11表示整數1和未滿單位量之分量 6
1的並置。
最後，她用六分之七來表示7個六分之一合成的結果，分子7表示重複計數的次 數，分母則維持不變，顯示六分之一已成為一個可獨立計數的單位，假分數（
6 7 ）
則是單位分數（
6
1）的倍數。
由以上的分析可知，帶分數表示整數和未滿單位量之分量的並置；假分數 表示單位分數的倍數。相似的問題情境請參閱附錄B行1134-1141、行1164-1167、
行1168-1173。
綜合以上所述小雯的分數詞意義如下：1. 分數詞指示部份和全部的關係：
對小雯而言，單位分數是「全部的份數」和「其中1份」的部份-全體的並置；
而真分數則是「全部的份數」和「部份的份數」的部份-全體的並置關係。2. 分 數詞能指示某量的複製活動：在連續量的情境中，對小雯而言，分數詞
x y指示 把全部分成x等份，再集聚y等份來表現分量；而在離散量情境中，她則是把全 部除以x，再乘以y來表現分量。3.假分數是單位分數的倍數；帶分數是整數和未 滿單位量之分量的並置：對小雯來說，假分數被視為單位分數的倍數，而帶分 數則是整數和未滿單位量之分量的並置。
二、分數詞的使用
本文主要在探討小雯在不同問題情境下對分數詞的使用情形。以下依問題 情境分為：一、分數的合成和分解。二、分數的比較和等值概念。三、分數的 單位量轉換。玆將小雯的分數詞使用的情形分述如下：
（一）分數的合成和分解
1. 能直接運作分子，分母保持不變由於小雯已具備明顯的部份-全體關係，能區分並同時運作兩個單位，因此
部份能獨立於全體之外。在此運思模式下，無論在連續量或離散量情境下，小 雯在解決同分母分數的合成或分解的問題均是直接運作分子，分母保持不變。
詳情如下：
（1）連續量情境下，同分母分數加、減時，其分母保持不變
在前面曾經討論過小雯有明顯的部份-全體關係的概念，亦即部份可以脫嵌 全體而獨立存在。所以在解決同分母的分數合成和分解問題時，可以將部份獨 自運作，再以部份-全體並置來確定結果，也就是結果以子分割數為分母，分子 的部份直接做加、減。其解題過程如下：
原案 40
1144.師：一個披薩，其中七分之四的披薩分給第一個人，七分之二的披薩分給第二個人，
剩下的分給第三個人放在黃布下，黃布下是幾分之幾？
1145.雯：七分之一。
1146.師：你怎麼算的？
1147.雯：七是一整塊，七分之四就少掉四塊，剩下七分之三，又拿掉七分之二，剩下七 分之一。
研究者提出一個披薩分解出七分之四和七分之二後，要求剩餘量的問題，
她回答七分之一，並說明七就是一整塊，七分之四就是少掉 4 塊，剩下七分之 三，再減去七分之二，剩下七分之一。
在行 1147 中，「七就是一整塊，七分之四就少掉 4 塊」，顯示全體引入子分 割活動後，全體就有如集聚單位「7」。分數七分之四則被視為 4 塊。至此，問 題似乎被受訪者同化為：全體有 7 塊，拿走 4 塊和 2 塊後，剩下多少？獨立運 作的是部份的個數也就是分子的部份，最後結果再以部份和全體的並置來確定 數值。因此小雯在做同分母的加減時直接運作分子，分母是保持不變的。類似 的問題情境請參閱附錄B行 108-115、行 136-141、行 1088-1101、行 1126-1131、
行 1144-1147、行 1883-1886、行 1907-1910、行 1911-1914。
（2）離散量情境下，同分母分數加、減時，直接運作分子
在給予離散量的情境中，小雯直接把分子部份做加減來解決同分母分數的合
成和分解的問題。以下是她的解題表現：
原案 41
1277.師：請你先數 12 個花片出來。
1278.雯：12 個。
1279.師：我們把它蓋起來，現在把全部的十二分之八放成紅布下，全部的十二分之三放 在綠布下，剩下的放在黃布下，黃布下的花片是全部的幾分之幾？
1280.雯：十二分之一！
1281.師：你怎麼算的？
1282.雯：十二分之十二減十二分之八等於十二分之四，十二分之四再減十二分之三等於 十二分之一。
此原案的問題是在全部數量為 12 個花片的情境下，依序拿走十二分之八 和十二之三之後，要求剩餘量。小雯正確回答十二分之一，並說明十二分之十 二減十二分之八等於十二分之四，十二分之四再減十二分之三，最後得十二分 之一。從行 1282 的說明中，顯示她在計算同分母分數時，直接運算分子，分母 均保持不變。
（3）單位量內容物未知時同分母分數加、減時，直接利用分子相加、減
當單位量內容物未知時，小雯直接利用分子相加、減，分母保持不變，以 下是她的解題表現：
原案 42
1685.師：一盒花片，我們把十分之五盒放在紅布下，十分之三放在綠布下，剩下的放在 黃布下，黃布下的花片是多少盒？
1687.雯：十分之二盒。
1688.師：你怎麼算的？
1689.雯：十分之十減掉紅布下的十分之五，還剩十分之五，再減掉綠布下面的十分之三，
剩下十分之二。
研究者提出把一盒未知量的花片，拿出十分之五和十分之三之後，還剩多 少盒？小雯正確的回答十分之二。她的算法是一盒就是十分之十，減掉紅布下 的十分之五，還剩十分之五，再減掉綠布下面的十分之三，剩下十分之二。
從行 1689 的計算過程可以發現，一盒花片被視為十分之十，減掉十分之五 時，直接分子 10-5＝5，得到十分之五，再減十分之三，5-3＝2，最後得十分之
二。在這過程中，分母均保持不變，分子獨自運作，這是加法性分數的成就，
其部份-全體的關係是明顯的。如此的解題類型和連續量情境如出一轍，相似的 解題活動請參閱附錄B行 1578-1551、行 1595-1598、行 1681-1621、行 1694-1697、
行 1702-1705。
2. 透過分數的內容物來掌握兩異分母的分數
在離散量的情境下，小雯解決異分母分數的合成或分解的問題時則是透過分
數的內容物來運作，最後再確定結果數值。原案 6 的問題情境是給予全部的數 量﹙15 片﹚，分成三分之一、五分之一與剩餘量，要求剩餘量是全部的幾分之幾？
她的解題表現如下：
原案 6
1383.雯：15 個。
1384.師：好！我們把它蓋起來！我們把全部的三分之一(研究者做出把全部花片圈起來的 手勢) 放在紅布下面，全部的五分之一放在綠布下(手勢同上)，剩下的放在黃 布下，黃布下的花片是全部的幾分之幾？
1385.雯：15 除以 3…五分之一…3 剩下…7 是十五分之七(寫下算則 15÷3＝5，15÷5＝3) 三分之一有 5 片，五分之一有 3 片。
1386.師：你算出來答案是多少？
1387.雯：十五分之七。
1388.師：你怎麼算的？
1389.雯：全部的三分之一就 15 除以 3 等於 5，就是三分之一有 5 片，15 減 5 等於 10，
綠布下是五分之一，15 除以 5 等於 3，10 再減 3 等於 7，黃布下面就有十五分 之七。
首先小雯先以分數的算子意義求出三分之一和五分之一的花片分別是 5 片 和 3 片。再由全部 15 片扣減 5 片，再減 3 片，等於 7，最後確定 7 片的數值為 全部的十五分之七。
從行 1389 的說明中，可知道透過分數的算子意義，異分母分數就可以表現 出具體的離散量，問題就被同化為全部 15 片，布下分別放 5 片、3 片和幾片？小 雯再以分數的內容物來運作分數的分解（減法）問題。是以，小雯處理異分母 分數加、減時，藉由內容物的運作，最後再確定分數數值。相似的解題活動請
參閱附錄B行 1390-1397、行 1469-1474、行 1475-1477。
3. 先把全部等分數份來整數化分數的內容物
在連續量或單位量內容物未知的情境下，小雯解決異分母分數的合成或分解 的問題時，先自行將全體等分為數份（建立共測單位），再運作分數的內容物，
最後再確認結果的數值。詳情如下：
（1）異分母分數加、減時， 先找共測單位以整數化分數的內容物，再運作內 容物求解
在異分母的問題情境時，在子分割基模的分析中提及小雯是以嘗試的方式 找到共測單位，也就是她先把全體撕裂成數部份，而撕裂數是直覺的，但是要 符合兩異分母分數的內容物要整數個。以下是她的解題表現：
原案 43
1174.師：好！這是一塊披薩，我們把二分之一放在第一個紅布下，三分之一放在第二個 綠布下，剩下的放在黃布下，黃布下有幾個披薩？
1175.雯：六分之一 1176.師：為什麼？
1177.雯：我就把它分成六等份，二分之一就是三塊，然後三分之一就是兩塊，還剩下六 分之一。
研究者提出一塊披薩拿走二分之一塊和三分之一塊後還剩幾塊？小雯正 確的回答六分之一，其做法是先把全部分成 6 等份，二分之一就是三塊，三分 之一就是兩塊，還剩下六分之一。
類似的此原案的解題活動過程已在子分割活動討論過（請參閱原案 19），所 以不再贅述。在行 1177 中，我們可以發現小雯是先把全體撕裂為 6 等份，以整 數化二分之一和三分之一的內容物，再以分數內容物來運作的，最後把運作的 結果 1 塊，再和全體做部份-全體並置，以分數六分之一來確認活動結果的數值。
類似的情境請參閱附錄B行 1174-1177、行 1182-1187、行 1188-1191、行 1222-1225、行 1226-1235、行 1270-1275、行 1952-1957、行 1966-1969、行 2017-2023、行 2024-2027。
（2）異分母加減時，先建立共測單位以整數化分母的內容物，再化為同分母的 等值分數來做運算
小雯在解決單位量內容物未知，異分母的分解、合成的問題時，則是先利 用子分割活動，把全部嘗試分成若干份，再整數化兩相異分母的內容物，藉由 內容物化為同分母的分數，最後直接運作分子來解決問題。以下是她解決拿走 二分之一和三分之一後的剩餘量問題：
原案 44
1731.師：還是這一盒花片，我們把二分之一盒放進紅布下，把三分之一盒放在綠布下，
剩下的放進黃布下，黃布下有多少盒？
1732.雯：….mm…你再說一次！
1733.師：二分之一盒放進紅布下，把三分之一盒放在綠布下，剩下的放進黃布下，黃布 下有多少盒？
1734.雯：六分之一。
1735.師：為什麼？
1736.雯：因為我把一整盒分成六等分，二分之一是六分之三，六分之六減六分之三還剩
1736.雯：因為我把一整盒分成六等分，二分之一是六分之三，六分之六減六分之三還剩