Top PDF 國中生在二次函數概念上的主要錯誤類型及其補救教學之研究

度，並且能夠幫助學生日後的學習。 二、 補救教學教學與課程設計的原則 補救教學設計主要需要考量下列原則與步驟： 1. 獲得學習者的合作； 2. 根據學生的學習程度教學； 3. 循序漸進，小步驟進行； 4. 提供回饋和安排增 強； 5. 使學習和教材有意義； 6. 協助記憶； 7. 鼓勵同儕間建立良好的友誼 關係； 8. 維持強烈的學習動機； 9. 提供充分的練習機會； 10. 建立成功的 經驗 (Otto et al., 1973)。也因此，成功的補救教學的設計，除了需要顧及學生 的意願，與融洽的師生關係外，補救教學課程設計也是如何增進學生學習動機 與改變其錯誤概念之重要部份。張新仁（民 89）指出補救教學的課程設計，首 先要考量學習的原則：由易至難、由簡而繁，從已學到未學等，才能建立學生 的自我信心與動機。其次，課程應該具有高度的結構性，同時學習目標需明確 與具體，才能掌握學習的重心。此外，學習活動的設計要考量學生的能力、學 習動機、學生的接受程度。對中低程度的學生來說，宜簡化教材，學習活動應 富有變化，具趣味性。設計一套好的補救教學課程，是達成補救教學成效的最 主要基礎。補救教學課程內容設計，需要根據下列方針（杜正治，民 82） ： 1. 對 學生基本能力進行分析: 任何學科目標的達成，需要一定程度的心智能力，包 括注意力、理解力、記憶力、觀察力、知覺力以及想像力等。相關能力的不足 必然造成學習的困難，因此在設計補救教學課程時，要先考量學生的相關能力，

（五）原因主要來自於國小，（二）、（六）主要來自於國中，（四）來自學生 個人部分。但和我前面所述的問題是有關連性，藉此我開始釐清自己研究的方向， 是要如何找出問題及引導學生建構分數概念，為我一個相當重要的課題。 而在這幾年因為 12 年國教的實施已迫在眉梢，教育改革的速度比起前幾年 快上許多，像補救教學已經是國中必須要做的事。於 101 學年度，本校已讓學生 上網測驗，線上測驗未過的國七、國八學生必須上補救教學的課程，補救教學最 主要的目的，就在因材施教，實現「一個都不少」的想法。但是以目前的篩選機 制跟實施方式為線上測驗篩選出需補救教學學生→補救教學實施→線上測驗決 定學生是否需繼續參加補救教學。

(二)正式補救教學活動的實施 七年級學生於寒假期間沒有輔導課程或活動的安排，能夠專注學習待補救的 單元內容，因此研究者於 102 年 1 月 21 日～25 日寒假期間針對所服務的新北市 某市立國中的七年級學生共 29 位進行補救教學活動，整個補救教學活動共進行 連續四天的課程，每天規畫兩節課的正式教學及討論活動，每節課 45 分鐘，第 三節課進行學生演練、教師批閱、立即回饋與學生訂正。最後一天則利用一節課 進行後測，為增加到考率及強化學習動機，並於最後一天施測後辦理餐會及抽獎 活動。補救教學多數課程在一般教室內進行，第二天第一節在電腦教室中教導學 生操作電腦中小算盤的乘方功能鍵，在電腦教學時，拔除網路連線源頭，並增加 教師走動巡查，以避免學生有不專心的現象。教學內容共分為六個主題，合計共 上 8 節課，表 3-21 為各主題單元之授課節數表。

高一學生複數與複數平面解題主要錯誤類型 及其補救教學之研究 A Study on the Main Error Types and the Related Remedial Instruction about Solving Problems of Complex Numbers and Complex Plane by the Tenth Graders.. 碩專班學[r]

（5） 其他理由：_______________________________________________ (二) 「向量概念與基本運算二階段評量試題」之複本信度 因本研究在補救教學實施前後有前測、後測、延後測之需求，目的在瞭解補 救教學實施成效與學生學習保留的情形，在與專家同事討論後，將前測試題以修 改數字、符號、更動選項順序的方式，編製成「向量概念與基本運算二階段評量 試題」後測題本（附錄五） ，針對台北市某公立高中的高二社會組學生二班共 78 人，在同一時間施測，得到複本信度 Pearson 相關係數為 0.870，表示複本試題 在內容取樣上誤差不大（周東山，民 86），前測試題內部一致性 Cronbach’s α 係 數為 0.746，後測試題內部一致性 Cronbach’s α 係數為 0.739，本測驗經由研究者 參閱文獻，並與多位專家教師及指導教授討論刪修增訂試題內容後編製而成，故 具有專家效度。

2 級後百分之三十五之學生參加測驗，線上測驗未過的國七、國八學生必須上 補救教學的課程，希望透過因材施教，實現「成就每一個孩子」的想法，弭 平學習落差，帶好每一個孩子。研究者任教的學校已開始讓國語文、數學或 英語任一科學習成就低落的學生接受測驗，測驗未過的學生須利用每天第八 節的時間實施補救教學，但該如何補救卻成為許多老師心中的疑問。研究者 從實施的方式中發現，補救教學的線上測驗只能測出學生是否達到及格標 準，但對未達及格標準的學生犯錯的原因為何卻無從瞭解，所以老師無法針 對參與補救教學的學生設計合適的教材，另外，參與補救教學的學生在上完 補救教學課程後，並沒有根據課程內容實施後測來檢視學習的成效，使補救 教學淪為一種形式上的工作，而教育部希望「成就每一個孩子」的想法也變 成空談，因此如何有效進行補救教學是研究者想要努力的方向。

致 謝 拖了好幾年終於將這篇論文完成，期間因為工作或身體狀況而延誤，過程的 辛苦與心酸更不足與外人道，所幸有太多人的幫助與支持，這論文才能呈現出來。 首先，我最感謝的是指導教授曹博盛老師，這些年老師花了非常多的時間辛 苦的陪伴與建議，沒有曹老師鍥而不舍的教導，我可能無法完成這篇論文。曹老 師的用心指導及不放棄任何一個學生的精神，讓我不敢輕言放棄，深怕辜負老師 的苦心，這種精神更是我在教育學生上的榜樣。另外，還要感謝楊瑞智教授及張 幼賢教授，在百忙之中仍撥出許多時間用心的審視我的論文，並且給予我許多的 寶貴的建議，讓這篇論文的架構及文字敘述更加完善，真的萬分感謝！

指出，達成教育機會均等的理想有兩個重要宗旨，第一、為保障基本人權，落實社 會公平；第二、培育優秀人才，促進社會進步與階級流動。 落實教育機會均等最著名的具體實例，就是美國總統於西元 2002 年實施《不 讓任何一個孩子落後之法案》 （No Child Left Behind Act of 2001, NCLB）。該法案的 核心精神在於，不但要重視每位學童的學習表現（成效） ，更重要的是要積極協助 輔導貧窮及弱勢的學生，改善他們學業成績低落的問題，不讓任何一位孩子學習落 後（郭美滿，2015；鄭勝耀、林沛吟、許倖甄、王時培，2012）；該法案所訂立的 目標為，在 2014 年前提升美國學童數學科和閱讀水平的學習成就表現，並達到該 學生所就讀年級的程度，縮小與同儕之間的學業成績差距（蔡明學，2015）。該法 案之實施對美國的基礎教育產生深遠影響，臺灣教育改革應可從中汲取精華，作為 參照學習與借鑒的範本；西班牙、日本等國也有上述的相同理念（黃俊峰， 2014） ， 綜合上述，教育機會均等屬於基本人權，全球多數國家有著共通理念與想法。

二、初步及修正二階段評量編製 根據開放式問卷回收的資料，研究群根據學生作答情況並且透過晤談學生的 質性資料，以文字符號、方程式、文字代數題三個向度為主配合能力指標，再將 開放式問卷的試題重新歸納編寫，以二階段方式呈現，第一階段為答案的選擇 題，第二階段為學生說明的理由。完成後再邀請專家指導以及研究群的討論，相 同的研究樣本再行施測，收回問卷資料後再行分析歸納，同樣透過晤談方式搜集 質性資料以及診斷評量工具是否具有信度，實施前後測，如果學生對於前後兩次 的的選項並無明顯差異，研究群便認定學生對這一題的反應具有穩定性，那麼該 題便符合信度的一致性。另一方面對於診斷評量的試題進行歸納分析以及驗證性 的晤談，經過歸納分析，整理學生錯誤概念是否相同並且歸納錯誤類型，作為修 正後的二階段評量工具。修正後的二階段評量診斷工具，第一階段則為是否之選 項，第二階段為理由選項，而該選項之內容則是根據學生在初步二階段評量所寫 的理由，研究群將之整理分類。

根據正式對外公布的學生學習成就評量抽測結果發現，小六學生在數學科有 19.1%（約五萬九千人） ，未達到小六基礎水準，數學科成就水準在基礎以下，沒 有達到小六數學應有的知能，必須補救教學（教育部國教司，2006）。 國立台北教育大學副校長王富祥指出，現今國小學生數學程度明顯下降，國 立師院附小一名高年級老師也說，高年級學生開始接觸「分數」，分母通分、擴 分、等值分數等概念，多數學生常搞不清。王富祥還說，學生數學出現學習落差，

得無助感（Learned helplessness），放棄學習數學的情況也相當常見。這也是研 究者努力想在教學上改變此現象的重要原因。 研究者根據多年的教學經驗發現，學生對學習沒有興趣，最主要原因是對 自己沒信心，認為數學是一門非常艱澀的學科，而且日常生活中又用不到，所 以學習心態偏消極，造成了再簡單的單元，依然也是學不會，形成了一種惡性 循環的怪現象。為了改變此現象，研究者分析正式課程綱要中，國中數學教材 內容可分成四大部分：一是「數與量」、二是「代數」、三是「幾何」 、四是「機 率與統計」 ；決定挑選「代數」部分，因為代數在國中三年的教材佔了極為重要 的地位。而在代數領域中，又以國中七年級上學期的一元一次方程式的單元最 為重要，因為一元一次方程式是國中代數的基礎，也是代數的起點。基於上述 理由，研究者決定從一元一次方程式開始探討。

他認為學生無法順利解一次不等式的原因，主要在於學生對於語文及數學文 字符號轉換能力的不足，使得看題目時無法掌握題意，其次是學生對於數學的定 義和邏輯語法不清楚，影響學生無法列出正確的不等式。 黃國瑋（2007）以放聲思考法及事後晤談法研究國一學生解不等式應用問題 的解題歷程，研究中挑選六位學生，分別為高分組，中分組，低分組各兩位，先 進行為期四星期的放聲思考解題訓練，使學生熟悉這種解題方式。發現中高數學 能力的學生在讀題時，較能夠注意到問題的關鍵點，能將問題中的相關訊息作統 整，即使經過幾次失敗的解題行為後，仍能改變解題方法作多方面的嘗試，持續 解題；低數學能力的學生在讀題時，較不會去注意問題的關鍵字句，只注意在題 目中有數字的部分，而解題時的耐心程度不足，幾經失敗後就不願意再嘗試，甚 至有一次失敗就不願意再嘗試的情形出現。在解題時，中高數學能力的學生，常 對題目所隱含語意及重要條件間的關係，做深入的理解、分析，找尋解題關鍵；

而回溯從民國 85 年起至今所進行的教育改革，就是為了剔除填鴨式的速成 型教學，及傳統考試領導教學的弊病，讓基礎的國民教育能回歸到以學習 者為主體，以知識完整面為教育的主軸，讓數學知識與數學能力不再只是 為了應付考試，而能成為日常生活及未來謀生應具備的基本能力，要把每 一位學生都帶上來，讓學生有帶著走的能力。基於上述教育理念，研究者 想利用本次研究機會，將目前學生對於周長與面積知識之理解與應用的錯 誤認知及迷思概念，設計一套研究的歷程與方法，將其根源及癥結找尋出 來，期望能對教學及課程的實務應用上，提出適切的解決方案，以幫助學 生在周長與面積的學習上，獲得正確且全面的相關知識，能對學生往後的 數學領域及相關的科學知識，有實質與正面的效益。

壹、 S-P 表簡介 S-P 表（Student-Problem Chart, S-P Chart） ，中文翻譯為學生問題表，是由日 本學者佐藤隆博（Takahiro Sato）（1969）所提出的試題資料分析分法。在 S-P 表 之前的試題項目分析主要有：分析試題品質的鑑別度與難度，及分析施測工具的 信度與效度。然而這些分析結果對於改善教師命題技巧、教學效能或發現學生學 習困難處幫助不大（余民寧，2002；蔡小玲，2008） ，所以佐藤隆博便發明了 S-P 表，將學生的作答情形以圖形化的方式呈現，以分析並獲得每個試題的注意係數 與每位學生的學習類型分析。藉由這些訊息協助研究者診斷測驗品質與學生表 現，以作為改進教學效能、命題技巧與輔導學生的參考。

一、 、 、 、準備階段 準備階段 準備階段 準備階段 研究者在確定研究主題與目的後，便閱讀國內外相關文獻以蒐集有關資料， 並著手規劃研究採用的理論架構。另一方面與指導教授和多位國中數學教師討 論，關於學生在學習三角形的全等單元可能會遭遇的學習困難及容易產生的錯 誤，研究者參考教科書及其他相關資料，依研究實際需求編製一份學生學習「三 角形的全等單元測驗」 ，而為了讓本測驗試題更具有客觀性與代表性，亦編製「教 師對學生學習三角形的全等錯誤類型之調查問卷」。調查問卷樣本以彰化縣六所 國中 37 位教師填答，並統計所得結果。配合此問卷結果與建議，編製出學生學 習「三角形的全等單元測驗」預試問卷。

所以，有效的補救教學計畫來自於正確診斷。透過診斷的觀察、測驗、晤談，我 們可以對學生的先備知識及迷思概念有所瞭解，然後再決定補救教學的方向，這 樣的診斷-教學是一個不斷循環的過程，直到學生能達到學習目標。 教師一人面對所有不同學習背景的學生，既無法顧及個別化發展又無法對教 材內容再做深入的講解，而且學生的諮詢管道也不充足。當學生未充分理解抽象 符號的表徵與意義時，而要求學生模仿教師的規則或機械是背誦，如此填鴨式的 數學知識學習是不具意義的。補救教學是教師在同時面對整班的學生時，在教學 無法同時兼顧及配合每一位學生的基礎知識及學習進度，因此要確認學生的學習 未達預設的教學教學目標時，教師必須另外再針對這些學生採取其他更有效的教 學策略及課程內容，讓這些學生的學習能正常的跟上其他學生的平均水準。研究 結果在國民中學教師目前進行數學補救教學與數位學習現況方面，研究發現主要 有：

金玉麒（1987）建議國中課本有關絕對值問題部分，應多加日常生活問題， 多使用數線的方式提供學生理解概念。因當時所之使用國立編譯館版本，採取較 為制式的符號教學，雖引進數線進行說明，但所占篇幅不多且不詳細，而目前九 年一貫版本的教材活潑度提升，並且在絕對值概念中，類題舉例說明增加，以南 一版國中數學第一冊為例，該版本將住家以數線表示，舉出與生活相關的例子並 搭配圖示讓學生探索出絕對值與距離的關係，使得概念更容易被連結。然在改編 版本過後，對於絕對值的錯誤類型研究不多，大多數絕對值概念研究偏向測驗基 本概念、代數運算及運用上的錯誤，較少與解析幾何作連結，因此，研究者以絕 對值為研究主題，除了基本代數觀點之外，增加利用平面幾何的觀點，了解並分 析歸納學生在學習過後所可能產生的錯誤之原因，供教師們教學時的參考。

比例單元是七年級下學期第二次段考的內容，而由於需在學生學習比例單元 之前，完成前測的施測及統計分析等，因此前測問卷實施的時間選定為下學期開 學後第二週施測。 第二階段主要為研究者於比例單元的課堂教學中進行課中補救，進而探討課 中補救之成效。故本階段的研究對象主要為研究者所任教的班級，該班級有 26 位學生，扣除資源班 1 人後，共計為 25 位學生。任教班級中有一位狀況較為特 殊的學生，在該生七年級上學期時，各科表現皆明顯落後於其他同學。該生表示 上課幾乎都聽不懂，只能跟著抄寫筆記。雖然曾經建議家長考慮是否進入資源班 就讀，但因該生家長反對，因此只能留在原班級上課，學習表現一直未能有效提 升。

綜合上述，數學態度係指個體對數學的一般性看法與好惡程度，且 會反應在個體學習表現與行為上。由於態度是一種心理歷程，所以學者 多半採用自陳問卷，計算受訪者在問卷各項度的得分，藉以評估個體的 數學態度。目前國內數學態度量表，大多是以 FSMAS 數學態度量表為 基礎，依據研究主題和實際需要加以修改，量表分數越高，代表數學態 度越正向，通常數學表現也越佳。國中階段的學生正值叛逆期，其態度 養成更是重要的關鍵時刻，影響態度的因素眾多，如何營造一個正向學 習方式，讓孩子喜歡數學、挑戰數學，把數學學習視作一件有意義又有 趣的事，是職場教師努力的目標。

二、研究建議與實務意涵 面對學習者特質的多元性差異，適性課程方案與教學策略均證實有效，隨著教育改革的浪潮， 「師說」 所撰述之『師者，所以傳道、受業、解惑也』 ，教師必然是學生在求學路上，對於知識能否掌握透徹的主 要關鍵之一，並非所有參與補救教學之學生都討厭數學科目，部分原因來自於因學生學習成果不佳而感 覺到沮喪氣餒，部分則是對於教師之教學情形與態度產生適應不良的排斥，而往往這些因素皆會嚴重影 響學生的學習態度，最終反映在學習成果上，惡性循環之累積下更顯嚴重。做為教學者應當對於不同類 型特質的學生都抱持適切的期望，鼓勵與支持所有學生，追蹤學習表現不佳的學生，給予協助並提供有 用的回饋與改進建議，更進一步考量學習者狀況，將課程的複雜度及難度降低，提供部分學生學習教簡 易或少量的課程，以符合學習者資質和能力。研究發現男生在數學態度與滿意度皆高於女生，在傳統概 念中，女性對於數理科目相對於男性接受度較低，因此教學者若要提高女性對於數學態度與滿意度，應 考慮改變現有教學方式或採取更多元的教學策略，例如近年來在國內所興起之翻轉教室的議題，或可做 為教學者重新審視既有的教學手法，誘使學生能提高對於數學態度的積極度，進而對數理科目產生學習 興趣而非排斥感，或者配合學生的興趣實施教學，按照學生的興趣規劃課程與教學方案，讓學生能夠依 自我興趣選擇學習主題，或有興趣的學習內容與活動。此外，擔任補救教學的教師宜先了解參與補救教 學之學生，在各方面的學習困難肇因，針對原因事先規劃多元、有效之補救教學課程，並設計與融入更 多生活化、多元化、豐富性且有效用之教學活動內容，提高學生參與補救教學後之學習效果。再者，教 師應多利用補救教學活動，加強個別程度差異之學生調整學生在學習步調、進度上的不同，擔任補救教 學之教師，除補救教學的課程時間之，應根據不同學生之特質屬性、需求與學習情況等，加強學生本身 的數學能力，包含分析、理解、應用等層面，安排個別之補救教學課程，確實發揮因材施教的效果。