她都是以六分之一為單位量，依序窮盡全體。只不過覆蓋活動未留下截割 的痕跡，描繪活動有留下截割的痕跡。行 1073 她只覆蓋 3 次就能正確的回答六 分之一，其真正心中的運作為何，從原案的記錄已無法得知。但在行 1081 中，
截割的痕跡把全體分成六塊，一小塊就是六分之一。這裏可清楚的看出截割活 動目的就是要確定全體是分量的幾倍，如此便可利用全部份數和其中一份的分 數並置確定分量數值。
由以上的分析可知，要確定分量和單位量的關係，小雯採用部份截割全體 的策略，保留截割的痕跡，確認單位量和分量之間的倍數，再以全體份數和部 份 1 份的並置確定分量的數值。相似的問題情境請參考附錄B行 1082-1087。
2. 離散量情境下，用全體除以部分確定部分和全體之間的關係
在連續量的解題類型，也能同化至離散量的情境。截割的策略轉化為全體的
數量除以部分，這是數的運作，也是量的抽象運作。原案 57 的情境為全部是 12 片花片，研究者要求她確認 3 個是全部的幾分之幾？也就是把原為 3 片花片是 以 1 片花片為單位量，轉換以全部 12 片為單位量。她利用全體來除以分量來解
題，其解題表現如下：
原案 57
212.師：好！你再想想看：全部的幾分之幾會是 3 個？
213.雯：幾分之幾會是 3 個？…..4 個。
214.師：幾分之幾？
215.雯：四分之一。
216.師：為什麼你說四分之一？
217.雯：…..因為….4….12…..因為 12 除以 3 等於 4。(不太確定的語氣) 218.師：12 除以 3 等於 4，除以 3 是什麼意思？為什麼你要除以 3？
219.雯：因為幾分之幾會有 3 個，12 除以 3 等於 4。
220.師：老師還是不太懂，為什麼你要除以 3，來確定是 4，你要不要畫圖？
221.雯：四分之一…..不知道…不太懂耶！
…………
260.師：全部的幾分之幾會是 2 個花片？
261.雯：2 個花片….18 分之 2。
262.師：還有沒其她的答案？
263.雯：2 個花片…除以….九分之一 264.師：為什麼會是九分之一？
265.雯：十八分之二是兩片，9…18 除以 2 等於 9..把 18 分成 9 等分，其中的一等分。
在研究者提問後，小雯正確的回答 3 片是全部的四分之一，在我追問下，
她卻以不確定的語氣解釋是因為 12 除以 3 等於 4。雖然研究者在行 218 及 220 想要確認除以 3 是不是要算有幾堆，但她欲言又止的回答不知道。到行 261 她 使用部分份數—全體份數的並置基模來解決全部的幾分之幾是 2 片。接著我問 她還有沒有其她的答案，她口中唸唸有詞，最後回答九分之一。在最後她能清 楚的說明了九分之一的做法是 18 除以 2 等於 9，把全部 18 分為 9 等分，其中的 一等份。
在行 217 中她只有解釋 3 個是全部的四分之一是因為 12 除以 3 等於 4。這 說明實在令研究者疑惑，不過確定的是她用除法確定了 12 和 3 之間的關係是 4 倍。為什麼「4」就說是四分之一？她似乎沒有說明，我們需要從其她的地方找 答案。
一直到行 260 時，我提問全部的幾分之幾會是 2 片？她回答十八分之二，
我再詢問有沒有其他的答案？她則回答九分之一，理由是 18 除以 2 等於 9，把 18 分成 9 等份，所以是九分之一。這裏我們發現了她用 18 除以 2 找到分量（2 片）和全部（18 片）的關係是 9 倍，9 倍同時也代表全部的份數或子分割數，
所以是九分之一。
這個原案她把全部的數量除以分數或上個原案的截割活動，以目的而言，
都是要確定全體是部份的幾倍。如此，就可以用全體份數和其中 1 份的並置來 確定分量的數值，此時的單位量則是由 1 片花片轉換為全部 18 片。綜合以上的 分析可知，小雯在確定分量和單位量（全體）之間的關係是以全部除以分量以 確定分量和全體之間的關係。
特別說明的是，她除了認為 2 片是全部的十八分之二外，也透過上述的方 法確定用何種子分割活動或全部可分成幾份，來求得 2 片是全部的九分之一，
其中單位分數的內容物為複數個。2 片花片同時可用十八分之二和九分之一來表 示，這是等值分數的概念，此原案支持研究者認為小雯的分數概念為巢狀分數 的主張。
3. 當單位量不是分量的倍數之離散量情境時，小雯無法解題
如前述之分析，小雯確定分量和單位量的關係時是利用單位量除以分量所 得的倍數來當分母，再以部分一份和全部份數(倍數)並置來解題。但用相同的解 題類型，在單位量不是分量的倍數時，她則無法解題。小雯的解題活動如原案 58 所記錄：
原案 58
254.師：你知道全部的幾分之幾會是 4 個嗎？
255.雯：幾分之幾會是 4 個…..4 個….18…..18 除以 4…不對呀！.18….4…..4 個….不知道…
研究者在全部為 18 個花片的情境下問小雯全部的幾分之幾會是 4 個花片。
她的思考活動中，是用全部(單位量)18 除以分量 4 來確定倍數，當無法整除時，
以不知道來回答。此處的挫折卻也驗證了先前研究者所推測部分和全體的關係
是用全部的數量來除以部分以確定部分和全體的關係的解題類型。類似的問題 情境，請參考附錄B行 222~223。